CC BY
9
СТРОЕНИЕ КОНЕЧНЫХ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП С НОРМАЛЬНЫМИ СТРОГО 2-МАКСИМАЛЬНЫМИ ИЛИ СТРОГО 3-МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ
© Горбатова Ю.В.*
Брянский филиал Российской академии народного хозяйства
и государственной службы при Президенте Российской Федерации,
г. Брянск
Работа посвящена описанию структуры конечных ненильпотентных групп, в которых каждая строго 2-максимальная или каждая строго 3-максимальная подгруппа является нормальной.
Ключевые слова нильпотентная группа; силовская подгруппа; группа Шмидта; подгруппа Фиттинга F(G)^; подгруппа Фраттини Ф(О); фактор-группа; и-максимальная подгруппа; строго и-максимальная подгруппа; разрешимая группа; нормальная подгруппа.
Все группы в данной статье являются конечными. Напомним ряд понятий, используемых в данной работе.
Подгруппа Н группы G называется 2-максимальной подгруппой (или второй максимальной подгруппой) группы G, если Н является максимальной подгруппой в некоторой максимальной подгруппе М группы G. Аналогично могут быть определены 3-максимальные подгруппы, 4-максимальные подгруппы и далее.
Введем понятие строго и-максимальной подгруппы. Пусть G - группа и М - ее подгруппа. Будем говорить, что М является строго п-максимальной подгруппой в G, если М является и-максимальной подгруппой группы G, но не является (и+1)-максимальной подгруппой группы G.
Для получения строения ненильпотентных групп с нормальными строго 2-максимальными или строго 3-максимальными подгруппами будем использовать следующие результаты.
Лемма 1 [1, следствие 2.5]. В ненильпотентной группе G каждая 2-максимальная подгруппа нормальна в том и только в том случае, когда G -группа Шмидта, каждая нормальная силовская подгруппа которой имеет простой порядок.
Теорема 1 [1, теорема 3.1]. Пусть G - ненильпотентная группа. Тогда любые две 3-максимальные подгруппы группы G перестановочны в том и только в том случае, когда G является группой одного из следующих типов:
* Старший преподаватель кафедры Математики и информационных технологий, кандидат физико-математических наук.
I. О - группа Шмидта одного из видов:
(a) О - группа с абелевыми силовскими подгруппами;
(b) О=[Ргде Р изоморфна либо группе М3(р) (см. [2, стр. 190]), либо группе кватернионов порядка 8;
(c) О=[РЩ где \Р\ >р3, \Ф(Р)\=р и Ф(Р)=Ф2(Р);
II. О - бипримарная группа, не являющаяся группой Шмидта, одного из следующих видов:
(1) О=[Р^, где Р - минимальная нормальная подгруппа группы О Q -циклическая группа и [Р]Ф^) - группа Шмидта;
(2) О=([Р^1)хС11, где Р - минимальная нормальная подгруппа группы О, \Cq\=q и PQ1 - группа Шмидта;
(3) О=[Р^, где Р - минимальная нормальная подгруппа группы О, Q=<a>x■<b>, \a\=\b\=q, Р<а> и Р<Ь> - группы Шмидта;
(4) О=[Р^, где \Р\=р, р>2 и Q изоморфна группе кватернионов порядка 8;
(5) О=(\Р^1)С9 где Р - минимальная нормальная подгруппа группы О, д1 = <а>, С=<Ъ>, \а\=^>~1 (Р>3), PQ1 - группа Шмидта, аь=а1+ч ((1~22 и [Р,С1]=1 для всякой подгруппы С1, изоморфной Сщ;
(6) О=[Р^, где Ф(Р) - минимальная нормальная подгруппа группы О, обе группы Ф(P)Q и О/Ф(Р) являются группами Шмидта, максимальная подгруппа из Q совпадает с Z(О) и любые две 2-максимальные подгруппы из Р перестановочны;
(7) О - подпрямое произведение двух различных изоморфных групп Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами;
(8) О=[Р1*Ср^, где Р1 - минимальная нормальная р-подгруппа группы О, \Ср\ =р, - группа Шмидта, максимальная подгруппа из Q содержится в Z(О) и [Ср,0>]=1;
(9) О=\\Р1]д]Ср, где Р1 - минимальная нормальная р-подгруппа группы О, \Q\=q, \Ср\=р, ^О^)=№]Ср и Р1Ср - абелева группа;
III. О - группа, порядок которой имеет в точности три простых делителя р, ч, г и которая является группой одного из следующих видов:
(¡) О=([Р^Щ, где Р и R - минимальные нормальные подгруппы группы О, Q - циклическая группа и F(О) =PRФ(Q);
(и) О=[R](PxQ), где \Р\=р, \Q\=Ч и R=F(О) - минимальная нормальная подгруппа группы О.
