Групповая классификация одного класса полулинейных псевдопараболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 4 (2013). С. 105-115.

УДК 517.9

ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОДНОГО КЛАССА ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

А.Б. ПАНОВ

Аннотация. В работе осуществлена групповая классификация псевдопараболическо-го уравнения в частных производных с двумя параметрами. Найдены группы преобразований эквивалентности, с их помощью проклассифицированы параметры системы. Найдены ядра основных групп симметрий уравнений. Для спецификаций параметров, расширяющих ядро групп преобразований, найдены основные группы симметрий. Полученные подмодели собраны в таблице в конце работы.

Ключевые слова: алгебра Ли, групповая классификация, программа ПОДМОДЕЛИ. Mathematics Subject Classification: 35B06, 35K58, 35K70

1. Введение

Рассматривается полулинейное уравнение

ащ — Utxx = / (u) (1-1)

псевдопараболического типа (терминологию см. в [1, стр. 186], [2, стр. 12, 573]), где а и / = /(z) — постоянный и функциональный параметры, u = u(t,x) — неизвестная функция. Данное уравнение при / (z) = ez или / (z) = zez описывает физические явления в полупроводниках при учёте дебаевской экранировки и источников свободных зарядов [2]. В случае /(z) = z3 уравнение описывает квазистационарные процессы в полупроводниках при наличии стационарного распределения источников тока свободных зарядов [2], а при / (z) = z получается уравнение стратификации объёмного заряда в полупроводнике [2]. Теорией полупроводников не ограничивается область применения уравнений такого класса. Например, при /(z) = z — az3 получается известное уравнение Хоффа, описывающее выпучивание двутавровой балки [3].

Следуя программе ПОДМОДЕЛИ [4], уравнение (1.1) с параметрами будем называть «большой моделью». Первым шагом программы ПОДМОДЕЛИ является групповая классификация. Задача групповой классификации состоит в вычислении преобразований, допускаемых уравнением при любом значении параметров - ядра основных групп симметрий [5, стр. 80], и нахождении таких спецификаций параметров, основные группы симметрий которых расширяют ядро.

В разделе 2 осуществляется поиск группы преобразований эквивалентности уравнения (1.1) с использованием подхода, предложенного в [6, 7]. В разделе 3 осуществляется поиск спецификаций и соответствующих им основных групп симметрий уравнения, расширяющих ядро основных групп преобразований. При этом вид спецификаций преобразованиями эквивалентности, найденными во втором разделе, приводится к наиболее простому.

A.V. Panov, Group classification of a class of semilinear pseudoparabolic equations.

© Панов А.В. 2013.

Поступила 4 октября 2013 г.

В результате групповой классификации найдены ядра основных групп симметрий: для а = 0 ядро состоит из сдвигов по независимым переменным, а для а = 0 к сдвигам добавляется растяжение, порождаемое генератором Х3 = хдх — 2£д*. Найдены все спецификации параметров, приводящие к дополнительным симметриям уравнения. Все нелинейные спецификации, расширяющие ядро, находятся в классах эквивалентности функций еи, ,

и-3, еи ± 1. Среди них при а = 0 самой большой алгеброй симметрий обладает уравнение с функцией / = и-3, его алгебра Ли является пятимерной. Полученные подмодели собраны в таблице в конце работы.

2. Группа преобразований эквивалентности

При выполнении групповой классификации важно знать такие преобразования, которые изменяют параметры, содержащиеся в уравнении, сохраняя при этом дифференциальную структуру самого уравнения. Данные преобразования определяют отношение эквивалентности на множестве параметров уравнения. Группы симметрий двух дифференциальных уравнений, соответствующих двум разным, но эквивалентным параметрам, изоморфны.

Запишем исходное уравнение в виде

аи* — — / = 0, (2.1)

подразумевая, что а, / — это дополнительные переменные, зависящие от независимых переменных £, х, и. Генераторы непрерывных групп преобразований эквивалентности будем искать в виде

д д д д д 5 = тт + % + "аи + + "да

где функции т,£,п,^, V зависят от £, х, и, /, а (см. [6, 7, 8]). Дополним уравнение (2.1) уравнениями

/* = 0, /х = 0, (2.2)

а* = 0, аж = 0, а„ = 0, (2.3)

означающими, что в исходной постановке задачи / зависит только от и, а а является постоянной величиной.

