H-модели одного класса термических процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

Переменная и3 исключается из оценки регрессии, так как оценка соответствующего ей параметра ся3 имеет наибольшее значение. При условии, что отсутствие и3 не приводит к увеличению ошибки аппроксимации (этот вопрос решается исследователем).

Численные исследования. Рассмотрим случай, когда X зависит от четырёх компонент вектора и, однако, влияние одной из компонент, а именно и4, на выход объекта незначительно. В результате выборка наблюдений представлена в виде:

{х,, и{, м2, и3, и'4, 1 — 1,я}, и1 е[0;3], и2 е [0;3],

и3 е [0,3], и4 е [0;3]. Объем выборок я = 500. Помеха

составляет 5 % от результата измерений соответствующих переменных. Истинный выход объекта описывается уравнением

х(и1, и2, и3, и4) = 0,4и12 + 0,3и^ + 0,2и4 + 0,1и4 .

Зависимость х = /(и1, и2, и3, и4) ищется в виде оценки:

Е X,- Ф(с-11(И1 - и/))Ф(с-2(И2 - и2 ))Ф(с^(И3 - и3 ))Ф(с^(И4 - и4 ))

X^ (И1, и2, И3, И4) — ■

Е

(4)

Ф(с-11(И1 - и1 ))Ф(с-2(^ - и2 ))Ф(с-^(И3 - и3 ))Ф(с-4 (и4 - и4 ))

Оценки параметров размытости сД , ся2, ся3, 4 определяются путём решения задачи минимизации среднеквадратического критерия (2) в режиме скользящего экзамена. В результате ее решения были найдены следующие оценки параметров размытости: = 1, с в 2 — 0,4, сй — 0,2, — 4,1. Используя приведенное выше правило, делаем вывод, что компонента вектора и , а именно и4 , оказывает несущественное влияние на значения х — /(и1,и2, и3, и4), т. е. х слабо зависит от и4. В соответствии с приведенным выше правилом переменная и4 исключается из оценки регрессии. Средне-

квадратическая ошибка в данном случае составила 52 — 0,353.

Построим оценку (4) х по четырем переменным и1, и2, и3, и4. Среднеквадратическая ошибка увеличилась, она составила 0,361.

Библиографическая ссылка

1. Надарая Э. А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. Тбилиси : Изд-во Тбил. ун-та. 1983.

© Безмен Д. В., Медведев А. В., 2011

1—1

1—1

УДК 519.6

Р. С. Бойко, Я. И. Демченко Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

Н-МОДЕЛИ ОДНОГО КЛАССА ТЕРМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Рассматривается задача моделирования термического процесса разложения жиров. Показано, что исследуемый процесс представляет собой трубчатую структуру в пространстве переменных. Для моделирования этих процессов целесообразным оказывается использование Н-модели. Приводятся результаты численных исследований на примере.

При моделировании разнообразных дискретно-непрерывных процессов в настоящее время доминирует параметрическая идентификация [1]. Ее содержание заключается в том, что на первом этапе каким-либо образом определяется параметрический класс операторов, а на втором этапе осуществляется оценка параметров а на основе имеющейся выборки

{х,, 1 — 1, я}, я - объем выборки. В этом случае, параметрическая модель процесса выглядит следующим образом:

У( х) — / (х, а), где х е х) с К", п - размерность пространства.

(1)

В случае так называемого «трубчатого» процесса, который протекает не во всей области определения, а только в узко ограниченной ее части, (1) преобразуется в непараметрическую Н-модель вида [2]:

уН (х) — / (х, а)9Н (х), (2)

где 6Н (х) - непараметрический Н-индикатор. Он определяется, как

я п х. — х ..

еН &,..., хп) — звп 2ПФ(-^), (3)

1—11—1 С8

где Ф() - колоколообразная функция; Ся - параметр размытости. В качестве колоколообразной, например, может использоваться функция

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

л,х-х.ч 11, если Х - хл < С,

Ф(-'-) = -! 1 '' 1

С 10, иначе

(4)

Рассмотрим численный пример:

В практике приготовления пищи обычно используют растительный жир. Нагрев осуществляется длительное время (1-3 часа) при температуре от 180 °С. При таком нагреве жира в его химическом составе происходит ряд процессов, результатом которых является накопление тяжелых трудно усваиваемых трансизомеров. Большинство этих продуктов распада жира являются канцерогенами (вызывающими раковые заболевания) и представляют опасность для здоровья человека.

