КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМИ СТРОГИМИ ОБОБЩЕННО МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2022

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 80

Научная статья

УДК 512.542 MSC: 20Е28

doi: 10.17223/19988621/80/3

Конечные группы с перестановочными строгими обобщенно максимальными подгруппами

Юлия Владимировна Горбатова

Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ (Брянский филиал), Брянск, Россия, g.julia32@yandex.ru

Аннотация. Описана структура конечных групп, в которых любая строго 2-макси-мальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 3-максимальной подгруппой. Показано, что класс групп с указанным свойством совпадает с классом групп, в которых любая 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной 3-максимальной подгруппой, и, как следствие, такие группы являются разрешимыми. В качестве вспомогательных результатов в работе описано строение групп, в которых любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой. В частности, показано, что класс таких групп совпадает с классом групп, в которых любая 2-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами, и, как следствие, такие группы являются сверхразрешимыми.

Ключевые слова: разрешимая группа, г-максимальная подгруппа; строго г-макси-мальная подгруппа, нормальная подгруппа, нильпотентная группа, сверхразрешимая группа, группа Шмидта

Для цитирования: Горбатова Ю.В. Конечные группы с перестановочными строгими обобщенно максимальными подгруппами // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 80. С. 26-38. doi: 10.17223/19988621/80/3

Original article

Finite groups with permuted strongly generalized maximal subgroups

Yulia V. Gorbatova

Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (BryanskBranch), Bryansk, Russian Federation, g.julia32@yandex.ru

Abstract. Let G be a finite group. If there is a maximal subgroup M in G such that H < M and H is a maximal subgroup of M, then H is called the 2-maximal subgroup of G. The 3-maximal subgroups can be defined similarly. Note that the n-maximal subgroup

© Ю.В. Горбатова, 2022

of the group G is called strongly the и-maximal if it is not the и-maximal subgroup in any proper subgroup of the group G.

This paper is devoted to describing the structure of the groups in which any strongly 2-maximal subgroup is permutable with the arbitrary strongly 3-maximal subgroup. The class of groups with this property is proved to coincide with the class of groups in which any 2-maximal subgroup is permuted with the arbitrary 3-maximal subgroup, and, as a consequence, such groups are solvable. As an auxiliary result, this work presents a description of groups in which any strongly 2-maximal subgroup is permutable with an arbitrary maximal subgroup. The class of such groups is shown to coincide with the class of the groups in which any 2-maximal subgroup is permutable with all maximal subgroups and, as a consequence, such groups are supersolvable.

Keywords: solvable group, i-maximal subgroup, strongly i-maximal subgroup, normal subgroup, nilpotent group, supersolvable group, Schmidt group

For citation: Gorbatova, Y.V. (2022) Finite groups with permuted strongly generalized maximal subgroups. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 80. pp. 2638. doi: 10.17223/19988621/80/3

Введение

Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Напомним ряд основных понятий, используемых в работе.

Подгруппа A перестановочна с подгруппой B в группе G, если AB = BA. Группа Шмидта - это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Рассмотрим ряд подгрупп вида G3 < G2 < G3 < G, где G1 - максимальная подгруппа в G, G2 - максимальная подгруппа в G1, G3 - максимальная подгруппа в G2. Тогда G2 и G3 называются 2-максимальной подгруппой и 3-максимальной подгруппой в G соответственно.

Кроме того, некоторая подгруппа группы G называется строго /-максимальной, если она i-максимальна в G, но при этом не является i-максимальной ни в одной собственной подгруппе группы G для i > 2.

В данной статье рассматривается одно из направлений теории групп, связанное с анализом вопроса: как на строение группы влияет наличие в ней некоторых систем перестановочных подгрупп? Отметим, в частности, работы [1, 2], в которых получено строение групп, в которых любая 3 -максимальная подгруппа перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами или со всеми максимальными подгруппами. Опираясь на эти результаты, на Гомельском алгебраическом семинаре (2005) В.С. Монаховым и О.И. Тавгенем были сформулированы задачи описания точного строения групп с перестановочными 2-максимальными подгруппами, а также групп с перестановочными 3-максимальными подгруппами. Эти две задачи в ненильпотентном случае были решены в работе автора [3]. В связи с последним результатом возникает вопрос описания ненильпотентных групп с перестановочными строго /-максимальными подгруппами, который был решен автором в классе разрешимых групп для i = 2, 3 в недавней работе [4]. В частности, было доказано, что класс ненильпотентных разрешимых групп с перестановочными i-максимальными подгруппами совпадает с классом ненильпотентных разрешимых групп с перестановочными строго ¿-максимальными подгруппами (i = 2, 3).