Будем рассматривать систему (2.1)—(2.3) как многообразие N в расширенном пространстве соответствующих переменных. Для нахождения допускаемых групп многообразия N воспользуемся инфинитезимальным критерием [5], подействовав продолженным оператором

~ д ддддддд ^ + <^хх-----+ + IIх— + + V*— + Vх — + Vм

dnt дutxx д/t дfx df дat дax дau

на уравнения (2.1)—(2.3), сузим результат действия на многообразие N и получим определяющие уравнения

vnt + a^t - ^txx - ^\эт = 0, (2.4)

^t|N = 0, ^x|N = 0 (2.5)

= 0, vx\n =0, vu|n =0. (2.6)

Коэффициенты оператора Y могут быть вычислены по формулам продолжения, использующим операторы дифференцирования

д д д д д д = dt+nt su + + funt) f + (at+aunt) +ntt +ntx su—+...,

д д д д д д Dx = т;-----+ nx^--+ (fx + funx^^7 + (ax + aunx^^-+ nxx^--+ ntx^---+ . . . ,

dx dn д f дa dux дnt

Y д д д Y д д д

Dt = 777 + ft^7 + at^-------+ . . . , Dx = ~f.-+ fx^7 + ax^---+ . .. ,

dt df da dx df da

~ д д д Ои = т; + /и^т + аи^ + ...

ди д/ да С учетом уравнений (2.2), (2.3), операторы примут вид

д д д д д д д д О* = 777 + и*^----+ /ии*^7 + и**^------+ и*х^------+ ЗииЩ^у- + и***^-+ и**х^-----+ . .

д£ ди д / ди* дих д /и ди** ди*х

О д д / д д д / д

Ох Тч + и х^ + /иих ^ /» + и хх^ + и х*^ + /ииих гл /» + . . . ,

дх ди д / ди х д и * д /и

~ д ~ д ~ д д

О * 777, О х т: , О и ~ + /и „ „ + ...

д£ дх ди д/

Согласно формулам продолжения

^* = О*(п) — и*О*(т) — и хО*(^), ^х = Ох(п) — и*Ох(т) — МхОх(С),

^хх = °х(^х) — и*хОх(т) — ихх Ох(С), ^*хх = °*(^хх) — и*ххО*(т) — ихххО*(С )>

поэтому

^ — п* + и*пи + и */ип/ и*т* и 4 ти и 4/ит/ и хС* и*и х^и и*и х/иС/,

^ --- Пх + их^и + их/«П/ и*тх и*ихти и*их/ит/ ихСх ихСи их/иС/.

Распишем сначала уравнения (2.5), (2.6), это сократит вычисление коэффициентов ^хх, ^*хх. Получим

= (А(^) — У*0*(т) — /х-°*(С) — /и°*(п))|ЭТ = ^* — /и^* = 0,

^хк = (Дг (^) — /* Дх(т) — /х Д*(С) — /иДг(п))|эт = ^х — /иПх = 0,

V *|эт = (О* (V) — а*О*(т) — ах О* (С) — аиА(п))|эт = V* = 0,

Vх |эт = (О x(v) — а*5х(т) — ахООх(С) — аиДг(п))|эт = Vx = 0,

V и|эт = ^ + /и V/ = 0.

Из этих уравнений следует в силу произвольности /и, что п* = Пх = 0, ^* = ^х = 0,

V* = V, = Vu = V/ = 0. Поэтому п = п(и, а, /), ^ = ^(и, а, /), V = V(а).

Расщепим по дифференциальным переменным уравнение (2.4). При /иии стоит множитель «хи*П/ — и*^т/ — ^и*С/, приравняв его к нулю, получим равенства п/ = С/ = т/ = 0. Проделав аналогичные действия с множителем при /ии, получим Схи = 0. Продифференцируем по / уравнение (2.4) и, учитывая равенства V/ = С/ = т/ = п/ = 0, придем к

уравнению пи — 2и*ти — 2Сх — 3ихСи — т* — ^/ = 0. Тогда Си = ти = 0 и ^/ = пи — 2Сх — т*.

Продолжая приравнивать к нулю коэффициенты при различных дифференциальных переменных, получим равенства

и**х • тх 0,

и ххх • С* 0,

ихх • 2Сх* и*пии 0.

