Грубость векторных полей на плоскости, инвариантных относительно группы вращений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

DOI 10.18413/2075-4639-2018-50-4-398-404

ГРУБОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ПЛОСКОСТИ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ

STRUCTURAL STABILITY OF PLANAR VECTOR FIELDS THAT ARE INVARIANT UNDER THE ROTATION GROUP

В.Ш. Ройтенберг V.Sh. Roitenberg

Ярославский государственный технический университет Россия, 150023, г. Ярославль, Московский пр. 88

Yaroslavl State Technical University, Russia, 88 Moskovskij pr.,Yaroslavl, 150023, Russia

E-mail: [email protected]

Аннотация

Рассматриваются векторные поля в единичном круге, инвариантные относительно группы вращений. Дана топологическая классификация грубых векторных полей, структура фазовых портретов которых не меняется при малых возмущениях в указанном классе векторных полей. Кроме того, описаны все связные компоненты множества грубых векторных полей.

Abstract

We consider vector fields in the unit disk that are invariant under the rotation group. The paper gives the topological classification of structurally stable vector fields, the structure of phase portraits of which does not change under small perturbations in the indicated class of vector fields. We also describe all connected components of the set of structurally stable vector fields.

Ключевые слова: векторное поле на плоскости, группа вращений, инвариантность, симметрия, грубость, топологическая классификация, связные компоненты.

Keywords: planar vector field, rotation group, invariance, symmetry, structural stability, topological classification, connected components.

Введение

Изучению дифференциальных уравнений, инвариантных относительно групп преобразований, посвящено большое число работ (см., например, [1-3]). Хотя изучение грубости и бифуркаций динамических систем с симметрией, задаваемых векторными полями, инвариантными относительно группы преобразований, представляет как теоретический, так и практический интерес, эти вопросы мало исследованы. Отметим работы [4-8], в которых изучались бифуркации, связанные с потерей симметрии. В книге В.И. Арнольда [9, с. 267-282] рассматривались локальные бифуркации векторных полей на плоскости, инвариантных относительно группы поворотов на углы кратные 2ж / Ц, Ц = 2,3,.... В статье [10] показано, что однородные векторные поля на плоскости, грубые относительно пространства таких полей, типичны.

В настоящей работе рассматриваются Сю -векторные поля в единичном круге, инвариантные относительно группы вращений 80(2) . Описано множество Е 0 векторных полей, грубых относительно банахова пространства Хг (Л, 80(2)) всех таких полей с

Сг -нормой, г > 1. Оно образует в этом пространстве открытое всюду плотное множество. Кроме того, дано описание классов топологической эквивалентности и связных

компонент множества Егп.

1. Векторные поля, инвариантные относительно группы SO(2)

Будем обозначать Xr (D) банахово пространство векторных полей класса Cю с Cr -нормой [11], заданных в единичном круге D := (х = (х1,x2) е R2 : х1 + < 1}. Группа вращений SO(2) действует на Xr (D) следующим образом. Линейный оператор f COsß - sinßl

Rß = . е SO(2) переводит векторное поле X еХr (D) в векторное поле

vsinß cosß j

R-XReeXr(D) . Обозначим Xr(D,SO(2)) подмножество в Xr(D) , состоящее из векторных полей, инвариантных относительно действия SO(2), то есть таких, что ve RTelXRe = X . Очевидно, что Xr (D, SO(2)) образует линейное подпространство в Xr (D) .

Теорема 1. Векторное поле X е Xr(D) принадлежит Xr(D, SO(2)) тогда и только тогда, когда оно имеет в полярных координатах р, р (x = pcosp, Х2 = psinp) вид

Р(р)д / др + Ф(р)д / др, (1)

где Р(-) и Ф(-) - соответственно нечетная и четная Cю -функции на [-1,1].