Данная работа посвящена описанию структуры групп, в которых любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 3-максимальной подгруппой. Доказано, что класс групп с указанным свойством совпадает с классом групп, в которых любая 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной 3-максимальной подгруппой, и, как следствие, такие группы являются разрешимыми. Данный результат позволяет усилить формулировки основных теорем более ранней работы [1], заменив условие перестановочности всех 3-мак-симальных и 2-максимальных подгрупп на условие перестановочности только строго 3-максимальных и строго 2-максимальных подгрупп. В качестве вспомогательных результатов в работе описано также строение групп, в которых каждая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой. Показано, что класс таких групп совпадает с классом групп, в которых любая 2-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами, и, как следствие, такие группы являются сверхразрешимыми.

1. Вспомогательные результаты и условные обозначение

Приведем основные обозначения и результаты, используемые в работе. Пусть О - группа. Тогда:

О - порядок группы О;

F(О) - подгруппа Фиттинга группы О, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы О;

Ор(О) - наибольшая нормальная р-подгруппа группы О;

|О : Н| - индекс подгруппы Н в группе О;

Мс = Согвс (Н) - ядро подгруппы М в группе О, т.е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с М в группе О;

[ЩМ - полупрямое произведение нормальной подгруппы N группы О и подгруппы М группы О;

О' - коммутант группы О, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы О;

Z(О) - центр группы О;

Ф(О) - подгруппа Фраттини группы О, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы О;

(х) - циклическая подгруппа, порожденная элементом х.

Лемма 1.1 [5. Леммы 1.43, 1.44]. Пусть А и В - собственные подгруппы группы О. Тогда:

(1) Если О = АВ, то О = АВх для всех х е О ;

(2) О Ф ААх для всех х е О.

Лемма 1.2 [6. Гл. VI, теоремы 26.1, 26.2]. Если О - группа Шмидта, тогда:

(1) О = [Р](а) , где Р и (а) - силовские р-подгруппа и д-подгруппа группы О, соответственно;

(2) О имеет в точности два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются группы Р^а9} и Р ^ а);

(3) О' = Р;

(4) Ф(О) = Z(G) = Р'х(а") ;

(5) Р / Ф(Р) - главный фактор группы О, причем если \Р / Ф(Р)| = р", то р"

сравнимо с единицей по модулю д;

(6) Наибольшая нормальная подгруппа группы О, строго содержащаяся в Р, совпадает с Ф(Р) = Р' = Ср (а) ;

(7) Если Р абелева, то она элементарна;

(8) Если Р неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппа Фраттини совпадают и имеют экспоненту р.

Лемма 1.3 [7. Следствие 2.5]. Предположим, что группа О не является ниль-потентной. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) в группе О каждая 2-максимальная подгруппа нормальна;

(2) в группе О каждая строго 2-максимальная подгруппа нормальна;

(3) в группе О каждая 2-максимальная подгруппа ^-квазинормальна;

(4) в группе О каждая строго 2-максимальная подгруппа 8-квазинормальна. Лемма 1.4 [7. Теорема 2.1]. Пусть О - ненильпотентная группа. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) О является группой Шмидта, нормальная силовская подгруппа которой имеет простой порядок;

(2) каждая 2-максимальная подгруппа группы О нормальна;

(3) каждая строго 2-максимальная подгруппа группы О 8-квазинормальна. Теорема 1.1 [1. Теорема 2.4]. Каждая максимальная подгруппа группы О перестановочна с каждой 2-максимальной подгруппой из О в том и только в том случае, когда О либо нильпотентна, либо О является сверхразрешимой группой порядка |о| = рда такой, что силовская д-подгруппа О = (х) из О является циклической и О; = ^ х"-1 ^.

Теорема 1.2 [1. Теорема 3.5]. Пусть О - конечная ненильпотентная группа. Тогда каждая 2-максимальная подгруппа из О перестановочна со всеми 3-макси-мальными подгруппами из О в том и только в том случае, когда либо О| = р" г1, где р,г - различные простые числа и а + Р + у< 3, либо О является группой одного из следующих типов:

(1) О - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами и |о| = ра"Ь, где а + Ь > 3;

(2) О = [Р]О - группа Шмидта, где Р - группа кватернионов порядка 8 и Q -

группа порядка 3,

либо О - сверхразрешимая группа одного из типов:

(3) О = [и О: Се(Р)| = " , где Р - группа простого порядка р Ф ", Q -нециклическая группа с порядком |О| = "а (а > 2) и все максимальные подгруппы из Q, отличные от Сд(Р), являются циклическими;

