ГРУППЫ, В КОТОРЫХ КАЖДАЯ СТРОГО 3-МАКСИМАЛЬНАЯ ПОДГРУППА ПЕРЕСТАНОВОЧНА СО ВСЕМИ МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 512.542

йй! 10.24147/1812-3996.2023.28(4).4-13

ГРУППЫ, В КОТОРЫХ КАЖДАЯ СТРОГО 3-МАКСИМАЛЬНАЯ ПОДГРУППА ПЕРЕСТАНОВОЧНА СО ВСЕМИ МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ

Ю. В. Горбатова1, О. В. Кубанских2

1 Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ (Брянский филиал), г. Брянск, Россия

2 Брянский государственный университет имени академика И. Г. Петровского, г. Брянск, Россия

Информация о статье

Дата поступления 28.12.2022

Дата принятия в печать 08.09.2023

Дата онлайн-размещения 12.10.2023

Ключевые слова

Конечная группа, разрешимая группа, нильпотентная группа, л-максимальная подгруппа, строго л-максимальная подгруппа, ядро подгруппы, примитивная группа

Аннотация. Работа посвящена описанию структуры конечных ненильпотентных групп, в которых каждая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна с каждой максимальной подгруппой. В частности, доказано, что такие группы являются разрешимыми, и их строение эквивалентно строению ненильпотентных групп, в которых каждая 3-максимальная подгруппа перестановочна с каждой максимальной подгруппой. Также полученные результаты доказывают нильпотентность конечной группы, в которой каждая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами, в случае, если число простых делителей порядка этой группы больше или равно 4.

GROUPS IN WHICH EVERY STRONGLY 3-MAXIMAL SUBGROUP PERMUTES WITH ALL MAXIMAL SUBGROUPS

Yu. V. Gorbatova1, O. V. Kubanskikh2

1 Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Bryansk Branch), Bryansk, Russia

2 Bryansk State Academician I. G. Petrovski University, Bryansk, Russia

Article info

Received 28.12.2022

Accepted 08.09.2023

Available online 12.10.2023

Keywords

Finite group, solvable group, nilpotent group, n-maximal subgroup, strongly n-maximal subgroup, the core of the subgroup, primitive group

Abstract. The description of the structure of finite non-nilpotent groups in which every strongly 3-maximal subgroup permutes with all maximal subgroups is the main result of this paper.In particular, we prove that the groups with the noted property are solvable and their structure is equivalent to the structure of groups in which every maximal subgroup permutes with all 3-maximal subgroups.The obtained results also prove the nilpotency of a finite group in which every strongly 3-maximal subgroup permutes with all maximal subgroupsif the number of prime divisors of the order of this group is not less than 4.

1. Введение

Все рассматриваемые в работе группы являются конечными. Напомним, что подгруппа А группы в называется перестановочной с подгруппой В группы в, если АВ = ВА. Подгруппа Н группы в называется 2-максимальной подгруппой в в, если Н является максимальной подгруппой в некоторой максимальной подгруппе М группы в. Аналогично определяют ^-максимальные подгруппы группы в для п> 2. Кроме того, ^-максимальная подгруппа группы в называется строго ^-максимальной, если она не является ^-максимальной подгруппой ни в одной собственной подгруппе группы в. Очевидно, что максимальная подгруппа является строго максимальной, а для п > 1 некоторая ^-максимальная подгруппа может не являться строго п-максималь-ной подгруппой в группе. Например, в знакопеременной группе А4 единичная подгруппа не является строго 2-максимальной, так как для двух различных цепочек подгрупп она является одновременно и 2-максимальной и 3-максимальной подгруппой.

В последние два десятилетия получено множество новых результатов, связанных с п-максималь-ными подгруппами. В частности, в работе [1] авторы получили классификацию ненильпотентных групп, в которых все 2-максимальные подгруппы или все строго 2-максимальные подгруппы перестановочны со всеми силовскими подгруппами. Основываясь на этих результатах, в работе [2] авторы описали точное строение групп с субнормальными 2-максималь-ными или 3-максимальными подгруппами. Этот результат в свою очередь получил развитие в работе [3], в которой авторами была решена задача полного описания групп с субнормальными строго 2-макси-мальными или строго 3-максимальными подгруппами. Отметим также работу [4], в которой получено строение ненильпотентных групп с перестановочными 2-максимальными или 3-максимальными подгруппами. Этот результат в разрешимом случае был усилен в недавней работе [5] с помощью замены условия перестановочности всех п-максимальных подгрупп на условие перестановочности только строго п-максимальных подгрупп для п = 2; 3.

В настоящей работе изучен вопрос строения групп, в которых каждая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами. В частности, доказано, что строение таких групп эквивалентно строению групп, в которых каждая 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами, что позво-

ляет усилить формулировки основных теорем более ранней работы [6], заменив условие перестановочности всех 3-максимальных подгрупп на перестановочность только строго 3-максимальных подгрупп.

2. Вспомогательные результаты

Лемма 2.1 [7]. Пусть A, B, X - подгруппы группы G и К - нормальная в G подгруппа. Тогда справедливо:

(1) Если А является Х-перестановочной с В, то В является Х-перестановочной с А.

(2) Если А является Х-перестановочной с В, то АК/К является ХК/К-перестановочной с ВК/К в группе G/K.

