CC BY
16
УДК 531.36:534.1 МЯО 34С55
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4 (62). 2017. Вып. 2
УСЛОВИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ С ГИСТЕРЕЗИСНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ*
Т. Е. Звягинцева, В. А. Плисс
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
В статье рассматривается двумерная система автоматического управления, которая содержит один гистерезисный элемент общего вида. Системы такого типа являются математическими моделями реальных систем управления и рассматривались во многих публикациях по данной тематике. В работе построено фазовое пространство системы, представляющее собой многообразие с краем. Сформулированы условия, при выполнении которых система является глобально устойчивой в определенном смысле. При этом использовано понятие «скользящего режима». Библиогр. 16 назв. Ил. 4.
Ключевые слова: система с гистерезисом, глобальная устойчивость, скользящий режим.
Введение. Системы дифференциальных уравнений с гистерезисными нелиней-ностями играют важную роль при исследовании целого ряда прикладных задач. Они используются для описания динамики в инженерных задачах, в задачах теории управления техническими устройствами, в робототехнике и во многих разделах физики, механики, химии. Изучению различных свойств решений таких систем посвящено большое количество работ начиная с сороковых годов прошлого столетия (например, [1-11]). В настоящее время интерес к исследованию систем с различными типами гистерезиса не ослабевает, что объясняется появлением новых прикладных задач и проблем в теории автоматического управления (например, [12-14]).
Для изучения устойчивости стационарного множества таких систем широко применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений, частотные методы и второй метод Ляпунова. Новые результаты и обширную библиографию по данной тематике можно найти, например, в монографии Г. А. Леонова, М. М. Шума-фова, В. А. Тешева [14], в которой даны частотные критерии устойчивости и стабилизации систем с гистерезисными нелинейностями, а также исследована устойчивость некоторых конкретных динамических систем с нелинейностями такого типа.
В данной статье мы рассматриваем двумерную систему автоматического управления, содержащую один нелинейный гистерезисный элемент общего вида. Подобные системы являются математическими моделями реальных систем управления и рассматривались во многих публикациях, например, в работах [3-10, 12-14]. В этой работе мы сформулируем условия, при выполнении которых рассматриваемая система является глобально устойчивой в определенном смысле. При этом мы будем использовать понятие «скользящего режима», теория которого разработана в книге А. Ф. Филиппова [15].
1. Постановка задачи, определение фазового пространства. Глобально притягивающее множество системы. Рассмотрим систему
х = у (1) У = -ау - вх - у (а),
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №16-01-00452). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2017
где а = ау + Ьх, * (а) —гистерезисная нелинейность с характеристикой, представленной на рис. 1.
<р'
-к / / д а -
Рис. 1.
Строгое общее определение гистерезисных нелинейностей дано в работах [5, 6, 11]. В нашем случае гистерезисная функция * (а) состоит из двух ветвей однозначных функций:
* (а )=( * (а)' еслиа | Г5' (2)
[ *2 (а) , если а < 5. 4 у
Здесь 5 > 0, * (а) и *2 (а) —непрерывные, кусочно-дифференцируемые функции, * (а) = —*2 (-а) для всех а > —5, * (±5) = *2 (±5).
Направление обхода петли гистерезиса на рис. 1 указано стрелками: точка (а,* (а)) движется по кривой {(а,* (а)), а Е [—5, 5 ]}, если а убывает с ростом £, и по кривой {(а, *2 (а)), а Е [—5, 5]}, если а возрастает с ростом £.
В этой работе будем предполагать, что Ь2 — ааЬ + а2в = 0, Ь > 0, (а) > —а/а, и существует единственное значение Е (—5, 5), такое что + Ь*1 ) = 0, ва + Ь*1 (а) > 0 при а > , и ва + Ь*1 (а) < 0 при —5 < а < (рис. 1).
Сначала опишем фазовое пространство Р системы (1), которое представляет собой многообразие с краем и состоит из двух листов: Р = Р1 и Р2.
На листе Р1 = {(х, у) : а > —5, а ^^^ < 0} система имеет вид
Г х = у, (3)
\ у = —ау — вх — *1 (а),
а = а 1 = а (—ау — вх — *1 (а)) + Ьу — производная а = ау + Ьх в силу системы (3).