(4) О = [Р] О, где Р - группа порядка р2 (р - простое число), все максимальные

подгруппы из Р нормальны в О, О = (а) - циклическая д-группа (" Ф р) с порядком О > " и св (Р) =(а") ;

(5) G = [P] Q, где P = (a) - циклическая группа порядка p3 (p - простое число), Q - группа простого порядка q Ф p и CG (a2) = P ;

(6) G = [P x Q ] R , где P - группа простого порядка p, Q - группа простого порядка q Ф p, R - циклическая группа порядка |r| = ra (a > 1), R не является нормальной в G, но всякая максимальная подгруппа из R нормальна в G.

2. Структура групп, для которых любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой

Лемма 2.1. Пусть G - примитивная разрешимая группа. Тогда и только тогда в группе G любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой, когда G = [N]M причем N и M - группы различных простых порядков.

Доказательство. Необходимость. Пусть G - примитивная разрешимая группа, в которой любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой. Тогда, в силу строения примитивных групп (см.: [8. Ch. А, 15.6 Theorem]), имеем G = [N]M, где N = F(G) = Ор(G) = Ca(N) и

M - максимальная подгруппа из G с единичным ядром.

Пусть M1 - максимальная подгруппа в M. Тогда M1 является 2-максимальной подгруппой в G. Предположим вначале, что Mi - строго 2-максимальная подгруппа в G. Тогда, в силу условия леммы, получаем M^M < G для всех элементов x eG. Следовательно, имеет место ряд подгрупп M < MXXM < G. В силу максимальности M в G, имеем либо M*M = M, либо MXM = G. Если MXM = G, то MXM = G, что противоречит лемме 1.1 (2). Следовательно, MXM = M . Это влечет Mх < M для всех x eG. Следовательно, M <MG = 1.

Предположим теперь, что M1 не является строго 2-максимальной подгруппой в G. Это означает, что в группе G существует некоторая строго 2-максимальная подгруппа T, содержащая Мъ Тогда Mx < M n T и имеет место ряд подгрупп Mj < M n T < M. В силу максимальности М1 в М имеем либо Mx = M n T, либо M n T = M . Если M n T = M , то M < T, что противоречит максимальности M в G. Следовательно, M = M n T. Так как T - строго 2-максимальная подгруппа в G,

то, по условию, TxM < G для всех элементов x eG. Следовательно, имеет место ряд подгрупп M < TxM < G. В силу максимальности подгруппы М в G, имеем либо TxM = M, либо TxM = G. Если TxM = M, то Tx <M для всех xeG. Следовательно, M1 < T < MG = 1. Пусть теперь TxM = G. Тогда

подгруппой в G и G = [N]M, то M1 является строго 2-максимальной подгруппой

Следовательно, Т = [N]Мх. Так как при этом Т является строго 2-максимальной

в М, что противоречит максимальности М1 в М. Следовательно, случай ТХМ = С не имеет места.

Итак, мы показали, что для произвольной максимальной подгруппы М1 из М верно М — Мс = 1. Это означает, что М является группой простого порядка,

например |м| = д . Поэтому N является максимальной подгруппой в О.

Предположим далее, что N имеет неединичную максимальную подгруппу, например N1. Тогда N1 является строго 2-максимальной подгруппой в О с С : = рд и, в силу условия, ЫМ — С. Снова ввиду максимальности подгруппы М в О получаем ЫМ = М . Поэтому N — М и, следовательно, N = 1. Полученное противоречие показывает, что \Щ = р . Таким образом, О = [ЩМ, где N1 = Р , |М| = д и р Ф д.

Достаточность. Пусть О = [ЩМ, где |Ы| = р , |М| = д и р Ф д . Тогда, очевидно, единичная 2-максимальная подгруппа из О перестановочна с любой ее максимальной подгруппой. Лемма доказана.

Лемма 2.2. Пусть О - группа, в которой любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой. Тогда О разрешима.

Доказательство. Предположим, что группа О является контрпримером минимального порядка, т.е. всякая группа, удовлетворяющая условию леммы, порядок которой меньше порядка О, является разрешимой. Тогда, очевидно, О не может быть нильпотентной группой, а значит, она содержит некоторую максимальную подгруппу М, причем М не является нормальной в группе О. Тогда М ф Мс .

