CC BY
77
А. Х. Гелиг
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В обзоре рассматриваются дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями, гистерезисными функциями и импульсными элементами.
1. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями
Для ознакомления со спецификой дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями рассмотрим систему
где А — постоянная п х п-матрица, Ь и с — постоянные п-мерные столбцы, все величины вещественные, * —знак транспонирования. Из (1) вытекает равенство
Предположим, что с*Ь < 0, и рассмотрим задачу Коши при х(0) = хо и с*хо = 0. Если с*Ахо + с*Ь > 0, то из (2) следует неравенство а(0) > 0 и из точки хо выходит траектория в полупространство с*х > 0 в силу системы
Аналогично, если с* Ах о — с* Ь < 0, то из точки хо можно выпустить траекторию в полупространство с* х < 0 в силу системы
то из точки хо нельзя выпустить траекторию ни в силу системы (3), ни в силу системы (4), так как траектории этих систем «стыкуются» в точках полосы (5). Таким образом, классическое решение в этом случае не существует, каким бы числом мы ни доопределили функцию ^(а) в точке а = 0.
Потребуем теперь, чтобы траектория, выпущенная из точки хо, принадлежащей полосе (5), оставалась на гиперплоскости с*х = 0. Очевидно, чтобы удовлетворить равенству а = 0, нужно в силу (2) доопределить ^(0) не числом, а функцией £(£) =
и «скользить» по гиперплоскости а = 0. Многообразие с*х = 0, —с*Ь > с*Ах > с*Ь
называют «пластинкой» скользящих режимов. Предложенное доопределение нелинейности в системе (1) имеет следующий физический смысл. Если у>(а) —сила сухого трения, то £(£) — сила трения покоя. Когда разность скоростей трущихся элементов равна нулю, сила трения может принимать любое значение от —1 до +1.
© А. X. Гелиг, 2006
х = Ах + Ь^(а), а = с* х, у>(а) = sign а,
(1)
о = с* Ах + с*Ь^(а).
(2)
х = Ах + Ь.
(3)
х = Ах — Ь.
(4)
Если хо принадлежит полосе
с*Ь > с*Ахо > с*Ь, с*хо = 0,
(5)
. В этом случае решение х(Ь, хо) будет определяться системой
X = Ах--------------------х
с* Ь
Ьс* А
Если
с*Ь = с*АЬ = ... = с*Ак-1Ь =0, с*АкЬ< 0, (к < п),
то многообразие скользящих режимов описывается соотношениями
с*х = с*Ах = ... = с*Акх = 0, —с*АкЬ > с*Ак+1х > с*АкЬ.
Отметим полезную связь между свойствами скользящего режима и «передаточной функцией», являющейся основным инструментом теории линейных систем автоматического регулирования. Сделав в (1) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим соотношения
имеющий общих корней с с1еЬ(р1 — А). Тогда оказывается, что т — размерность многообразия скользящих режимов, а пт (р) — характеристический полином системы дифференциальных уравнений, определенной на многообразии скользящих режимов и описывающей этот режим.
Изучим состояние равновесия хж системы (1) в случае (¿е!А = 0. Очевидно, что хж удовлетворяет уравнению
Если с*А 1Ь = 0, то аж =0 и, следовательно, стационарное множество системы (1) представляет собой «отрезок покоя»
лежащий в гиперплоскости с* х = 0.
Отметим, что у систем с неединственным состоянием равновесия различают два вида устойчивости в целом стационарного множества. Стационарное множество называется устойчивым в целом, если оно устойчиво по Ляпунову и все решения стремятся к нему при Ь ^ +то. При этом каждое решение может не стремиться к какому-либо состоянию равновесия. Такая ситуация имеет место, например, в задаче Вышнеградского, где траектории «наматываются» на отрезок покоя, каждая точка которого неустойчива по Ляпунову [1]. Если стационарное множество устойчиво в целом и, кроме того, каждое решение при £ ^ стремится к некоторому состоянию равновесия, то такое стационарное множество называется точечно устойчивым в целом [2, 3]. Примером системы с точечно устойчивым в целом отрезком покоя может служить система регулирования турбины [4].