(3) Если К < А, то А/К является ХК/К-переста-новочной с ВК/К в G/K тогда и только тогда, когда А является Х-перестановочной с В в G.

Лемма 2.2 [8, леммы 1.43-1.44]. Пусть А, В -собственные подгруппы группы G с условием G = АВ. Тогда G = АВХ и G Ф ААХ для всех х £ G.

Лемма 2.3 [9, теорема 1.9]. Пусть G является р-сверхразрешимой группой. Если 0p'(G) = 1, то G является сверхразрешимой.

Теорема 2.1 [6]. Пусть G - ненильпотентная группа. Тогда каждая 3-максимальная подгруппа группы G перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы G в том и только в том случае, когда либо |G| = paq^rY, где p,q,r - попарно различные простые числа и а + fi + у < 3, либо G изоморфна группе SL(2, 3), либо G является сверхразрешимой группой одного из следующих типов:

(1) G = [Р]М, где Р - группа простого порядка р и М - группа с циклическими силовскими подгруппами такая, что IMI = rqa, а > 1, r и q - различные простые числа, q Ф р, подгруппа Мс является q-замкнутой и IM: Mcl = q;

(2) G = [P]Ç, где Р - группа простого порядка р, Q - циклическая q-группа с IQI > q2, IQ: QgI = q2 и q Ф p;

(3) G = [P]Ç, где Р - группа простого порядка р, Q - q-группа с |Ç| > q2(q Ф p), IQ:QGI= q и все отличные от Qc максимальные подгруппы группы Q являются циклическими.

Теорема 2.2 [10]. Пусть G - р-разрешимая группа, M < G. Если IG: MI = р, то каждая максимальная в М подгруппа является строго 2-макси-мальной подгруппой группы G. В частности, в разрешимой группе все максимальные подгруппы из подгруппы простого индекса являются строго 2-максимальными подгруппами группы.

3. Основные результаты

Теорема 3.1. Пусть G - группа, в которой каждая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами. Тогда G разрешима.

Доказательство. Докажем, что группа G принадлежит классу всех разрешимых групп индукцией по порядку группы G. Пусть H - минимальная нормальная подгруппа группы G. По лемме 2.1, утверждение теоремы верно для фактор-группы G/H и поэтому, в силу индукционного допущения, группа G/H разрешима. Поскольку класс разрешимых групп является насыщенной формацией Фиттинга, то H не содержится в Ф(С) и является единственной минимальной нормальной подгруппой в G. Пусть M - максимальная подгруппа в G такая, что H не содержится в М. Тогда G = МН и Мс=1.

Далее покажем, что |Г| = pq для некоторых простых, необязательно различных чисел р и q, для любой максимальной подгруппы Т группы G с единичным ядром TG = 1. Пусть V - произвольная

2-максимальная подгруппа в Т. Тогда V является

3-максимальной подгруппой в G. Предположим, что V - строго 3-максимальная подгруппа в группе G. Тогда 7жявляется строго 3-максимальной подгруппой в G для всех х £ G и, по условию, TVX = VXT. Это означает, что TVX- подгруппа группы G и имеем ряд подгрупп Т < TVX < G. В силу максимальности подгруппы Т в G, либо Т = TVX, либо TVX = G. Если G = TVX, то G = ТТХ, что противоречит лемме 2.2. Следовательно, Т = TVX, что влечет V < TG = 1.

Теперь предположим, что V не является строго 3-максимальной подгруппой в G. Это означает, что в группе G существует некоторая строго 3-максималь-ная подгруппа К, содержащая V. По условию, Кх перестановочна с Т для всех х £ G, и поэтому КХТ является подгруппой в G. Таким образом, имеем ряд подгрупп Т < КХТ < G,что в силу максимальности Т в G влечет КХТ = Т, либо КХТ = G. Если КХТ = G, то

IG-.KI =

mm

m „ m

<

1КПТЦК1 1КПТ1~1У1 Так как К - строго 3-максимальная подгруппа в С и

V - произвольная 2-максимальная подгруппа в Т, то последнее неравенство возможно при условии, что

V не является строго 2-максимальной подгруппой в Т. Это означает, что в Т существует строго 2-макси-мальная подгруппа У2 и V < У2. Тогда У2 является 3-максимальной подгруппой в С. Если при этом У2 - строго 3-максимальная в С подгруппа, то по условию перестановочна с Т для всех х Е С и

имеет место цепочка подгрупп Т < < С. Аналогично, как и выше, можно показать, что в этом случае V < У2 < Тс = 1. Если У2 не является строго 3-макси-мальной подгруппой в С, то в С существует строго 3-максимальная подгруппа Я и У2 < И. По условию Я перестановочна с Т и имеет место цепочка подгрупп Т<ТЯ<С. В силу максимальности Г в С либо Т = ТЯ, либо С = ТЯ. Если Т = ТЯ, то У2 < Я < Т. Так как при этом Я - строго 3-максимальная подгруппа в С, то Я является строго 2-максимальной подгруппой в Т, но тогда У2 не является строго 2-мак-симальной подгруппой в Т, противоречие. Следовательно, С = ТЯ. Тогда

IG.RI=-

|Я|1Л

m 1<;т

1ЯПТЦЯ1 1ЯПТ1 что невозможно, так как Я - строго 3-максимальная подгруппа в С и У2 - строго 2-максимальная подгруппа в Т. Следовательно, случай КХТ = С невозможен. Значит КХТ = Т для всех х ЕС, и поэтому Кх < Т. Это означает V < К < Тс = 1, что влечет V = 1. Следовательно, все 2-максимальные подгруппы из Т единичны, а значит каждая максимальная подгруппа из Т имеет простой порядок, т. е. |Г| = pq для некоторых простых, необязательно различных чисел р и q. В частности, 1М1 = pq.

