Групповой анализ уравнения Дюбрей-Жакотен Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып.3.1999

ДК 532.5

Групповой анализ уравнения Дюбрей-Жакотен О. Г. Карманов

Рассматривается задача групповой классификации уравнения Дюбрей-Жакотен плоского течения несжимаемой жидкости. 3а. счет выбора произвольных функций, входящих в уравнение, получены дополнительные операторы симметрии. Приводятся инвариантные решения, отвечающие полученным основным и дополнительным симметриям.

Рассмотрим уравнение Дюбрей-Жакотен вида

д2и д2и 1 . (/ди\2 /ди\Л .

Уравнение (1) описывает в гидродинамике установившееся плоское элжение идеальной несжимаемой жидкости [1, 2]. Здесь х, у — про-гэанственные координаты; и(х,у) — функция тока; G(u) = р'(и)/р(и); и) и р(и) — произвольные функции, где р(и) — плотность жидкости. Цель работы — исследуя уравнение (1) методами группового ана-:за, решить задачу групповой классификации [3] уравнения Дюбрей-à коте н относительно произвольных функций р(и) и F (и)-, найти несерые точные решения уравнения (1).

Получено, что базис алгебры Ли операторов, допускаемых уравне-Jl'm (1) при произвольном выборе р(и) и F(u), составляют следующие :?раторы:

д д д д ..

= V2 = ¿v V3 = yTx~xTy (2)

1=сь операторы vt, v2 соответствуют сдвигам по осям х и у, а оператор — вращениям в плоскости (ху).

Наиболее общий вид преобразований, сохраняющих вид уравнения х = а(х eos е + у sin е) + Ь, 89

Карманов о. г., 1999.

у = а(—х sin £ + у cos е) + с, й — си + d,

F=^-F(eu + d), а2,

G = -G{eu + d), е

где а, 6, с, d, е, е — произвольные постоянные.

Задача групповой классификации заключается в определении вида произвольных функций, входящих в запись уравнения, для получения более широкой группы симметрий.

Здесь получено, что если функцию р{и) взять произвольно, а функцию F(u) в виде F{u) = ехр(—| / G(u) du), то базис алгебры операторов дополняется еще двумя

д д nrU . f du д , ч ч д

= Х to+УдЦ + 2F{U) J FMM ^ = 7(Ж'y)F(u)M

где функция 7(x,y) — произвольная гармоническая функция.

Учитывая, что G{u) — р'(и)/р(и), получаем F(u) — 1 /yjр(и), и уравнение (1) примет вид

д2и д*и 1 рГ(и)(,диу /диу\ _ 1

дх2 + ду> + 2 />(«) VUJ + W ; у^)' 1 j

В целях упрощения выражений введем в рассмотрение функцию Ф(и) = J sjр(и) du. Таким образом,

А л- 6 0 - 0

V4~Xdx+ydy+ Щи) du' V7~ Ф'(и) du'

и алгебра симметрий уравнения (3) оказывается бесконечномерной ввиду наличия оператора v7.

Ограничимся конечномерной частью алгебры допускаемых операторов, исключив из рассмотрения оператор v7, и найдем некоторые точные решения уравнения (3), известные как инвариантные решения [3, 5].

Функция F(x,y,u) является инвариантом действия группы с оператором V = у, и)дх + г)(х, у, и)ду + <р(х, у, и)ди, если и только если выполняется равенство v(F) = 0.

