Исследование резонансных явлений в блочной среде на основе дискретной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

9. Sidorov M. Yu., Zablotskiy S. G., Semenkin E. S., Minker W. Evolutionary design of neural networks for forecasting of financial time series // Bulletin SibSAU. 2012. № 4. P. 106-110.

10. Semenkin E. S., Shabalov A. A. Intelligent information technologies in time series forecasting // Bulletin SibSAU. 2013. № 4 (50). P. 128-134.

© XpHTOHeHKO A. H., 2014

УДК 51.72

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В БЛОЧНОЙ СРЕДЕ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ*

Е. П. Ченцов, В. М. Садовский

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50 E-mail: [email protected]; [email protected]

На основе дискретной математической модели колебания блоков, разделенных податливыми упругими прослойками, проведены расчеты резонансов, вызванных продольными и вращательными колебаниями. Модель планируется применить к описанию процессов разрушения ледяных торосов резонансным методом.

Ключевые слова: колебательная система, резонанс, дискретная модель.

RESEARCH OF RESONANCE PHENOMENA IN BLOCK MEDIUM BASED ON DISCRETE MODEL

E. P. Chentsov, V. M. Sadovskii

Institute of Computational Modeling SB RAS 50, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]; [email protected]

Based on the discrete mathematical model of block oscillations divided by flexible elastic layers, a computation of resonances, caused by longitudinal and rotational oscillations, is carried out. Mentioned model will be used for simulation of ice hummocks destruction by resonance method.

Keywords: oscillatory system, resonance, discrete model.

Явление резонанса представляет большой практический интерес для многих научных и производственных областей [1]. Проводимое исследование ориентировано на разработку эффективных методов анализа резонансных явлений в структурно-неоднородных материалах.

Пусть имеется цепочка элементов, связанных между собой пружинками одинаковой жесткости. На элементы с определенной частотой ю действует возмущающая сила F. Система уравнений, описывающая динамику цепочки, имеет вид

d2?+^=f , dt2

где U - вектор смещений; t - время; А - матрица, отвечающая за характер смещения. Решение системы ищется в виде

U = Ue'mt, F = Fem.

Тогда

U = (A - ю2E)-1F = -Я(ю2)Я

где R(X) = QE-A)-1 - резольвентная матрица. Смещения стремятся к бесконечности в случае, когда опре-

*Работа поддержана грантом РФФИ 14-01-00130.

делитель матрицы А - ю2Е стремится к нулю. Из условия равенства нулю определителя находятся частоты, приводящие к резонансу.

Характер возмущения может быть различным. Рассмотрим задачи о продольных и вращательных колебаниях блоков.

В случае продольных колебаний была поставлена следующая задача (рис. 1). Пусть цепочка состоит из п + 1 блоков массы т, соединенных пружинками жесткости к. Расстояние между центрами масс блоков равно h, а общая длина цепочки I = (п + 1)А. К первому блоку прикладывается возмущающая сила за счет которой происходит его смещение на и0.

Динамика цепочки описывается уравнениями Ла-гранжа

- <

dt ди ■ дUj 1 где

дЬ = дР ; ди1 ди1

здесь Ь - функция Лагранжа, <1 - обобщенные силы.

Решетневскуе чтения. 2014

Рис. 1. Схема цепочки при продольных колебаниях

Рис. 2. Коэффициенты собственных частот г при п = 60

------ Ч^Лз-—'УЧА:

Щ ---СР- ^-- \АА) А / <4- \АА --«Ти-

\АА? ~Й\АА? *■*

Рис. 3. Схема цепочки при вращательных колебаниях

Задача сводится к следующей системе, записанной в матричном виде:

Г,

2 - тю -к -к 2к - тю2 0 .. -к .. . 0 . 0 0 ^ 0 (Л Л Ы0 Ы1 ( Р ^ 0

0 0 0 .. . -к к - тю2У V и п У ,0у

Система позволяет находить собственные частоты колебаний, при которых наблюдается резонанс. Квадрат собственных частот равен ю2 = гк. Значения

т

безразмерного коэффициента г для случая п = 60 представлены графически на рис. 2.

