Групповой анализ и инвариантные решения уравнений Кармана Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.4-2001

УДК 523.5

Групповой анализ и инвариантные решения уравнений

Кармана

О. Г. Карманов

Методами группового анализа исследуется система уравнений Кармана, изгиба пластин. Выписывается базис алгебры симметрий системы. Строится оптимальная система подалгебр алгебры симметрий, приводятся решения системы уравнений, инвариантные относительно группы преобразований, порождаемой данной алгеброй.

1. Введение

Уравнения Кармана изгиба, пластин имеют следующий вид [1]:

И Л2 го = дп + £(Ф,к>), (1 ■ 1) х

Т?ДД2ф = -\ць>,и)), (1.1)2

где А2 — бигармонический оператор, Ь(и, (р) = §рг§^¥ — 2^^^^ +

Ї- г

+ — функция напряжения, и’(х,у) — прогиб, qn — по-

перечная нагрузка..

Система, уравнений (1.1)і - (1.1 )2 описывает процесс изгиба гибких пластин большого прогиба, что представляет собой наиболее общий случай. В силу громоздкости числовых выкладок, связанных с решением системы, на данный момент получено относительно небольшое число доведенных до конца решений в области теории этих пластин.

В связи с этим возникла идея использовать аппарат группового анализа для изучения свойств данной системы и получения на основе этих свойств каких-либо решений. Суть подхода заключается в том, что

© Карманов О.Г., 2001.

если известна группа симметрий системы дифференциальных уравнений, го можно попытаться отыскать какие-либо точные частные решения данной системы, которые называются инвариантными решениями.

Алгоритм построения группы симметрий системы дифференциальных уравнений подробно изложен в [2. 4] и состой !' в отыскании инфи-нитезималытых образующих группы. Образующие группы симметрий ищу гея в виде

1=1 • а=1 т

и определяются из условия инвариантности:

Пусть Al/(x,uSn'1), I/ = 1./ - - система дифференциальных урав-

нений (здесь х — вектор, представляющий независимые переменные, и(п) — вектор, представляющий зависимые переменные и их всевозможные производные до порядка п включительно). Группа преобразований G, действующая на пространстве независимых и зависим/ых переменных, в которых записана исходная система, является группой симметрий системы, если для каждой инфинитезимлльной образующей v группы G

pr(n)v [Д1/(;г,и(п))] = 0. // = 1,...,/ (1-2)

на решениях системы. (Здесь pr^n*v — так называемое п-е продолжение образующей V, вычисляемое по формулам Ли [4].)

Из условия инвариантности (1.2) получаем систему линейных дифференциальных уравнений для определения функций а г. и). ,«)•

Однако алгоритм Ли вычисления образующих группы, несложный в применении к уравнениям невысоких порядков, содержащих небольшое число независимых и зависимых переменных, приводит к чрезвычайно громоздким выкладкам при увеличении как порядка уравнений, так и числа переменных, и в случае системы Кармана вряд ли может быть реализован вручную. Использование системы символьных вычислений Maple V Release 4 существенно упростило решение поставленной задачи.

2. Вычисление группы симметрий

В случае системы уравнений Кармана, образующие группы симме-

где А'(;г,»/,го,Ф), У(х, у, ю, Ф), Щ.т,у,«?,Ф), Ф{х,ули, Ф) — функции, подлежащие определению.

Продолжение рг(п)у образующей V имеет вид

рг(п)у = у + ■ ■ • + ]¥хх-^— + \Уху-^— + \¥уу-^— + • • • +

скохх огоху О-Шуу

+ щх**г_д_ + ъу*хуу*1_-. \¥уууу^— + • ■ • +

ХХХТ и'10ХХуу ^'^уууу

+ Фуу-Л— + • • • +

()Ф.г: дУху ОФуу

д д д |.ф'ГГ!'-!'______}_ фххуу_______|_ фУУУУ-------

9^ хххх дЧ/ххуу уууу

где многоточием обозначены слагаемые, не входящие в запись условия инвариантности (1.2). Функции \УХХ, \¥ху, И^Ф**, Ф1-у, ф^, Ц/хххх^ \Уххуу, Ц!уууу, ф;,;-г:1':г, ф-г'гуг/, Фуууу вычисляются по формулам продолжения.