Таким образом, мы можем рассмотреть примитивную фактор-группу . Так как

для фактор-групп сохраняется условие перестановочности подгрупп, то в °

Mr,

любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной макси-

разрешима. Тогда по лемме 2.1

мальнои подгруппой, и в силу допущения

G/

М

имеем: О/

М

NMri

М

м/

М

где

NMr,

м

= p и

М/

М

= q (p * q ).

Таким образом, Mo является единственной неединичной максимальной подгруппой в группе M. Следовательно, M - циклическая примарная группа (см.: [9. Kapitel III, 8.3 Satz]). Заметим также, что

О/

Ом =

NMri

м

= p •

Последнее означает сверхразрешимость фактор-группы

О/

м

При этом в силу

цикличности М ядро МО является циклической д-группой, следовательно, О сверхразрешима в силу [5. Лемма 4.46 (1)], что противоречит нашему предположению о группе О. Полученное противоречие доказывает лемму.

Теорема 2.1. Тогда и только тогда любая максимальная подгруппа группы О перестановочна с произвольной ее строго 2-максимальной подгруппой, когда группа О либо нильпотентна, либо является сверхразрешимой группой Шмидта.

Доказательство. Необходимость. Пусть О не является нильпотентной группой и в О любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной максимальной подгруппой. Тогда, согласно лемме 2.2, О разрешима. Если в группе О каждая максимальная подгруппа является нормальной, то О нильпотентна (см. [5. Теорема 3.13]), что противоречит допущению. Следовательно, группа О имеет максимальную подгруппу М, которая не является нормальной в О. Тогда в силу разрешимости О справедливо |О : М| = ра для некоторого простого числа р.

Рассмотрим произвольную максимальную подгруппу М\ в группе М. Очевидно, что М1 является 2-максимальной подгруппой в О. Предположим, что М1 -строго 2-максимальная подгруппа в О. Тогда, по условию, М'М < О для всех элементов х еО. Следовательно, имеет место ряд подгрупп М < М^М < О . В силу максимальности М в М имеем либо М'М = М, либо М'М = О . Если М'М = О, то М'М = О, что противоречит лемме 1.1 (2). Следовательно, М'М = М . Это влечет М* < М для всех х еО, значит, Щ < Ма . В силу максимальности подгруппы М1 в М это означает, что М1 = МО является нормальной подгруппой в О.

Предположим теперь, что М1 не является строго 2-максимальной подгруппой в О. В этом случае существует ряд подгрупп М1 < О < О < О, где О - максимальная подгруппа в О, О2 - максимальная подгруппа в О1, причем О2 является строго 2-максимальной подгруппой в О. По условию имеем О2хО1 < О для всех элементов хеО. Следовательно, О < ОЮ < О, что в силу максимальности подгруппы О1 в О влечет либо ОхО = О, либо О" О = О . Если ОхО = О, то ОО = О, что противоречит лемме 1.1 (2). Следовательно, ОхО = О. Это влечет Ох < О для всех хеО, следовательно, О < (О)е. В силу максимальности подгруппы О2 в О1 это означает, что О = (О )а является нормальной подгруппой в О.

Таким образом, произвольная 2-максимальная подгруппа М1 группы О либо является строго 2-максимальной нормальной подгруппой в О, либо содержится в некоторой нормальной строго 2-максимальной подгруппе из О. Следовательно, произвольная строго 2-максимальная подгруппа нормальна в группе О, и, в силу леммы 1.3, произвольная 2-максимальная подгруппа нормальна в группе О. Тогда, согласно лемме 1.4, О является группой Шмидта, нормальная силовская подгруппа которой имеет простой порядок. Тогда, согласно лемме 1.2 (1), (2), максимальные подгруппы группы О имеют простые индесы, а значит, по теореме Хупперта, О является сверхразрешимой группой.

Достаточность. Если группа О нильпотентна, то каждая ее максимальная подгруппа нормальна в О, а значит, перестановочна с произвольной ее 2-макси-мальной подгруппой, в том числе и строго 2-максимальной подгруппой.

Предположим, что О - сверхразрешимая группа Шмидта. Согласно лемме 1.2 (1), (4), О = [Р ] Q, где Р - силовская р-подгруппа, Q = (а) - циклическая д-группа,

причем ^ Z(G). По лемме 1.2 (2), подгруппа P'(а) максимальна в G и F(G) не содержится в P'(а) (так как F(G) = P(aq}). Тогда, согласно [5. Теорема 4.56, следствие 2], |g : P'(а)| = p, что влечет |P: P '| = p . Предположим, что Р не является абелевой группой. В этом случае, по лемме 1.2 (8), P' = Ф(Р) и, следовательно, Ф(Р) является единственной максимальной подгруппой в P. Тогда, в силу [9. Kapitel III, 8.3 Satz], Р является циклической, а значит, и абелевой группой, -противоречие. Следовательно, Р - абелева группа, что влечет Р' = 1. Так как при этом Р' - максимальная подгруппа в Р, то |P| = p . Тогда, в силу леммы 1.2 (2),

каждая 2-максимальная подгруппа группы G является нормальной, а следовательно, перестановочной с любой максимальной подгруппой из G. Теорема доказана.

