Грубость векторных полей на плоскости, инвариантных относительно конечной группы вращений Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.9:514.742.4

ББК 22.161.6

Р 65

Ройтенберг Владимир Шлеймович

Доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ярославского

государственного технического университета, Ярославль, e-mail: [email protected]

Грубость векторных полей на плоскости, инвариантных относительно конечной группы вращений

(Рецензирована)

Аннотация. Рассматриваются векторные поля на плоскости, инвариантные относительно вращений на углы, кратные углу 2riq (q=2,3,...). Описаны грубые векторные поля, структура фазовых портретов которых не меняется при малых возмущениях в топологическом пространстве указанных векторных полей. Они образуют открытое всюду плотное множество в этом пространстве.

Ключевые слова: векторное поле, конечная группа вращений, инвариантность, грубость, особая точка, сепаратриса, замкнутая траектория.

Roytenberg Vladimir Shleymovich

Associate Professor, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, e-mail: [email protected]

Structural stability of vector fields on the plane that are invariant under a finite rotation group

Abstract. We consider vector fields on the plane that are invariant with respect to rotations at angles that are multiples of the angle 2riq (q=2,3,...). Structurally stable vector fields, whose topological structure does not change under small perturbations in the indicated class of vector field, are described. They form the dense set opened everywhere in this space.

Keywords: vector field, finite rotation group, invariance, structural stability, singular point, separatrixes, closed trajectory.

Введение

Хотя изучение грубости и бифуркаций динамических систем с симметрией представляет как теоретический, так и практический интерес, эти вопросы пока мало исследованы. В книге В.И. Арнольда [1, с. 267-282] рассматривались локальные бифуркации векторных полей на плоскости, инвариантных относительно группы вращений на углы, кратные 2ж / q, q = 2,3,....

В настоящей работе рассматриваются Cш -векторные поля в единичном круге, транс-версальные его границе, инвариантные относительно группы вращений на углы, кратные 2ж / q, q = 2,3,... Описано множество векторных полей, грубых относительно пространства

всех таких полей с C -топологией (r > 1). Оно образует в этом пространстве открытое всюду плотное множество.

1. Векторные поля, инвариантные относительно группы Gq

Пусть Xr (D) - банахово пространство векторных полей класса Cш с Cr -нормой || ■ || r, r > 1 [2], заданных в единичном круге D := {x = (x1, x2) е R2 : x12 + x^ < 1} . Подгруппа Gq (q = 2,3,...) группы вращений £0(2) действует на Xr (D) следующим образом. Линейный оператор

(cos в - sin

Gq, в = 2np/q , p = 0,1,...,q-1,

Re =

sine cos в

переводит векторное поле X eXr(D) в векторное поле RelXReeXr(D) . Обозначим Xr (D, Gq) линейное подпространство в Xr (D) , состоящее из векторных полей, инвариантных относительно действия Gq, то есть таких, что VRe е Gq, Re1 XRe= X. Пусть X1 (D) -открытое подмножество в Xr (D) , состоящее из векторных полей, трансверсальных граничной окружности круга D, а X1 (D, Gq) = X1 (D) nXr (D, Gq).

Для векторного поля X eXr (D) определим векторное поле

XS := q\X 1 Rl^q 1 ... 1 R2-;i(q_1)/qXR2^(q_1)/q ) G XГ (D, Gq ) -симметризацию поля X . Если X eXr (D, Gq), то XS = X .

Для поля X eXr (D, Gq) начало координат О = (0,0) - особая точка: X(0,0) = 0. Для матрицы A := (8Xi(0,0)/ 8х}.) при Re е Gq имеем RelARe = A и

ARe= ReA. (1)

При q = 2 это условие не накладывает ограничений на матрицу A, а при q > 3 из (1), согласно [3], следует, что

(

A=

а -ß\

ß а

2. Грубые векторные поля в X1 (D, G )

(2)

Определение 1. Векторные поля X и У из Хг (Б) топологически эквивалентны, если существует гомеоморфизм И : Б ^ Б, переводящий траектории поля X в траектории поля У.