Среди различных понятий решений систем с разрывными нелинейностями [5-7] наиболее популярно следующее определение, предложенное А. Ф. Филипповым [8].
рх = Ах + Ьф, х = с*х.
Исключая из них х, приходим к равенству
х = Ш (р)ф
где Ш(р) = с*(р1 — А)-1Ь — передаточная функция (от «входа» ф к «выходу» а), I
+ — с х.
Ахж + Ьфж 0
где фж — стационарное значение нелинейности. Отсюда получаем выражения
хж А 'Ьфж, аж с А 1Ьфж.
Определение 1. Вектор-функция х(Ь), определенная на интервале (^,¿2), называется решением уравнения
х = / (Ь,х), х € М", (6)
если она абсолютно непрерывна и при почти всех Ь € (£ 1, ¿2) вектор х(Ь) принадлежит наименьшему выпуклому замкнутому множеству, содержащему все значения /(Ь,х'), когда х' пробегает почти всю ¿-окрестность точки х(Ь) в М" (при фиксированном Ь), то есть
х €П П копу / (Ь, и(х(Ь), ¿) — N).
$>о ¡ли=о
Рассмотрим случай, когда система (6) автономна и вектор-функция /(х) претерпевает разрыв на некоторой гладкой поверхности Б в пространстве М" и непрерывна в некоторой окрестности этой поверхности и существуют предельные значения /+(х) и /-(х) вектор-функции /(х), когда точка х приближается к Б с той или другой стороны.
Предположим, что поля направлений /-(х) и /+(х) «стыкуются» на поверхности Б. Тогда, согласно определению 1, поле направлений скользящего режима на поверхности разрыва определяется следующим образом. Построим касательную плоскость к поверхности Б в точке х и отрезок I, соединяющий концы векторов /-(х) и /+ (х). Построим вектор /о, имеющий начало в точке х и конец в точке пересечения отрезка с касательной плоскостью. Тогда, согласно определению 1, вектор /о определяет поле направлений в точке х.
Очевидно, что построенное выше для системы (1) решение удовлетворяет определению 1. Однако имеются важные прикладные задачи, для которых определение 1 не годится. В качестве примера рассмотрим задачу синтеза управлений и1 и и2, подчиненных ограничениям |и1 | < 1, |и21 < 1, которые переводят любую точку (х1(0),х2(0)) системы
х1 = х2и1, х2 = и2 (7)
в начало координат оптимальным по быстродействию способом. Известно [9, 10], что синтез таких управлений осуществлен на всей плоскости х1, х2 и, например, для первого квадранта оптимальные управления имеют вид
+ 1 при х1 -1 при х1
В частности, оптимальной является траектория х1 = 0.5х2 и на ней система (7) имеет вид х1 = — х2, х2 = —1. Возьмем точку х = (х1 ,х2) на этой траектории и будем к ней приближаться со стороны х1 < 0.5х^. Предельное значение правых частей системы (7) при этом будет /+ (х) = (х2, —1). Если приближаться со стороны, где х1 > 0.5х2, то для предельного значения получим /-(х) = (—х2, +1). Так как /+(х) = —/-(х), в данном случае отрезок I проходит через точку х, то есть /о(х) =0 и решением скользящего режима по определению 1 является состояние равновесия. В то же время на оптимальной траектории вектор скорости есть (—х2, —1). Таким образом, оптимальная траектория не является решением в смысле определения 1.
М. А. Айзерман и Е. С. Пятницкий [11] предложили другое описание решений уравнений с разрывными правыми частями. Рассмотрим их подход для частного случая, когда /(Ь, х) имеет разрыв на некоторой поверхности Я. Рассмотрим последовательность непрерывных вектор-функций /е(Ь, х), которые вне е-окрестности поверхности Я
< 0.5х2 > 0.5х2 ,
и2 =
— 1 при х1 < 0.5х2 + 1 при х1 > 0.5х2
совпадают с ](Ь, х) и при е ^ 0 стремятся к ](Ь, х) в каждой точке, не принадлежащей Я. Пусть хе(Ь) —решение системы
X = ¡е(Ь,х).