Доказательство. Пусть X е Xr (D, SO(2)),

X (Xj, x2) = X1 (Xj, x2 )д / дх{ + X2 (Xj, x2 )д / дх2. (2)

Так как ve K-lX(0) = X(0) , то X(0) = 0 . Для матрицы A = (дХ1 (0,0)/дху) при

а

любом в имеем и АЯв = ЯвА . Поэтому А = I 'I . В полярных

а )

координатах X = Р* (р, ф)д / др + Ф* (р, ф)д / дф, где

Р* (р,ф) = Х1(рсо$ф,р$т.ф)сю$ф+Х2(рсо$ф, р$тф)$тф,

Ф*(р,ф) = [Х^родъфрътф^тф-Х2(рсо$ф,р$тф)со$,ф\/р при рф 0, Ф* (0,ф) = / . Ясно, что Р, фе Сю . Инвариантность X относительно действия

80(2) влечет

инвариантность Р* и Ф* при сдвигах ф \ф + в , то есть независимость Р* (р,ф) и

Ф* (р,ф) от ф : Р* (р,ф) = Р(р) и Ф* (р,ф) = Ф(р). Из равенства Я~1ХЯ„ = X следует, что

Х1 (-х1,-х2) = -Х1 (х1,х2) , I = 1,2 . Поэтому Р(-) и Ф(-) - соответственно нечетная и

четная функции. При этом Р'(0) = а , Ф(0) = /.

Пусть теперь Р(-) ( Ф(') ) любая нечетная (четная) Сю -функции на [-1,1]. Мы их можем представить в виде

Р(р) = р/(р2), Ф(р) = Я(р2) , (3)

где / и g некоторые Сю-функции на [-1,1] [12, с. 153]. Векторное поле (2), где

Х1 (Х1, Х2):= Х1/(х1 + х2) - Х2 g( х1 + х2), Х,( XI, Х2):= х^ (х1 + х2) + Х^/(х1 + х2), принадлежит Хг (Б, Б0(2)) и имеет в полярных координатах вид (1).

2. Грубые векторные поля в Хг (Б, 80(2))

Определение 1. Векторные поля Х и У из Хг (Б, 80(2)) топологически эквивалентны, если существует гомеоморфизм н: Б ^ Б , переводящий ориентированные траектории поля Х в ориентированные траектории поля У .

Определение 2. Векторное поле X еХг (Б, 80(2)) называется грубым (относительно Хг (Б, 80(2))), если существует такая его окрестность V в Хг (Б, 80(2))

, что любое векторное поле X е V топологически эквивалентно векторному полю X.

Обозначим Е0 = ЕГ (Б, 80(2)) множество векторных полей из Хг (Б, 80(2)) , для которых в их записи в полярных координатах Р(-) имеет только простые нули, Р(1) Ф 0, а Ф(-) не имеет на (0,1) нулей, общих с Р(-). Это множество совпадает с пересечением множества векторных полей Морса-Смейла в Б [11] с Хг(Б, 80(2)) Пусть N0 := 0 , N := {1,..., п} при п е N , <п : N ^ {-1,1} при п е{0} и N . Обозначим Е^ (соответственно Ег0иа ) множество векторных полей из ЕГ, для которых Р(-) имеет п +1 нуль: 0 = р0 <р1 <... < рп < 1 , Р'(0) < 0 (соответственно Р'(0) > 0 ), а Б^гФр) = <п(/) при / е Nn, п е N. Векторное поле из Ег0 ( Ег0и<у ) имеет единственную особую точку -

начало координат, соответственно, устойчивую (неустойчивую), а также ровно п гиперболических периодических траекторий - окружностей р = р, / е N, положительно (отрицательно) ориентированных векторным полем при <тп(/) > 0 (<п(/) < 0 ).

Теорема 2. 1. Множество ЕГ(Б, 80(2)) открыто и всюду плотно в Хг(Б,80(2)) .

2. Векторное поле X е Хг (Б,80(2)) является грубым тогда и только тогда, когда оно принадлежит Е0 (Б, 80(2)).

3. Связные компоненты множества ЕГ(Б, 80(2)) совпадают с множествами Ег , Ег , п е{0} и N.

4. Классы топологической эквивалентности векторных полей из ЕГ(Б, 80(2)) совпадают с множествами ЕГ , ЕГ , ЕГ иЕГ , ЕГ иЕГ , п е N.