Таким образом, т = т(£, а),С = С(х,а),пии = 0,п = п(и, а). Перепишем теперь уравнение (2.4):

и * + и*хСхх + /пи + 2аи*Сх 2/Сх /т* ^ ---- 0.

Видно, что Схх = 0, V + 2аСх = 0,/пи — 2/Сх — /т* — ^ = 0. Если последнее равенство

продифференцировать по £ и учесть, что ^* = С* = п* = 0, то получим т** = 0. Таким образом, решение системы определяющих уравнений образуют функции т = ^(а) + С2(а)£, С = с3(а) + с4(а)х, п = с5(а) + сб(а)и, ^ = /(сб(а) — с2(а) — 2с4(а)), V = — 2ас4(а). Здесь сДа) — произвольные функции от а. Базисные операторы можно выбрать в таком виде

Х1 = С1(а)д*, X* = сз(а)дх, Хз = С5(а)ди,

Х4 = С2(а)£д* — С2(а)/д/, Х5 = Сб(а)иди + Сб (а)/д/,

X6 — c4(a)xdx — 2c4(a)fd/ — 2c4(a)ada.

Оператором X6, например, при c4 — 1 можно перевести константу a в любую другую того же знака. Получаем 3 случая: a — 1, a — —1, a — 0. После этого оператор Х6 не используем, чтобы a не менялось. Тогда остальные операторы преобразования эквивалентности образуют пятимерную алгебру Ли с базисом

Xi = dt, X2 = dx, X3 = du, X4 = tdt — fd/, X5 = ndu + fd/.

Рассмотрим действие проекций этих операторов на пространстве R2(n, f). Оператор X3 даёт сдвиг переменного u. Проекция pr(u,/) (—X4) — fd/, даёт растяжение по f. Растяжение по u получим как проекцию pr(u/)(X4 + X5) — ndu. Непосредственно из уравнения видны 2 дискретные симметрии t — —t, f — —f и и — —n, f — —f, из которых получаются отражения по переменным u и f.

3. Спецификации параметров

Найдем спецификации параметров a, f, при которых появляются дополнительные симметрии уравнения

ant ntxx -- f (n) . (3.1)

Генераторы непрерывных групп преобразований будем искать в виде

д д д

Y — т---+ S---+ n—,

dt + Sdx + 'dU

где функции т, S, n, зависят от t, x, n.

Подействуем на функцию F(t, x, n, ut, utxx) — ant — ntxx — f (n), задающую систему (3.1) в виде F = О, продолженным оператором

дд

Iа = Y + </— + </xx

dut dutxx

По критерию инвариантности получим

(a^ - </xx - f'(u)n)|F=o = 0. (3.2)

С помощью операторов полных производных

д д д д д д д д

Dt = 777 + ut^ + utt^ + utx^ + ... , Dx = t; + ux^ + uxx^ + uxt^ + ...

dt du dut dUx dx du dux du^

согласно формулам продолжения

= Dt(n) - utDt(r) - uxA(£), ^x = Dx(n) - utDx(r) - uxDx(C),

^xx = Dx(^x) - utxDx(T) - uxxDx(C), ^txx = A(^xx) - utxxDt(r) - uxxxA(£)

распишем уравнение (3.2). Приравняем коэффициенты при третьих производных к нулю:

uttx • Tx + uxT« 0,

uxxx • Ct + utCu 0.

Аналогичным образом получим уравнения для коэффициентов при вторых производных:

utx • 2n«x + Cxx 2ux ------- 0,

uxx • ntu utn«« 0.

Тогда — 0, ntu — 0, Cxx — 2^xu. Оставшееся уравнение после расщепления по переменной ut приводит к равенствам

nxxu + 2aCx 0,

ant - ntxx + f (u)n« - 2f (u)C/(x) - f (u)t'C0 - f/(u)n = 0. (3.3)

Отсюда легко получить следующие утверждения.

Теорема 1. (i) Базис ядра основных алгебр Ли уравнения -utxx — f (u) состоит из операторов Xi — dt, X2 — dx, X3 — 2tdt - xdx.

(ii) Базис ядра основных алгебр Ли уравнения (3.1) в случае a — 0 состоит из операторов Xi — dt, X2 — dx.