Теорема 2 [1, теорема 3.3]. Пусть О - ненильпотентная группа. Тогда каждая 3-максимальная подгруппа группы О является нормальной в О в том и только в том случае, когда либо \О\ =ра^где р, ч, г - простые числа и а+в+у<3, либо О изоморфна SL(2,3), либо О является сверхразрешимой группой одного из следующих типов:
(1) G=[P]Q, где \P\=p, \Q\=q (ß>3); группа Qлибо абелева, либо изоморфна группе кватернионов порядка 8, либо изоморфна группе Mß(q) (ß>4); и всякий элемент из Q, порядок которого меньше q1'1, принадлежит CG(P);
(2) G=[P]Q, где P - циклическая группа порядкаp2, обе группы Ф(P)Q и G/ФР) являются группами Шмидта и максимальная подгруппа из Q совпадает с Z(G);
(3) G=[P1^P2]Q, где \P1\ = \P2\=p, P1Q - группа Шмидта и группа P2Q либо нильпотентна, либо также является группой Шмидта;
(4) G=([P]Q)R, где P и R - минимальные нормальные подгруппы группы G, \P\=p, \R\=r, Q - циклическая группа и F(G)=PRФ(Q).
Следующая лемма дает полное описание ненильпотентных групп с нормальными строго 2-максимальными подгруппами.
Лемма 2. Пусть G - ненильпотентная группа. Тогда в том и только в том случае каждая строго 2-максимальная подгруппа из G нормальна, когда G - группа Шмидта, нормальная силовская подгруппа которой имеет простой порядок.
Доказательство. Необходимость.
Пусть G - ненильпотентная группа, в которой каждая сторого 2-макси-мальная подгруппа является нормальной. Тогда, ввиду [3, теорема 3.1], группа G сверхразрешима и поэтому, по [4, теорема 9.1, с. 719], все максимальные ряды группы G имеют одинаковую длину. Это означает, что класс всех строго 2-максимальных подгрупп группы G совпадает с классом всех
2-максимальных подгрупп группы G. Тогда G является группой, описанной в лемме 1, т.е. G - группа Шмидта, нормальная силовская подгруппа которой имеет простой порядок.
Достаточность.
Напрямую следует из леммы 1. Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть G - ненильпотентная группа. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) G является группой Шмидта, нормальная силовская подгруппа которой имеет простой порядок;
(2) каждая 2-максимальная подгруппа группы G нормальна;
(3) каждая строго 2-максимальная подгруппа группы G нормальна.
Следующая теорема дает полное описание ненильпотентных групп с
нормальными строго 3-максимальными подгруппами.