Определение 2. Векторное поле X еХ1 (Б, Од) называется грубым относительно Хг (Б, Од), если существует такая его окрестность V в Х1 (Б, Од), что любое векторное поле X еV топологически эквивалентно векторному полю X.

Обозначим Е0 (Б) множество векторных полей из Хг (Б), для которых:

1) все особые точки и замкнутые траектории гиперболические;

2) нет траекторий, идущих из седла в седло.

Пусть Е0 (Б, Од ):=Е0 (Б) пХ1 (Б, Од ).

Теорема. 1. Множество Е0 (Б, Од) открыто и всюду плотно в Х1 (Б, Од) .

2. Векторное поле X еХ1 (Б, Од) является грубым относительно Хг (Б, Од) тогда и только тогда, когда оно принадлежит Е0 (Б, Од).

Доказательство. Множество Е0 (Б) открыто в Х 1 (Б) и состоит из грубых (относительно Х1 (Б)) векторных полей [2, 4]. Следовательно, Е0 (Б, Од) открыто в Хг+ (Б, Од) и

состоит из векторных полей, грубых относительно Х1 (Б, Од) .

Докажем плотность Е0 (Б, Од) в Х1 (Б, Од). Пусть X0 еХ1 (Б, Од). Сначала рассмотрим случай д > 3. Тогда матрица линейной части поля X0 в начале координат имеет вид (2). Зададим число 8 > 0 и обозначим

Уе{К0) := {X еХ;(Б) :||X - X0||; <8} -8 -окрестность поля X0 в Х; (Б).

Рассмотрим векторное поле Xм (x1, x2) := X0 (x1, x2) + мх( x2 + x^ )H (x, x2), где

H (x1, x2):= x18 / 8x1 + x2d / dx2, (3)

а Z:[0,1] ^ [0,1] такая Cш -функция, что x(t) = 1 при t е [0,1/3] и %(t) = 0 при t е[2/3, 1]. Поле Xм еХ+ (D, Gq). Матрица линейной части поля Xм в начале координат

(а + м -ß ^

Ам= ß + . (4)

^ ß а + м)

Выберем столь малое / > 0 , чтобы Xм е V(X0) , а а + мФ 0 , то есть чтобы начало координат было для Xм гиперболической особой точкой. Пусть V(Xм) ^ VE(X0) - окрестность поля Xм в Х+ (D). Отображение X ^ XS непрерывно, а Xм - его неподвижная точка. Поэтому существует столь малая окрестность W(Xм) поля Xм в Х + (D), что для любого X eW (Xм) поле X* eV (Xм).

Если B - матрица линейной части поля X е W(Xм), имеющего начало координат особой точкой, то матрица линейной части поля XS равна

1 q-1 -1

А/ + _ ^ p/q (B - AM )R2Mp/q .

q p=0

Взяв окрестность W(Xм) достаточно малой, можно добиться того, чтобы при X е W(Xм) матрица линейной части поля XS стала настолько близка к Ам, что ее собственные значения имеют ненулевую действительную часть. Представив поле Xм в виде

XМ (x1, x2) = (x1F11(^ x2) + x2F12 (x1, x2 ))8 / 8x1 + (x1F21 (x1, x2) + x2F22 (x1, x2))8 / 8x2 , (5) где Fj е Cш, и аппроксимировав в C -норме функции Fj многочленами, используя теорему Вейерштрасса о приближении [5, с. 37], найдем полиномиальное векторное поле X* е W(Xм), имеющее в начале координат особую точку. Тогда X* - полиномиальное векторное поле, принадлежащее VE( X0) пХ+ (D, Gq) и имеющее в начале координат гиперболическую особую точку - фокус.

При q = 2 построение поля X* следует изменить следующим образом. Используя жорданову форму матрицы А, можно найти такую матрицу C = (ctj), что матрица Ам := А + ßC при м Ф 0 имеет собственные значения с ненулевыми действительными частями. В определении векторного поля Xм в этом случае надо взять

H (x1, x2):= (c11 x1 + С12x2 )8 / 8x1 + (C21 x1 + C22x2 )8 / 8x2 . (6)

Тогда X* - полиномиальное векторное поле, принадлежащее VE(X0) пХ++ (D,Gq) и имеющее в начале координат гиперболическую особую точку.