Тогда под решением системы (6) понимается предел любой сходящейся подпоследовательности решений хЕк (Ь). Очевидно, что рассмотренная выше оптимальная траектория является решением в смысле [11]. Однако и введенное в [11] понятие решения не полностью обслуживает приложения. Например, пусть в системе (1) ^(<т) является характеристикой силы сухого трения и в покое сила трения может принимать значения большие, чем при движении, то есть трение носит срывной характер. В этом случае график функции ^(<т) имеет вид, представленный на рис. 1.
V
а
1
0
а
-1
-а
Рис. 1.
Очевидно, что при описанных выше подходах как А. Ф. Филиппова, так и М. А. Айзермана и Е. С. Пятницкого, решения системы (1) со срывным и несрывным трением совпадают, что не соответствует физике явления.
Наиболее адекватным приложениям является рассмотрение систем с разрывными правыми частями как систем с многозначными правыми частями (дифференциальных включений). При таком подходе ф’(а), соответствующие несрывному и срывному сухому трению, имеют соответственно вид
{sign а при а = 0 | sign а при а = 0
Г 1 ,11 п ’ V(а) = 1 г . 1 П •
[—1, + 1] при а = 0 I [—а, +а] при а = 0
Теория дифференциальных включений с многозначными правыми частями была впервые развита в работах Маршо [12, 13] и Зарембы [14, 15]. Под решением дифференциального включения Dx(t) € f (t,x) Маршо понимал непрерывную кривую x(t), контингенция которой D в каждой точке t принадлежит множеству f (t, x(t)). Заремба пользовался аналогичным определением с заменой термина «контингенция» на «па-ратингенция». При этом контингенцией D кривой x(t) в точке t называется мно-
x(tk) - x(t)
жество всех пределов lim -----------, а паратингенциеи—множество всех пределов
F ^ tk^t tk -t ’ 1 4 F ^
lim -LäI-----Важевский [15] показал, что если x(t) является решением диффе-
^к :^i ^ tk ti
ренциального включения Dx € f (t, x) в смысле Маршо, то вектор-функция x(t) абсолютно непрерывна, и при почти всех t справедливо включение x(t) € f (t,x(t)).
Теория дифференциальных включений изложена в [2, 3, 17, 18]. Приведем основные понятия этой теории.
Рассмотрим вектор-функцию /(Ь, х) (Ь € К1, х € К"), отображающую каждую точку (Ь, х) некоторой области V из К"+1 в множество /(Ь, х) точек из К".
Определение 2. Функция /(Ь,х) называется полунепрерывной1 в точке (Ьо,хо), если по любому е > 0 найдется такое 6(е,Ь,х), что множество /(Ь,х) принадлежит е-окрестности множества /(Ьо,хо), если точка (Ь,х) находится в ¿-окрестности точки (Ьо, хо).
Определение 3. Функция /(Ь,х) называется непрерывной в точке (Ьо,хо), если она полунепрерывна и, кроме того, для любого е > 0 найдется такое ¿(е,Ьо,хо), что множество /(Ьо, хо) содержится в е-окрестности множества /(Ь1, х1), если точка (Ьо, хо) принадлежит ¿-окрестности точки (Ь1,х1).
Очевидно, что функция, изображенная на рис. 1, является полунепрерывной, но не является непрерывной.
Определение 4. Вектор-функция х(Ь) называется решением дифференциального включения
х € /(Ь,х), (8)
если она абсолютно непрерывна, и для тех значений Ь, для которых существует производная х(Ь), выполняется включение
х € /(Ь,х(Ь)).
Имеет место следующая локальная теорема существования решения дифференциального включения [2, 3].
Теорема 1. Пусть многозначная вектор-функция /(Ь,х) в каждой точке (Ь1,х1) области
V : |Ь1 — Ьо| < а, |х1 — а\< р
является полунепрерывной, а множество / (Ь1,х1) замкнуто, ограничено и выпукло, причем
яир \у\ = с для у € /(Ь1,х1), (Ь1 ,х]_) €Р.