Так как С = МН и 1М1 = pq, то Н является либо максимальной, либо 2-максимальной подгруппой в группе С. Предположим вначале, что Н максимальна в С. Пусть Ш Ф 1 - 2-максимальная подгруппа в Н, тогда Ш является 3-максимальной подгруппой в С. Если Ш - строго 3-максимальная подгруппа в С, то, по условию, Ш перестановочна с М и ШМ является подгруппой в С. Тогда имеем ряд подгрупп М < ШМ < С, что в силу максимальности М в С влечет М = либо = й. Если = то

IG.WI = IWM.WI =■

mm

m

<pq,

1Ш^МЦШ1 1МПШ1 что невозможно, так как Ш - 3-максимальная подгруппа в С. Значит М = ШМ, следовательно, 1 Ф Ш < М. Это означает, что Ш - максимальная подгруппа в М, а значит W является группой простого порядка. Пусть теперь Ш не является строго 3-максимальной подгруппой в С. Это означает, что в группе С существует некоторая строго 3-максималь-ная подгруппа В, содержащая Ш. Тогда В перестановочна с М и, рассуждая аналогично, можно показать, что 1 Ф В < М. Это означает, что В - максимальная подгруппа в М, а значит В является группой простого порядка. Но тогда группа Ш единична. Таким образом, каждая 2-максимальная подгруппа из Н либо

ISSN 1812-3996-

единична, либо имеет простой порядок. Следовательно, каждая максимальная подгруппа из Н является сверхразрешимой, что влечет разрешимость группы Н в силу [11, VI, теорема 9.6].

Теперь рассмотрим случай, когда Н является 2-максимальной подгруппой в G. Пусть С - максимальная подгруппа в Н. Тогда С является 3-макси-мальной подгруппой в G. Если С - строго 3-макси-мальная в G подгруппа, то, по условию, Сх перестановочна с М для всех х Е G. Следовательно, имеем ряд подгрупп М < МСХ < G. В силу максимальности подгруппы М в G, либо М = МСХ, либо МСХ = G. Если G = МСХ, то

IG:CI = 1СМ:С1 =

ICIWI = IMI 1СПМЦС1 1МПС1

< pq,

что невозможно, так как С является 3-максимальной подгруппой в G. Следовательно, M = МСХ, что влечет С < Мс = 1. Теперь предположим, что С не является строго 3-максимальной подгруппой в G. Это означает, что в группе G существует некоторая строго 3-максимальная подгруппа D, содержащая С. Тогда D перестановочна с M и, рассуждая аналогично, можно показать, что С < D < Мс = 1. Таким образом, каждая максимальная подгруппа из H является единичной, что влечет разрешимость группы Н. Мы доказали, что H разрешима и G/H разрешима. Но тогда группа G также разрешима. Полученное противоречие завершает доказательство.

Напомним, что группа G называется примитивной, если она имеет максимальную подгруппу M с единичным ядром, т. е. Мс = 1.

Теорема 3.2. Пусть G - примитивная группа. Тогда каждая строго 3-максимальная подгруппа группы G перестановочна со всеми максимальными подгруппами из G тогда и только тогда, когда G является группой одного из следующих типов:

(1) G = [N]M, где |N| = p,IMI = q,p Ф q;

(2) G = [N]M, где |N| = p2, Щ = q, N - минимальная нормальная подгруппа группы G и р Ф q;

(3) G = [N]M, где |N| = p, |M| = q2,p Ф q;

(4) G = [N]M, где |N| = p,|M| = qr; p, q, r- попарно различные простые числа.

Доказательство. Необходимость. Заметим, что, по теореме 3.1, G является разрешимой примитивной группой. Пусть M - максимальная подгруппа группы G с единичным ядром. Тогда в силу строения примитивных разрешимых групп, G = [N]M, где N -единственная минимальная нормальная подгруппа в G и N = F(G) = 0p(G) = Cc(N). Пусть H - произвольная 2-максимальная подгруппа в М. Тогда H является 3-максимальной подгруппой в G.

Предположим, что Н - строго 3-максимальная подгруппа в С. Тогда по условию, Нх перестановочна с М для всех х ЕС, и поэтому НХМ является подгруппой в С. Таким образом, имеем ряд подгрупп М < НХМ < С, что в силу максимальности М в С влечет НХМ = М либо НХМ = С. Последний случай не имеет место в силу леммы 2.2. Значит НХМ = М для всех х ЕС, и поэтому Нх < М. Это означает Н<МС = 1, что влечет Н = 1.

Предположим теперь, что Н не является строго 3-максимальной подгруппой в С. Тогда в группе С существует некоторая строго 3-максимальная подгруппа Т, содержащая Н. По условию, Тх перестановочна с М для всех х ЕС, и поэтому ТХМ является подгруппой в С. Таким образом, имеем ряд подгрупп М < ТХМ < С, что в силу максимальности М в С влечет ТХМ = М либо ТХМ = С.

