К задаче моделирования Н-процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

6,000000 5,00DDDD 4,DDDDDD 3,OODODD Z,0DD0DD 1J000000 D,DDDDDD

..................

10

ZD

5D

30 40

номер корня

Рис. 4. Коэффициенты собственных частот r при n = 60

6D

70

Библиографические ссылки

1. Карлов Н. В., Кириченко Н. А. Колебания, волны, структуры : научное издание. М. : Физматлит, 2003. 492 с.

2. Садовская О. В., Садовский В. М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М. : Физматлит, 2008. 368 с.

References

1. Karlov N. V., Kirichenko N. A. Kolebanija, volny, struktury: nauchnoe izdanie. M. : Fizmatlit, 2003. 492 p.

2. Sadovskaya O. V., Sadovskii V. M.

Matematicheskoe modelirovanie v zadachah mehaniki sypuchih sred. M. : Fizmatlit, 2008. 368 p.

© Ченцов Е. П., Садовский В. М., 2014

УДК 519.234

К ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ Я-ПРОЦЕССОВ

Е. А. Чжан

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 Е-mail: [email protected]

Рассматривается задача идентификации процессов со стохастической зависимостью входных переменных - Н-процессов. Область значений входных-выходных переменных такого процесса много меньше регламентированной области. Предлагается алгоритм оценивания области протекания Н-процесса методами статистического моделирования.

Ключевые слова: параметрическая и непараметрическая идентификация, «трубчатый» процесс, индикаторная функция, статистическое моделирование.

TO THE PROBLEM OF H-PROCESSES MODELING

E. A. Chzhan

Siberian Federal University 79, Svobodny prosp., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation. E-mail: [email protected]

The problem of process identification with stochastic dependence of the input variables is considered (H-process). Area of such process behavior is much smaller than the regulated area. Algorithm for estimating the area of the H-process via statistical modeling methods is proposed.

Keywords: parametric and nonparametric identification, "tubular" process, indicators, indicator function, statistical modeling.

На практике при изучении реальных технологических или производственных многомерных процессов возникает задача построения моделей в условиях малой априорной информации. В этом случае получить адекватную модель можно при наличии стохастической зависимости между входными переменными. Однако как определить, существует ли эта зависимость? Ведь при идентификации процессов исследователю априорно неизвестно, является ли процесс

«трубчатым» или нет [1]. В случае большой размерности вектора входных переменных выявление зависимости между ними - трудоемкая и порою неразрешимая задача. В этом случае определить, «трубчатый» процесс или нет, поможет оценивание объема области протекания процесса.

Рассмотрим «трубчатый» процесс, представленный на рисунке. Из соображения простоты рассмотрим трехмерный объект, у которого две входные пе-

Решетневские чтения. 2014

е Я1 и одна выходная х е Я1.

ременные м1

Причем входные переменные процесса связаны стохастической зависимостью, вид которой исследователю неизвестен.

Интервалы изменения входных-выходных переменных (, и2, х) е Я3 всегда известны из технологического регламента, технических условий (ТУ) или из требований ГОСТ. Без нарушения общности выделим в Я3 единичный куб. На рисунке куб - это интервалы измерения переменных, область возможных значений согласно требованиям. Реально протекающий процесс же принадлежит подобласти 0.н (и1,и2,х)сй(и1,и2,х), которая никогда не известна. Область 0й (и1, и2, х) и есть область протекания «трубчатого» процесса.

гиперкуба. Оценивать объем области протекания процесса будем с помощью метода Монте-Карло.

Оценивание объема области протекания процесса. Согласно методу Монте-Карло, будем генерировать точки в гиперкубе, т. е. в области существования входных и выходных переменных, и с помощью индикаторной функции определять, принадлежат ли они Я-процессу. Индикаторная функция имеет следующий вид:

I,(и) = sgn(sсs)£П Ф( ( - и/)),

(1)

г=1 }=1

где параметр размытости ядра с, и колоколообразная

функция ф(с-1 (и^ - и/)) удовлетворяют некоторым

условиям сходимости [2].

Таким образом, оценка объема «трубчатой» области будет иметь следующий вид:

Vн = —V.

(2)

Общая схема «трубчатого» процесса

Таким образом, и1 е[0;1], и2 е[0;1], х е[0;1], а триада (и1, и2, х)еПн (и1, и2, х). Ясно, что не каждое значение триады (,и2,х), полученное в эксперименте или измеренное на реальном процессе, будет принадлежать единичному кубу ^(м1,и2,х). Следует отметить, что в теории идентификации области □ и2,х), ^(и1,и2), 0.(и1), 0.(и2), &(х) всегда

известны, а область 0.н (и1, и2, х) не известна никогда. В случае стохастической независимости входных переменных процесса, 0й (и1, и2, х) совпадает

с □(и1, и2, х), т. е. 0й (и1, и2, х ) = П(и1, и2, х).

Регламентированная область протекания процесса всегда определена границами допустимых значений входных и выходных переменных. Таким образом, процесс протекает в некотором гиперкубе, объем которого всегда известен. Если же входные переменные связаны стохастической зависимостью, то область протекания процесса много меньше объема данного

где 5 - объем генерируемой выборки; 5й - число точек, принадлежащих «трубчатой» области; V - объем гиперкуба.