На листе Р2 = {(ж, у) : а < 5, а ^^^ > 0} система выглядит следующим образом:
{ х = у, (4)
\ у = —ау — вх — *2 (а),
где а = а2 = а (—ау — вх — *2 (а)) + Ьу — производная а в силу системы (4). Фазовая точка с листа Р1 на лист Р2 переходит по лучу
= {(х, у) : а = —5, а = а 1 < 0},
с листа Р2 на Р1 — по лучу
¿2 = {(х, у) : а = О, а = <Г2 > 0}.
Множество Г = Г1 и Г2 — край многообразия Р,
Г, = {(х, у) : а € (-0, 0), а, = 0} С Р,, 3 = 1, 2.
Согласно нашим предположениям система (1) имеет по одному положению равновесия на каждом из листов Р1 и Р2. Пусть О1 и О2 — положения равновесия систем (3) и (4) соответственно. Точка О, имеет координаты ((,, 0), где —решение уравнения у, (ЬСд) = -вС,, 3 = 1, 2.
Решением системы (1) с начальными данными £ = то, (хо, уо) € Р1 является решение системы (3) с этими же начальными данными. Траектория этого решения при £ > то либо стремится при £ ^ к положению равновесия О1 системы (3), либо достигает в конечный момент времени множества Г1, либо при некотором £ = Т1 > то выходит на луч ¿1 в точке (х1, У1). В последнем случае решение (1) продолжается при £ > Т1 на лист Р2 и является решением системы (4) с начальными данными
(Т1, хЬ У1).
Аналогично определяется решение системы (1) с начальными данными £ = то, (хо, Уо) € Р2.
Перейдем в системе (1) к новым переменным.
Сначала перейдем к переменным (х, а) и заменим £ на а£:
х = а - 6х,
а = (-аа + 6) а - (а2в - аа6 + б2) х - а2 у (а) .
(5)
Тогда будем иметь
а = (-аа + 6) а - (а2в - аа6 + 62) х - а2у' (а) а (6)
((—аа Ь) а — а2у (а) — <т) .
а2 в - аа6 + 62
Подставим последнее равенство в первое уравнение системы (5):
х = ° ~ а2/3 _ + 62 ((~аа + Ь)а - а2у (а) - <т) . (7)
Из (6), (7) следует равенство
а = -а (а + ау' (а)) а - а2 (ва + 6у (а)), и система (5) эквивалентна уравнению
а + / (а) <7 + С (а) = 0, (8)
где
,, > , , ', ^ Г /1 (а), если а > -0, / (а) = а (а + ау' (а)) = ^ / " ,
[ /2 (а), если а < о,
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4(62). 2017. Вып. 2 229
и
„ , - 2 (п ,7 ( \ \ ( С (а), если а > —5, С (а) = а2 (ва + Ь* (а)) = ^ "с
4 ' " у С2 (а), если а < 5.
Сделаем в уравнении (8) замену переменных, предложенную Льенаром [16]. Понизим порядок уравнения, считая а новой независимой переменной, а V (а) = <г — новой неизвестной функцией. Тогда уравнение принимает вид
у— + /(а)у + С(а)= 0. (9)
Замена и = V + Р (а), где Р (а) = а (аа + а* (а)) = (р (а) — первообразная / (а), = 1, 2) приводит (9) к виду
¿и С (а)
Р (а) , если а > —5, Р (а), если а < 5,
¿а и-Р(а)' ^
Далее будем рассматривать эквивалентную уравнению (10) систему
и=и—), (11)
и = —С (а) . у '
Из сделанных выше предположений следуют равенства Р (а) = — Р2 (—а) и С (а) = —С2 (—а) для всех а > —5, Р (±5) = Р2 (±5), С (±5) = С2 (±5), р (а) > 0 при а > —5. Фазовая поверхность системы (11) тоже является многообразием с краем, которое состоит из двух листов Р = Р1 и Р2 и аналитически задается аналогично тому, как это было сделано для системы (1). Переход фазовой точки с одного листа на другой осуществляется по лучам перехода ¿1, Ь2.
Система (11) имеет по одному положению равновесия на каждом из листов: положение равновесия О^ на листе Pj имеет координаты (^, ^), где £ = Е (—5, 5), Сj ) = 0, п = Р )• Кроме того, выполняются неравенства С1 (а) > 0 при а > £1 и С (а) < 0 при —5 < а < £1.