Дальнейшее вычисление спецификаций разбивается на 3 случая: a — 0, a> 0, a< 0. Результаты классификации выписаны в таблицу 1. Далее, номер спецификации указывает номера столбца и строки в таблице.

Первый случай a — 0. Тогда, так как nuu — 0, ntu — 0, nxxu — 0, то n — (cix + c2)u + b(t, x). Так как Cxx — 2nxu, то C — cix2 + c3x + c4. Подставив эти выражения в уравнение (3.3), получим

btxx(t, x) + f (u)(cix + C2 - 4cix - 2сз - т'(t)) - f'(u)((cix + C2)u + b(t,x)) — 0. (3.4)

Случай f '(u) — 0 разбивается на два.

1.1. Если f — 0, получим уравнение btxx — 0, которое дает решение определяющей системы уравнений

т — т(t), C — cix2 + c3x + c4, n — (cix + c2)u + c(t)x + d(t) + e(x).

Ему соответствует бесконечномерная алгебра Ли.

1.2. Если же f — const — 0, растяжением по переменной f можно получить f — 1. Тогда решение имеет вид

т — т(t), C — cix2 + c3x + c4,

2

n — (cix + C2)u + (^2 - x2t - Cix3t - т(t) Y + c(t)x + d(t) + e(x).

При f '(u) — 0 рассмотрим два различных случая.

1.3. Пусть f''(u) — 0, тогда f — au + $, a — 0. Применяя сдвиг и растяжение по u, можно преобразовать спецификацию к виду f — u. Тогда уравнение (3.4) после расщепления по переменным x, u влечет равенства

ci — 0, т — -2c3t + c5,

btxx (t,x) + b(t, x) — 0. (3.5)

Итак, в данном случае коэффициенты генераторов группы симметрий имеют вид

т — -2c3t + c5, C — c3x + c4, n — c2u + b(t,x),

где b(t, x) — решение уравнения (3.5).

Пусть теперь f''(u) — 0. Тогда, продифференцировав по u уравнение (3.4), получим

f' (u)(4cix + 2сз + т'(t)) + f ''(u)((cix + C2)u + b(t,x)) — 0. (3.6)

Двойное дифференцирование по t, x последнего уравнения дает равенство btx(t,x) — 0, поэтому b(t,x) — bi(t) + b2(x). Продифференцируем (3.6) один раз по t и x соответственно:

f'(u)r"(t) + f ''(u)bi(t) — 0, (3.7)

4cif'(u) + ciuf ''(u) + b2(x)f''(u) — 0. (3.8)

Из уравнения (3.7) видно, что возможны два случая: т — c5t + c6, bi — константа; или bi(t) — 0, т''(t) — 0. Во втором случае, используя растяжение и, если надо, отражение по u, получим уравнение

f''(u) — r"(t) — . f '(u) bi(t) .

Отсюда bi(t) — -т'(t)+ c7, f — aeu + w или f — eu + w после растяжения по f. Из уравнения

(3.8) теперь видно, что ci — 0 и b2(x) — c8 — константа. Переобозначим c7 + с8 на с7 и

подставим найденное в (3.4):

(eu + w) (C2 - 2сз - т'(t)) - eu (C2u - т'(t) + C7) — 0.

Случай ш = 0 не даёт расширения ядра алгебр. Если же ш = 0, то

т = т(£), т''(£) = 0, С = Сзх + С4, п = — (т'(£) + 2сз).

Вернемся к случаю, когда т = с5£ + Сб, Ь = Ь1 + Ь2(х). Рассмотрим уравнение (3.8). Пусть с1 = 0, тогда Ь*(х) = 0 и уравнение (3.4) примет вид

/ (и)(с2 — 2сз — С5) — /' (и)(с*и + Ь) = 0, (3.9)

где Ь — константа. Здесь также возможны два случая.

1.4. Пусть с2 = 0, тогда условие Ь = 0 необходимо для расширения ядра алгебр Ли. Растяжением и отражением по и уравнение (3.9) можно привести к виду /'(и) = /(и). Решением уравнения в этом случае будет / = аеи, после растяжения по / получим / = еи. Подставляя это значение / в (3.4), найдем решение

т = С5£ + Сб, С = Сзх + С4, п = —(2Сз + С5).

Объединяя его с ранее найденным для функции / = еи, получим

т = т(£), С = Сзх + С4, п = —(т'(£) + 2сз).

