Грубость полиномиальных векторных полей в окрестности экватора сферы Пуанкаре Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 515.1

Ройтенберг Владимир Шлеймович

кандидат физико-математических наук, доцент Ярославский государственный технический университет

[email protected]

ГРУБОСТЬ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ В ОКРЕСТНОСТИ ЭКВАТОРА СФЕРЫ ПУАНКАРЕ

В работе изучаются полиномиальные векторные поля на плоскости R2 и их продолжения на проективную плоскость КГ2 - сферу Пуанкаре. На экваторе КГ2 \ R2 определяются бесконечно удаленные гиперболические особые точки векторных полей. Также рассматривается случай, когда экватор является бесконечно удаленной гиперболической замкнутой траекторией векторного поля. Пусть Рп - пространство всех полиномиальных векторных полей на плоскости, степени не превосходящей п. Пусть Е0Рп - множество векторных полей из Рп со следующими свойствами: если на экваторе есть особые точки векторного поля, то все они являются гиперболическими особыми точками; если на экваторе нет особых точек, то экватор является гиперболической замкнутой траекторией векторного поля. Доказаны следующие утверждения: множество Е°Рп открыто и всюду плотно в Рп; векторное поле из Рп является грубым в окрестности экватора тогда и только тогда, когда оно принадлежит £°Рп.

Ключевые слова: полиномиальные векторные поля на плоскости, сфера Пуанкаре, бесконечно удаленные гиперболические особые точки, грубость.

При изучении грубости в классе плоских полиномиальных векторных полей степени <п давней нерешенной проблемой является выяснение грубости замкнутых траекторий, имеющих нечетную кратность. Фазовый портрет полиномиального векторного поля, заданного на плоскости Я2, естественно рассматривать на компактификации Я2 в виде проективной плоскости ЯР2. Ввиду указанной проблемы мы ограничимся описанием полиномиальных векторных полей, грубых в некоторой окрестности экватора ЯР2 \ Я2, не содержащей замкнутых траекторий из Я2.

На плоскости Я2 рассмотрим полиномиальное векторное поле

X (х, у) = Р( х, у)д / дх + в( х, у )д / ду,

где Р( х, у ) = Х!=0 Рт ( х, У ), Рт ( х, у) = ЕГ=0 а*,т-*Хкут-к ,

в( х, у) = 11=0 вт ( х, у ),

вт(х,у) = 11=0Ьк,т-кхку-к (т = 0,1,...,п).

Векторное поле X естественно отождествляется с арифметическим вектором

К.0, ¿0,0, %,, Ои,..., ¿п.0,..., ь0,п) е Я(п+1)(п+2), а множество Рп всех полиномиальных векторных полей степени

<п с пространством Я1

(п+1)(п+2)

с евклидовой нормой

Будем рассматривать Я2 как аффинную часть проективного пространства ЯР2. В традиционной терминологии [1, с. 240] ЯР2 - сфера Пуанкаре, а Е := ЯР1 = ЯР2 \ Я2 - ее экватор. Пусть (X : У : 7) -однородные координаты в ЯР2, (у X,) - карты на ЯР2:

V 0 = {(X : У : 7 )|7 * 0} = Я2,

Х0(Х : У : 7) = (х,у) = (X /7,У /7),

VI = {(X : У : 7) | X * 0},

XX : У : 7) = (и,г) = (У /X,7 /X),

У2 = {(X : У : 7) | У * 0},

Х2(X : У : 7) = (V, г) = (X /У, 7 / У).

Тогда отображение XX-1 (Х2Х0-1) задает-

и векторное поле X в координатах (и, г) ((V, г)) имеет вид Р (и, г)д / ди + вГ (и, г)д / дг ( Р2Г(и, г)д / ду + вГ (и, г)д / дг ), где

РГ(и,г) = -игР(1/г,и /г) + гв(1/г,и /г), вГ(и, г) = - г2Р(1/ г, и / г) ( Р2Г(у, г) = -угв(у / г,1/ г) + гР(у / г,1/ г), вГ(У, г) = - г2в(У / г,1/г)).