1. Рассмотрим линейную комбинацию Vi + cv2, с — постоянная, первых двух операторов из (2). Инвариантами оператора V1+CV2 являются

функции I — сх — у. V = и. Полагая V функцией от £ и выражая производные в уравнении (3) в новых переменных, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

2 p(v)

VpM'

где а

1/(с2 + 1). Полученное уравнение допускает понижение по-

рядка заменой v' = p(v) и сводится к уравнению

, 1 p'(v) 2 а2 РР + 7,~тР =

2 p{vY ~ y/fiv)'

оторое легко интегрируется и дает общее решение

v-1/V а

v = Ф~

t + Ci

У + с2у

где Сх, с2 — произвольные постоянные.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем решение уравне-^ля (3), инвариантное относительно сдвигов в направлении вектора

и = ф 1( - у) + Ci)

+ с2

2. Найдем решения уравнения (3), инвариантные относительно вращений в плоскости. Для этого перейдем к полярным координатам г, <р, з которых уравнение (3) имеет вид

д2и 1 ди 1 д2и 1 р'(и) //ди\

(/ди\2 /1с

\\drJ \гЧ

1 ди\2

,---1----(- -- , II —

дг2 г с)?- г2 dip2 2 p(u)\\drJ \r2 dip J J л/р{и)

Так как решения, инвариантные относительно вращений, имеют вид = U(г), то получаем следующее обыкновенное дифференциальное равнение второго порядка

U+rU+2p(U)U \/p{U)

(4)

неизвестной функцией II = 11(г). Уравнение (4) подходящей заменой переменных г = £/), II — г, Ьт) линеаризуется [4], то есть сводится к уравнению II" = 0, общее ежение которого имеет вид О --- схг + с2. К сожалению, указать такую

замену представляется сложным. Вместо этого, попробуем понизить порядок уравнения (4), используя тот факт, что оно допускает оператор который в полярных координатах имеет вид

_ _ д_ пФ{Ц) д У4 ~Гдг+2Ф'(и) эи~

Инвариантами оператора у4 являются £ = Ф(£/)/г2 и V = 1пг — Ф(1/)/г2. Полагая V функцией от £ и подставляя вместо II', и" в уравнение (4) их выражения через V и получаем редуцированное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

V" - 4(у' + I)2 - (4* - 1)(г/ + I)3 = 0. (5)

Уравнение (5) не содержит функцию и, и, следовательно, его порядок понижается на единицу заменой р = г/ + 1. Получаем уравнение Абеля первого рода

р' - Ар2 - (4г - 1 )р3 = 0, (6)

которое заменой р = 4,г(£)/(42 — 1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными [6]

г' = -^—(4г3 + 4г2 + г)

с общим решением

^-^^ГГ'Ч^Тт)'

где С — произвольная постоянная.

Однако здесь возникают затруднения при переходе к исходным переменным. Подставленное в полученное общее решение выражение для г приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка

----'--- ехр( --:-- ) —(7 = 0, С — 2С,

(42-1У + 4< + 1 - 1У + 42 + 1)

которое не удается проинтегрировать в квадратурах. Его решение V = будучи записанным в переменных, является искомым инвариантным решением уравнения (3).

3. Найдем, наконец, инвариантные относительно преобразований, порождаемых оператором у4, решения уравнения (3).

Инварианты преобразования группы с оператором у4 есть Ь — у/х и V = Ф(и)/х2. Записанное в переменных I ж V уравнение (3) редуцируется к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка

(£2 + 1)г/' - 2*и' + 2и - 1 = 0, (7)

которое линейно.

Общее решение уравнения (7) имеет вид

(*2 - 1) (arctg I + 1п | 1 _ + +

1 2'

где сх, с2 — произвольные постоянные.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем инвариантное относительно действия группы с оператором у4 решение уравнения (3)

и = ф-М (у2-х

Литература

1. Алешков Ю. 3. Течение и волны в океане. СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 1996. 228 с.

2. Андреев В. К., Капцов О. В. и др. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. 319 с.

3. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

4. Ибрагимов Н. X. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике.// Успехи машем, наук. 1992. Т. Вып. 4(286). С. 83-

144.

5. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1986. 637 с.

6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1971. 576 с.

Summary

Karmanov О. G. Group analysis of Durbreil-Jacotin's equation

Group classification problem of Durbreil-Jacotin's equation of flat flow of incompressible fluid is considered. Invariant solutions in regard to point transformations admissible by the equation have been found.

Сыктывкарский университет Поступим 10.09.98