Граничные условия при решении плоской задачи теории пластичности в цилиндрических координатах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374.001.8.

Д-р техн. наук В. В. Чигиринский, А. Ю. Матюхин Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

КООРДИНАТАХ

В работе представлено решение прикладной задачи теории пластичности по определению напряженного состояния при осадке полой цилиндрической заготовки полуобратным методом. Для аналитического решения данной задачи были определены граничные условия исходя из общепринятых теоретических данных. Получены величины и характер распределения относительных контактных нормальных и касательных напряжений.

Ключевые слова: теория пластичности, граничные условия, напряжения, коэффициент трения, фактор формы.

Введение

При аналитическом решении задач механики деформированного тела возникает необходимость определения постоянных или функций интегрирования, которые появляются в результате решения дифференциальных уравнений. Определяются они из граничных условий. Однако в прикладной теории пластичности граничные условия также неизвестны. Используют либо экспериментальные данные [1], либо задаваясь законом контактного трения - данные полученные теоретически [2]. Такой метод решения задач механики деформированного твердого тела называют полуобратным. В работах [3-5] предложен метод решения плоской осесиммет-ричной задачи теории пластичности с использованием гармонических функций.

Постановка задачи

Рассматривается плоская осесимметричная задача теории пластичности. Система уравнений в данном случае имеет вид [3-5]:

5стр. + ^£1 , стР-стФ _ 0.

дт

гр

дст,

"гр

др

дг

др дг р

= 0 ;

(стр-стг) + 4т2г = 4к2;

г

г

2т

рг

рг

формаций, условие постоянства объема, дифференциальное уравнение неразрывности скоростей деформаций. Граничные условия на контакте заданы с использованием тригонометрических зависимостей [3].

Решение задачи

Решение системы уравнений (1) с использованием граничных условий (2) приведено в работах [3-6].

стр=-

К о

г Я2-р2

008 АФ0 р Я2 - г

, К

ехр(9 -0о) +

Я р2 - г2

008 АФ1 р Я - г

ехр(0-01)

° г =-3

К о

г Я2 - р2

008 АФ0 р Я2 - г2

ехр(0 - 00) +

К1

Я р2 - г2

008 АФ1 р Я2 - г2

ехр(0 - 01)

К о

г Я2-р2

2 2ехр(0-0о) + 008 АФ0 р Я2 - г2 0

К,

008 АФ1 р Я2 - г

-• ехр(0-0!)

008 АФ:

008 АФ;

•8Ш АФ;

г = 0;

дг 2

д 2 у

рг

др2 дгдр

Граничные условия:

тп = -к • 8ш(АФ - 2а).

(1)

(2)

В систему входят два дифференциальных уравнения равновесия, условие пластичности Мизеса, физическое уравнение связи напряжений и скоростей де-

при 0р =-АФг; 0г = АФр,

0рр+0гг = 0, АФрр+АФ гг = 0.

(4)

Из последующих соотношений следует, что функции 0 и АФ являются гармоническими.

Рассмотрим решение задачи в напряжениях. Используя соотношения (4) можно получить для симметричного нагружения

2

Р

гр =

+

© В. В. Чигиринский, А. Ю. Матюхин, 2014

138

аф = (аа6 + аа£ )р- гп )•

( + АА£ -р • Гп ] + ( +АА// ) •).

Запишем напряжение ст г:

в, =-3-

СОЯ АФ0

~~ • ~2 РТ ехр(6 - 0о) + р К - г

+ — -р!^ ехр(0-е1) р К - г

соя АФ + К

о. (5)

Запишем максимальные значения

(а

14

К + г

е-е0 = (аа6 + аа6 ) (к - г)2;

е-е, = (аа6 +аа// ))(к - г)

при р = — Тогда

ст = -3

, тах

К + г 2

К

о

соя АФ,

-• ехр

^Т2АА6( - г)2

(К2 - г 2 ) + г)

4

+ К

+ Ко

В относительных величинах: 3 1

ст,

2К0 2 соя АФ0

•ехр

1АА6 (К - г )2

4

•-/—-^--[3 - г3 + 5Кг(К - г)] + -.