Доказательство. Векторное поле X е Е0 является векторным полем Морса-Смейла в Б. Поэтому существует такая его окрестность и в Хг(Б), что любое векторное поле

X е и является векторным полем Морса-Смейла в Б и топологически эквивалентно X [11, 13]. Векторное поле X из окрестности V = и^Хг(Б,80(2)) поля X в Хг(Б,80(2)) принадлежит Е0 и топологически эквивалентно X. Поэтому Е0 открыто в Хг (Б, 80(2)),

г 0

а векторные поля из Е0 являются грубыми.

Докажем плотность Е0 в Xr(Б,SO(2)) . Пусть XеХr(Б,SO(2)) и (3) -компоненты X в полярных координатах. Выберем произвольную окрестность V поля X в Xr(Б,SO(2)). По теореме Вейерштрасса о приближении [14, с. 37] найдутся многочлены

f (р) и g(p), сколь угодно близкие соответственно к f (р) и g(р) на [—1,1] в Cr -норме. Поэтому их можно выбрать так, чтобы векторное поле X еХr(Б,SO(2)) , имеющее в полярных координатах вид pf (р2)д / др + ~(р2)д / дф , принадлежало окрестности V . Выберем окрестность W поля X , содержащуюся в V . Рассмотрим векторное поле Xц'у еХг(Б,SO(2)) , имеющее в полярных координатах вид

p(f (р2) + \)д / др + (f(p2) + v)d / дф . Для некоторого S> О XM,V eW , если \\<ô , W<£ . При достаточно малом \е(О,^) многочлен F(р):= f(р2) + \ имеет только

простые нули, а F(0) Ф 0 , F(1) Ф 0 . Фиксируем такое ц . При достаточно малом

У0 е (0,£) многочлен ~(р ) + у0 также имеет только простые нули. При достаточно малом уе (у0^) многочлен ~(р2) + у не имеет общих нулей с F(р). При выбранных ц и у векторное поле Xц,у е ЕГ о V . Тем самым, Ег всюду плотно в Хг (Б, 80(2)) .

Покажем, что грубое векторное поле X еХг (Б, 80(2)) принадлежит Е0 . Компоненты поля X в полярных координатах представим в виде (3). Пусть V -окрестность поля X , фигурирующая в определении грубости. Поскольку Е0 всюду плотно в Хг (Б, 80(2)), то в V имеется векторное поле из Е0, которому X топологически

эквивалентно. Поэтому X имеет единственную особую точку (0,0) , и либо не имеет замкнутых траекторий, либо имеет конечное число замкнутых траекторий, задаваемых в полярных координатах уравнениями р = р , I = 1,...,п , где 0 < р^ < р/+1 < 1 при

] = 1,..., п — 1. При этом Р(1) = /(1) Ф 0, / (р2) Ф 0 для 0 <р<р1, / (р2) меняет знак в

точках р = рI, а g(р2) Ф 0, I = 1,...,п . Пусть X £ Е0. Тогда или а) <2 = Р'(0) = /(0) = 0 или

б) /(р2) = /\р2) = 0 пРи некотором к = п .

В случае а) рассмотрим векторное поле X еХг (Б, 80(2)) , имеющее в полярных координатах компоненты Р(р) = р(/(р2) + ц^(р2)) , Ф(р) = g(р2) , где Х:[0,1] ^ [0,1] такая Сю -функция, что х(«) = 1 при и е[0, а /2], х(«) = 0 при и е [а,1], 0 < а < р2. При достаточно малых Щ X еV . Если ц/ (а) < 0, то Р(р) имеет больше нулей, чем Р(р), а

X имеет больше замкнутых траекторий, чем X . С другой стороны, так как поле X е V, то оно топологически эквивалентно X и потому имеет столько же замкнутых траекторий.

Полученное противоречие доказывает, что X е ЕГ.

Рассмотрим случай б). Выберем число 0 < Ь < ш1п{р;2 - рк— 1,р^+1 -рк}, где следует считать р0 = 0 при к = 1 и рк+1 = 1 при к = п . Рассмотрим поле X е Хг (Б, 80(2)) , имеющее в полярных координатах компоненты

р(р) = р(/(р2)+ц(р2 - р2 )Х(р2)), Ф(р)=g (р2),

где X : [0,1]^[0,1] такая Сю-функция, что ^(и) = 1 при и е[р2 -Ь/2, р2 + Ь/2], ^(«) = 0 при и е[0,рк2 - Ь] и [ р1 + Ь,1]. При достаточно мал^1х \ц\ X еV . Если ц/ ( рк + Ь/2) < 0, то Р(р) имеет больше нулей, чем Р(р). Как и в случае а), получаем противоречие. Так что X е ЕГ и в случае б).