Теорема 2.1 позволяет усилить формулировку более ранней теоремы 1.1, заменив условие перестановочности всех 2-максимальных подгрупп на перестановочность только строго 2-максимальных подгрупп, что отражено в следствии 2.1.

Следствие 2.1. Следующие условия равносильны:

(a) любая максимальная подгруппа группы перестановочна с произвольной ее 2-максимальной подгруппой;

(b) любая максимальная подгруппа группы перестановочна с произвольной ее строго 2-максимальной подгруппой.

Доказательство. Пусть G - произвольная группа. Если G нильпотентна, то каждая ее максимальная подгруппа нормальна в G, а значит, перестановочна с произвольной ее 2-максимальной подгруппой, в том числе и строго 2-макси-мальной подгруппой, что влечет равносильность условий (а) и (b).

Предположим, что группа G не является нильпотентной и верно условие (a), т.е. любая максимальная подгруппа из G перестановочна с произвольной ее 2-максимальной подгруппой, в том числе и со строго 2-максимальной подгруппой. Следовательно, верно условие (b).

Предположим, что группа G не является нильпотентной и верно условие (b), т.е. любая максимальная подгруппа из G перестановочна с произвольной ее строго 2-максимальной подгруппой. Согласно теореме 2.1, G является сверхразрешимой группой Шмидта. Покажем, что в этом случае G удовлетворяет условию теоремы 1.1, т.е. Gl = Pq°', силовская g-подгруппа Q = (х) из G является циклической и

Q, . Согласно лемме 1.2 (1), (4), G = ^]Q, где Р - силовскаяр-подгруппа

и Q = (а) - циклическая q -группа. Рассуждая аналогично, как и при доказательстве достаточности в теореме 2.1, можно показать, что |P| = p . Осталось показать, что ^ аа ^ , т.е. ядро подгруппы Q в G совпадает с максимальной подгруппой из Q. Согласно лемме 1.2 (4), максимальная подгруппа из Q содержится в центре группы G, а значит, является наибольшей нормальной подгруппой группы G, содержащейся в Q. Тогда, по [5. Лемма 3.18 (1)], Qg совпадает с максимальной подгруппой из Q. Таким образом, G является группой, описанной в теореме 1.1, и, согласно этой теореме, каждая максимальная подгруппа группы G перестановочна с каждой 2-максимальной подгруппой из G. Следовательно, верно условие (а). Следствие доказано.

Следствие 2.2. Пусть О - произвольная группа. Если любая максимальная подгруппа группы О перестановочна с произвольной строго 2-максимальной подгруппой, и порядок группы О делится более чем на два простых числа, то О ниль-потентна.

Доказательство. Предположим обратное, т.е. О - ненильпотентная группа. Так как в группе О любая максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 2-максимальной подгруппой, то, по теореме 2.1, О является сверхразрешимой группой Шмидта. Тогда, в силу леммы 1.2 (1), порядок группы О делится в точности на два простых числа, - противоречие с условием. Следовательно, группа О нильпотентна. Следствие доказано.

Следствие 2.3. Пусть О - произвольная группа. Если любая максимальная подгруппа группы О перестановочна с произвольной ее строго 2-максимальной подгруппой, то О сверхразрешима.

Доказательство. Согласно теореме 2.1, группа О, в которой любая максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 2-максимальной подгруппой, либо нильпотентна, либо является сверхразрешимой группой Шмидта. Так как нильпотентные группы сверхразрешимы, то группа О сверхразрешима в каждом из двух возможных вариантов. Следствие доказано.

3. Структура групп, для которых любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 3-максимальной подгруппой

Лемма 3.1. Пусть О - произвольная группа. Если любая строго 2-максимальная подгруппа из О перестановочна с произвольной ее строго 3-максимальной подгруппой, то О разрешима.

Доказательство. Предположим, что М - произвольная максимальная подгруппа группы О. Ввиду условия любая максимальная подгруппа из М перестановочна со всеми ее строго 2-максимальными подгруппами. Следовательно, по следствию 2.3, М сверхразрешима. Но тогда группа О является разрешимой в силу теоремы Хупперта о разрешимых группах со сверхразрешимыми максимальными подгруппами (см.: [7. Гл. VI, теорема 9.6]). Лемма доказана.