В работе были использованы данные автореферата Журавлевой Л.Н. «Изучение окисления растительных масел при высокотемпературном нагреве во фритюре и разработка способов повышения их стабильности».

Обозначим х1 - содержание СЖК; х2 - содержание ГП, х3 - содержание ВП, х4 - содержание полимеров; х5 - коэффициент преломления; х6 - изменение плотности; х7 - перекисное число; х8 - анизиди-

новое число, объем выборки для каждого из векторов , = 9. Значения переменных принадлежат следующим численным интервалам:

х1 е [4,...,1б], х2 е [0.06,...,0.25], х3 е [15,...,358], х4 е [0.05,...,0.44], х5 е [1.475,. . .,1.477], х6 е[0.9138,...,0.9174], х7 е[3,...,8], х8 е [8.4,...,356].

Для определения степеней связей была рассчитана корреляционная матрица, значения коэффициентов корреляции которой принадлежат интервалу Следовательно, переменные х1,... , х8 линейно зависят друг от друга.

Используя метод наименьших квадратов, была вычислена матрица параметров и получены параметрические модели. Ниже приведен пример одной такой модели:

~ = -47,17 - 2,42х2 + 0,03х3 + 32,47х4 +

где е с Я8, Х1 = {х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8}.

Подобные модели были получены также для векторов Х2, xз, X4, X5, x6, X7, Х8 .

Проверим полученную модель х~1 , подставив в (5) х2 = 0,25, х3 = 358, х4 = 0,44, х5 = 1,475, х6 = 0,9138, х7 = 3 , х8 = 8,4 из допустимых интервалов определения переменных. Получим ЗХ1 = 26,747, что выходит за допустимые границы определения х1 . Следовательно, можно сделать вывод о «трубчатом» характере процесса и о неадекватности параметрической модели х1 .

Построим непараметрическую Н-модель вида:

~1Н = (-47,17 - 2,42х2 + 0,03х3 + 32,47х4 + + 14,2х5 + 30,92х6 + 0,08х7 -0,03х8)0Н(Х2,...,Х8)'

где 0Н(Х2,...,Х8) определяется по формуле (3), а ~Н еПН (Х1) сП( Х1) с Я8.

Выполнив вышеописанную проверку, получаем ~1Н = 0, т. е. в данном случае ~1Н е (п(Х1)-ПН(Х1)), где процесс не протекает.

Таким образом, доказана «трубчатая» структура процесса.

Непараметрические Н-модели для векторов Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7, Х8 были построены аналогичным образом.

Полученные модели могут быть использованы при анализе качества жира для жарки при минимальных затратах на эксперименты и пробы.

Библиографические ссылки

1. Медведев А. В. Анализ данных в задаче идентификации // Компьютерный анализ данных моделирования. Т. 2. Минск :БГУ, 1995.

2. Медведев А. В. Теория непараметрических систем. Моделирование // Вестник СибГАУ. Красноярск, 2010. Вып. 4.

+ 14,2х5 + 30,92х6 + 0,08х7 - 0,03х8,

(5)

© Бойко Р. С., Демченко Я. И., Медведев А. В., 2011

УДК 519.68

К. Ю. Брестер Научный руководитель - Е. С. Семенкин Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

Рассматривается возможность решения задач безусловной оптимизации многоэкстремальных функций одной и двух переменных с использованием генетических алгоритмов. Разработанная программная система, реализующая алгоритм, исследована на тестовых функциях. Полученные результаты проанализированы с помощью непараметрического критерия Вилкоксона.

Задачи оптимизации многоэкстремальных функций вещественных переменных могут быть решены с использованием генетических алгоритмов [1]. В связи

с этим была создана программная система, реализующая данную возможность. На рисунке приведено рабочее окно системы.