Теорема 3. Пусть G - ненильпотентная группа. Тогда каждая строго
3-максимальная подгруппа группы G является нормальной в G в том и только в том случае, когда либо \G\ =paqerY, где p, q, r - простые числа и a+ß+y<3, либо G изоморфна SL(2,3), либо G является сверхразрешимой группой одного из следующих типов:
(1) О=[Ргде \Р\=р, 0\=Ч (в>3); группа Qлибо абелева, либо изоморфна группе кватернионов порядка 8, либо изоморфна группе Мр(ч) (в>3); и всякий элемент из Q, порядок которого меньше 4е'1, принадлежит СО(Р);
(2) О=[Ргде Р - циклическая группа порядка р2, обе группы Ф(P)Q и О/Ф(Р) являются группами Шмидта и максимальная подгруппа из Q совпадает с Z(О);
(3) О=[Р1*Р2^, где \Р1\ = \Р2\=р, Р\ - группа Шмидта и группа Р\ либо нильпотентна, либо также является группой Шмидта;
(4) О=([Р^Щ, где Р и R - минимальные нормальные подгруппы группы О, \Р\=р, ^=г, Q - циклическая группа и F(О)=PRФ(Q).
Доказательство. Необходимость.
Пусть О - ненильпотентная группа, в которой каждая строго 3-максимальная подгруппа нормальна. Тогда, ввиду леммы 2, каждая максимальная подгруппа из О либо нильпотентна, либо является группой Шмидта, в которой нормальная силовская подгруппа имеет простой порядок. Это в свою очередь влечет нильпотентность каждой 2-максимальной подгруппы группы О.
Предположим вначале, что О - неразрешимая группа. Согласно результатам работ [5, 6], существует точно две неразрешимые группы А5 и SL(2,5), в которых каждая 2-максимальная подгруппа нильпотентна. Следовательно, О изоморфна одной из групп А5 или SL(2,5). С другой стороны, если |п(О)|>3, то, по [3, теорема 4.3], группа О сверхразрешима. Следовательно, |п(О)|<3, что противоречит строению групп А5 и SL(2,5).
Таким образом, О - разрешимая группа, в которой каждая строго 3-максимальная подгруппа нормальна и каждая 2-максимальная подгруппа ниль-потентна. Поскольку в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы есть степень простого числа и число различных простых делителей порядка группы Шмидта равно двум, то п(О)<3.
I. Предположим вначале, что О=[Р]\ является группой Шмидта.
Допустим, что Р - абелева группа. Пусть В этом случае группа О имеет точно два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы \ и Р\ь где \\ - максимальная подгруппа в Следовательно, представителями 2-максимальных подгрупп группы О являются подгруппы \ь Р\2 и Р\ь где \2 - 2-максимальная подгруппа в \ и Р1 -некоторая максимальная подгруппа в Р. Таким образом, представителями 3-максимальных подгрупп в О являются подгруппы \2, Р\3, Р\2 и Р2\ъ где Р2 - некоторая 2-максимальная подгруппа в Р и \3 - 3-максимальная подгруппа в Легко заметить, Р\2 является строго 3-максимальной подгруппой в группе О и поэтому, по условию, Р\2 нормальна в О. Так как подгруппа Р\ \2 нильпотентна, то подгруппа Р\ нормальна в О. это влечет, что
Р^ является подгруппой в G. Тогда, ввиду максимальности Q в G, следует Р1=1. Следовательно, Р\=р и G является группой типа (1).
Пусть теперь |Q\=q. В этом случае группа G имеет точно два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы Q и Р. Следовательно, неединичными 3-максимальными подгруппами в G являются все 2-максимальные подгруппы из Р. Понятно, что каждая 2-максималь-ная подгруппа Р2 из Р является строго 3-максимальной подгруппой в G. Тогда, по условию, Р2 нормальна в G. Это влечет, что Р^ является подгруппой в G. Тогда, ввиду максимальности Q в G, следует Р2=1. Следовательно, \Р\=р2 и поэтому |G\=p2q.