Лемма 3.2. Если О - сверхразрешимая группа, то все ее п-максимальные подгруппы являются строго п-максимальными.

Доказательство. Предположим, что К - произвольная п-максимальная подгруппа группы О. Тогда в группе О существует ряд максимальных подгрупп вида:

К = Кп — Кп_1 —... — К2 — к — о, где К1 - максимальная подгруппа в О, К2 - максимальная подгруппа в К1, Кп -максимальная подгруппа в Кп-1. Согласно теореме Хупперта о сверхразрешимых группах, индекс 0 : К| делится в точности на п необязательно различных простых чисел.

Предположим, что М - произвольная максимальная подгруппа группы О, содержащая К. Покажем, что при этом К является (п - 1)-максимальной подгруппой в М. Так как \С : К| делится на п простых чисел, и \С : К| также является простым

I I 0: К|

числом в силу сверхразрешимости группы О, то индекс \М : К| = ^ делится на (п - 1) необязательно различных простых чисел. Это означает, что К является

(п - 1)-максимальной подгруппой в М. Произвольность выбора подгруппы М означает, что К является строго п-максимальной подгруппой в О. Лемма доказана.

Следующая теорема позволяет усилить результат, полученный авторами в теореме 1.2, заменив условие перестановочности всех 2-максимальных и 3-макси-мальных подгрупп на перестановочность только строго 2-максимальных и строго 3-максимальных подгрупп.

Теорема 3.1. Для ненильпотентной группы следующие условия равносильны:

(a) любая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна с каждой ее 3-максимальной подгруппой;

(b) любая строго 2-максимальная подгруппа группы перестановочна с произвольной ее строго 3-максимальной подгруппой.

Доказательство. Пусть О - ненильпотентная группа, и 0| = рад^г1, где р,д,г - различные простые числа и а + р + у< 3 . Тогда теорема, очевидно, верна, так как в этом случае 3-максимальные подгруппы в О единичны. Поэтому далее будем считать, что 0| = радргу, где р,д,г - различные простые числа и а + р + у>4.

(a) ^ (Ь). Пусть верно условие (а) теоремы. Тогда оно распространяется также на все строго 2-максимальные и строго 3-максимальные подгруппы. Таким образом, верно условие (Ь).

(b) ^ (а). Пусть верно условие (Ь) теоремы. Тогда, согласно лемме 3.1, О является разрешимой группой. Кроме того, для каждой максимальной подгруппы из О выполняется условие теоремы 2.1, следовательно, в группе О каждая максимальная подгруппа либо нильпотентна, либо является сверхразрешимой группой Шмидта.

Если допустить, что все максимальные подгруппы из О нильпотентны, то О является группой Шмидта. Тогда, в силу леммы 1.2 (1), имеем О = [Р]2, где Р -нормальная силовская ^-подгруппа в О, Q - циклическая силовская д-подгруппа в О. Покажем, что в этом случае для О выполняется одно из двух условий: либо ее подгруппа Р абелева, либо Р - группа кватернионов порядка 8 и Q - группа порядка 3. С этой целью предположим, что группа О - контрпример минимального порядка.

Предположим вначале, что силовская д-подгруппа Q имеет собственную неединичную подгруппу Q1 такую, что = д . В силу леммы 1.2 (4) подгруппа Q1 содержится в центре группы О, следовательно, Q1 является нормальной в О, и мы

ся группой Шмидта. Так как для фактор-групп сохраняется условие перестано-

можем рассмотреть фактор-группу

вочности подгрупп, то любая строго 2-максимальная подгруппа ипереста-

новочна с произвольной строго 3 -максимальной подгруппой из аким об-

разом, в силу выбора О либо ^^ является полупрямым произведением группы кватернионов порядка 8 на группу порядка 3, либо фактор-группа Р абелева.

Р{

В последнем случае подгруппа Р, изоморфная фактор-группе Р^^ , также яв-

ляется абелевой, что невозможно в силу выбора О.

Значит ^q =

PQJ

. /а

Q/ I является группой Шмидта, в которой

является группой Ш^мид!а, в которой ур.