Пусть ||X* — X °| r =ех.

Поле X* имеет конечное число особых точек. Все особые точки, отличные от начала координат, можно пронумеровать: 0к , к = 1,...,K , p = 1,...,q, так, что

0к,p := R2^(p-1)/q (0к,1). (7)

Выберем круги Dk1 и D'k1 с центрами в точках 0к1, к = 1,...,K , радиусов р и р' (0 <р'<р) так, чтобы все круги Dk р := p-1)/q(Dkд), к = 1,...,K , p = 1,...,q, не пересека-

лись между собой и с дБ. Согласно [4], для любого числа 5 > 0 существуют Сш -векторные поля Xk1 в Бк 1, отличающиеся от векторных полей X* Б в Сг -норме меньше, чем на 5 > 0 , имеющие только гиперболические особые точки и совпадающие с XI в

Бк,Л Определим во всех кругах Бк,р векторные поля Xk,р := ^р-1)/gXk,1^р-1)/д . Зададим поле X еХ1 (Б, Gg), положив X(х) = Xk (х) в точках кругов Бк и X(х) = XI (х)

в остальных точках. Мы можем выбрать 5 так, чтобы X-X* < (8-81)/3, и потому

X еVs(X0).

Пусть Ок = (х1к,р, х2к,р ) . Аналогично представлению (5) поля Xл мы можем записать поле X в виде X = X1д / дх1 + X2д / дх2, где X1 и X2 - однородные многочлены по степеням х{, х{ - хк,р , / = 1,2, к = 1,..., К , р = 1,..., д, с коэффициентами, Сш -гладко зависящими от х1, х2. Аппроксимировав эти коэффициенты в Сг -норме многочленами, мы будем иметь полиномиальное векторное поле X1, сколь угодно близкое к X в Х1 (Б), с гиперболическими особыми точками, совпадающими с особыми точками поля X . Матрица линейной части всех векторных полей gXR2лil-1■)/ , I = 1,...,д, в точке Ок , р = 1,...,д, одна

и та же. Поэтому, взяв X1 достаточно близким к X, получим полиномиальное векторное поле X^ еVs(X0)пХ 1 (Б,Од), все особые точки которого, О и Ок , гиперболические.

Пусть XI (х1, х2) = Р1 (х1, х2 )д / дх11Р2 (х1, х2 )д / дх2. Рассмотрим полиномиальное векторное поле Ул, полученное поворотом поля X1 на угол /и :

Уи(х1, х2) = (Р(х1, х2)ео8/-Р2(х1, х2)б1п/)д/дх11 (Р2(х1, х2)сов/1 Р1(х1, х2)б1п/)д/дх2. Оно принадлежит Х1 (Б, Од) и имеет те же особые точки, что и X1. При достаточно малом /л поле Уи е V£(X0) и все его особые точки гиперболические. Из [6] следует, что при этом /л можно выбрать так, что поле не имеет сепаратрис, идущих из седла в седло, а все его замкнутые траектории гиперболические, то есть Ул еVe(X0)пЕ0(Б,Од). Тем самым мы доказали, что £0(Б, Од) всюду плотно в Х1 (Б, Од) .

Осталось показать, что из грубости векторного поля X относительно Х1 (Б, Од) следует, что X еЕ0 (Б, Од) . Предположим временно, что X еХ1 (Б, Од) \ Е0 (Б, Од) . Пусть V -окрестность поля X в Х1 (Б, Од), фигурирующая в определении 2 грубости. Так как

Е0 (Б, Од) всюду плотно в Х1 (Б, Од), то в V найдется векторное поле из £0(Б, Од), топологически эквивалентное X . Поэтому X имеет конечное число особых точек и замкнутых траекторий, причем все особые точки - топологические узлы или седла, замкнутые траектории - устойчивые или неустойчивые предельные циклы, отсутствуют траектории, идущие из седла в седло. Таким образом, для поля X имеем следующие логические возможности:

1) начало координат О - негиперболическая особая точка;

2) есть негиперболическая особая точка, отличная от начала координат;

3) есть негиперболическая замкнутая траектория.