2 (к 2 - г2) + г) 1 П 2

Ориентировочно среднее контактное удельное давление:

Рс,

СТ, та^_ 3 1

тт 4К0 4 соя АФ0

• ехр

-1 ААб (К - г)

2(К2 -,.' ) + г)[3 " г3 + 5Кг(К " г)]+]

(6)

Для численного подсчета напряжений необходимо знать постоянную АА6. В работах [2], [7] показана графическая зависимость среднего коэффициента подпора от фактора формы 1/И и коэффициента трения.

Очаг деформации разбивается на несколько зон, каждая из которых привязывает тот или иной закон трения.

Составная эпюра нормальных и касательных напряжений представлена на (рис. 1) По краям работает закон Амантона, в середине закон трения Зибеля и искусственно принятый переходной участок.

Рис. 1. Составная эпюра нормальных и касательных напряжений [7]

> ы

Ш /

/"У /у / Ы1у/

»1 0/ /

V/

£ 'Я // / АГ// / / ЪптПЧ__

/ /л -да/ 'ЯРУ /аг/У

Рис. 2. Относительные средние контактные напряжения [7]

Для этой сложной композиции были подсчитаны относительные средние контактные напряжения представленные на (рис. 2) Ограничивающая кривая может быть описана следующим выражением

Р 1

= 0,25 - +1,

где Рср - среднее контактное напряжение, стт - предел

Рс

текучести, —^ - средний коэффициент подпора.

Стт

Если коэффициент трения не превышает 0,5 тогда можно записать

■4=/ (1 - /)-+1.

стт И

(7)

г =

п

2

4К 2 - К 2 - 2Кг - г 2

К 2 + 2Кг + г 2 - 4г 2

г

4

ст

т

1607-6885 Новi маmерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2014

139

Вот эти данные рассматриваются как граничные условия нашей задачи. Приравниваем (6) и (7):

/ (1 - /) +1 = 3--А-^-г •

У 'к 4 2008 АФ0(2 - г2) + г) • ехр -4 АА6 (Я - г )2 •[( 3 - г 3 )+ 5 Яг (Я - г )]- ]

Логарифмируя и преобразовывая получим:

4

АА

• 1п

(Я - г )2

[ _ г3)+ Яг(Я - г)]]I/(1 - /).к +1.25

(3 - г3)+ 5Яг(Я - г)

2008 АФ0

. (8)

Используя выражения (5) и (8) были подсчитаны от-

носительные контактные напряжения

2к0

рг к0

по

длине очага деформации в зависимости от фактора формы 1/к и коэффициента трения / рис. 3, 4.

Анализируя выше приведенные графики, можно сделать вывод о том, что с увеличением фактора формы и коэффициента трения увеличивается значение относительных контактных напряжений, что имеет место в реальных процессах при симметричном нагружении. Контактные напряжения качественно и количественно соответствуют общепринятым положениям механики деформированного тела. Эпюры нормальных напряжений соответствуют результатам работ [2], [7].

1

Я

и

2 V

л *

г- В

; I - "

0.1 0.} О.г 0.1 О 4.1 ■С.? 4.} 4.1

1(Ю К эо В5 75 70 60 ББ 50

-ш-Г-П.З -•-(-□.л —г-п.*

-Г 0,5

Д- ним ачлг□ дь'фармЭцмп

Рис. 3. Распределение нормальных и касательных контактных напряжений при факторе формы 1/к = 8 и коэффициенте трения / = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5

140 95 90 35 80 75 ТО « 40 55 54

Длинлочага ДГф<ЧМЧДЦН1М р

0.1 0.1

1 . 0.7 1 *

3 о.|

I 5

| I а I к

£ а. -о,| ! I

$ 1 4,1

В

4.} 4.1

104 ЦБ Ой 95 № пъ 70 65 60 ББ 50

-ЦП 10 -1Л1-15 -1/Ъ 10

ДлИЧ-1 ОЧ|>ГП дгфарг^.цнч

Рис. 4. Распределение нормальных и касательных контактных напряжений при коэффициенте трения f= 0,3 и факторе формы 1/к = 5, 8, 10, 15, 20

Представляет интерес сопоставить тестовые расчеты полученные по нашим решениям с тем комбинированным решением представленных в работах Унксова, Сторожева, Попова.

В нашем случае напряжение во всем очаге деформации описывается единой формулой, в случае указанных авторов, это реализуется при разных законах трения с разбивкой на три зоны, включая зону перехода.