Рассмотрим в и (в У2) полиномиальное векторное поле

Xщ = Р1"(и, г)д / ди + вГ'(и, г)д / дг ( X и = Р2**(у, г)д / ду + в2" (V, г)д / дг ), где при 2 ф 0 Р"(-,г) = гп-1Р'(-,г), вГ(',г) = ^вГ(;г) (,= 1, 2). В точках экватора (г = 0) оно касается экватора. Траектории векторных полей X] ии и

Xu\u°ги, (=1, 2), XU11и1 пУ2 и Xu2|и,пи2 совпадают (как множества). Поэтому корректно следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Траекторией векторного поля X в окрестности V экватора называется любое связное подмножество V, пересечения которого с и0, и и и2 являются, соответственно, траекториями векторных полей X ^, ^ |и, гv и Xu2 |и2 ^ .

Отметим, что экватор является объединением траекторий.

Пусть 50 - особая точка векторного поля Xu^ (XU2), лежащая на экваторе. Координата и = и0

(у = у0) точки

является нулем многочлена

Р(и):=-иР, (1, и) + вп (1, и) ( Я2(у) = -увп ( у,1)+Рп ( у,1)). В точке матрицы линейной части поля Xu^ в координатах (и, г) и поля в координатах (у, г) имеют треугольный вид, соответственно,

Гя;к) г ^ ^ (к1 (У0) 0

4

- Рп (1, и0)

и А2 =

0 - вп(У0,1))

Точка 50 - гиперболиче ская о собая точка поля X и (XU2), если диагональные элементы (собственные значения) матрицы А (А2) ненулевые. Если они одного знака, то 50 - узел, если противоположных знаков, то 50 - седло. В точках и г и2 векторное ся формулами и = у / х, г = 1/ х ( у = х / у, г = 1/ у), поле Xи получается из векторного поля Xu ум-

© Ройтенберг В.Ш., 2014

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова № 7, 2014

0

15

ножением на гладкую ненулевую функцию (рав- S0P доказываются аналогично соответствующим

ную

в координатах (u, z)). Следовательно,

если 5° е Е п и п U2 - гиперболическая особая точка (седло или узел) для векторного поля Xи (Хи ), то она и гиперболическая особая точка (седло или узел) для векторного поля Хц (). Поэтому корректно следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Точка 5° е Е п ик (к = 1, 2) называется бесконечно удаленной гиперболической особой точкой (седлом или узлом) векторного поля X если она является гиперболической особой точкой (седлом или узлом) для векторного поля Хи .

Если экватор является траекторией векторного поля X в RP2, то многочлены К1(ы) и Я2(у) не имеют нулей и потому п нечетно. Но тогда в точках и° п и, к = 1, 2, векторное поле Хи получается из векторного поля X умножением на положительную функцию. Поэтому на траекториях, принадлежащих R2, векторные поля Хи задают ту же ориентацию, что и векторное поле X, а на экваторе ориентации, задаваемые векторными полями Xи и XUг, совпадают. Тем самым, на всех траекториях, отличных от особых точек, задана согласованная ориентация. Пусть ц: (-1,1) ^ ЯР2, г](°) е Е - вложение, трансверсальное экватору. Тогда определена функция последования по траекториям векторного поляX в ЯР2: Ф)/(г)), те(-ии)с(-1,Г), /(°) = 0. Производная /'(0) не зависит от произвола в выборе трансверсали ц. Так как экватор имеет окрестность, гомеоморфную листу Мебиуса, то /'(°) < °.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если экватор Е является траекторией векторного поля X в RP2 и |/ '(0) | < 1 ( | / '(0) | > 1), то будем говорить, что Е - устойчивая (неустойчивая) гиперболическая замкнутая траектория.