Если ТХМ = С для всех х Е С,то

1тцм1 т

Ю:М1 =———■— = ———= 1 1 1ТПМЦМ1 1ТПМ1 1 и

что влечет Т = N(1 П М). Поскольку С = [ЩМ и Т -строго 3-максимальная подгруппа в С, то Т ПМ является строго 3-максимальной подгруппой в М. Так как при этом Н является 2-максимальной подгруппой в М и Н содержится в Т П М, то Н не может быть строго 2-максимальной подгруппой в М. Это означает, что существует некоторая строго 2-максималь-ная подгруппа М2 из М такая, что Н содержится в М2. Покажем, что при этом М2 является строго 3-макси-мальной подгруппой в С. Для этого достаточно показать, что в группе С не существует подгруппы вида И1М2, где - максимальная подгруппа в N. Предположим обратное, т. е. N1M2 является подгруппой в группе С и М2 < ^М2. Тогда N1M2 является строго 3-максимальной подгруппой в С в силу того, что М2 - строго 2-максимальная подгруппа в М и N -р-группа. По условию, N1M2 перестановочна с М, следовательно N1M является подгруппой в С. Тогда М < ^М < С, что в силу максимальности М в С влечет М = ^М, либо С = N1M. Последнее равенство невозможно в силу строения группы С. Следовательно М = ^М, что влечет N1 < М, что невозможно, так как N П М = 1 в силу строения группы С. Таким образом, наше допущение неверно и М2 является строго 3-максимальной подгруппой в группе С. Тогда по условию перестановочна с М для всех х ЕС. Аналогично как и выше, можно показать, что в этом случае М%М = М и поэтому Н < М2 < <МС = 1.

Пусть теперь ТХМ = М для всех х ЕС. Тогда Тх < М, что означает Н <Т < Мс = 1.

Таким образом, мы показали, что каждая 2-максимальная подгруппа из М единична. Следовательно, каждая максимальная подгруппа из М имеет простой порядок и либо 1М1 = ц, либо 1М1 = ц2, либо 1М1 = цг, где р, ц, г - попарно различные простые числа.

Пусть вначале 1М1 = д. Пусть К - произвольная 2-максимальная подгруппа в N. Очевидно, что в это случае К является строго 3-максимальной подгруппой в С. Тогда по условию К перестановочна с М и мы имеем ряд подгрупп М < КМ < в. В силу максимальности М в С это влечет КМ = С, или КМ = М. Если КМ = С, то

IG-.KI=-

1кт

m

■ = m = q,

1КПМЦК1 1КПМ1 что невозможно, так как К является р-группой. Следовательно, КМ = М, и поэтому К = 1. Это означает, что INI < р2. Если INI = р, то G является группой типа (1). Если INI = р2, то G является группой типа (2).

Теперь предположим, что IMI = q2 или IMI = qr. Пусть N1 - произвольная максимальная подгруппа в N. Тогда N1 является строго 3-макси-мальной подгруппой в G и по условию N1 перестановочна с М. Аналогично, как и выше, можно показать, что при этом N1 = 1. Таким образом, INI = р и G является группой типа (3) или типа (4).

Достаточность. Пусть G - группа одного из типов (1)-(4), описанных в условии теоремы. Очевидно, что в каждом из этих случаев все 3-макси-мальные подгруппы из G единичны, а, следовательно, перестановочны со всеми максимальными подгруппами из G. Теорема доказана.

Основным результатом данной работы является следующая теорема, в которой показана эквивалентность строения групп, в которых каждая 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами; и групп, в которых каждая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами. Данный результат позволяет усилить формулировку теоремы 2.1, заменив условие перестановочности всех 3-максимальных подгрупп на перестановочность только строго 3-максимальных подгрупп с максимальными подгруппами.

Напомним, что в нильпотентной группе все ее максимальные подгруппы являются нормальными. Следовательно, в нильпотентной группе каждая ее строго 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами. Для ненильпо-тентной группы нами получен следующий результат.

Теорема 3.3. Пусть G - ненильпотентная группа. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) каждая 3-максимальная подгруппа группы G перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы G;

(2) каждая строго 3-максимальная подгруппа группы G перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы G.

Доказательство. (1) => (2). Очевидно.

(2) => (1) Предположим, что каждая строго 3-максимальная подгруппа группы G перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы G и |G| = paq^rY, где p,q,r - попарно различные простые числа. Если а + fi + у < 3, то очевидно, что верен пункт (1) данной теоремы. Допустим, что а + fi + у > 3. Заметим, что по теореме 3.1, G - разрешимая группа.

Так как G - ненильпотентная группа, то она имеет максимальную подгруппу М, которая не является нормальной в G. В этом случае Мс Ф M и является примитивной группой, удовлетворяющей условию теоремы 3.2. Следовательно, имеет

структуру, описанную в теореме 3.2, и мы можем рассмотреть следующие возможные случаи.

I. Пусть = qr, где q и г - простые необязательно различные числа. Тогда по теореме 3.2(3)(4),

M \ | N

,,-) и |—,

.MCi \MqJ \MQ\ G _ M I I N I

MG' Mc\ ImgI Mc является строго 3-максимальной подгруппой в G и Мс - строго 2-максимальная подгруппа в М. Пусть Mi - произвольная максимальная подгруппа группы M и М2 - произвольная максимальная подгруппа в Мг. Тогда М2 является 3-максимальной подгруппой в G. Заметим, что по теореме 2.2, М1 является строго 2-максимальной подгруппой в G.