Ql) / ^

группа кватернионов порядка 8, и - группа порядка 3. Это означает, что

/ й

подгруппа Р, изоморфная фактор-группе , также является группой кватер-

/ И

нионов порядка 8, и Q является циклической группой порядка 9. Тогда, в силу леммы 1.2 (2), (8), максимальными подгруппами в группе Шмидта О = [Р^ являются подгруппы вида Р' Q = Ф(Р^ и PQ\, где |Р '| = 2 и = 3 . Тогда подгруппа Q является строго 2-максимальной в группе О, и подгруппа Р1 является строго 3 -максимальной в группе О, где Р1 - максимальная подгруппа в Р порядка 4. По условию Q и Р1 перестановочны, следовательно, Р^ является подгруппой в О. Тогда в силу максимальности подгруппы Р ^ в группе О имеем

Р = Р' = Ф(Р). Это означает, что Р имеет единственную максимальную подгруппу порядка 2, что противоречит строению группы кватернионов порядка 8. Полученные противоречия показывают, что подгруппа Q не имеет собственной неединичной подгруппы Q\ такой, что = д . Следовательно, = д .

Далее осталось показать, что Р либо абелева, либо группа кватернионов порядка 8 и д = 3. Предположим, что Р не является абелевой группой. В этом случае, в силу леммы 1.2 (2), максимальными подгруппами в О являются группы вида Р^ и Р, т.к. = д . Значит, подгруппа Р^ является строго 2-макси-мальной в группе О, где Р ' - максимальная подгруппа в Р'. Также, очевидно, подгруппа Р2 является строго 3 -максимальной в группе О, где Р2 - произвольная 2-максимальная подгруппа в Р. Согласно условию, Р^ и Р1 перестановочны, следовательно, РР ^ - подгруппа в О. Тогда в силу максимальности подгруппы Р^ в группе О имеем Р ' Р2 < Р'. Следовательно, Р2 < Р', т.е. любая 2-макси-мальная подгруппа из Р содержится в Р'. Это означает, что либо Р является циклической, либо подгруппа Р является единственной 2-максимальной подгруппой в Р. Если Р циклическая, то она абелева, что невозможно в силу выбора Р. Значит, Р является группой кватернионов порядка 8 согласно [7. Гл. III, теорема 8.2]. В силу леммы 1.2 (5), (8), порядок фактор-группы |Р/Р'| = 4 сравним с единицей по модулю д, что влечет д = 3.

Итак, мы показали, что группа Шмидта О является либо полупрямым произведением группы кватернионов порядка 8 на группу порядка 3 (т.е. О изоморфна группе 8Ь(2, 3)), либо группой с абелевыми силовскими подгруппами (т.е. группой Миллера-Морена). Значит, О - группа одного из типов (1)-(2), описанных в теореме 1.2.

Допустим теперь, что не все максимальные подгруппы из О нильпотентны, т.е. О не является группой Шмидта. Покажем, что тогда О является группой одного из типов (3)-(6), описанных в теореме 1.2. Заметим, что условия (3)-(6) из

теоремы 1.2 справедливы в случае, когда G является сверхразрешимой группой. Согласно лемме 3.2, в сверхразрешимой группе все ее n-максимальные подгруппы являются строго n -максимальными. Это означает, что случаи (3)-(6) из теоремы 1.2 справедливы также при условии перестановочности каждой строго 2-мак-симальной подгруппы с любой строго 3-максимальной подгруппой. Следовательно, G удовлетворяет одному из типов групп (3)-(6), описанных в теореме 1.2.

Таким образом, группа G удовлетворяет условию теоремы 1.2, что, в свою очередь влечет, справедливость условия (a). Теорема доказана.

Следствие 3.1. Пусть G - группа, в которой любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной ее строго 3-максимальной подгруппой, и порядок группы G делится более чем на три простых числа. Тогда G нильпо-тентна.

Следствие 3.2. Пусть G - группа, в которой любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной ее строго 3-максимальной подгруппой. Тогда G либо сверхразрешима, либо является группой Миллера-Морена, либо изоморфна группе SL(2, 3).

Доказательство следствий 3.1 и 3.2 проводится аналогично доказательству следствий 2.2 и 2.3.

Заключение

Основным результатом работы является описание структуры групп, для которых любая строго 2-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 3-максимальной подгруппой. Отметим также, что полученные в работе результаты и методы доказательств могут быть использованы для получения точного строения групп, для которых любая строго 3 -максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 4-максимальной подгруппой.

В заключение приведем ряд открытых вопросов, которые естественным образом возникают из результатов, полученных в данной работе.

Вопрос 1. Какое строение имеют группы, в которых любая строго 3-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго 4-максимальной подгруппой?