1.5. Если с2 = 0, то сдвигом по и можно занулить Ь и получить уравнение и/'(и) = в/(и), где в = С2-2ез-СБ. Нелинейным решением при 2сз + с5 = 0, 2сз + с5 = с2 будет / = аив или

С 2

/ = ив после растяжения по /. При этом исключаются из рассмотрения линейные случаи в = 0, в =1. Подставив в (3.4), получим Ь = 0 и решение для этой спецификации

т = ((1 — в)с2 — 2Сз)£ + Сб, С = СзХ + С4, п = С2и.

Остался случай с1 = 0. Уравнение (3.8) можно представить в виде

4/'(и) + и/''(и) —Ь' (х)

№) = С1 .

Слева от знака равенства стоит функция от и, справа — от х. Значит, эти функции по-

—Ь'(х)

стоянны. Пусть --------- = с7, тогда Ь = —с1с7х + с8. После сдвига по и на с7 осталось

С1

уравнение

4/'(и) + /''(и)и = °.

Его решение / = аи-3 + 8 или после растяжения / = u-3 + 8. Подставим такие функции

/, Ь в (3.4) и домножим на и4. Получим уравнение

и(с2 — 2с3 — т' (£)) + 3(с2и — с1 с7х + с8) + ^и4(с2 — 3с1х — 2с3 — т'(£)) = 0.

Случай ^ = 0 не дает расширения ядра алгебр. Рассмотрим случай 8 = 0. Тогда, расщепляя последнее уравнение по х, и, получим

4с2 — 2сз — т'(£) = 0, С7 = С8 = 0.

Отсюда видно, что т = (4с2 — 2с3)£ + Сб, Ь = 0, тогда п = (с1х + С2)и.

1.6. Итак, для функции / = и-3 получено решение

т = (4с* — 2сз)£ + Сб, С = С1х2 + Сзх + С4, п = (с1х + с*)и.

Этот случай расширяет алгебру, полученную для произвольной степенной функции. Таким образом, случай а = 0 полностью рассмотрен.

При а > 0 любое уравнение можно привести к эквивалентному уравнению с а = 1, а при а < 0 — к уравнению с а = —1.

Возвратимся к уравнению (3.3) определяющей системы, считая, что а =1. Тогда, используя равенство Схх = 2пхи, получим

п Сххх с | 4 С 0

пххи 2 , ?ххх + 4?х 0.

Общее решение последнего уравнения имеет вид

С = С1в2х + С*е-2х + Сз,

тогда

п = (с1 е2х — с2е-2х + с4)и + Ь(Ь, х).

Подстановкой в уравнение (3.3) получим

Ь*(Ь, х) — Ь*хх(^,х) + /(и)(с4 — 3С1в2х + 3с*е 2х — т'(Ь)) —

— / '(и)((с1 е2х — с2е-2х + с4)и + Ь(Ь, х)) = 0. (3.10)

2.1. Случай / = 0 дает уравнение Ь4(Ь,х) — Ь4хх(Ь,х) = 0, откуда Ь = а(Ь)вх + 8(Ь)е-х + 7(х). Таким образом,

т = т(Ь), С = С1в2х + С*е-2х + Сз, п = (с1е2х — с2е-2х + с4)и + а(Ь)вх + 8(Ь)е-х + 7 (х).

2.2. При / = 1 имеем уравнение

Ь*(г,х) — Ь*хх(^,х) = 3С1в2х — 3С2в-2х — С4 + т'(г).

Это уравнение интегрируется сначала для функции Ь4, потом интегрируется по Ь. Общее решение имеет вид

Ь = ^1(^)ех + ^2(Ь)в-х + (—С1е2х + С2е-2х — с4)Ь + т (Ь) + ^3(х). т = т(Ь), С = С1в2х + С2в-2х + Сз, п = (С1в2х — С2 е-2х + С4)(и — Ь) + ^1(^)вх + ^2(^)в-х + т (Ь) + 4 (х).