Допустим, что М2 является строго 3-максималь-ной подгруппой в G. Тогда, по условию, М% перестановочна с M для всех х Е G. Следовательно, имеет место цепочка подгрупп M < М2^М < G, что в силу максимальности подгруппы M в G влечет M = М%М или G = М%М. Последнее равенство невозможно в силу леммы 1.2. Следовательно, M = М%М и М% < M для всех х Е G. Значит М2 < Мс.

Теперь предположим, что М2 не является строго 3-максимальной подгруппой в G. Это означает, что в группе G существует некоторая строго 3-мак-симальная подгруппа Т2, в которой М2 является максимальной подгруппой. Тогда по условию Т£ перестановочна с M для всех х Е G. Следовательно,

— = I—11 — ) и I—I = p, где q Ф p,r Ф p. Тогда

MG VmA \MgJ \Mg\ f> fi f> f «

IG.MI =

р. Ясно, что в этом случае

ISSN 1812-3996-

имеет место цепочка подгрупп М < Т2М < С, что в силу максимальности подгруппы М в С влечет м = Т£М или С = Т£М. Если М = Т£М, то < М для всех х Е И. Значит М2 <Т2 < Мс. Допустим теперь, что С = Т2М. Так как при этом М2<М1 и М2 < Т2, то М2<М1П Т2. Тогда М2<М1ПТ2< М1. В силу максимальности подгруппы М2 в М1 это означает М2= М1П Т2 или М1ПТ2 = М1. В последнем случае имеем М1 < Т2, что невозможно, так как М1 - строго 2-максимальная подгруппа в С. Значит М2=М1ПТ2 и тогда справедливо

IG:T2I =

1Т2

m

1Т2ПМЦТ21

m

<

m

m

1Т2ПМ1 ^пмл = W-.M21

что невозможно, так как М2 является 2-максималь-ной подгруппой в M и Т2 является строго 3-макси-мальной подгруппой в G.

Таким образом, для произвольной 2-макси-мальной подгруппы М2 из M справедливо М2 < Мс. Следовательно, Мс является единственной 2-макси-мальной подгруппой в М. Это означает, что каждая максимальная подгруппа группы M является циклической примарной группой. Значит, M является сверхразрешимой группой.

Предположим, что q Ф г. Тогда IMI = qr, что в силу IG: Ml = р означает |G| = pqr, получили противоречие с рассматриваемым случаем. Следовательно, q = г и M является силовской д-подгруппой группы G. Так как Мс - циклическая группа и

сверхразрешима, то группа G также является сверхразрешимой. Допустим, что q - наибольший простой делитель порядка группы G. Тогда M является нормальной подгруппой в G, что противоречит исходному выбору подгруппы М. Следовательно, р является наибольшим простым делителем порядка группы G. Значит силовская р-подгруппа Р группы G является нормальной в G, т. е. G = [Р]М. Напомним, что Мс является единственной 2-максимальной подгруппой в М. Так как — является неприводимой абе-

„ N PMG

левой группой автоморфизмов группы — = то

M г„ „ ...

—— циклическая группа и поэтому в силу [11, III, теорема 8.4], M является циклической группой. Таким образом, G является группой типа (2), описанной в теореме 2.1.

I м |

II. Пусть I—I = q. Тогда по теореме 3.2(1)(2),

\мс\

G Гм1/'М\ 9

— = I—11 — ) и либо I—I = р, либо I—I = р2, где

мс \MGi \MGJ ImgI r \mg\ r "

pïq.

А) Рассмотрим вначале случай = р2.

т I М I ,ж

Так как |—| = q, то Мп является максимальной

подгруппой в М. Покажем, что всякая максимальная подгруппа группы М, отличная от Мс, является циклической примарной группой. Заметим, что

\г- м\ - \с 2

\ ' 1 1мс'мс1 |мс| ^ .

Пусть М1Ф Мс - произвольная максимальная подгруппа группы М и М2- максимальная подгруппа в М1. Ясно, то М2 является 3-максимальной подгруппой в С. Допустим, что М2 является строго 3-макси-мальной подгруппой в С. Тогда, по условию, М% перестановочна с М для всех х ЕС. Аналогично, как и выше, можно показать, что в этом случае М2 < Мс. Теперь предположим, что М2 не является строго 3-максимальной подгруппой в С. Это означает, что в группе С существует некоторая строго 3-максималь-ная подгруппа Т2, в которой М2 является максимальной подгруппой. Тогда по условию перестановочна с М для всех х Е С. Следовательно, имеет место цепочка подгрупп М < Т2М < С, что в силу максимальности подгруппы М в С влечет М = Т2М, или С = Т£М. Если М = Т£М, то Т2 < М для всех хЕв. Значит М2 < Т2 < Мс. Допустим теперь, что С = Т2М. Так как при этом М2 < М1 и М2 < Т2, то М2<М1П Т2. Тогда М2<М1ПТ2< М1. В силу максимальности подгруппы М2 в М1 это означает М2= М1П Т2 или М1ПТ2 = М1. В последнем случае имеем М1 < Т2. Так как при этом М2 максимальна в М1 и М2максимальна в Т2, то М1 = Т2. Значит М1 является строго 3-максимальной подгруппой в С и по условию М* перестановочна с М для всех х Е в. Аналогично, как и выше, можно показать, что в этом случае М2 < М1 <МС. Осталось рассмотреть случай М2= М1П Т2. В этом случае справедливо

