Об определении существенных переменных в задачах восстановления функции регрессии по наблюдениям

Безмен Д.В.; Медведев А.В.

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

Пример созданного программой чертежа фрезы для обработки валов с треугольным профилем шлица представлен на рисунке.

При разработке программ особое внимание было уделено созданию «дружественного» интерфейса, сопровождаемого обширными справочными и пояснительными материалами и позволяющего облегчить как работу пользователя САПР, так и возможность использования разработанного модуля в учебных целях.

Представленная САПР «Червячная шлицевая фреза» является подсистемой «САПР режущего инструмента», разрабатываемой студентами и сотрудниками кафедры «Машиностроительных и металлургических технологий» Хакасского технического института -Филиала ФГАОУ ВПО « Сибирский федеральный университет».

УДК 62.506.1

Д. В. Безмен Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ СУЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧАХ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ РЕГРЕССИИ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ

Рассматривается задача выделения существенных переменных при моделировании безынерционных объектов. Предлагается методика отыскания несущественной переменной с использованием непараметрического оценивания регрессионных зависимостей. Основная идея состоит в выборе вектора параметров размытости, связанных с каждой компонентой вектора входных переменных.

Пусть исследуемый процесс по одному из каналов описывается регрессионной характеристикой вида х = f (mj,...,un), где плотности вероятности p(x) > 0 Vx е Q(x) и p(y) неизвестны. Тогда для восстановления f(uJ,...,un) = M{x|u} по статистически независимой выборке из s наблюдений (uJ,xJ),(u2,x2),...,(us,xs), где ui = (uJ,...,un). Для аппроксимации неизвестной функции в условиях непараметрической неопределенности часто используют регрессию, непараметрическая оценка которой имеет вид [1]:

xs (uJ,..., un ) =

= £xП^-Ч -uj)) £Пф(с-1(м; -uj(J)

i=j j=J / i=j j=J

где Ф(Zj) - некоторая колоколообразная функция («ядро»), обладающая свойствами сходимости [4],

Uj - U1: -

Zj =-, j = J,s а cs - коэффициент размыто-

c ■

sj

сти, удовлетворяющий условиям: cs > 0, s = 1,2, ..., lim cs = 0, lim scsn = да. В дальнейшем из соображе-

s -^да s^rn

ний простоты опустим обозначение запаздывания. Существенным в оценке (J) является то, что в соответствие каждой компоненте вектора u =(uJ,м2,..,un) ставится компонента вектора cs = (csJ,...,csn).

Параметр csj- настраивается исходя из условия минимума среднеквадратического критерия в режиме скользящего экзамена:

W(Cj) = s- £ (x(Ui) - xs(Ui, csj))2 —min . (2)

i=J

Прежде, чем решать задачу (2), проведем центрирование и нормирование компонент вектора u =(uJ, u2,.., un) на основании наблюдений us =(uJ,м2,..,us). В результате решения задачи (2) будут найдены компоненты вектора cs, где j = J,2,..., n . Имея численные значения компонент вектора cs, составим цепочку неравенств. Допустим, что в частном конкретном случае она примет следующий вид:

cs2 < cs3 < csJ < ... < csn < cs4 < ... < cs5 , (3)

где цифрами помечены компоненты вектора cs.

В этом случае справедливо следующее

Правило: наименьшее влияние на значение x(uJ,...,un) оказывает та компонента вектора м , которой соответствует наибольшее значение оптимальной оценки компоненты параметра размытости вектора

cs = fe,.. csn ) .

В частности, анализируя цепочку неравенств (3), можно сделать вывод, что наименьшее влияние на значение x(uJ,..., мп) оказывает компонента u 5.

Пример. Пусть при решении задачи оптимизации (2) (n = 5) были найдены оценки параметров размытости: csJ = 0,05 , cs2 = 0,01, cs3 = 0,( cs5 = 0,3 . Составим цепочку неравенств:

?s 4 = 0,4,

s2 < csJ < cs5 < cs4 < cs3

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

Переменная и3 исключается из оценки регрессии, так как оценка соответствующего ей параметра ся3 имеет наибольшее значение. При условии, что отсутствие и3 не приводит к увеличению ошибки аппроксимации (этот вопрос решается исследователем).