В случае с вращательными колебаниями рассмотрена следующая задача. Пусть п + 1 квадратных блоков в цепочке соединяются пружинками одинаковой изгиб-ной жесткости —. Общая длина цепочки I = (п + 1) к, где к - расстояние между центрами блоков. Нулевой блок подкручивается моментом сил М с частотой ю, за счет чего он поворачивается на угол ф0 (рис. 3).

Для данной задачи при условии свободных концов цепочки выполняется система

Б Т 2 --М к 2 -к 0 .. 0 0 Л

2 -к 8 - - М2 к 2- .. к 0 0

Ф о Ф1

Фп

(М л

о

V 0 У

2- 4- - ^ к к

Квадрат собственных частот равен ю2 = г .

Значения безразмерного коэффициента г для п = 60 представлены на рис. 4.

Приведенная модель позволяет проводить расчеты резонансных частот в дискретной системе с произвольным числом элементов, моделирующей структурную неоднородность материала. Анализ резонанса вращательного движения на основе модели непрерывного континуума приведен в монографии [2].

6,000000 5,00DDDD 4,DDDDDD 3,OODODD Z,0DD0DD 1J000000 D,DDDDDD

..................

10

ZD

5D

30 <w

номер корня

Рис. 4. Коэффициенты собственных частот r при n = 60

6D

70

Библиографические ссылки

1. Карлов Н. В., Кириченко Н. А. Колебания, волны, структуры : научное издание. М. : Физматлит, 2003. 492 с.

2. Садовская О. В., Садовский В. М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М. : Физматлит, 2008. 368 с.

References

1. Karlov N. V., Kirichenko N. A. Kolebanija, volny, struktury: nauchnoe izdanie. M. : Fizmatlit, 2003. 492 p.

2. Sadovskaya O. V., Sadovskii V. M.

Matematicheskoe modelirovanie v zadachah mehaniki sypuchih sred. M. : Fizmatlit, 2008. 368 p.

© Ченцов Е. П., Садовский В. М., 2014

УДК 519.234

К ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ Я-ПРОЦЕССОВ

Е. А. Чжан

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 Е-mail: [email protected]

Рассматривается задача идентификации процессов со стохастической зависимостью входных переменных - Н-процессов. Область значений входных-выходных переменных такого процесса много меньше регламентированной области. Предлагается алгоритм оценивания области протекания Н-процесса методами статистического моделирования.

Ключевые слова: параметрическая и непараметрическая идентификация, «трубчатый» процесс, индикаторная функция, статистическое моделирование.

TO THE PROBLEM OF H-PROCESSES MODELING

E. A. Chzhan

Siberian Federal University 79, Svobodny prosp., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation. E-mail: [email protected]

The problem of process identification with stochastic dependence of the input variables is considered (H-process). Area of such process behavior is much smaller than the regulated area. Algorithm for estimating the area of the H-process via statistical modeling methods is proposed.

Keywords: parametric and nonparametric identification, "tubular" process, indicators, indicator function, statistical modeling.

На практике при изучении реальных технологических или производственных многомерных процессов возникает задача построения моделей в условиях малой априорной информации. В этом случае получить адекватную модель можно при наличии стохастической зависимости между входными переменными. Однако как определить, существует ли эта зависимость? Ведь при идентификации процессов исследователю априорно неизвестно, является ли процесс

«трубчатым» или нет [1]. В случае большой размерности вектора входных переменных выявление зависимости между ними - трудоемкая и порою неразрешимая задача. В этом случае определить, «трубчатый» процесс или нет, поможет оценивание объема области протекания процесса.

Рассмотрим «трубчатый» процесс, представленный на рисунке. Из соображения простоты рассмотрим трехмерный объект, у которого две входные пе-