р2 = IG: Ml =

IT2I

<

1Т2ПМЦМ1 IT2I IT2I

\Т2ПМ\ - \Т2ПМ1\ Ш что невозможно, так как М2 является максимальной подгруппой Т2. Таким образом, для произвольной 2-максимальной подгруппы М2 из М справедливо М2<МС. Следовательно, М2<М1ПМС. В силу максимальности подгруппы М2 в М1 это влечет М2= М-^П Мс или М1=М1П Мс. Последний случай невозможен в силу максимальности подгрупп Мс и М1 в группе С. Следовательно, М2= М1П Мс является единственной максимальной подгруппой в М1. Это означает, что М1 является циклической при-марной группой.

Пусть Р - силовская р-подгруппа группы С.

Допустим, что М является д-группой. В этом

случае |Р| = = р2. Пусть Р1 - максимальная

подгруппа в Р. Тогда 1в:Р1Мс1=рц. Пусть С -максимальная подгруппа в РгМс, содержащая Р1. В этом случае С является строго 3-максимальной подгруппой в С и по условию СМ < в. Но тогда СМ = Р1М < С, что противоречит максимальности М в С.

Предположим теперь, что порядок группы М делится точно на два различных простых числа г и д. Пусть И - силовская г-подгруппа в М и Q - силовская ^-подгруппа в М. Обозначим через М1 максимальную подгруппу группы М, содержащую Q. Так как каждая максимальная подгруппа из М является циклической примарной группой, то М1 = Q. Тогда Q является циклической силовской ^-подгруппой в М, что влечет д-сверхразрешимость группы М.

Допустим, что |@| > ц2. Обозначим через Q1 силовскую ^-подгруппу в группе Мс и через Q2 максимальную подгруппу в Q1. В силу допущения, Q2 Ф 1. Допустим, что Оч'(М) = 1. Тогда, по лемме 2.3, М является сверхразрешимой группой и ц> г. Это означает, что подгруппа Q нормальна в М, что влечет |Д| = г. Так как Q1 является характеристической подгруппой в Мс, то Q1 - нормальная подгруппа в С. При этом Q является циклической группой, следовательно, Q2 - характеристическая подгруппа в Q1 и значит Q2 - нормальная подгруппа в С. Предположим, что г = р. Пусть Р1 - такая максимальная подгруппа в Р, что И < Р1. Тогда ^■ Q2P1| = ц2р и Q2P1 является строго 3-максимальной подгруппой в С. По условию Q2P1 перестановочна с М. Это влечет М < Q2P1M = Р1М < С, что противоречит максимальности М в С. Следовательно, г Ф р. Пусть теперь Р1 - максимальная подгруппа в Р. Тогда ^■ Q1P1| = рцг и Q1P1 является строго 3-максималь-ной подгруппой в С. По условию Q1P1 перестановочна с М. Это влечет М < Q2P1M = Р-^М < С, что противоречит максимальности М в С. Полученное противоречие показывает, что Оч'(М) Ф 1. Тогда Ог(М) Ф 1 и Ог(М) = Я. Следовательно, М = [й]@. Так как при этом И является силовской г-подгруппой в Мс, то И - характеристическая подгруппа в Мс и значит И - нормальная подгруппа в С. Так как при

Мп

этом — является циклической группой, то RQ2 - нормальная подгруппа в С. Предположим, что г = р. Пусть Р1 - такая максимальная подгруппа в Р, что Я < Р^ Используя рассуждения, как и выше, можно показать, что в этом случае М < Р^2М = Р1М < С,

что невозможно. Следовательно, г Ф р. Пусть теперь Р1 - максимальная подгруппа в Р. Тогда аналогично можно показать, что М < Р^^ = Р1М < С, что также невозможно. Полученное противоречие показывает, что |@| < ц2.

Допустим теперь, что |@| = ц2. Предположим, что г = р. Пусть Р1 - такая максимальная подгруппа в Р, что Мс П Р < Р1. Так как N = РМС - максималь-

I м I

ная подгруппа в С (в силу = ц) и |N■: Р^ = рц, то

Р1 является строго 3-максимальной подгруппой в С с ^■Р^] = рц2. По условию Р1 перестановочна с М. Это влечет М < Р1М < С, что противоречит максимальности М в С. Пусть теперь г Ф р иР1 - такая максимальная подгруппа в Р, что Мс ПР < Р1. Выше показано, что И - нормальная подгруппа в С. Тогда Р^ является строго 3-максимальной подгруппой в С с ^■Р^ = рц2. По условию Р^ перестановочна с М. Это влечет М < Р1ЯМ < С, что вновь противоречит максимальности М в С.

Пусть теперь |@| = д. Предположим, что г = р.