Численные исследования. Рассмотрим случай, когда X зависит от четырёх компонент вектора и, однако, влияние одной из компонент, а именно и4, на выход объекта незначительно. В результате выборка наблюдений представлена в виде:

{х,, и{, м2, и3, и'4, 1 — 1,я}, и1 е[0;3], и2 е [0;3],

и3 е [0,3], и4 е [0;3]. Объем выборок я = 500. Помеха

составляет 5 % от результата измерений соответствующих переменных. Истинный выход объекта описывается уравнением

х(и1, и2, и3, и4) = 0,4и12 + 0,3и^ + 0,2и4 + 0,1и4 .

Зависимость х = /(и1, и2, и3, и4) ищется в виде оценки:

Е X,- Ф(с-11(И1 - и/))Ф(с-2(И2 - и2 ))Ф(с^(И3 - и3 ))Ф(с^(И4 - и4 ))

X^ (И1, и2, И3, И4) — ■

Е

(4)

Ф(с-11(И1 - и1 ))Ф(с-2(^ - и2 ))Ф(с-^(И3 - и3 ))Ф(с-4 (и4 - и4 ))

Оценки параметров размытости сД , ся2, ся3, 4 определяются путём решения задачи минимизации среднеквадратического критерия (2) в режиме скользящего экзамена. В результате ее решения были найдены следующие оценки параметров размытости: = 1, с в 2 — 0,4, сй — 0,2, — 4,1. Используя приведенное выше правило, делаем вывод, что компонента вектора и , а именно и4 , оказывает несущественное влияние на значения х — /(и1,и2, и3, и4), т. е. х слабо зависит от и4. В соответствии с приведенным выше правилом переменная и4 исключается из оценки регрессии. Средне-

квадратическая ошибка в данном случае составила 52 — 0,353.

Построим оценку (4) х по четырем переменным и1, и2, и3, и4. Среднеквадратическая ошибка увеличилась, она составила 0,361.

Библиографическая ссылка

1. Надарая Э. А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. Тбилиси : Изд-во Тбил. ун-та. 1983.

1—1

УДК 519.6

Р. С. Бойко, Я. И. Демченко Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

Н-МОДЕЛИ ОДНОГО КЛАССА ТЕРМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Рассматривается задача моделирования термического процесса разложения жиров. Показано, что исследуемый процесс представляет собой трубчатую структуру в пространстве переменных. Для моделирования этих процессов целесообразным оказывается использование Н-модели. Приводятся результаты численных исследований на примере.

При моделировании разнообразных дискретно-непрерывных процессов в настоящее время доминирует параметрическая идентификация [1]. Ее содержание заключается в том, что на первом этапе каким-либо образом определяется параметрический класс операторов, а на втором этапе осуществляется оценка параметров а на основе имеющейся выборки

{х,, 1 — 1, я}, я - объем выборки. В этом случае, параметрическая модель процесса выглядит следующим образом:

У( х) — / (х, а), где х е х) с К", п - размерность пространства.

(1)

В случае так называемого «трубчатого» процесса, который протекает не во всей области определения, а только в узко ограниченной ее части, (1) преобразуется в непараметрическую Н-модель вида [2]:

уН (х) — / (х, а)9Н (х), (2)

где 6Н (х) - непараметрический Н-индикатор. Он определяется, как

я п х. — х ..

еН &,..., хп) — звп 2ПФ(-^), (3)

1—11—1 С8

где Ф() - колоколообразная функция; Ся - параметр размытости. В качестве колоколообразной, например, может использоваться функция

Об определении существенных переменных в задачах восстановления функции регрессии по наблюдениям Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Безмен Д. В., Медведев А. В.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Безмен Д. В., Медведев А. В.

Текст научной работы на тему «Об определении существенных переменных в задачах восстановления функции регрессии по наблюдениям»