Утверждения 1) и 2) теорема доказаны.

Покажем, что множества Ег0 связны. Достаточно соединить путем произвольное векторное поле X еЕ^ с векторным полем X еЕ^ , имеющим в полярных координатах вид р/0(р2)д/8р + g0(р2)д/Эф, где

/0(и) = (-1)п-1(и - и1)(и - и2) ••• (и - ип ), ик = к /(п +1), к = 1,..., п,

go (и) = <И (п)(и - и )т1 (и - Й2 Т2 • • • (и - «п-1 )тп-1, ^ = (и^ + и^+1) / 2, = 0, если <п(5 +1) = <п(5) и ш!, = 1, если <п(5 +1) = -<п, ^ = 1,...,п -1.

Множество Ец я ст открыто, поэтому содержит шар

X - X

<£

Сг

В := {X еХ0(А 80(2)):

достаточно малого радиуса £ . В этом шаре существует векторное поле X еЕ^^ , имеющее в полярных координатах вид pf {р2)д/др+'§{р2)д/д(р, где /(и) и ~(и) - многочлены. Представим их в виде

7(и) = (-1)П-р(и)(и-щ)(и-щ)■■■ (и-ип), где 0 = и0 < и1 < и2 <■■■< ип < ип+1 = 1, р(и) > 0 для всех и > 0,

и(и) = ап (П)Ч(и)(и - и)(и - ии2) ■■■ (и - л~м ) , где 0 < и < ~2 ■■■< < 1, д(и) > 0 для всех и > 0 .

Поскольку X и X можно соединить путем в В, то достаточно найти путь в Е° , соединяющий X с X0 .

Рассмотрим векторные поля Xх еХо (О,80(2)) , Г е [0,1], имеющие в полярных координатах вид р/(р2)8/8р + §т(р2)8/8ф, где ~т(и) получается из ~(и) следующим образом. Если ~к < ~к +1 < ■ ■ ■ < ~к -1 - нули щи) , расположенные между и их+1 , 5 = 0,1,...,п (к0 = 1, кп+1 -1 = N ), то каждую группу множителей

(и-)(и-\+1)■ ■ ■(и--1)> 5 = 0,1,...,п,

в ~(и) заменяем на

х(и - ~кг )(и - ~кг+1) ■ ■ ■ (и - -1) + (1 - т)(и - и5 )т5, где и* := (и5 + и+)/2, числа т5 при 5 =1,...,п -1 определены выше, а т0 = тп = 0 . Если ~(и) не имеет нулей между и5 и и^, то т = 0, и будем считать, что в выражении для §Г(и) есть множитель (и - и*3 )т = 1 . Отображение [0,1] эг ^ Xх является путем в Ео * с, , соединяющим поле = X с полем X1, имеющим в полярных координатах вид р7(р2)д/8р + §1(р2)д/8ф, где

~1(и) = ая(п)д(и)(и-и\)т ■■■ (и-и^Г-1. Пусть Xх еХо(О,80(2)) , Г е [0,1] - векторное поле, имеющее в полярных

координатах вид р]7т(р2)8/8р + §т(р2)8/8ф, где

7г(и) = НГ^ - Г) р(и) + Г](и - и~1(т))(и - ~(т)) ■■■ (и - (г)) , I(и) = ап(п)[(1 -т)д(и) + х](и-^(т))*(и-%(т))'т ■■■ (и-Ъ^-1, иг(т):= (1 -т)иг +ти1, г =1,...,п, (т):= (1 -т)и5.+тй5, 5 =1,...,п-1.

Отображение [0,1] э т ^ Xх является путем в Е° ва , соединяющим поле X1 с полем XQ . Таким образом, множества Е° связны, и утверждение 3) теоремы доказано.