Условие инвариантности применительно к данной задаче имеет следующий вид

О (И'™- + 2\К*хуу + И-'""''"' ! = А ■ (С1п)х + У ■ [Яп)у + ФхаЧ, + И-^Ф.г,-

-2Фхугоху - 2\УхуУху + Ьууыхх + \УххЪууЛ, (2.1)!

1 (ф—,■ + 2ф**уу + фуууу) = 2\Гхугиху - Ц'ххгоуу - \¥ууюхх (2.1)2 Л/ и

на. решениях системы (1.1)1 ~ (1-1)2-

Определение вида функций А/’(;с, у, ги, Ф), У'(.г, у, го, Ф), }¥{х,у, го, Ф), Ф(х.у,го, Ф) проводится поэтапно. На каждом шаге уравнения (2.1)1

- (2.1)2 расщепляются на. переопределенную систему большого числа линейных уравнений в частных производных относительно функций А(;г. у, ю, Ф), У{х, у, го, Ф), Ц'(х, у, го, Ф), Ф(х, у, ю, Ф). Исследуя наиболее простые уравнения полученной системы, выясняем свойства искомых функций (независимость от одной или более переменных и т.п.). Затем условие инвариантности (2.1)1 - (2.1)2 выписывается заново с учетом сделанных уточнений. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет определен явный вид функций А (ж, у, IV, Ф), У(х, у, ю, Ф), Ц/(х,у,ги,Ч!), Ф(х, у, го, Ф), либо дальнейшая конкретизация невозможна.

Применение алгоритма Ли [2, 4] с использованием возможностей системы символьных вычислений Maple V Release 4 дает следующий результат:

Если qn — qn(x,y) — произвольная функция своих аргументов, то система (1Л)г - (1Л)2 допускает шестимерную алгебру Le инфинитези-мадъных операторов с базисом v4 = v5 = t/^, v6 = jj^, V7 = Хщ, vs = v9 = Образующие V(3 и v9 порождают группы сдвигов

вдоль координатных осей ги и Ф соответственно. Образующие v^, Vr, и V7, vs порождают действие группы галилеевых переносов вдоль осей w и Ф соответственно.

Групповая классификация [2] системы (l.l)i - (1.1 )2 по функции qn приводит к следующему результату. Расширение алгебры />6 происходит только при таких специализациях </п:

1. с/,, = q„(y)\ дополнительный базисный оператор vt = ^ (сдвиг вдоль оси х)\

2. qn = </„(;?•); дополнительный базисный оператор v2 = щ (сдвиг вдоль оси у);

3. </„ = qn(x2 + у2); дополнительный базисный оператор v3 = —

—■гщ (вращение в плоскости ху);

4. qn — const; дополнительные базисные операторы v>, v2, V3.

Как видно, наиболее широкая группа симметрий системы (1.1 )i -(1.1)2 получается при qn — const. В этом случае отвечающая данной группе алгебра инфинитезимальиых симметрий Ьд порождается базисом операторов Vi, v2, .... v9. В данной работе рассматривался именно этот случай.

3. Построение оптимальной системы подалгебр

Зная группу симметрий системы уравнений, можно понижать порядок уравнений, входящих в систему, получая системы уравнений, более простые для изучения. Решения редуцированных таким образом систем называются инвариантными относительно группы решениями. Однако если подходить к задаче построения инвариантных решений, не изучив предварительно свойств полученной на предыдущем этапе алгебры симметрий системы уравнений, то одни и те же функции могут появиться в качестве инвариантных решений относительно различных подгрупп группы симметрий системы. Для построения неэквивалентных инвариантных решений алгебра симметрий i9

системы (1.1)1 - (1-1)г разбивается на одномерные неизоморфные подалгебры, каждой из которых отвечает некоторое инвариантное решение. На практике это осуществляется следующим образом: рассматривается вектор V = + • • • + адУд из линейной оболочки алгебры Ь9 и

подвергается различным присоединенным преобразованиям [2, 4] так, чтобы обратить в нуль как можно больше коэффициентов а,-. Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что функция г/(у) = —24а2 является инвариантом присоединенного действия, и процесс упрощения вектора V разбивается на. два случая: а3 / 0 и а3 = 0. В первом случае это означает, что никакими присоединенными преобразованиями нельзя обратить в нуль коэффициент при У3.