В случае 1) надо отдельно рассматривать векторные поля из Е0 (Б, Од) при д > 3 и при д = 3 .

При д > 3 точка О является топологическим узлом, а матрица линейной части поля X в точке О имеет вид (2), где а = 0 . Пусть точка О - устойчивый (неустойчивый) топологический узел. Тогда существует такая гладкая замкнутая кривая Ь, что все траекто-

рии поля X, проходящие через точки L, трансверсальны L и с -предельны (а -предельны) к O [7, с. 336]. Пусть pL - расстояние от L до точки O, UL - область, ограниченная L . Рассмотрим поле

Xм (x, x2):= X(x, x2) + мх(x2 + x22)H(x, x2) , (8)

где поле H задается формулой (3), в которой ^:[0,1] ^ [0,1] такая Cш -функция, что ^(t) = 1 при t е [0, pL /3] и ^(t) = 0 при t е [pL /2, 1], а м> 0 ( м < 0). При достаточно малых |м| векторное поле Xм eV ; в точках L поле направлено внутрь UL ; матрица линейной части поля в точке O имеет вид (4) и потому O - неустойчивый (устойчивый) топологический узел поля. Но тогда в UL будет хотя бы одна замкнутая траектория поля Xм.

Поскольку вне UL поле Xм совпадает с полем X, то у Xм больше замкнутых траекторий, чем у X . Но это противоречит тому, что Xм eV, и потому топологически эквивалентно X . Таким образом, при q > 3 случай 1) невозможен.

Рассмотрим случай 1) при q = 2 . В этом случае матрица А линейной части поля либо а) имеет мнимые собственные значения ± ßi, либо б) det А = 0.

В предположении а) точка O является топологическим узлом. Выберем такую матрицу C = (cj, что матрица Ам := А + ßC при м > 0 имеет собственные значения с положительными (отрицательными) действительными частями, если точка O устойчива (неустойчива). Как и в случае q > 3, выберем замкнутую трансверсаль L и рассмотрим векторное поле Xм, заданное формулой (8), где теперь H имеет вид (6). При достаточно малых м > 0 поле Xм eV и имеет в UL замкнутую траекторию. Как и в случае q > 3, получаем противоречие.

В предположении б) одно собственное значение у А равно нулю. Мы можем выбрать такую матрицу C = (cij), что матрица Ам := А + ^C при м > 0 имеет ненулевые собственные значения разных знаков, если точка O - топологический узел и одного знака, если точка O - топологическое седло. Выберем гладкую замкнутую кривую L , не проходящую через особые точки и ограничивающую область UL , содержащую единственную особую точку O. Векторное поле Xм определим так же, как и в случае а). При достаточно малом м> 0 поле Xм eV, а особая точка O поля Xм имеет индекс -1 (соответственно, 1), если для поля X она имела индекс 1 (соответственно, -1) [6, с. 214-219]. Поскольку для достаточно малых м > 0 индекс кривой L по отношению к полю Xм тот же, что и по отношению к полю X0 = X , а индекс кривой L равен сумме индексов особых точек, принадлежащих UL , то в UL имеется особая точка поля Xм, отличная от O. Таким образом,

поле Xм е V имеет больше особых точек, чем X . Это противоречит выбору окрестности V . Следовательно, при q = 2 случай 1) также невозможен.

В случае 2) пронумеруем особые точки поля X, отличные от начала координат Ok , к = 1,...,K , p = 1,...,q, так, чтобы имело место (7) и O11 было негиперболической особой точкой. Выберем круги D1p , p = 1,..., q, и D1'1 так же, как это было сделано выше. При этом можно считать, что они не пересекаются с замкнутыми траекториями. Выберем такое

X - X

<s.