Если экватор - устойчивая (неустойчивая) гиперболическая замкнутая траектория, то все траектории, начинающиеся в некоторой окрестности экватора, ю(а)-предельны к нему.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Векторное поле X е Рп называется грубым в окрестности экватора Е, если существуют такая его окрестность U(X) в Р и такая окрестность V экватора, что для любого векторного поля X еи(X) существует гомеоморфизм И: V ^ V, И(Е) = Е, переводящий траектории поля X в V в траектории поля X в V.

Обозначим Е0Р множество векторных полей из Р со следующими свойствами: 1) если на экваторе есть особые точки, то все они являются гиперболическими; 2) если экватор является замкнутой траекторией, то она является гиперболической.

ТЕОРЕМА. 1. Векторное поле из Р является грубым в окрестности экватора тогда и только когда, когда оно принадлежит Е0Р .

2. Множество Е0Р открыто и всюду плотно в Р .

п Г у п

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Открытость Е0Рп и грубость в окрестности экватора векторных полей из

утверждениям для векторных полей в области на плоскости [2].

Докажем плотность Е0Рп в Рп. Пусть X0 е Рп\Е0Рп. Зададим число е >0. Выберем поле X = (а0,0,Ь00,а10,...,Ь0п) е Рп так, чтобы 0>,п * 0 и

IX - X 0|| < е/2. Тогда точка (0,0) не является особой для поля XU2.

Пусть сначала X имеет на экваторе особые точки. Рассмотрим векторное поле

X = X +тхпд / дх + \х"д / ду е Рп. При достаточно малых И и все его особые точки, лежащие на экваторе, принадлежат и1. Ограничение поля Xи¡ на дугу г = 0 имеет вид Я1(и))д / ди, где ^(и)) = V -¡и + Я1(и) . Мы можем выбрать сколь угодно близкие к нулю, но не равные ему, числа л и V так, чтобы многочлен Я1(и) имел нули и они были простыми. Пусть 50 = (и0,0) - особая точка поля Xи¡, то есть и0 - нуль Я1(и). При достаточно малом И матрица линейной части поля Xи в точке 50 имеет ненулевые собственные значения Я'(и0) и - Рп(1, и0) - т, следовательно 50 - гиперболическая особая точка. Таким образом, пи ¡л можно выбрать так, чтобы все особые точки поля X, лежащие на экваторе, являлись гиперболическими, то есть X е Е0Рп. При этом можно считать Цх - X] < е .

Пусть теперь экватор - замкнутая траектория поля X. Рассмотрим векторное поле

X = (P-mQ)d / dx + (Q + mP)d / ду еР„.

Перейдем

cos j

sin j у =-. Тогда

к координатам r, j: x =

r r

д д x = R(r,j,m)—+o(r,j,m)—, dr dj

R(r,j, m) = -r2[P( x, y) cos j + Q( x, y) sin j +

+ m(P(x, У ) sin j - Q(x, У ) COs j)]x=cos j/r,y=sin j/r ,

<&(r,j,m) = r[Q( x, у) cos j-P( x, у) sin j +

+ m(P(x У ) cOs j + Q(^ У ) sin j)]x=cos j/r,y=sin j/r .

Обозначим

A(j) = Pn (cos j, sin j) cos j + Qn (cos j, sin j) sin j, B(j) = -Pn (cos j, sin j) sin j + Qn (cos j, sin j) cos j , R' (r,j,m) = rn-1R(r,j, m) = = —r(A( j) - mB( j)) + r2R(r, cos j, sin j, m), o* (r,j, m) = rn-i'o(r, j, m) = = B(j) + mAjp) + гФФ (r, cos j, sin j, m), где R(r,£,h,m) и 0(r,X,h,m) - многочлены от r, X,

h m.