Рассматривая эти два случая, получаем, что система одномерных неизоморфных подалгебр состоит из следующих операторов:

у3, у3 + ау6, у3 + АУд, У3 + + 6у9,

V1, VI + (IV4 + Ьу5, «У1 + ЬУ2 + У4, О.У1 + 6у2 + у4 + СУ7 + с/у8, (3.1)

V] + «у4 + Ь\5 + СУ7 + с/У8, ОУ1 + Ъу2 + су4 + <^У5 + У7, VI, где а, 6, с, с! — произвольные, не равные нулю постоянные.

4. Редукция и построение инвариантных решений системы Кармана

Для каждого из операторов системы (3.1) ищутся инварианты [4] действия группы, порождаемой данным оператором. Инвариантные функции С (.г) ищутся из условия

у(С(ж)) = 0,

что равносильно решению линейного уравнения в частных производных первого порядка. Исходная система (1.1)1 - (1 -1)2 переписывается в терминах инвариантов, при этом одна из независимых переменных исключается, и система, уравнений Кармана сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

4.1. Редукция относительно оператора у3 = у-~ — х-^

Инвариантами оператора вращения будут следующие функции

г = у/ х2 + у\ V = ф = Ф.

Переписывая систему (1.1)1 - (1-1)2 в терминах инвариантов, где г играет роль новой независимой переменной, а V и ф — функции от

получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

гл ( IV , о ш ^ ч і ^ М , і п / , // і/ і,II

1) [ гп + 2г>-и -|—-V ] = дпг + чр V + и.' V , (4.1

г г

-ы л

~ (г+ 2,Г - V + !./■') = -Л". (4.1;

4.2. Редукция относительно оператора у:! + а\6 + Ьлг9 = ?/^

^ + адИ> + ^эф

Инвариантами оператора буду т функции

г — >/г2 + у2, V ~ ю — а агс^ —, ?/’ = Ф — />агс1§ —.

.т .г

Редуцированная система имеет вид

Г> ( IV I О ^ II і ^ А 2иЬ ! II II І II , , .-.ч

74.’ + 2г.'------V + —V = </„г---------------— + ф V + І' V , (4.2)і

\ ?’ Г /

4.3. Редукция относительно оператора у3+йу6 = у^-х-^+а^

Инвариантами оператора будут функции

г = \/Xі + у2. V = го — а аг^ —, ф = Ф.

х

Редуцированная система имеет вид

+ a7ik

4.4. Редукция относительно оператора v:i + av9 = у

ПЦ

Инварианты

>г

•г% +

\А2 + у2-

г = (с. (/■ = ф — a arctg

У

Редуцированпал система, имеет вид

п I IV > .Л III И , М , : II II , I

I) | гг + 2г - -с + —V ) = (-/,;/■ + Г V + v V

1

г

IV , ,, ,,

nr + 2 ч/’

/ И ’V V .

(4.4),

(4.4Ь

/'.'/) \ г г

Из систем (1.1) - (4.4) наиболее общин вид имеет система (4.2). Таким образом, достаточно исследовать только систему (4.2). Используя известное преобразование п понижая порядок каждого из уравнений на единицу, систему (4.2) можно переписать в следующем виде

.2

Lit:

L

77-

і (і г dr

dr

V'(h-

q„r‘ ab ,

—+ 7*+vt’’

Kh’dr

1 d f dc

r dr \ dr

,'2

a v 2 r2 2

Выполняя замену г1 = ■£;(/•), U'r — V'(r). порядок каждого уравнения в системе можно понизить еще на единицу. К сожалению, возможности дальнейших упрощений на этом исчерпываются.

4.5. Редукция относительно оператора avj + 6v2 + v4 = a~ +

"h~, + -r^

Инварианты оператора

1U= ~ °У- r = a

Редуцированная система имеет вид

k2Dvn к2

г2

2a

Ф.