Введем следующие обозначения:
Г+ = Г1 П {(а, и) : —5 < а < £1}, Г+ = Г2 П {(а, и) : £2 < а < 5}.
Пусть 5 = 2 /— С 1 (а) ¿а. Заметим, что 5 = 2а2Ь *1 (а) ¿а — площадь петли гистерезиса, умноженная на коэффициент а2Ь.
Теорема 1. Если выполнено неравенство
5< (Р (£1) + Р (5))2, (12)
то любая траектория системы (11) при увеличении времени попадает на одну из дуг Г+, Г+.
Доказательство. Рассмотрим на множестве = Р1 П {(а, и) : а > £1} линии уровня функции Ляпунова
1 /• ^
П (а, и) = 1(и-Р1 (а))2 + [ С1 (а) ¿а. (13)
2
Производная функции (13) в силу системы (11) VI (а, и) = —F1 (а) (и — F1 (а)) отрицательна на . Также рассмотрим на множестве = Р1 П {(а, и) : а < £1} линии уровня функции
1
У2 (а, u) = \{u-F1 (a))2 + Г Gi И da.
2 Je i
(14)
Производная функции (14) в силу системы (11) V2 (а, u) = — G (а) (F1 (а) — F1 )) отрицательна на •
Рис. 2.
Построим на фазовой поверхности семейство вложенных друг в друга замкнутых кривых. Траектории системы (11) пересекают эти кривые «снаружи внутрь».
Линия уровня функции VI, проходящая через произвольную точку А (6,и1) на луче Ь2 (и1 > F1 (6)), пересекает луч {(а, и): а = , и < п1} в некоторой точке В , и2). Линия уровня функции V'}, проходящая через В , и2), либо попадает на луч Ь1 в некоторой точке С (—6, и3) (рис. 2), либо достигает края Г1 листа Р1 в некоторой точке Б (а3, F1 (а3)), где а3 Е (—6, ) (рис. 3).
Если ггх > гг, где й = ^ (5) + ^(^ (¿ц) + (£))2 — то линия уровня V2, проходящая через точку В попадает на Ь1 в точке С. При этом
«з = (Ы " ^(«1 -РШУ + Я.
Покажем, что из > —и1 для всех и1 > и. Для этого рассмотрим функцию
Д Ы = и! + ^ (6) - ^(«1 +
(15)
Легко показать, что R (u1) возрастает (dR/du1 > 0) и R (u) = F1 (—6) = —F1 (S) при выполнении условия (12). Следовательно, u3 > — u1, и кривая ABC на листе P1,
симметричная ей кривая А' В' С' на листе Р2 и отрезки С А' и АС' (рис. 2) составляют замкнутый контур, который траектории системы (11) пересекают «снаружи внутрь».
Если (5) < и\ < и, то линия уровня функции У2, проходящая через точку В, достигает Г1 в точке О, и описанную выше кривую АВО С Р1 траектории системы (11) тоже пересекают «снаружи внутрь».
В точках (а, и) кривой Г1 имеем следующее направление поля: а = 0, и > 0, если —5<а<£1 ,и и < 0, если < а < 5. Следовательно, траектории системы (11) на листе Р1 с начальными данными, лежащими внутри множества Т1, ограниченного кривыми АВО и Г1 и отрезком {(5, и) : Р1 (5) < и < и1} (рис.3), достигают края многообразия Р в точках множества Г1 П {(а, и) : —5<а < £1}.
В силу симметрии поля все траектории системы (11) на листе Р2 с начальными данными внутри множества Т2, симметричного Т1, достигают края многообразия Р в точках множества Г2 П {(а, и) : £2 < а < 5}.
Таким образом, траектории системы (11) с любыми начальными данными достигают края многообразия Р в точках множества Г+.
Теорема доказана.
2. Поведение решений системы при достижении края фазового пространства. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда любое решение системы (11) попадает за конечное время на одну из дуг Г+\{01}, Г+\{02} или, может быть, стремится при £ ^ к одному из состояний равновесия 01, 02.
Рассмотрим поведение решений системы (11), попадающих за конечное время, например, на дугу Г+\ {01}.