Так как экватор - замкнутая траектория, то для любого ueR Rj(u)^0. Отсюда, учитывая, что a0n * 0, получаем B(j) Ф 0. Тогда числа 8> 0 и r*> 0 можно считать выбранными так, что Ф* (r,j, m) * 0, если 0 < r < r*, |ml<d. Пусть r = r(j,p, m) - решение уравнения

dr R* (r,j,m) dj ф*(r, j, m), удовлетворяющее условию r(0, P,m) = P. Ясно, что r(jA m) = 0. Функция fM(') = -r(n,-,m) является

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова J^ № 7, 2014

n-1

U

16

функцией последования на трансверсали к экватору по траекториям векторного поля X (-X) при Б(р) > 0 (Б(р) < 0).

Производная р(р,0, м) удовлетворяет уравнению в вариациях

(я)' (0,д>, м) ?

Ср р Ф"(0,р, т) р и начальному условию Гр (0,0, м) = 1. Поэтому (/т)'(0) = - ехр И(м), где

И(м) = "|0 (Л(<р) - МБ(Ф))К.Б(<р) + мЛ(р))Ср.

Так как И'(0) = ^(Л\р) + Б2(р))/Б2(р)Ср> 0, то при м Ф 0, но достаточно близком к нулю, И(м) ф 0, то есть экватор - гиперболическая замкнутая траектория векторного поля X. Мы можем взять м таким, что ||хм -х||< е/2. Тогда ||ХМ -X0|| < е.

Таким образом, для любого е > 0 и любого поля ХеР \Е°Р в е-окрестности X0 нашлось поле из

п п г

Е0Р , то есть Е0Р плотно в Р .

П П П

Пусть векторное поле XePn является грубым в окрестности экватора. Так как в любой его окрестности есть векторное поле из 20Рп, то все особые точки на экваторе являются либо топологическими узлами, либо топологическими седлами; для ограничений XU |Е векторных полей XU (к = 1, 2) на экватор эти точки имеют нечетную кратность. Пусть хотя бы одна особая точка векторных полей XЕ, для определенности особая точка 50=(м0,0) векторного поля Xи | Е имеет кратность больше единицы. Рассмотрим в U°=R2 линейное преобразование Т:(х,у) ^ (х,у - и0х). Оно отображает и0 п и1 на и0 п и1 и в координатах (и, г) имеет вид (и,г)^(и-и0,г). Пусть и'2 - множество точек из и2 с координатами (у, г), |у|<1/|и0|, если и0 Ф 0, и и2 =и2, если и0 = 0. Преобразование Т отображает и 2 в и2 и в координатах (у, г) имеет вид (у,г)^(у/(1 -и0у),г/(1 -и0у)). Так как и1 ии'2 эЕ, то Т продолжается до аналитического диффеоморфизма Т : RP2 ^ RP2, Т (Е) = Е. Преобразование Т индуцирует гомеоморфизм Т,: Рп ^ Рп, задаваемый равенством ТХ (х, у):= TX (Т _1(х, у)). Для векторного поля XU¡ зададим в точках и1 векторное поле Т,(Xul), положив Т,^^ )(и,г):= dTXщ(Т~1(и,г)), где СТ - дифференциал Т. Аналогично зададим в точках Т (и2) векторное поле Т,(XU2), положив Т, (X ^Ху, г):= dTX

u2(T 1(у,г)). Так как для любого поля У е Рп поле У^ в точках U п Uk получается из поля У умножением на функцию, не зависящую от У, то (ТХ ),к=Т, (Xul) и (ТX )uk| е = Т, (XuJE), к = 1, 2. Отсюда следует, что диффеоморфизм Т переводит траектории поля X в ЯР2 в траектории поля ТХ в ЯР2; при этом гиперболические (негиперболические) особые точки переходят также в гиперболические (негиперболические) особые точки. Если поле X - грубое в окрестности экватора, то таковым является и поле ТХ .