число £> 0, что векторные поля XX еХ^ (р, Од), удовлетворяющие условию

принадлежат окрестности V . Из [4] следует, что для любого 5 > 0 существует Сш -векторное поле Х11 в Р11, отклоняющееся от Х^ в Сг -норме на Р11 меньше, чем на

5, со следующими свойствами. Если у матрицы линейной части поля X в точке 011

мнимые собственные значения, то поле X11 имеет в D^ замкнутую траекторию. Если det A11 = 0, то поле X11 имеет в D{1 не менее двух особых точек. Определим во всех кругах Д,р , p = q, векторные поля p := К,л{р_Х),qXkA,P-x),q. Зададим поле X еХ; Gq ^ положив XX(х) = Xk (х) в точках кругов Dl р и XX(х) = X(х) в остальных точках. Выбрав 5 достаточно малым, будем иметь XX - X < s и потому XX е V . У поля XX больше, чем

r

у поля X, либо замкнутых траекторий, либо особых точек. Но это противоречит выбору окрестности V . Поэтому случай 2) также невозможен.

Рассмотрим случай 3). Пусть Г - негиперболическая замкнутая траектория. Тогда либо (i) R2^iq(Ti) = ГП либ° (ii) Гр = R2n{p-i)/q(Г1), р = q - разные замкнутые траектории.

В случае (i) Г1 имеет окрестность U, не содержащую других замкнутых траекторий, граница которой dU не пересекается с dD, состоит из двух гладких кривых, в точках которых поле X трансверсально dU и направлено внутрь (вовне) U, если Г1 - устойчива

(неустойчива). Выберем точку х1 еГ1 и Cш -координаты (s, u), |s| < 3, |u| < 3 в окрестности U1 eU этой точки, выпрямляющие поле X : точка х0 имеет координаты (0,0), а поле X имеет вид 1-d/dsP 0-d/du . Множества Up := R^( -1)/ (U1), p = 1,...,q, лежат в U,

и можно считать, что они не пересекаются между собой. Рассмотрим в U 1 векторное поле X1", имеющее в координатах (s,u) вид 1-d/ds P/uug(u)g(s)d/du , где g :(-3,3) ^ (0,1) -

такая Cш -функция, что g(t) = 1 при 111 < 1 и g(t) = 0 при 111 > 2 . Определим в областях

Up , p = q , векторные поля Xp := R2n( p-1)/qXi'R^l( p-1)/q . Зададим поле XM еХ; (D, Gq ),

положив Xм (х) = Xp (х) в точках х е Up , p = 1,..., q, и Xм (х) = X(х) в остальных точках. Векторное поле Xм имеет замкнутую траекторию Г1 при всех м. Мы можем выбрать такое число м1 > 0 , что Xм е V при \/и\ < М1.

Определим отображения V :(-1,1) ^ int D (соответственно v- :(-1,1) ^ int D ), поставив в соответствие числу u е (-1,1) точку с координатами (1, u) (соответственно (-1, u)), и отображения v± :(-1,1) ^intD, p = 2,...,q, положив v± := R^(p-1)/q4±. Выбрав достаточно малые числа м2 е (0,м1] и u е (0,1), при каждом м е (-|2, м2) будем иметь отображения по траекториям поля Xм : v-(u) ^ V+P(/^(u)), u е (-u,u), и v+P(u) ^ VpA/^u)) , u е (-u,u), p = 1,...,q, где надо считать v-P1(u) = V1-(u), а /^(u) и fX2(u) гладкие функции от (u,м) ,

//л(и) = и ехр /|-1 g(^, (9)

) - /р02(и), /р°2(0) = 0. (10)

Из (9) следует, что

88д(С//1)'(0) -1) = ввп/ . (11)

Функция / л := /д"2 //1 • • • /"2 /^ /1/2 является функцией последования по траекториям поля Xй. Она определена в некоторой окрестности нуля и /л (0) = 0 . Ее производная равна