Тогда при \Ь — Ьо| < т = ш1п(а, р/с) существует по крайней мере одно решение х(Ь), удовлетворяющее включению (8) и начальному условию х(Ьо) = а.
Для дифференциального включения (8) справедлива теорема о продолжимости решения, остающегося в ограниченной области, теорема о том, что через каждую ^-предельную точку траектории х(Ь) проходит траектория, целиком состоящая из (^-предельных точек, и ряд других теорем качественной теории [2, 3, 17, 18].
В [19] для дифференциальных включений с непрерывной /(Ь,х) доказана теорема существования решения без предположения о выпуклости множества /(Ь,х). На дифференциальные включения перенесена теория абсолютной устойчивости непрерывных нелинейных систем [2, 3].
При исследовании дифференциальных включений важную роль играет следующая теорема Б. М. Макарова о существовании доопределенной нелинейности, которая позволяет заменить дифференциальное включение дифференциальным равенством. Пусть Е(Ь, х, £) — вектор-функция, определенная при Ь € [а,Ь], х € К", £ € Кт со значениями в К". Пусть далее а(Ь, х) —определенная на [а, Ь] х К" непрерывная вектор-функция со
1В литературе это свойство принято называть полунепрерывностью сверху либо ^-непрерывно-стью.
значениями в К, и пусть ф(Ь,а) —определенная на [а, Ь] х К многозначная функция, значения которой суть подмножества в К". Справедлива следующая
Теорема 2 [2, 3]. Предположим, что фунция Е непрерывна, а функция ф полунепрерывна и ее значения — компактные подмножества пространства К". Пусть хо(Ь) —абсолютно непрерывная на [а, Ь] вектор-функция, удовлетворяющая при почти всех Ь € [а, Ь] соотношению
хо(Ь) € {Е[Ь,хо(Ь),£] | £ € А(Ь)},
где А(Ь) = ф[Ь, а(Ь, хо(Ь))].
Тогда на [а, Ь] существует такая измеримая по Лебегу вектор-функция £о(Ь), что при почти всех Ь € [а, Ь] справедливы соотношения
хо(Ь) = Е[Ь, хо(Ь), £о(Ь)], £о(Ь) € А(Ь).
2. Системы с гистерезисными функциями
Важным для приложений классом нелинейностей являются нелинейности операторного типа, названные в [20] «гистерезисными функциями». Типичным представителем такой нелинейности является люфт, представленный на рис. 2. Поскольку точка с коор-
а(Ь) [
Рис. 2.
динатами а(Ь), ф(Ь) может находиться в любой точке полосы, можно считать, что люфт является многозначной функцией ф(а) = [а, а + Д]. Однако при таком описании люфт не различим с «обратным гистерезисом» (р = у + а + у sign а, изображенным на рис. 3. Динамические свойства систем с нелинейностями, изображенными на рис. 2 и 3, существенно различны. Поэтому необходимо было дать такое математическое описание нелинейностей, которое учитывало бы направление обхода петли гистерезиса. Такое описание было предложено В. А. Якубовичем [20, 21] и заключается в следующем.
Пусть Шао (Ьо, Ь1) — множество непрерывных на [Ьо, Ь1] функций а(Ь), удовлетворяющих условию а(Ьо) = ао. Предположим, что имеют место следующие соотношения.
1. Любому ао поставлено в соответствие некоторое множество ЭД(ао) «начальных значений гистерезисной функции».
2. Для любых Ь1 > Ьо и фо € ЭД(ао) указан оператор ц>[- I*1 ,фо], отображающий Шао (Ьо,Ь1) в С[Ьо,Ь1].
Ф(Ь)
д
ф
0
а
Рис. 4.
3. Справедливы соотношения
ф[а |(0, фок = ¥>о, ч¥ 1(0,фоЬ є N(а(і)),
где ф[а I*1, фоЬ —значение в точке і Є [іо,іі] функции ф[а I*1, фо].