Eh

-v:

.IV

-a г

(4.5)

где к = a2 + b2. Решением редуцированной системы (4.5) будет пара функций

г( г) = (с еЛ' + С2С Л? ) COS Аг + (с.зЄЛ' + СЛе л’ ) sin Аг + Гг,г + С-(5 Н-,

а1 Ыг

Ф(г) — \f~DEh (с2б Лг — с1еЛ7') этЛг + \/ПЕЬ (о3еХг — с4е Лг) соя Аг-

Чп 2 I ,

■—г +с7г + с8, 2а

где С1, С2, . . . , С$ — Произвольные постоянные, А = у 4$Е>-

Таким образом, частным решением системы (1.1)1 (1-1)2 будут

функции

х2

ю(х,у) = 1'(Ьх - ау) + —,

2а

Ф(.г, у) = ф(Ьх - ау).

4.6. Редукция относительно «у, + bv2 + су4 + с/у5 + у7 = «#- 4-

+Ь.щ + (аг + с!у)~ + х > Инварианты оператора

I ист 1/0. 1.1 — сш л ,

г = о.г — ау, V — ги-------------------------------------------------------------—-----------------------—, ф — Ф

(ас + Ь(1)х2 — 2с1тх , х2

Ь—’ *=* - а-

Редуцированная система имеет вид

к2Вуп = ([п + ап" + (ас + Ь(1)ф", (4.6)1

~ (<п"г Ь(1)>'”. (4.6).

где к — а2 + 1г.

В зависимости. от знаков величин а и I) = а2 — 4ВЕк(ас + М)2 получаем, что решением системы (4.6) будут функции:

!) « > 0. Г) > 0.

| г’(г) = С1еЛ1’ + С-2С + Сзе"'2’ + С4в /''2’ + {),

—к-7Т7,(х1(^(Х'г + С2е_Л1?') + А? (сзеЛаГ + с4е-Л2Г)) + V’,

ас + Ь(1

\ //а±\/Ъ

-де А 1,2 = V ~ШПТ и здес

где Л 1>2 = у ~2р п и здесь и далее в этом разделе

(12 2 к2((12 + адп(ас. + 6г/))

г’ = о~Г( 7ТЖГ СзГ Сб ^-Ёч7-ГТт — ■

2аг(ас + 6а) аЕп(ас + ш)5

й2 + адп(ас + Ьс?) 2

^ =-------о /-----ГГл2 г + с?г + с8-

2а(ас + 6а)2

2) a > О, D < О и а < О, D < О. v(r) = (CleAir + с2е“л,г) sin X2r + (с3еЛ1Г + c4e"Air) cos A2r '+ v, .

(.’(/•) = ~Ц^-((с1ел‘г — с2е~А)Г) cos A2r — (c3eA‘r — c4e~Air)sin A2r)-

ac -j- M

((c, eA‘r + c2e-A,r) sin A2r + (c3eA,r + C4.e_A,r') COS A2r) + Ф,

2 (ac'+ bcl)

\ / 2\/1?£7Л(ас+6е/):*±а

где Aj,2 = y-v:—5PO—.

3) a < 0, D > 0.

t>(r) = ('] sin A] r + c2 cos At?■ +, c3 sin A2r + c4 cos A2r + u, k2D

'^{r) = -------r;(A2(Cl sin'A) 7' -f e2 cos Air).+ A?(c3sin A2r + c4 cos A2r)) + ф.

ac+bd

где A,,2 -

4) a > 0, D = 0.

{;(?’) = (d + C2r)eXr + (C3 + C4r).e~Ar + l>,

Я£А(лс + 6Л) - • 2

\ \ ~ L • ~ I V 4"*-> 1 ■ w<* ' /\ '

a a

ф{г) = --L-U ^(С1+С2Г)еАЧ(сз + С4г)е-АГ_^(с2еЛ,_С4е-Лг)) + ^)

где л = \/т-

5) a < 0. I) = 0.

r(r) = гi cos Ar + c2 sin Ar + (c3 cos Ar + c4 sin Ar)r'+ v,

2 DEh{ac + bd) . .

i/>(r) =---------------——-(cj cos Ar + c2 sin Ar + (c3 cos Ar + c4 sm Ar)r) +

O' 3

4DEh(ac + bd) л . , ' T

_l-----------------^Сз qQg дг _ C4 sln дг) ^

\ci

г'1е л =

Таким образом, частное решение системы (l.l)i - (1.1 )2 имеет вид

. . , (ac — bd)x2 + 2adxy

w{x,y) = v(bx - ay) + —-------------—------------,

4.7. Редукция относительно ауг + Ьу2 + у4 + су7 4- б?у8 = а^ +

^ (сж + ^)эф Инварианты оператора

х2 (ас + Ь</)х2 — 2с/гж

?' = ох — ау, V = и>------, ф = V------------------------.