2.3. Пусть / = и, тогда после подстановки в (3.10) получим

Ь*(г, х) — Ь<хх(*, х) + и(—4с1в2х + 4с2в-2х — т'(Ь)) — Ь(Ь, х) = 0,

поэтому 4с1е2х — 4с2е-2х + т'(Ь) = 0, с1 = 0, с2 = 0, т = с5. Получили коэффициенты генераторов

т = с5, С = с3, п = с4и + Ь(Ь,х),

где Ь — решение уравнения

Ь*(Ь, х) — Ь*хх(^,х) — Ь(Ь,х) = 0. (3.11)

Пусть теперь / — нелинейная функция. Продифференцируем по и уравнение (3.10)

/'(и)(4с1в2х — 4с*е-2х + т'(Ь)) + / ''(и)((с1в2х — с*е-2х + С4)и + Ь(Ь,х)) = 0, (3.12)

Дифференцированием по Ь уравнения (3.12) получим

/'(и)т''(Ь) + /''(и)Ь*(Ь, х) = 0. (3.13)

Если Ь = 0, то т = с5Ь + Сб. Рассмотрим еще одно дифференциальное следствие уравнения (3.12), продифференцировав его по х:

(8/'(и) + 2и/''(и))(с1е2х + с2е-2х) + /''(и)Ь'(х) = 0. (3.14)

Если с1 = с2 = 0, то Ь — константа. Подставив найденное в (3.10), получим

/ (и)(с4 — С5) — /' (и)(с4и + Ь) = 0.

При С4 = С5 = 0 получим Ь = 0 и отсутствие дополнительных к ядру симметрий.

2.4. Если с4 = 0, то, применив растяжение по и, получим уравнение /'(и) = /(и) с решением / = еи (после растяжения по /). Коэффициенты генератора принимают вид

т = С5Ь + Сб, С = Сз, п = —С5.

2.5. Если с4 — 0, то сдвигом по u можно обнулить b. Решением оставшегося уравнения после растяжения по f будет функция f — ue, где в — С4-Св, в — 0, в — 1. И коэффициенты

С4

оператора симметрий примут вид

т — (1 - e)C4t + C6, C — C3, n — C4u.

Второй случай ci — 0 или с2 — 0. Тогда уравнение (3.14) примет вид

8f'(u) + 2uf''(u) b'(x) 2 2

f ( ) f ( ) ( ) — Y, c2 + c2 — 0, y — const.

/'' (и) С1е2х + С2е 2х ’ 1 2

На функцию / после сдвига по и останется уравнение 4/'(и) + и/''(и) = 0.

2.6. Отсюда видно, что / = и-3 + 8. Подставим эту функцию в (3.10)

(и-3 + 8)(—3с1е2х + 3с2е-2х + с4 — с5) + 3и-4((с1е2х — с2е-2х + с4)и + Ь) = 0

или

и-3(4с4 — с5) + 8(—3с1е2х + 3с2е-2х + с4 — с5) + 3Ьи-4 = 0.

Случай 8 = 0 не даст дополнительных симметрий. Пусть 8 = 0. Тогда Ь = 0, с5 = 4с4 Решение определяющих уравнений имеет вид

т = 4с4^ + Сб, С = С1в2х + С2е-2х + Сз, п = (С1в2х — С2в-2х + С4) и.

Пусть теперь Ь4 = 0, тогда уравнение (3.13) можно преобразовать к виду

/''(и) т''(Ь)

Y — const — 0.

f '(u) bt(t,x)

Можно добиться y — 1 растяжением по u. Тогда b(t,x) — -т'^) + ^(x), f — aeu + 8.

Используя сдвиг по u и растяжение по f, можно получить f — eu + 8, где 8 — 0 или

8 — ±1. Подставим эти функции в (3.10) и получим уравнение

-/'(t) + (eu + 8)(-3cie2x + 3C2e-2x + C4 - r/(t))-

-eu((cie2x - c2e-2x + c4)u - т'(t) + ^(x)) — 0.

Отсюда ci — c2 — c4 — 0, ^(x) — 0, т''(t) + 8^(t) — 0. Случай 8 — 0 приводит к тому же

решению, что было получено в п. 2.4.

2.7. Пусть 8 — 0, тогда т — c5e-(5t + c6, b — c58e-(5t. Коэффициенты оператора для случая f — eu + 8, 8 — 0, примут вид

т — C5e-<5t + C6, C — C3, n — C58e-5t.

Остался случай a — -1. Рассуждая, как при a — 1, получим уравнение на C

Cxxx + 4Cx 0.