4. Если
а (і) = а і (і) є Шао (іо,і*) при іо < і < і*,
<г(і) = а2(і) Є Ша„ (і*,іі) при і* < і < іі,
где а* = аі(і*), то
ф[а |(0,фо]( = ф[аі (,фо]і при іо < і < і*,
ф[а |(0,фо]( = ф[а2 £,ф*]( при і* < і < іі,
где ф* = ф[аі ,фоЬ*.
При выполнении этих условий семейство отображений ф[- I*0, фо] называется непрерывной гистерезисной функцией. Если все эти отображения непрерывны, то гистерезисная функция называется сильно непрерывной. Если в приведенном определении С[іо,іі] заменено на Ь[іо,іі], то гистерезисная функция называется релейно-гистерезисной. Примером такой функции может служить релейная характеристика, изображенная на рис. 4.
В работах [20-23] исследована абсолютная устойчивость систем с гистерезисными функциями. Развернутая теория систем с гистерезисными функциями, встречающимися не только в системах управления, но и в различных разделах механики, была развита в монографии [24].
3. Системы с импульсной модуляцией
В системах управления и связи используются импульсные модуляторы — устройства, которые преобразуют сигнал <г(£) на входе в сигнал £(£) на выходе, являющийся последовательностью импульсов. Импульсы бывают как мгновенные, описываемые ¿-функциями, так и конечной длительности, описываемые кусочно-непрерывными
функциями. Системы с мгновенными импульсами будут рассмотрены в следующем разделе. Здесь же мы остановимся на случае, когда £(t) является кусочно-непрерывной функцией. При этом оператор M, описывающий импульсный модулятор, преобразует заданную на [tо, +то) непрерывную функцию a(t) в не имеющую конечных точек сгущения последовательность tо < ti <t2 < ... и функцию £(t), кусочно-непрерывную на каждом промежутке [t„,t„+i).
Простейшим примером может служить двухполярная широтно-импульсная модуляция [25] (рис. 5), при которой tn = nT,
{sign a(nT) при nT < t < nT + тп, если a(nT) = 0,
0 при nT < t < (n + 1)T, если a(nT) = 0,
0 при nT + тп < t < (n + 1)T.
Ширина n-го импульса тп в случае широтно-импульсной модуляции первого рода (ШИМ-1) определяется формулой
F (\a(nT )|).
(9)
При широтно-импульсной модуляции второго рода (ШИМ-2) тп является первым положительным корнем уравнения
тп = F (\a(nT + тп)\),
(10)
если таковой имеется на интервале (0,Т). В противном случае тп = Т .В формулах (9), (10) функция Е задана на [0, +го), непрерывна, Е(0) = 0, 0 < Е(Л) < Т при Л > 0.
Отметим, что если в случае ШИМ-1 оператор М, действующий из С в Ь, непрерывен, то при ШИМ-2 он, вообще говоря, этим свойством не обладает. Последнее обстоятельство приводит иногда к тому, что при достижении параметром Т некоторого бифуркационного значения, периодическое решение исчезает. Модулируемыми параметрами, кроме ширины импульсов, могут являться амплитуда импульсов, их частота и фаза. Применяются и импульсы непрямоугольной формы [26].
п
Важной характеристикой оператора М является эквивалентная нелинейность, под которой понимается функция у>(<г), обладающая следующим свойством: для каждого п существует такое іп Є [іп,іп+і), что среднее значение п-го импульса
t , 1 -t /
^n+l Ln Jtn
удовлетворяет соотношению
£(t)dt
Vn = v(o(tn)).
Будем говорить, что оператор M. принадлежит классу G, если выполнены следующие условия:
1. Оператор M. физически реализуем. На неформальном языке это означает, что £(t) зависит только от а(г) при т < t, tn зависит только от а(т) при т < tn.
2. На любом промежутке [tn, tn+i) функция £(t) сохраняет знак.
3. При всех n справедлива оценка
5qT < tn+i — tn < т,
где Т и Sо — положительные числа, то есть частота импульсации ограничена сверху и снизу.