I м |

Так как при этом = ц, то Мс < Р, причем Мс является 2-максимальной подгруппой в Р в силу ^■ M| = р2. Следовательно, Р = РМС - нормальная подгруппа в группе С и С = РМ = [Р]@. Пусть Р2 -произвольная максимальная подгруппа в Р, отличная от Мс. Тогда Р2\ = р2ц и Р2 является строго 3-максимальной подгруппой в С. По условию Р£ перестановочна с М для всех х Е С. Это влечет М < Р£М < С, что в силу максимальности М в С означает М = Р£М или С = Р%М. Последнее равенство невозможно в силу строения группы С. Следовательно, Р£ < М для всех х ЕС. Тогда Р2 < Мс, из чего следует, что Мс - единственная 2-максималь-ная подгруппа в Р. Это означает, что каждая максимальная подгруппа из Р является циклической. Тогда, по [11, III, теорема 8.4], группа Р является либо циклической, либо группой кватернионов порядка 8. Предположим, что Р - циклическая группа и Р1 -максимальная подгруппа в Р. Тогда Р1 является характеристической подгруппой в Р и при этом Р -нормальная подгруппа в С. это означает, что М < Р1М < С, что невозможно в силу максимальности М в С. Следовательно, Р является группой кватернионов порядка 8, что влечет С = [Р]@, где Q -группа порядка 3. В этом случае С изоморфна группе 5Ц2, 3) и С является группой, описанной в теореме 2.1. Предположим теперь, что г Ф р. В этом случае Мс = И. Пусть Р1 - максимальная подгруппа в Р. Тогда Р1МС является 2-максимальной подгруппой в С.

Пусть Е - максимальная подгруппа в P1MG, содержащая Р1. Тогда IG:EI = prq и Е является строго 3-мак-симальной подгруппой в G. По условию Е перестановочна с М, что влечет M < ЕМ < G, что снова противоречит максимальности M в G.

B) Для завершения доказательства осталось

„|W| G

рассмотреть случай I—I = р, где — = I—11 — ) и

ImgI Г " мс LMgJ \MGJ

Заметим, что в этом случае IG:MI = р. Аналогично, как и при доказательстве пункта А), можно показать, что всякая максимальная подгруппа М1 группы М, отличная от Мс, является циклической примарной группой. Тогда IMI = rqa для некоторого натурального числа а. Таким образом, ICI = prqa. Обозначим через Р силовскую р-под-группу группы G и через R и Q - силовские q-под-группу и r-подгруппу в группе M соответственно. Тогда Q - циклическая группа (Q максимальна в M и Q Ф Мс ). Тогда, по теореме Хупперта, G сверхразрешима. Заметим, что в силу строения группы Q не

является нормальной подгруппой группы G (в проМ G .

тивном случае подгруппа — нормальна в —).

Предположим вначале, что р, q, г - различные простые числа. Тогда I?I = р, I^I = г. Допустим, что Р - нормальная подгруппа в группе G. Обозначим через Q1 максимальную подгруппу в Q. Тогда Q1 является строго 3-максимальной подгруппой в группе G с IG:Q1\ = prq и G = [Р]М. Пусть Т - максимальная подгруппа группы G с IG:TI = г. По условию для всех х Е G справедливо TQ* = Q*T, что в силу максимальности Т в G влечет TQ* = Т. Следовательно, Q* <Т для всех х Е G и Q1 <TG. Так как при этом Р <TG (так как Р - нормальная подгруппа в G) и IT: Q1I = pq,то IT: TGI < q. В виду цикличности Q это означает, что Q1 - нормальная подгруппа в M и поэтому Мс является q-замкнутой группой. Таким образом, G является группой типа (1), описанной в теореме 2.1. Теперь предположим, что Р не является нормальной подгруппой в группе G. Тогда г - наибольший простой делитель порядка группы G (в противном случае в группе G нормальными подгруппами будут либо Р, либо Q). Следовательно, R - нормальная подгруппа в G. Пусть Т- максимальная подгруппа группы G с IG: TI = г. Тогда Р <Т и Q <Т. Предположим вначале, что Т - нормальная подгруппа в группе G. Если при этом Р является нормальной силовской р-подгруппой в Т, то Р - характеристическая подгруппа в Т и поэтому Р нормальна в

С, что противоречит рассматриваемому случаю. Следовательно, силовская ^-подгруппа Q является нормальной в Т (в силу сверхразрешимости группы Т). Тогда Q - характеристическая подгруппа в Т и поэтому Q нормальна в С, что невозможно, как показано выше. Таким образом, Т не является нормальной подгруппой в группе С. Проводя рассуждения, как выше, можно показать, что всякая максимальная подгруппа группы Т, отличная от Тс, является циклической, \Т'ТС \ = q и Тс - ^-замкнутая группа. Тогда С = [Д]Г, \И\ = г, \Т\ = pqa и Т - группа с циклическими силовскими подгруппами. Следовательно, С снова является группой типа (1), описанной в теореме 2.1.

Допустим, что г = q. Тогда М является силовской ^-подгруппой группы С. Так как М не является нормальной в С, то, в силу сверхразрешимости группы С, Р является нормальной силовской подгруппой в С. В этом случае С является группой типа (3), описанной в теореме 2.1.

Теперь допустим, что г = р. Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, несложно показать, что в этом случае С является группой типа (1), описанной в теореме 2.1.

Итак, во всех возможных случаях группа С, в которой каждая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами, является группой одного из типов, описанных в теореме 2.1. Тогда, по теореме 2.1, каждая 3-мак-симальная подгруппа группы С перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы С. Доказательство завершено.