Его решение C — ci cos2x + c2 sin2x + c3, тогда nxu — iCxx — -2ci cos 2x - 2c2 sin2x. Отсюда nu — -ci sin2x + c2 cos2x + c4, так как nuu — ntu — 0. Поэтому

n — (-ci sin 2x + c2 cos 2x + c4)u + b(t, x). Рассуждая так же, как в случае a — 1, можно получить аналогичные спецификации с группами симметрий, приведенными в таблице. Подстановкой найденного в уравнение (3.3) получим

-bt(t, x) - btxx(t, x) + f (u)(3ci sin 2x - 3c2 cos 2x + c4 - т'^))-

-f'(u)((-ci sin 2x + c2 cos 2x + c4)u + b(t, x)) — 0. (3.15)

3.1. При f — 0 уравнение (3.15) имеет вид bt(t,x) + btxx(t,x) — 0, тогда

b — c5(t) sin x + c6(t) cos x + c7(x). Решение определяющих уравнений имеет вид

т — т (t), C — ci cos 2x + c2 sin2x + c3,

n — (-ci sin 2x + c2 cos 2x + c4)u + c5(t) sinx + c6(t) cosx + c7(x).

3.2. Пусть f — 1, получим уравнение

bt(t, x) + btxx(t, x) — 3ci sin 2x - 3c2 cos 2x + c4 - т'(t)).

Общее решение этого уравнения

b(t, x) — d(t) sin x + e(t) cos x + (-ci sin 2x + c2 cos 2x + c4)t - т(t) + h(x). Коэффициенты генераторов примут вид

т — т (t), £ — ci cos 2x + c2 sin2x + c3,

n — (-ci sin 2x + c2 cos 2x + c4)(u + t) + d(t) sin x + e(t) cos x - т(t) + h(x).

3.3. Пусть f — u. Подставив эту функцию в (3.15), получим

-bt(t, x) - btxx(t, x) + u(4ci sin 2x - 4c2 cos 2x - т'(^) - b(t, x) — 0. Следовательно, ci — c2 — 0, т — c5. Коэффициенты генераторов имеют вид

т — c5, £ — c3, n — c4u + b(t,x),

где b — решение уравнения

bt(t, x) + btxx(t, x) + b(t, x) — 0. (3.16)

Рассмотрим случай нелинейной функции f. Дифференцируя (3.15) по u, получим

f'(u)(4ci sin 2x - 4c2 cos 2x - т'^))-

-f''(u)((c4 - ci sin 2x + c2 cos 2x)u + b(t, x)) — 0. (3.17)

Продифференцировав (3.17) по t, получим

f '^)т ''(t) + f''(u)bt(t, x) — 0. (3.18)

Если bt — 0, то т — c51 + c6. Если же уравнение (3.17) продифференцировать по x, то получится дифференциальное следствие

(8f'(u) + 2uf''(u))(ci cos 2x + c2 sin 2x) - f''(u)b'(x) — 0. (3.19)

Пусть ci — c2 — 0, тогда b — константа, и уравнение (3.15) запишется в виде

f (u)(c4 - С5) - f'(u)(c4u + b) — 0.

3.4. Если c4 — 0, то, используя растяжение по u и по f, получим решение f — eu. Тогда b — - c5 и решение определяющей системы уравнений имеет вид

т — C5t + С6, £ — С3, n — -С5.

3.5. В случае c4 — 0, рассуждая так же, как и для a — 1, получим спецификацию f — ue, где в — С4—Св, в — 0, в — 1. Коэффициенты генератора группы симметрий примут вид

т — С4(1 - в)t + С6, £ — Сз, n — С4u.

Пусть теперь c2 + с2 — 0. Тогда уравнение (3.19) можно записать в виде

8f'(u) + 2uf''(u) b'(x)

------—— -------------------------------------------—-— Y — const.

f ''(u) ci cos2x + c2 sin2x

После сдвига по u для функции f получаем уравнение 4f 'u + uf ''(u) — 0.

3.6. Из последнего уравнения получим f — u-3 + 8. Подставим такую функцию в (3.15) и получим

u-3(4c4 - c5) + 8(3ci sin 2x - 3c2 cos 2x + c4 - c5) + 3b(x)u-4 — 0.