Пусть решение (а (£), и (£)) с начальными условиями £ = £0, (ао, и0) Е Р1 при £ = £1 > £0 попадает на Г+ в некоторой точке М1 (а1, Р1 (а1)), —5 < а1 < £1. Обозначим через 7м 1 вектор поля системы (11) в точке М1, координаты этого вектора: (0, —(а1)), где —(а1) > 0 при — 5 < а1 < £1.
Согласно теории скользящих режимов, развитой в книге А.Ф. Филиппова [15], траектория этого решения (а (£), и (£)) не останавливается в точке М1, а «по инер-
ции» проходит по направлению вектора 7м 1 на величину 51 1\, где —достаточно малое положительное число, \7м 1 \ —длина вектора 7м 1, и попадает в точку М2 с координатами (о2, и2) = (а1, (а1) — 5С1 (а1)) Е Р2 (рис.4), после чего вступает в силу система (11) на листе Р2.
Рис. 4.
Пусть 7м2 — вектор поля системы (11) в точке М2 Е Р2, координаты вектора 7м2: (и2 — ^2 (^2) , —^2 (02)), где и2 — ^2 (^2) > 0, —^2 (^2) > 0 при — 5 < 02 < £1 и малом 51. Если угол наклона вектора 7м2 в точке М2 меньше угла наклона касательной к кривой Г1 в точке М1, то есть при о = о1 выполнено условие
то траектория системы (11), двигаясь «по инерции» в направлении вектора 7м2 на величину 52 \7м2 \ , где 52 — достаточно малое положительное число, 52 < 51, пересечет дугу Г1 и попадет в некоторую точку М3 (о3, и3) Е Р1 внутри петли гистерезиса. После этого снова вступает в силу система (11) на листе Р1, и процесс повторяется при выполнении условия (16) для о = 03.
Таким образом, в системе (11) возникает скользящий режим. Условие его наличия в системе заключается в том, что в каждой точке М (о, (о)) Е Г+ угол наклона векторного поля системы (11) на листе Р2 меньше угла наклона касательной к кривой Г+ С Р1, что и реализуется при выполнении условия (16) для каждого о Е (—5, £1). При этом фазовая точка непрерывно переходит с траектории системы (11) на листе Р1 на траекторию этой системы на листе Р2 и обратно, как бы скользя вдоль линии переключения Г+. Число переключений стремится к бесконечности
при t ^ и точка текущего состояния системы асимптотически приближается к состоянию равновесия O\.
Поведение решений системы (11), попадающих за конечное время на дугу Г+\ {O2}, аналогично: при t ^ фазовая точка скользит вдоль линии переключения Г+ и стремится к состоянию равновесия O2.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть выполнено условие (12) и для каждого а € ( — 5, £1) верно неравенство (16), тогда любое 'решение системы (11) при t ^ стремится к одному из состояний равновесия O1, O2.
Это и означает, что система (11) глобально устойчива.
Литература
1. Андронов А. А., Баутин Н.Н. Об одном вырожденном случае общей задачи прямого регулирования // Доклады АН СССР. 1945. Т. 46, №7. С. 304-306.
2. Фельдбаум А. А. Простейшие релейные системы автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1949. № 10. С. 249-260.
3. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / под ред. Р. А. Нелепина. М.: Наука, 1975. 447 с.
4. Попов В. М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1961. №8. С. 961-973.
5. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гисте-резисными нелинейностями // Доклады АН СССР. 1963. Т. 149, №2. С. 288-291.
6. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками // Автоматика и телемеханика. 1967. №6. С. 5-30.
7. Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1965. № 9. С. 753-768.
8. Барабанов Н.Е., Якубович В. А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью // Автоматика и телемеханика. 1979. №12. С. 5-11.
9. Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.
10. Цыпкин Я. З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. 575 с.
11. Красносельский М.А. Покровский А. В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 271 с.
12. Камачкин А. М., Шамберов В. Н. Отыскание периодических решений в нелинейных динамических системах. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2002. 86 с.
13. Шумафов М. М. Устойчивость систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями // Вестн. Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4. 2012. №3(106). С. 1-12.
14. Леонов Г. А., Шумафов М.М., Тешев В. А. Устойчивость систем с гистерезисом. Майкоп: Изд-во Адыгейского гос. ун-та, 2012. 178 с.
15. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
16. Немыцкий В. В, Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: ГИТТЛ, 1947. 448 с.