4. Для оператора M. существует эквивалентная нелинейность.
Класс G описывает большинство из известных видов импульсной модуляции. На импульсные системы, описываемые функционально-дифференциальными уравнениями с оператором M. класса G, распространены многие результаты теории абсолютной устойчивости [27, 28] и колебательности непрерывных нелинейных систем (см. обзоры [29-31]).
4. Системы со скачками
В предыдущих разделах рассматривались системы, у которых правые части разрывны, но сами траектории непрерывны. Здесь речь пойдет о системах с разрывными траекториями, которые иногда называют дифференциальными уравнениями с импульсным воздействием. Эти системы описываются следующим образом.
Даны последовательность поверхностей в [0, +ж) х Rn
Sk : t = Tk(x), k = 1, 2,...,
обладающая свойствами
Tk(x) < Tk+i(x), lim Tk(x) = ж,
k—
система
x = f (t,x) (11)
с непрерывной правой частью и последовательность непрерывных вектор-функций bk(x) (k = 1, 2 ...). Под решением системы с импульсным воздействием понимается вектор-функция x(t), удовлетворяющая системе (11) при t = Tk (x) и претерпевающая
скачки x(t + 0) — x(t — 0) = bk(x(t — 0)) в моменты t = Tk(x(t — 0)). При этом множество моментов времени встречи траектории с некоторой поверхностью Sk может быть как конечным, так и бесконечным. В [32-36] для систем с импульсным воздействием развиты основные разделы качественной теории: теоремы существования, единственности и продолжимости решения, теория локальной и глобальной устойчивости, включая системы сравнения и векторные функции Ляпунова.
Теория дифференциальных уравнений с обобщенными функциями в правых частях рассматривалась в [37, 38]. Одним из простейших примеров таких систем может служить импульсная система автоматического регулирования с мгновенными импульсами и частотной модуляцией [25], описываемая уравнениями
x = Ax + b£, а = c* x, (12)
£(t) = E ak s(t — tk ), (13)
k
где A — постоянная m x m-матрица, b и c — постоянные m-мерные столбцы, S(t) — дельта-функция Дирака,
( 0, если \a(tk — 0)| < Д,
Ak = N
I signa(tk — 0), если \a(tk — 0)\ > Д
(Д — величина нечувствительности импульсного модулятора), tk+i = tk + Tk,
Tk = F (\a(tk )\) (14)
в случае частотно-импульсной модуляции первого рода. При частотно-импульсной модуляции второго рода Tk является первым положительным корнем уравнения
Tk = F (\a(tk-i + Tk)\)- (15)
В (14) и (15) функция F положительная, непрерывная и монотонно убывающая на [0, +го), причем lim F (A) > 0.
X—
Другим примером является весьма распространенная амплитудная модуляция, при которой в (13) tn = nT, An = a(a(nT — 0)). В этом случае система (12), (13) сводится к дискретной системе
xn+1 = eAT xn + eAT ba(an), (16)
где xn = x(nT — 0), an = c*x(nT — 0). Абсолютная устойчивость и колебания систем
вида (12), (13) изучались в [39]. Аналогичные вопросы для системы (16) и других видов
дискретных систем рассматривались в [40-43].
Summary
A. Kh. Gelig. Non-classical differential équations.
The review of définitions of solution for the differential équations with discontinuous nonlinearities, differential inclusions, systems with hysteresis functions, pulse modulation and jumps is presented.
Литература
1. Андронов А. А., Майер А. Г. Задача Вышнеградского в теории прямого регулирования.
// Известия АН СССР. Сер. техн. наук. I часть: 1955. №3. С. 3-32; II часть: 1955. №6. С. 54-71.
2. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.
3. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. Singapore: World Scientific, 2004. 234 p.
4. Хейфец М. З., Гелиг А. Х. Об одном виде нечувствительности систем регулирования // Энергомашиностроение. 1964. №1.