У' 2а ' 2а2

Редуцированная система имеет вид

к2 Ои1У — дп + (ас + + аф", (4.7)х

^ = -ап", (4.7)2

и

где А: = а2 4- Ь2.

В зависимости от знаков величин ас + Ьс1 п В — (ас + Ьё)2 — АВЕЬа имеем, что решением редуцированной системы (4.7) будут функции: 1) ас + ЬЛ > О, В > 0.

1>(г) = сгеЛ1Г + с2е_Л1?' + с3еЛ2Г + с4е~Х2Г + V,

ф(г) =----—(А^С^1’ + С2в А‘г) + А2(с3еЛ2’ + с4е А2’)) 4- ф,

где А 1,2 = \/ и здесь 11 далее в этом разделе

к%

V = с5г +, с6 +

х2£/>’

7 ?л 2 ,

ф=-—Г +С7Г + С8.

2а

2) ас + М > 0, £> < 0 и ас + 6(/ < 0, ^ < 0.

- I *

г;(г) = (с1еА1Г + с2е~хП эт Агг 4- (сзеА1Г 4- с4е_Л1Г) соя А2г 4- V,

2 к2 П\ А

ф(г) — ------------------ ——((с1 6А'Г — сгв—А1 г) сов А2г — (с3еА,г — с4е_А,г) эт А2г)-

~о7—Т"7^((С1еЛ1Г + с2е_Л1Г) ^ ^ + (с3еА1Г + с4е~Л1Г) сш А2г) + 0, 2(ас 4- оа)

\ /,2'/ОЕка2±(ас+М)

где А12 = у — ^2^----------------^

3) ас 4- Ь(1 < 0, В > 0.

г>(г) = С\ эт А1Г 4- С2 соя А1Г + с3 эт \2г + с4 соэ Х2г 4- и,

к2 В -

= --------(Л 1(сх він Лі Г + С 2 СОЭ Літ) + Аі(с3 ЭШ А2г + с4 сов А2г)) + ф,

\ \ / — {ас+Ь(1)±'\/~В

где Л 1,2 = У %к2р '

1) (/г 4- /к/ > 0, /) — 0.

г>(?-) = (С! +с2г)еХт + (с3 + с4г)е~Лг 4*

#г) = + С2т)ехг + (с3 + с4г)е- |(с2ел?- - С4е-Лг)) + ф,

ас 4- Ьа X

где Л = ф.

5) ас 4- Ы < 0, Ь — 0.

' аС+Ь(І 2к70 '

ц(г) = Сі СОБ Аг + С'2 вій А г 4- (сз сое Хт 4" С4 8111 А г)г + и,

,,ч 2ИЕка . ■ . .

^(г) = —---------—-(сі соэ Аг 4- с-1 він А г 4- (с3 сов А/’ 4- с4 вт Аг)г)4-

о.с 4- оа

■іОЕІга , 7

-(сз сов .Аг — с4 эт Аг) 4- V,

А (ас 4-

где А ---■ у 1

(ас+6Л)

2к20 ’

Таким образом, частное решение системы (1.1)і - (1.1)2 имеет вид

х2

и'(х.у) - у(Ьх - ау) 4-—,

2а

(ас - М)ж2 + 2абЬу

Ф(х,у) = ф(Ьх - ау) 4-------------г~т;--------•

2аг

4.8. Редукция относительно оператора Уі + ау4 4- Ъмь = ^ 4-

4-(аж 4-

Инварианты оператора

ах2 ,

г = у, г> = ю-----------огх, ф = Ф.