Предположим теперь, что Р - неабелева группа. Пусть В этом
случае группа G имеет точно два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы Ф(Р^ и PQ1, где Q1 - максимальная подгруппа в Q. Следовательно, представителями 2-максимальных подгрупп группы G являются подгруппы Ф(Р^Ь Ф1(P)Q, PQ2 и Р^, где Q2 - 2-максимальная подгруппа в Q, Р1 - некоторая максимальная подгруппа в Р и Ф1(Р) - некоторая максимальная подгруппа в Ф(Р). Таким образом, представителями 3-максимальных подгрупп в G являются подгруппы Ф(Р^2, Ф^Р^, Ф2(Р^, PQ3, P1Q2 и P2Q1, где Р2 - некоторая 2-максимальная подгруппа в Р, Q3 - 3-максимальная подгруппа в Q и Ф2(Р) - некоторая 2-максимальная подгруппа в Ф(Р). Легко заметить, Р^2 является строго 3-максимальной подгруппой в группе G и поэтому, по условию, Р^2 нормальна в G. Так как подгруппа P1Q2 нильпотентна, то подгруппа Р1 нормальна в G. Это влечет, что Р^ является подгруппой в G.
Тогда, ввиду максимальности Ф(Р^ в G, следует Р1=Ф(Р). Следовательно, Р является циклической группой, что противоречит неабелевости Р.
Таким образом, В этом случае группа G имеет точно два класса
максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы Ф(Р^ и Р. Следовательно, представителями 2-максимальных подгрупп группы G являются подгруппы Ф(Р), Ф1(P)Q и Р1, где Р1 - некоторая максимальная подгруппа в Р и Ф1(Р) - некоторая максимальная подгруппа в Ф(Р). Таким образом, представителями 3-максимальных подгрупп в G являются подгруппы Ф1(Р), Ф2(Р^ и Р2, где Р2 - некоторая 2-максимальная подгруппа в Р и Ф2(Р) - некоторая 2-максимальная подгруппа в Ф(Р). Понятно, что каждая 2-максимальная подгруппа Р2 из Р является строго 3-максимальной подгруппой в G. Тогда, по условию, Р2 нормальна в G. Это влечет, что Р^ является подгруппой в G. Тогда, ввиду максимальности Ф(Р^ в G, следует Р2<Ф(Р). Если Р2<Ф(Р), то Р является абелевой группой, что противоречит рассматриваемому случаю. Следовательно, Ф(Р) является единственной 2-
максимальной подгруппой в P и поэтому P - группа кватернионов порядка 8. В этом случае группа G изоморна группе SL(2,3).
II. Теперь предположим, что G не является группой Шмидта и n(G)={p, q}, где pfq.
Рассуждая аналогично, как и при доказательстве теоремы 1 и теоремы 2 (см. [1]), а также, используя лемму 2, можно показать, что группа G является в этом случае группой одного из типов (1)-(3).
III. Наконец, рассмотрим случай, когда n(G)={p, q, r}, где p, q, r - различные простые делители |G|.
Рассуждая аналогично, как и при доказательстве теоремы 1 (см. [1]), а также, используя лемму 2, можно показать, что группа G является в этом случае группой типа (4).
Достаточность.
Напрямую следует из теоремы 2. Теорема доказана.
Следствие 2. Пусть G - ненильпотентная группа. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) в группе G каждая 3-максимальная подгруппа нормальна;
(2) в группе G каждая строго 3-максимальная подгруппа нормальна.
Список литературы:
1. Луценко (Горбатова) Ю.В., Скиба А.Н., Го В. О ненильпотентных группах, любые две 3-максимальные подгруппы которых перестановочны // Сибирский математический журнал. - 2009. - Т. 50, № 6. - С. 1255-1268.
2. Холл Ф. Теория групп. - М.: Мир, 1962.
3. Asaad M. Finite groups some whose n-maximal subgroups are normal // Acta Math. Hung. - 1989. - Vol. 54, № 1-2. - P. 9-27.
4. Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967. - 793 p.
5. Suzuki M. The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order // Proc. Amer. Math. Soc. - 1957. - Vol. 8, № 4. - P. 686-695.
6. Janko Z. Endliche Gruppen mit lauter nilpotent zweitmaximalen Untergruppen // Math. Z. - 1962. - Vol. 79. - P. 422-424.