5. Rosenthal A. Uber die Existenz der Losungen von Systemen gewöhnlicher Differenticlgle-ichungen // Sitzungsber. Heidelberger Acad. Math.-naturw. Klasse. 19. Abhandl. 1929. S. 3-10.
6. Викторовский Е. Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений // Мат. сб. 1954. Т. 34(76). С. 213-248.
7. Матросов В. М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями. I, II // Дифференциальные уравнения. 1967. 3. №3, С. 395-409; №5, С. 869-878.
8. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Мат. сб. 1960. Т. 51(93). №1. С. 93-128.
9. Понтрягин Л. С., Болтянский Б. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Р. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.
10. Болтянский Б. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.
11. Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем // Автоматика и телемеханика. Ч. I: 1974, №7. С. 33-37; ч. II: 1974, №8, С. 39-61.
12. Marchaud A. Sur les champs continus de demi-cones convexes et leurs integrales // C. R. Acad. Sci. Paris. 1934. 199: 1278-1280.
13. Marchaud A. Sur les champs continus de demi-cones convexes et leurs integrales // Compo-sitio Math. 1936. 3: 89-127.
14. Zaremba S. Ch. Sur une extension de la notion d’equation differentielle // C. R. Acad. Sci. Paris. 1934. 199: 545-548.
15. Zaremba S. Ch. Sur les equations au paratingent // Bull. Sci. Math. Ser. II. 1936. 60. N5. 139-160.
16. Wazewski T. Sur une condition equvalente à l’equatione au contingent // Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. Sci. Math., Astronom., Phys. 1961. 9: 865-867.
17. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985. 223 с.
18. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.
19. Филиппов А. Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений // Мат. заметки. 1971. Т. 10. №3.
20. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисными нелинейностями // ДАН СССР. 1963. Т. 149. №2. С. 288-291.
21. Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1965. №5. С. 753-768.
22. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками // Автоматика и телемеханика. 1967. №6. С. 5-30.
23. Барабанов Н. Е., Якубович В. А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью // Автоматика и телемеханика. 1979. №12. С. 5-11.
24. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 271 с.
25. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Техника, 1970.
26. Морговский Ю. Я. Импульсные системы управляемой структуры с тиристорными преобразователями. М.: Энергия, 1976.
27. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1993.
28. Gelig A.Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston: Birkhauser, 1998.
29. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and oscillations in pulse-modulated systems: a review of mathematical approaches // Functional Differential Equations. 1996. V. 3. N 3-4. P. 287-320.
30. Гелиг А.Х., Чурилов А. Н. Динамика систем с импульсной модуляцией // Нелинейная теория управления и ее приложения. Динамика, управление, стабилизация / Под ред.
B. М. Матросова, С. Н. Васильева, А. И. Москаленко. М.: Физматлит, 2003. С. 313-339.
31. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Частотные методы в теории устойчивости систем управления с импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 2006. №10.
32. Перестюк Н. А., Самойленко А. М. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Высшая школа, 1987.
33. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of Impulsive Differential Equations. Singapore: World Scientific. 1989.
34. Bainov D. D., Simeonov P. S. Systems with Impulse Effect: Stability, Theory and Applications. New York: Halsted Press, 1989.
35. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive Differential Equations. Singapore: World Scientific, 1995.
36. Tao Yang. Impulsive Control Theory. Lecture Notes in Control and Information Sciences. V. 272. Berlin: Springer-Verlag, 2001.
37. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 312 с.
38. Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991. 255 с.
39. Гелиг А. Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. Л.: Изд-во ЛГУ. 1982.
40. Цъткмн Я. З., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.
41. Якубович В. А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными и линейными нестационарными блоками. I // Автоматика и телемеханика. 1967. №9.
C. 59-72.
42. Якубович В. А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными и линейными нестационарными блоками. II // Автоматика и телемеханика. 1968. №2. С. 81-101.
43. Yakubovich V.A. Absolute stability of nonlinear discrete systems // Revue Roumaine de mathématiques pures et appliquees. 1994. V. 39. N 4. P. 385-389.
Статья поступила в редакцию 22 июня 2006 г.