Случай 8 — 0 не даст дополнительных симметрий. Пусть 8 — 0. Тогда b — 0,c5 — 4с4. Решение определяющих уравнений имеет вид

т — 4c4t + c6, £ — ci cos 2x + c2 sin 2x + c3, n — (-ci sin 2x + c2 cos 2x + c4) u.

Пусть теперь 6* = 0, тогда уравнение (3.18) можно преобразовать к виду

/» _ т" (*)

//(u) bt(t,x)

Y = const = 0.

Можно получить y =1, используя растяжение по u. Тогда b(t, x) = — r;(t)+^(x), / = eu+8, 8 = 0 или 8 = ±1. Подставим эту функцию в (3.15):

тw(t) + (eu + 8)(3ci sin 2x — 3c2 cos 2x + c4 — r;(t)) —

—eu((—c1 sin 2x + c2 cos 2x + c4)u — T;(t) + ^(x)) = 0.

Отсюда следует, что c1 = c2 = c4 = 0, ^(x) = 0, T/;(t) — 8^(t) = 0. Случай 8 = 0 рассмотрен выше.

3.7. Пусть 8 = 0, тогда последнее уравнение имеет решение т = c5e5t + Сб, отсюда b = — c58e5t. Коэффициенты оператора примут вид

т = С5eSt + Сб, £ = Сз, п = — с58еЛ,

где / = eu + 8, 8 = ±1.

4. Заключение

Результаты групповой классификации можно выписать в следующую таблицу. Функция 6(^)(£, х) является решением уравнения с номером (г.^'). Все остальные функции считаются произвольными.

Таблица 1

а = 0 а =1 а = — 1

/ = 0 т(t)dt, 5Ж, x5x, u5u, x2dx + xudM, d(t)dM, e(x)5u, c(t)xdu т(t)d, 5Ж, u5u, e2x (дл + udj, e-2x (дл — ud„), Y(x)5u, a(t)exdM, 8(t)e-x5u т(t)dt, dx, u5u, cos 2xdx — u sin 2xdM, sin 2xdx + u cos 2xSM, С5 (t) sin x5u, c6(t) cos xdM, c7(x)dM

/ = 1 2т (t)d — т (t)x2du, dx, xdx — tx2dM, 2x2dx + (2xu — tx3)dM, (2u + tx2)5u, d(t)dM, e(x)$u, c(t)xdM т(t)(d + <9u), dx, e2x (5x + (u — t)5u), e-2x (dx — (u — t)du), exdi(t)5u, e-xd2(t)5u, d3(x)du т(t)(d — 5„), 5x, cos 2xdx — (u + +t) sin 2xSM, sin 2xdx + (u + +t) cos 2x5M, d(t) sinx$M, e(t) cosxdM, h(x)5M

3 / dt, dx, udM, 2tdt — xdx, b(3.5)(t,x)5„ дx, udu b(3.ii)(t, x)5« дx, udu b(3.i6)(t,x)5„

/ = eu т(t)dt — т'(^д„, дл, xdx 2d« dx, tdt — d« dx, tdt — d«

/ = ue <9t, 5x, 2td — xdx, (1 — в )tdt + udu dt, dx, (1 — в )tdt + udu dt, dx, (1 — в )tdt + u5u

з 1 3 / 5t, 5x, 2td — xdx, 4tdt + udM, x2dx + xudM <9t, 5x, 4td + ud„, e2x(5x + udu), e-2x(dx — u5„) 5t, dx, 4t5t + u5„, cos 2xSx — u sin 2x5M, sin 2xSx + u cos 2xSM

/ = eu+8, 8 = ±1 dt, dx, e-dt(5t + 8du) dt, dx, edt(5t — 8du)

Результаты проведенной работы будут использованы для поиска инвариантных и частично инвариантных решений уравнения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

2. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007. 736 с.

3. N.J. Hoff Creep buckling // Aeron. Quarterly. 1956. Vol. 7, № 1. P. 1-20.

4. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 29-55.

5. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. 400 с.

6. Мелешко С.В. Групповая классификация уравнений двумерных движений газа // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 56-62.

7. Хабиров С.В. Групповая классификация систем Гамильтона // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1980. Вып. 44. С. 139-146.

8. Чиркунов Ю.А., Хабиров С.В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2012. 659 с.

Александр Васильевич Панов,

Челябинский государственный университет, ул. Бр. Кашириных, 129,

454001, г. Челябинск, Россия E-mail: [email protected]