Редуцированная система имеет вид

Решением редуцированной системы (4.8) будет пара функций у(г) = {с1еАг + С2е_Лг) сов Аг + (сзЄЛг + С4Є~Лг) 8ІП Аг+^-Г2 + С5Г + С64 ^

2 а ' а2ЕИ

Ф(г) = л/оШг(с2є Хг — сіеХг) віп Аг + VГ)Е}і(с:ієХг — с4с Аг) соя Аг-

Чп 2 і ,

—г + С7Г + С8,

2 а

где С\УС2, ..., с8 — произвольные постоянные, А = у

Таким образом, частное решение системы (1.1)1 - (1.1 )2

С1Х^

іо(х,у) = і}{іу) + -^- + Ьху,

Ф(ж, у) = ф(у). .

4.9. Редукция относительно оператора V] + ау4 + Ьу5 + су7 +

= £ + (аж + ьУ)~к .+ (сх + йУ)т Инварианты оператора

О О

(XX СХ

Г — у, V == IV----------бгх, Ф = Ф---------;----</г;С.

2 2

Редуцированная система имеет вид

Z)г’^v = </п + п/' + аф" — 2 Ьс1, (4.9) і

~фІУ = Ь2~аі>". (4.9)2

Решения редуцированной системы (4.9) в зависимости от знаков величин с и Г) — с2 — 4ИЕка2 имеют следующий вид:

1) с > О, Ь > 0.

1>(г) — С\ЄХіГ 4- С2Є"ЛіГ + СзЄХ2Т + с4е~х'іТ + V,

Ф(г) = --(^(.С1еА1Г + С2Є~Х'Г) + А'і(с3ЄА2Г + С4Є"А2Г)) + V-,

а

ще А і -2 = и 3Десь и Далее в этом пункте

■f bc + a{qn - 2bd) 2 ,

ф =—--------------------r.+c7r + c8.

2) с > О, D < О и с < О, D < О.

v(r) — (Cl£x'r + с2е~х,т) sin А2г + (с3е А 1 г + c4e~Air) COS А2Г + V,

т/>(г) = -—“-('(cjgA*r — с2е-А.1Г) cos A2r — (c3eAir — c4e-Al?')sin A2r) —

a

—-((CieAir + c2e Air) sin A2r + (c3eAir + c4e Air) COS A2r) + Ф, la

'1,2 ~ V 40

3) C<Q,-D > 0.

'u(r) = C’l sin Air + C-2 COS Ai?’ -f C3 sin A2r + c4 cos A2r + u,

J) _

?/’(r) = —(A2(cj sin Air + c2 cos Air) + Aj(c3 sin A2r -f c4 cos A2r)).+ Ф, a

где,Ai.2 - V" :

4)c>o,/; = o.

u(r) = (d + c2r)eAr + (c3 + c4r)e-Ar + v,

= + с.2Г)е-'' + (сз + C4r)e-A' - 2(c2eA' - c4e-v)) + tf,

<: A

где A =

5) с < 0, i) = 0.

u(r) = сi cos Ar + c2 sin Ar + (c3 cos Ar + c4 sin Ar)r + v,

, 2 DEha . .

V'(r) =------------(ci cos Ar + c2 sin Ar + (c3 cos Ar 4- c4 sin Ar )rj +

c

ADEha . -

- (c3 cos Ar — c4 sm Ar j + Ф,

Ac

Литература

1. Михайловский Е. И., Торопов А. В. Математические модели теории упругости. Сыктывкар, 1995. 251 с.

2. Овсянников JT. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений М.: Наука, 1978. 399 с.

3. Ибрагимов Н. X. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике// Успехи мат,ем. наук. 1992. Т. ^7. Вып. 4(286). С. 83-

щ

4. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1986. 637 с.

5. Фущич В. И., Штелень В. М., Серов Н. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наук, думка, 1989. 336 с.

Summary

Karmanov O.G. Group analysis and invariant solutions of Carman equations

The Carman system of equations for plate bending is investigated using group analysis. A basis of the algebra of symmetries is found, an optimal system of one-dimentional subalgebras is constructed. Some solutions of the system of equations in question are given, which are invariant under transformations generated by the above algebra.

СыктГУ

Поступила 30.09.2000