При изменении векторного поля из Е° вдоль пути в Е0 не может измениться ни число замкнутых траекторий, ни их ориентация, ни устойчивость замкнутых

траекторий и особой точки. Поэтому связная компонента Ег , содержащая Е совпадает с Е

r

r

Аналогично доказывается, что и множества Е^ а - связные компоненты Е0. Отображение (х1,х2) ^ ( х^ х2) переводит траектории векторного поля из Ег

0,s,an

(Еr0u<y ) в траектории векторного поля из Ег0 s (Еr„_a ). Поэтому векторные поля из

Е^^ ^Е^^^ ( Е^^ ) принадлежат одному классу топологической

эквивалентности. Поскольку в определении топологической эквивалентности содержится требование сохранения ориентации траекторий, то векторные поля из Еr0 s<y и векторные

поля из Еr0u а, не могут принадлежать одному классу топологической эквивалентности ни

при каких (Jn и а!. Векторные поля из Еr0s<y и Е^^ (Еr0u<y и -) при разных ап и

также не являются топологически эквивалентными, так как имеют разные схемы [15]. В итоге получаем утверждение 4) теоремы.

Список литературы References

1. Овсянников Л.В. 1978. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука.

400 с.

Ovsjannikov L.V. 1978. Group analysis of differential equations. Moscow. Nauka. 400 p.

2. Ibragimov N.H. 2006. A practical course of differential equations and mathematical modeling. Carlscrona (Sweden): ALGA. 370 p.

3. Ibragimov N.H. 1999. Lie group analysis and ordinary differential equations. New York.

Wiley.

4. Лерман Л.М., Тураев Д.В. 2012. О бифуркациях потери симметрии в обратимых системах. Нелинейная динамика. T. 8, № 2. С. 323-343.

Lerman L.M., Turaev D.V. 2012. On symmetry breaking bifurcations in reversible systems. Nonlinear Dynamics. V. 8. No. 2. P. 323-343.

5. Fiedler B., Liebscher S., Alexander J.C. 2000. Generic Hopf bifurcation from lines of equilibria without parameters: 1. Theory. J. Differential Equations. Vol. 167, no. 1, pp. 16-35.

6. Lamb J. S.W., Roberts J.A. G. 1998. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey. Physica D. Vol. 112, no. 1-2, pp. 1-39.

7. Lamb J. S. W., Capel H. W. 1995. Local bifurcations on the plane with reversing point group symmetry. Chaos. Solitons. Fractals. Vol. 5, no. 2, pp. 271-293.

8. Peroueme M.C. 1993. Bifurcation from a periodic orbit for a strongly resonant reversible autonomous vector field. SIAM J. Math. Anal. Vol. 24, no. 6, pp. 1577-1596.

9. Арнольд В.И. 1978. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 304 с.

Arnold V.I. 1978. Additional chapters of the theory of ordinary differential equations. Moscow. Nauka. 304 p.

10. Ройтенберг В.Ш. 2018. О типичных однородных векторных полях на плоскости. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. № 2 (46). С. 15-26.

Roitenberg V.Sh. 2018. On generic homogeneous vector fields on the plane. University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. No. 2 (46). P. 15-26.

11. Палис Ж., Мелу В. 1986. Геометрическая теория динамических систем. Введение. Пер. с англ. М.: Мир. 301 с.

Palis J., Melo W. 1982. Geometric theory of dynamical systems. An introduction. SpringerVerlag.

12. Голубицкий М., Гийемин В. 1977. Устойчивые отображения и их особенности. Пер. с англ. М.: Мир. 290 с.

Golubitsky M., Guillemin V. 1973. Stable mappings and their singularities. New York. Springer-Verlag.

13. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. 1967. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука. 488 с.

Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Maier A.G. 1967. The theory of bifurcations of dynamical systems on the plane. Moscow. Nauka. 488 p.

14. Нарасимхан Р. 1971. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. Пер. с англ. М.: Мир. 232 с.

Narasimhan R. 1968. Analysis on real and complex manifolds. Paris. Masson & Cie.

15. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. 1966. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука. 568 с.

Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Maier A.G. 1966. Qualitative theory of dynamical systems of second order. Moscow. Nauka. 568 p.