Пусть ТХ = (а„,0,^о,0,-",Кп). Так как Т переводит точку экватора с координатой и = и0 в точку с координатой и = 0 и (Т,XЕ= Т,(XЕ), то

(ТХ)u1 IЕ(и) = ((К-к,к - аП-к+1,к-1 )ик + ■■■ - а1пи" )д /ди ,

где к > 3 - нечетно, а b'_,к -

_1 ф 0. Для вектор-

ного поля X,, полученного из векторного поля T,X заменой коэффициента b*n_1 1 на b*n-ll + м, имеем

(X, У е (u) = (ми + (К_к,к _ a'n_k+i,k_j )uk+■■■ _ <У)д 1 ди.

При достаточно малом |м| и м(К_кк _ a'n_k+hk_1) < 0 в окрестности точки u = 0 векторное поле (X,)u |Е имеет, по крайней мере, три особые точки, а в окрестностях остальных особых точек поля (T,X)и|Е векторное поле (X,|Е имеет хотя бы одну особую точку. Таким образом, X, имеет на экваторе больше особых точек, чем TX . Поскольку за счет выбора м X, можно сделать сколь угодно близким к TX, то это противоречит грубости TX . Полученное противоречие доказывает, что особые точки векторных полей XUt | Е однократные (гиперболические).

Предположим теперь, что одна из особых точек на экваторе, для определенности особая точка s0=(u0,0) поля XU , является негиперболической. Тогда (0,0) - негиперболическая особая точка поля (TX )U с собственными значениями матрицы линейной части b,_j,j ф 0 и _ а*0 = 0. Для определенности пусть b,_u > 0. Случай b*n_j j < 0 рассматривается аналогично. При достаточно малом e множество D: u2 + z2 <e2 лежит в окрестности V экватора, фигурирующей в определении грубости поля T,X и не содержит особых точек, отличных от (0,0). Для векторного поля X,, полученного из векторного поля T,X заменой коэффициента аП,0 = 0 на м, (0,0) - особая точка с собственными значениями b'n_n _м> 0 и —м Если для векторного поля (TX )и точка (0,0) - узел (соответственно, седло), то возьмем м > 0 (соответственно, м < 0). Тогда для векторного поля (X, точка (0,0) - седло (соответственно, узел) и ее индекс [1, с. 205-219] равен -1 (соответственно, 1). При достаточно малом |м| DnE не содержит особых точек поля (X, )U , отличных от (0,0), а индекс кривой Г = dD относительно поля (X,)и такой же, как и относительно (T,X )щ, то есть равен 1, если для (T,X )щ (0,0) - узел и -1, если (0,0) - седло. Так как индекс Г равен сумме индексов особых точек в int D, то у X, должна быть в int D, а потому и в V особая точка, не лежащая на экваторе. Но это противоречит грубости T,X . Таким образом, для поля X, грубого в окрестности экватора, особые точки на экваторе являются гиперболическими, то есть X е S0P .

Пусть для векторного поля X е P , грубого в окрестности экватора, экватор является негиперболической замкнутой траекторией. Так как S0P всюду плотно в P то существует окрестность V экватора, гомеоморфная листу Мебиуса, ограни-

Вестник КГУ им. H.A. Некрасова № 7, 2014

а

17

экватора. Но это противоречит грубости X. Таким образом, для векторного поля X, грубого в окрестности экватора, экватор может быть только гиперболической замкнутой траекторией и Je Е0Ри.

Библиографический список

1. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1966. - 568 с.

2. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1967. - 488 с.