Следствие 3.1. Если каждая строго 3-макси-мальная подгруппа группы С перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы С и \п(в)\ > 4, то С нильпотентна.

Все классы групп, описанные в теоремах 2.1 и 3.3, не являются пустыми, что было показано в работе [6].

4. Заключение

Отметим, что на основании теорем 3.3 и 2.1 можно получить описание структуры конечных не-нильпотентных групп, для которых любая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой, что можно считать основным результатом данной работы.

В качестве промежуточных в работе получены следующие результаты:

- доказана разрешимость групп, в которой каждая строго 3-максимальная подгруппа перестано-

вочна со всеми максимальными подгруппами (теорема 3.1);

- получено строение примитивных групп, в которой каждая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами (теорема 3.2);

- доказана эквивалентность строения групп, в которых каждая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами; и групп, в которых каждая строго 3-макси-мальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами (теорема 3.3);

- доказана нильпотентность группы, в которой каждая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами, в случае, когда число простых делителей порядка этой группы больше или равно 4 (следствие 3.1).

Отметим также, что полученные в работе результаты и методы доказательств могут быть исполь-

зованы для получения точного строения групп, для которых любая строго 4-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 2-макси-мальной подгруппой.

В заключении приведем ряд открытых вопросов, которые естественным образом возникают из результатов, полученных в данной работе.

Вопрос 4.1. Какое строение имеют группы, в которых любая строго 4-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 2-максималь-ной подгруппой?

Вопрос 4.2. Верно ли, что строение группы, в которой любая 4-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной 2-максимальной подгруппой, эквивалентно строению группы, в которой любая строго 4-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 2-максимальной подгруппой?

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Луценко (Горбатова) Ю.В., Скиба А.Н. Конечные ненильпотентные группы с нормальными или S-ква-зинормальными n-максимальными подгруппами // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. 2009. № 1(52). С. 134-138.

2. Луценко Ю.В., Скиба А.Н. Конечные группы с субнормальными вторыми или третьими максимальными подгруппами // Математические заметки. 2012. Т. 91. Вып. 5. С. 730-740.

3. Горбатова Ю.В., Коновалова М.Н. Конечные группы с субнормальными строго 2- или 3-максималь-ными подгруппами // Вестник Омского университета. 2019. № 3. С. 4-11.

4. Го В., Луценко Ю.В., Скиба А.Н. О ненильпотентных группах, любые две 3-максимальные подгруппы которых перестановочны // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50. Вып. 6. С. 1255-1268.

5. Горбатова Ю.В. О перестановочных строго 2-максимальных и строго 3-максимальных подгруппах // Вестник российских университетов. Математика. 2021. Т. 26. № 134. С. 121-129.

6. Го В., Легчекова Е.В., Скиба А.Н. Конечные группы, в которых любая 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами // Математические заметки. 2009. Т. 86. Вып. 3. С. 350359.

7. Скиба А.Н. H-permutable subgroups // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. 2003. № 4(19). С. 37-39.

8. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск : Вышэйшая школа, 2006. 207 с.

9. Deskins W.E., Venzke P., Puttaswamaiah B.M., Bray H.G., Humphreys J.F., Johnson D., Walls G.L., Weinstein M., Berger T. Between Nilpotent and Solvable. Passaic; New Jersey (USA) : Polygonal Publishing House, 1982. 231 p.

10. Konovalova M.N., Monakhov V.S., Sokhor I.L. Finite groups with formational subnormal strictly 2-maximal subgroups // Communications in Algebra. 2022. Vol. 50. № 4. P. 1606-1612.

11. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; NewYork : Springer, 1967. 793 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Горбатова Юлия Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры социально-гуманитарных и естественно-научных дисциплин, Российская академия народного хозяйства и

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Gorbatova Yuliya Vladimirovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Social-humanitarian and Natural-scientific Disciplines Department, Russian Presidential

государственной службы при Президенте РФ (Брянский филиал), 241007, Россия, г. Брянск, ул. Дуки, 61; e-mail: g.julia32@yandex.ru.

Кубанских Олеся Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и прикладной математики, Брянский государственный университет имени академика И. Г. Петровского, 241036, Россия, г. Брянск, ул. Бе-жицкая, 14; e-mail: netbay_ov@yandex.ru.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Горбатова Ю. В., Кубанских О. В. Группы, в которых каждая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами // Вестн. Ом. ун-та. 2023. Т. 28, № 4. С. 4-13. DOI: 10.24147/1812-3996.2023.28(4).4-13.

Academy of National Economy and Public Administration (Bryansk Branch), 61, ul. Duki, Bryansk, 241007, Russia; e-mail: g.julia32@yandex.ru.

Kubanskikh Olesya Vladimirovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Computer Science and Applied Mathematics, Bryansk State Academician I. G. Petrovski University, 14, ul. Bezhitskaya, Bryansk, 241036, Russia; e-mail: netbay_ov@yandex.ru.

FOR QTATIONS

Gorbatova Yu. V., Kubanskikh O. V. Groups in which every strongly 3-maximal subgroup permutes with all maximal subgroups. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2023, vol. 28, no. 4, pp. 4-13. DOI: 10.24147/1812-3996.2023.28(4). 4-13. (in Russ.).