Вопрос 2. Верно ли, что класс групп, в которых любая n-максимальная подгруппа перестановочна с произвольной (n + 1)-максимальной подгруппой, совпадает с классом групп, в которых любая строго n -максимальная подгруппа перестановочна с произвольной строго (n + 1)-максимальной подгруппой для n > 3?

Список источников

1. Guo W., Legchekowa H.V., Skiba A.N. The structure of finite non-nilpotent groups in which

every 2-maximal subgroup permutes with all 3-maximal subgroups // Communications in

Algebra. 2009. V. 37 (7). P. 2446-2456. doi: 10.1080/00927870802334330

2. Го В., Легчекова Е.В., Скиба А.Н. Конечные группы, в которых любая 3-максимальная

подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами // Математические

заметки. 2009. Т. 86, № 3. С. 350-359. doi: 10.4213/mzm8499

3. Луценко (Горбатова) Ю.В., Го В., Скиба А.Н. О ненильпотентных группах, любые две

3-максимальные подгруппы которых перестановочны // Сибирский математический

журнал. 2009. Т. 50, № 6. С. 1255-1268. doi: 10.1007/s11202-009-0109-1

4. Горбатова Ю.В. О перестановочных строго 2-максимальных и строго 3-максимальных

подгруппах // Вестник российских университетов. Математика. 2021. Т. 26, № 134. C. 121-129. doi: 10.20310/2686-9667-2021-26-134-121-129

5. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск : Вышэйшая

школа, 2006. 207 с.

6. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М. : Наука, 1978. 272 с.

7. Луценко Ю.В., Скиба А.Н. Конечные ненильпотентные группы с нормальными или

S-квазинормальными «-максимальными подгруппами // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. 2009. Т. 52, № 1. С. 134-138.

8. DoerkK., Hawkes T. Finite Soluble Groups. Berlin-New York : Walter de Gruyter, 1992. 889 p.

9. HuppertB. Endliche Gruppen I. Berlin-Heidelberg-New York : Springer, 1967. 793 S.

References

1. Guo W., Legchekowa H.V., Skiba A.N. (2009) The structure of finite non-nilpotent groups in

which every 2-maximal subgroup permutes with all 3-maximal subgroups. Communications in Algebra. 37(7). pp. 2446-2456. DOI: 10.1080/00927870802334330.

2. Guo W., Legchekowa H.V., Skiba A.N. (2009) Finite groups in which any 3-maximal sub-

group is permutable with all maximal subgroups. Mathematical Notes. 86(3). pp. 350-359. DOI: 10.4213/mzm8499.

3. Guo W., Lutsenko (Gorbatova) Yu.V, Skiba A.N. (2009) On nonnilpotent groups in which

every two 3-maximal subgroups are permutable. Siberian Mathematical Journal. 50(6). pp. 988-997. DOI: 10.1007/s11202-009-0109-1.

4. Gorbatova Yu.V. (2021) On permutable strongly 2-maximal and strongly 3-maximal

subgroups. Bulletin of Russian Universities. Mathematics. 26(134). pp. 121-129. DOI: 10.20310/2686-9667-2021-26-134-121-129.

5. Monakhov V.S. (2006) Vvedeniye v teoriyu konechnykh grupp i ikh klassov [Introduction

to the theory of finite groups and their classes]. Minsk: Vysheyshaya shkola.

6. Shemetkov L.A. (1978) Formatsii konechnykh grupp [Formations of finite groups]. Moscow:

Nauka.

7. Lutsenko Yu.V., Skiba A.N. (2009) Konechnyye nenil'potentnyye gruppy s normal'nymi ili

S-kvazinormal'nymi n-maksimal'nymi podgruppami [Finite nonnilpotent groups with normal or S-quasinormal n-maximal subgroups]. Izvestiya Gomel'skogo gosudarstvennogo universi-teta. 52(1). pp. 134-138.

8. Doerk K., Hawkes T. (1992) Finite Soluble Groups. Berlin-New York: Walter de Gruyter.

9. Huppert B. (1967) Endliche Gruppen I. Berlin-Heidelberg-New York: Springer.

Сведения об авторе:

Горбатова Юлия Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ (Брянский филиал), Брянск, Россия. E-mail: g.julia32@yandex.ru

Information about the author:

Gorbatova Yulia V. (Cand. Sci (Phys. and Math.), associate professor at the Social-humanitarian and Natural-scientific Disciplines Department, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Bryansk Branch), Bryansk, Russian Federation). E-mail: g.julia32@yandex.ru

Статья поступила в редакцию 16.09.2021; принята к публикации 01.12.2022

The article was submitted 16.09.2021; accepted for publication 01.12.2022