ченная кривой, трансверсальной полю X а все траектории, начинающиеся в V, либо (а) ю-предельны к E, либо (б) а-предельны к E. Рассмотрим поле Jm= (P-mQ)d / & + (Q + mP)d / dy eP„. Так как экватор является негиперболической замкнутой траекторией поля J0 = J, то величина h(0) = 0. Поскольку при достаточно малых |m| h'(m) > 0, то в случае (а) при juß(j) > 0 (соответственно, в случае (б) при juß(j) < 0) экватор является неустойчивой (соответственно, устойчивой) гиперболической замкнутой траекторией. Но тогда при достаточно малых |m| в окрестности V векторное поле Jц должно иметь хотя бы одну замкнутую траекторию, отличную от

УДК 537.5

Сухов Андрей Константинович

кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет имени Н.А. Некрасова

[email protected]

ДВУМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ТЛЕЮЩЕГО РАЗРЯДА В АРГОНЕ. ЧАСТЬ 2. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Проведено компьютерное моделирование двумерного распределения параметров плазмы тлеющего разряда в аргоне. Сравнение результатов расчета двумерной модели с результатами для одномерной модели показало адекватность двумерного моделирования. Оценка влияния разрешения пространственной сетки на результаты моделирования показала уменьшение погрешности вычислений при уменьшении шага разбиения.

Получена временная зависимость поведения плотности зарядов в ходе развития разряда. Обнаружено, что во время изменения ширины катодной области плотности положительных и отрицательных зарядов в центре разряда остаются постоянными. Учет потерь зарядов на стенках разрядной камеры в двумерной модели приводил в основном к снижению плотности зарядов. Его влияние на вольт-амперную характеристику разряда было незначительным.

Показано изменение во времени параметров разряда на различных стадиях его развития. Наблюдаемое поведение параметров хорошо согласуется с экспериментальными данными. Результаты расчётов показали, что во время развития разряда наблюдаются 3 стадии. На первой стадии происходила наработка заряженных частиц с преобладанием плотности ионов над плотностью электронов по всей длине разрядной области. Затем формировались катодная и анодная области. Электрическое поле у анода сильно уменьшалось, и область максимальной ионизации сдвигалась в сторону катода, размер катодного падения при этом значительно сокращался. На третьей стадии наблюдалась медленная релаксация параметров плазмы к стационарным значениям. Получены двумерные распределения плотности зарядов, электрического поля и потенциала плазмы в ходе развития разряда. Они качественно соответствуют распределениям, наблюдаемым в эксперименте и других аналогичных расчетах.

Проведено сравнение наблюдаемого в эксперименте распределения свечения разряда в аргоне с расчетом двумерного распределения плотности электронов, которое показало, что рассчитанное пространственное распределение плотности электронов соответствует экспериментально наблюдаемому распределению свечения в аргоне.

Ключевые слова: плазма, тлеющий разряд, численное моделирование, уравнение непрерывности заряженных частиц, двумерное распределение.

Сравнение Ш и 2D моделей

Расчеты проводились согласно модели и расчетной схеме, описанной в работе [1]. Чтобы убедиться в правильности построения двумерной модели и ее расчетной схемы, сравнивали результаты моделирования для одномерной (Ш) и двумерной (2D) моделей при одинаковых начальных параметрах расчета: давление аргона р = 1 Тор, максимально напряжение источника V = 400 В, расстояние между плоскими электродами ё = 5 см, их радиус г = 1,5 см, балластное сопротивление Я = 50 кОм, температура электронов Т = 2 эВ, шаг по времени т = 3 • 10-11 с. В двумерной модели пренебрегали потерями зарядов на стенках, так как это не могло быть учтено в одномерной модели.

Сравнение результатов показало их качественное и количественное соответствие для одномерной и двумерной моделей. Это видно по графикам осевого распределения параметров разряда (рис. 1).

Для проверки количественного соответствия сравнивали значения тока I, падения напряжения на разряде Vd и плотности зарядов электронов пе и ионов пр в центре расчетной области, а также значения электрического поля у катода Е, в положительном столбе Ерс и у анода Еа для обеих моделей (табл. 1) в конце расчета при t = 20 мкс. Все параметры практически совпали, отклонение не превысило 0,6 %.

Соответствие результатов свидетельствует о практической эквивалентности одномерной

Вестник КГУ им. H.A. Некрасова jij. № 7, 2014

© Сухов А.К., 2014

18