Комбинированная эпюра касательных напряжений напоминает синусоиду, а комбинированная эпюра нормальных напряжений экспонентациальную тригонометрическую зависимость которая получена нами.

В итоге следует отметить, что полученные величины и характер распределения относительных контактных нормальных и касательных напряжений в зависимости от таких параметров пластической деформации как коэффициент контактного трения и фактора формы, соответствуют общепринятым положениям механики деформированного твердого тела.

Задаваясь известными граничными условиями для линейной задачи, была решена прикладная плоская задача теории пластичности в цилиндрических координатах.

Результаты работы [7], в данном случае, используются в виде граничных условий для определения постоянных в гармонических функциях, что позволяет определить область допустимых значений предложенного решения.

ст

г

и

Выводы

1. Решение задач теории пластичности полуобратным методом предполагает использование известных граничных условий .

2. Определена область допустимых значений в решении, которые позволяют качественно и количественно верно получить распределение напряжений в области пластического течения.

3. Используя граничные условия для линейной задачи, было получено решение плоской осесимметрич-ной задачи теории пластичности в цилиндрических координатах.

Список литературы

1. Тарновский И. Я. Теория обработки металлов давле-ним / Тарновский И. Я., Поздеев А. А., Ганаго О. А. -М. : Металлургиздат, 1963. - 673 с.

2. Унксов Е. П. Инженерные методы расчета усилий при обработке металлов давленим / Унксов Е. П. - М. : Машгиз, 1955. - 230 с.

3. Чигиринський В. В. Розробка математично! моделi рад-iального тиску пластичного середовища при осадщ по-

лих тш обертання / В. В.Чигиринський, А. Ю. Матюхш,

B. В. Падалка // Вюник нацюнального техшчного уш-верситету Укра'ши «Кшвський полiтехнiчний шститут». -2011. - С. 46-50.

4. Чигиринский В. В. Исследование напряженного состояния при осадке тел вращения в условиях внешней радиальной загрузки / В. В. Чигиринский, А. Ю. Матю-хин // Вестник двигателестроения. - 2012. - № 1. -

C.169-173.

5. Чигиринский В. В. Влияние радиальных нагрузок при осадке толстостенной трубы на изменение напряженного состояния метала / В. В.Чигиринский, А. Ю. Матю-хин// Обработка материалов давленим : сб. трудов Дон-НГМА, 2013. - № 1. - С. 58-64.

6. Современное производство колес автотранспортных средств и сельскохозяйственной техники : монография / [Чигиринский В. В., Мазур В. Л., Беликов С. Б. и др.]. -Днепропетровск РИА «Днепр-'УАЬ», 2010. - 309 с.

7. Сторожев М. В. Теория обработки металлов давлением / Сторожев М. В., Попов Е. А. - М. : Машиностроение, 1977. - 422 с.

Одержано 16.06.2014

Чигиринський В.В., Матюхш А.Ю. Граничш умови при piiiicniii плоско'1 задачi теорп пластичной в цилшдричних координатах

У po6omi наводиться розв 'язання прикладно'1 3ada4i теорИ' rnacmmHocmi з визначення напруженого стану при осаджуванн порожнисто'1 цилiндричноï деталi напiвзворотнiм методом. Для аналiтичного розв 'язання цШзадачi були визначенi граничнiумови, виходячи з загальноприйнятих теоретичних даних. Отримат величини та характер розподшу вiдносних контактних нормальних та дотичних напружень.

Ключовi слова: теорiя пластичностi, граничнi умови, напруження, коефщент тертя, фактор форми.

Chygyrynskyi V., Matukhin A. The boundary conditions at the plane problem solution of the theory of plasticity in cylindrical coordinates

The solution of applied problems of the theory ofplasticity for determination of stress-strain state in the sediment of a hollow cylindrical billets half reverse method are presented. For analytic solutions of this task in the tensions have been determined boundary conditions on the basis of generally accepted theoretical data. The values and the character of the distribution of relative normal and tangential stresses were obtained.

Key words: theory ofplasticity, boundary conditions, strain, coefficient offriction, form factor.

ISSN 1607-6885 Нов1 матер1али i технологи в металургп та машинобудуванш №1, 2014

141