(Г )'(0) = /2)'(0)(/д/1)'(0) • • • (/&{0/)Х0/)Х0/)Щ. (12)

Так как Г1 - негиперболическая траектория поля X0 = X, то

(/7(0) = 1. (13)

Из (10)-(13) следует, что 8§и((/м)'(0)-1) = /, то есть Г1 - устойчивая (неустойчивая) гиперболическая замкнутая траектория поля Xи при /< 0 (/> 0). Возьмем /е (0,/2) ( /е (—и2, 0) ), если Г1 - устойчивая (неустойчивая) траектория поля X . Тогда векторное поле Xи имеет в окрестности и по меньшей мере три траектории. Вне и поле Xи имеет те же замкнутые траектории, что и X. Таким образом, поле Xи е V имеет больше замкнутых траекторий, чем поле X, что противоречит выбору окрестности V. Следовательно, вариант (1) случая 3 невозможен.

рем такое число а > 0, что векторные поля

< s, принадлежат окрестности V .

Рассмотрим вариант (ii) случая 3. Выбе: X еХ^ (D, Gq) , удовлетворяющие условию X - X

Окрестность U предельного цикла Г выберем, как и в варианте (i). При этом можно считать, что замыкания окрестностей Up = Я2л( p-l)/ (U), p = 1,..., q, предельных циклов Г не пересекаются между собой и с 3D. Аналогично (i) мы можем построить в U1 = U векторное поле X1 такое, что Cr -норма X1 -X\v меньше s, в некоторой окрестности 3U совпадающее с полем X и имеющее не менее трех замкнутых траекторий. В Up , p = 2,...,q, зададим векторные поля Xp := Я2л{ -Г)1 X1К21л.( -Г)1 . Тогда определено векторное поле X eV такое, что X (х) = Xp (х) в точках х eUp , p = 1,..., q, и X (х) = X (х) в остальных точках. Оно имеет больше замкнутых траекторий, чем X , что противоречит выбору окрестности V . Итак, и вариант (ii) случая 3 невозможен.

Таким образом, предположение о том, что грубое векторное поле X еХ^ (D, Gq) не

принадлежит Z0 (D, Gq), приводит к противоречию. Поэтому из грубости поля X следует, что X е Z0 (D, Gq).

Итак, все утверждения теоремы доказаны.

Примечания: References:

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории 1. Arnold V.I. Additional chapters of the theory of ordi-обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: nary differential equations. M.: Nauka. 1978. 304 pp. Наука, 1978. 304 с.

2. Палис Ж., Мелу В. Геометрическая теория дина- 2. Palis J., Melo W. Geometric theory of dynamical мических систем. Введение: пер. с англ. М.: Мир, systems. An introduction. Springer-Verlag. 1982. 1986. 301 с. P. 1-38.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 3. Gantmacher F.R. Matrix theory. M.: Nauka. 1967. 576 с. 576 pp.

4. Теория бифуркаций динамических систем на плос- 4. Theory of bifurcations of dynamical systems on the кости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гор- plane / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, дон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1967. 488 с. A.G. Mayer. M.: Nauka. 1967. 488 pp.

5. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и ком- 5. Narasimhan R. Analysis on real and complex mani-плексных многообразиях: пер. с англ. М.: Мир, folds. Paris: Masson & Cie, 1968. 232 pp.

1971. 232 с.

6. Ройтенберг В.Ш. О типичных полиномиальных 6. Roytenberg V.Sh. On generic polynomial vector fields векторных полях на плоскости // Вестник Адыгей- on a plane // The Bulletin of the Adyghe State Univer-ского государственного университета. Сер. Есте- sity. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sci-ственно -математические и технические науки. ences. 2014. Iss. 4 (147). P. 13-21. URL: 2014. Вып. 4 (147). С. 13-21. URL: http://vestnik.adygnet.ru http://vestnik.adygnet.ru

7. Качественная теория динамических систем второ- 7. The qualitative theory of dynamical systems of second го порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, order / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1966. 568 с. A.G. Mayer. M.: Nauka. 1966. 568 pp.