Статья поступила в редакцию 19 ноября 2016 г.; рекомендована в печать 22 декабря 2016 г. Сведения об авторах
Звягинцева Татьяна Евгеньевна — кандидат физико-математических наук, доцент; zv_tatiana@mail.ru
Плисс Виктор Александрович — доктор физико-математических наук, профессор; vapliss@yandex.ru
CONDITIONS FOR THE GLOBAL STABILITY OF A SINGLE SYSTEM WITH HYSTERESIS NONLINEARITY
Tatiana E. Zviagitceva, Viktor A. Pliss
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; zv_tatiana@mail.ru, vapliss@yandex.ru
In this paper, a two-dimensional automatic control system containing a single nonlinear hysteresis element of the general form is considered. Such systems represent mathematical models for real control systems, and have been considered in many papers on the subject. A system phase space, which is a manifold with boundary, is established. The conditions needed for the considered system to be globally stable, in a certain sense, are derived. A notion of "sliding mode" is used in this paper. Refs 16. Figs 4. Keywords: system with hysteresis, global stability, sliding mode.
References
1. Andronov А. А., Bautin N.N., "A degenerate case of the general problem of direct regulation", Doklady Akademii Nauk SSSR 46(7), 304-306 (1945) [in Russian].
2. Fel'dbaum A. A., "Simple relay automatic control system", Avtomatika i telemekhanika (10), 249260 (1949) [in Russian].
3. "Methods for the study of nonlinear systems of automatic control" (ed. by R. A. Nelepin, Nauka Publ., Moscow, 1975, 447 p.) [in Russian].
4. Popov V. М., "Absolute stability of nonlinear systems of automatic control", Avtomatika i telemekhanika (8), 961-973 (1961) [in Russian].
5. Yakubovich V. A., "Frequency conditions for the absolute stability of controlled systems with hysteresis nonlinearities", Doklady Akademii Nauk SSSR 149(2), 288-291 (1963) [in Russian].
6. Yakubovich V. A., "Frequency conditions for the absolute stability of control systems with multiple non-linear or linear non-stationary units", Avtomatika i telemekhanika (6), 5-30 (1967) [in Russian].
7. Yakubovich V. A., "The method of matrix inequalities in the theory of stability of nonlinear controlled systems. III. Absolute stability of systems with hysteresis nonlinearities", Avtomatika i telemekhanika (9), 753-768 (1965) [in Russian].
8. Barabanov N. E., Yakubovich V. A., "Absolute stability of control systems with one hysteresis nonlinearity", Avtomatika i Telemehanika (12), 5-11 (1979) [in Russian].
9. Gelig A.H., Leonov G.A., Yakubovich V. A., "Stability of nonlinear systems with a nonunique equilibrium state" (Nauka Publ., Moscow, 1978, 400 p.) [in Russian].
10. Tsypkin Ya. Z., "The relay automatic system" (Nauka Publ., Moscow, 1974, 575 p.) [in Russian].
11. Krasnosel'skiy M.A., Pokrovskiy A. V., "Systems with hysteresis" (Nauka Publ., Moscow, 1983, 271 p.) [in Russian].
12. Kamachkin A. M., Shamberov V. N., "The determination of periodic solutions of nonlinear dynamical systems" (St. Petersburg University Press, St. Petersburg, 2002, 86 p.) [in Russian].
13. Shumafov M.M., "Stability of systems of differential equations with hysteresis nonlinearities", Vestnik of Adyghe State University. Series 4 3(106), 1-12 (2012) [in Russian].
14. Leonov G.A., Shumafov M.M., Teshev V.A., "Stability of systems with a hysteresis" (Adyghe State University Publ., Maikop, 2012, 182 p.) [in Russian].
15. Filippov A. F., "Differential equations with discontinuous right-hand side" (Nauka Publ., Moscow, 1985, 224 p.) [in Russian].
16. Nemitskii V.V., Stepanov V.V., "Qualitative theory of differential equations" (GITTL Publ., Moscow, Leningrad, 1947, 448 p.) [in Russian].
Для цитирования: Звягинцева Т. Е., ПлиссВ.А. Условия глобальной устойчивости одной системы с гистерезисной нелинейностью // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 2. С. 227-235. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.206
For citation: Zviagitceva T. E., Pliss V. A. Conditions for the global stability of a single system with hysteresis nonlinearity. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 2, pp. 227-235. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.206