Численное моделирование. Рассмотрим результаты моделирования линейного объекта, описываемого следующей системой уравнений:

Г х = 0,7и1 + 0,3и2 + 4,

[и2 = и1 + у,

(3)

где 4, у - случайные величины, распределенные в интервале [-0,05;0,05] по равномерному закону и1,и2,х е[0;3]. Все переменные распределены в интервале [0;3], легко вычислить объем гиперкуба: V = 3 • 3 • 3 = 27 куб. ед.

Для данного объекта примем Я-модель:

=(а1и1 +а2и2 К (и).

(4)

О необходимости использовать индикаторную функцию при моделировании Я-процессов подробно изложено в [3]. Объем области протекания данного процесса будем определять с помощью формулы (1). Результаты моделирования при разном уровне помех и объемах выборок приведены в таблице.

С увеличением объема выборки величина оценки практически не меняется, а лишь колеблется относительно значения 3,753 в первом случае и 5,15 - во втором.

Оценивание объема области протекания «трубчатого» процесса (3.4.1)

№ 5 Н / / 5 Vй

4, у е [-0,05; 0,05]

1 100 14 0,14 3,78

3 500 66 0,132 3,564

4 1000 139 0,139 3,753

у е [-0,1;0,1]

1 100 19 0,19 5,13

3 500 84 0,168 4,536

4 1000 195 0,195 5,265

Очевидным является тот факт, что с увеличением уровня случайных воздействий и у объем «трубчатой» области увеличивается.

Библиографические ссылки

1. Медведев А. В. Анализ данных в задаче идентификации // Компьютерный анализ данных моделирования. Минск : БГУ, 1995. Т. 2. С. 201-206.

2. Надарая Э. А. Непараметрические оценки плотности вероятности и кривой регрессии. Тбилиси : Изд-во Тбил. ун-та, 1983. 194 с.

3. Сергеева Н. А., Корнеева А. А., Чжан Е. А. Об особенностях непараметрического моделирования Я-процессов // Тр. XII Всерос. совещания по проблемам управления ВСПУ-2014. (16-19 июня, 2014, г. Москва). С. 3243-3254.

References

1. Medvedev A. V. Analiz dannih v zadache identifikacii (Data analysis in the identification problem). Minsk : BGU, 1995, vol. 2, p. 201-206.

2. Nadaraya E. A. Neparametricheskie ocenki plotnosti veroyatnosti i krivoj regressii (Non-parametric estimation of the probability density and the regression curve). Tbilisi, izd. Tbil. un-t (publishing house of the University of Tbilisi), 1983, 194 p.

3. Sergeeva N. A., Korneeva A. A., Chzhan E. A. Ob osobennostjah neparametricheskogo modelirovanija H-processov (About the features of the non-parametric modeling H-processes). Trudy XII Vserossijskogo soveshhanija po problemam upravlenija VSPU-2014 Moscow, 16-19 of June, 2014. 3243-3254 p.

© E. A., 2014

УДК 521.182

МОДЕЛЬ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ ДЛЯ СПУТНИКОВ СИСТЕМЫ ГЛОНАСС

И. Н. Чувашов, Т. В. Бордовицына

Научно-исследовательский институт прикладной математики и механики Томского государственного университета Российская Федерация, 634050, г. Томск, ул. Ленина, 36 E-mail: [email protected], [email protected]

Представлена эмпирическая модель светового давления навигационных спутников ГЛОНАСС, которая включает в себя основную модель, обусловленную конструкционными особенностями аппарата, а также ускорения, связанные с эффектом Ярковского на теневом и послетеневом участках траектории навигационных спутников, и ускорения, возникшие в результате отклонения номинальной орбиты спутника в период его нахождения в тени. Кроме того, дан анализ корреляции между параметрами световой модели для каждого спутника.

Ключевые слова: искусственные спутники Земли, световое давление, эффект Ярковского.

MODEL OF RADIATION PRESSURE FOR GLONASS SATELLITES

I. N. Chuvashov, T. V. Bordovitsyna

Research Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Tomsk State University 36, Lenin str., Tomsk, 634050, Russian Federation E-mail: [email protected], [email protected]

An empirical model of the light pressure of navigation satellites GLONASS is presented. The model includes the basic acceleration due to satellite construction characteristics and the acceleration due to the Yarkovsky effect on the shadow and post - shadow parts of the trajectory of navigation satellites, and the acceleration caused by the deviation of nominal orbit of the satellite during its stay in the shade. An analysis of the correlation between parameters of the light model for each satellite is given.

Keywords: artificial earth satellites, radiation pressure, Yarkovsky effect.

При решении геодезических задач с использованием навигационных систем точность моделирования орбит спутников системы ГЛОНАСС должна быть на уровне нескольких сантиметров. Учет светового давления является главной трудностью при определении орбит спутников этой системы. Существуют модели радиационного давления, разработанные в процессе наземных испытаний с учетом конструкционных особенностей спутни-

ков, а также простые эмпирические модели светового давления, полученные по данным измерений в полете. Однако ни те, ни другие не обеспечивают требуемую точность и могут приводить к ошибкам в определении орбит, превосходящим 50 см. Кроме того, в этих моделях не могут быть учтены все особенности ориентации спутников на орбите, включая изменения в режиме ориентации при прохождении тени Земли [1].