CC BY
7
УДК 519.28:620.179
В О. ПАЩЕНКО
Дншропетровський нацюнальний ушверситет
ГРАНИЧНО-ЕЛЕМЕНТНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СТАНОВЛЕННЯ ЕЛЕКТРИЧНО1 НАПРУЖЕНОСТ1 НАД ПОВЕРХНЕЮ ОРТОТРОПНОГО КОМПОЗИТА
Шляхом вдосконалення непрямого eapianma методу граничних елементiв закладен основи математичного моделювання в безрозмiрних координатах процесу становлення в meimpi декартових x- i y- проекцш вiдносноl електричног нaпpуженосmi, збурюваног прямокутною магнтною антеною, паралельною поверхн ортотропного композита.
Ключовi слова: ортотропт композити, зондування магнтною антеною, математичне моделювання електричног нaпpуженосmi, метод граничних елеменmiв.
V.O. PASHCHENKO
Dnepropetrovsk National University
BOUNDARY-ELEMENTS MODELLING OF THE ELECTRICAL INTENSITY BECOMING ABOVE A SURFASE OF THE ORTHOTROPIC COMPOSITE
Annotation
An article purpose is an application of the improved indirect version of the boundary elements method in dimensionless coordinates to model the becoming process in the air of Cartesian *-projection (*=x,y) of the reduced electrical intensity excited by a rectangular magnetic antenna that is parallel to a plane surface of the orthotropic composite.
A magnetic antenna has been modeled by the set of external current point sources those are placed in knots of corresponding above-surface layer of the discretization net. A transition to dimensionless coordinates has been performed separately for electrical intensity Cartesian x- and y- projections however adequately for spatial and temporary axises; as well as discretization steps are inversely proportional to the composite conductivity along and crosswise to the reinforcement direction. Therefore Nyquist criterion has been satisfied for Fourier spectral function of the reflection characteristic of the orthotropic composite surface. An analysis of the superposition of spherical waves ofpoint sources has been allowed to find their influence zones covered by boundary elements of suitable horizontal planes in the air. Necessary boundary elements have been considered to calculate electrical intensity Ex and Ey projections in six possible 2-dimentional sections of its spatial-temporary distribution.
A research of the reduced electrical intensity in dimensionless coordinates allows firstly to reveal general peculiarities of its spatial-temporal distribution becoming and secondly to separate the common computational kernel of electrical intensity x- and y- projection. Modified Bessel function values are calculated once and besides are tabulated preliminarily but then are stored in the read-only memory of measurement devises.
Keywords: orthotropic composites, the probing by a magnetic antenna, the mathematical modelling of an electrical intensity, the boundary elements method.
Вступ. За ваго-мщшсними показниками та стшкютю до термо-х1м1чних вплив1в особливе мюце серед конструкцшних матер1ал1в займають композити на основ1 армувальних волокнин чи 1'хшх джгупв. Так, алюмш1ев1 й графгговаш композицшш матер1али широко використовуються в ав1а-, ракето-, судной машинобудуванш [1, 2].
Найчастше застосовуеться односпрямоване армування, щодо ор1ентаци якого композити володшть симетр1ею характеристик i властивостей, зокрема, електропроввдносп, а тому називаються ортотропними (ортогонально -ашзотропними) [1]. Провщносп вздовж i поперек волокнин вуглецевих (~10^104 См/м) й алюмшевих (~107 См/м) композипв в^^зняються не бшьш шж у дешлька разiв [1, 2].
Вимоги до надшносп деталей i виробiв обумовлюють регулярне проведення неруйшвного контролю [3], який у разi збертання й експлуатацп доцшьшше здшснювати електромагштним методом, що забезпечуе простоту й локальшсть процедури, оператившсть i реалiзовуванiсть у труднодоступних мюцях. Розриви й розшарування волокнин попршують ввдповвдну проввдшсть, що й щентифжуе дефект сущльносп певного типу [3].
Зондувальне поле в дiапазонi до 0.5ГГц збурюеться прямокутною магштною антеною, орiентованою сусщшми сторонами вздовж i поперек напряму армування(рис.1а). II основу складають котушки iндуктивностi з мiнiатюрним осердям - порошковим чи з непровщного фериту[3].
Серед пiдходiв до математичного моделювання часово-просторових розподiлень електромагнiтних пол1в [4] чiльне мiсце займае метод граничних елементгв (МГЕ)[5-7], котрий використовуе меншу на одиницю вимiрнiсть розв'язувано! задачi, виконуючи обчислення лише на частиш границi, а не в усш областi дослiдження, зокрема, безконечнш, - як у разi метода сшнченних елементiв [8].
ПОВ1ТРЯНИИ НАП1ВПРОСТ1Р
площини локашзаци граничних елементiв
^_: антена
точков дже
:ерела
зазор
армувальн1 волокнини "г
ОРТОТРОПНИИ КОМПОЗИТ
а)
б)
Рис. 1. Електромагттне зондування ортотропного композита прямокутною магттною антеною (затемненою): а) експеримент в декартових координатах (поперечный перетин); б) покриття вузл1в (+) сики погоджено! дискретизаци граничними елементами (□) точкових джерел (о) стороннього струму в безрозм1рних координатах (вигляд зверху)
Необхвдна умова застосування МГЕ - перехвд в1д змшано! крайово! задач1 для диференщальних р1внянь до в1дпов1дних граничних штегральних розв'язшв. Тому, на в1дм1ну в1д метод1в сшнченних р1зниць 1 елеменпв, МГЕ використовуе чисельне штегрування заметь диференцшвання, що зменшуе штенсивнють шуму округлення, шдвищуе точнють й ефективнють обчислень.
Непрямий BapiaHT МГЕ використовуе штегральний вираз щодо фундаментального розв'язку вадповвдного диференцiального рiвняння [6]. Для хвильового диференцiального рiвняння такий iнтегральний вираз е потенцiалом поодинокого шару [9], який вiдмiнний вiд нуля в обласп, що розширюеться iз часом, та задаеться густиною стороннього струму в магштнш антенi й !! мiсцеположенням. Фундаментальний розв'язок - це функщя Грiна для необмежено! обласп, тому початковi й граничнi умови можна замiнити системою точкових джерел [10], для яких розв'язуеться вихвдна задача; и загальний розв'язок е суперпозищею елементарних розв'язк1в.
Для розширювано! з часом областi присутностi нестацюнарного електромагнiтного поля в повiтрi, над поверхнею ортотропного композита, отриманi [11] в аналгтичному виглядi просторо-часовi розподшення декартових х- i у- проекцш векторного потенцiалу точкового джерела стороннього струму. Виходячи з них, в [12] знайдено аналiтичний вираз для просторово-часового розподшення *- проекцп (*=х, у) елекшричног напруженостi над поверхнею ортотропного композита; саме таке розподшення е вщправним виразом у даному дослiдженнi.
Переход до безрозмiрних координат дозволяе позбавитись фiзичних констант [10], а тому не враховувати ортотропносл композита, а також коректно здiйснити дискретизацш задачi моделювання та спiвмiрити подання часово-просторових змiнних. До того ж виникають пiдстави для представлення магттно! антени адекватною к1льк1стю точкових джерел стороннього струму.
Мета роботи. Полягае у вдосконаленш непрямого варiанта методу граничних елементiв для створення основ математичного моделювання в безрозмiрних координатах процесу становлення декартових х- i у- проекцш ввдносно! електрично! напруженосп в повiтрi, що створюеться прямокутною магнiтною антеною, паралельна поверхнi ортотропного композита.
np0cr0p0B0-4ac0BÍ розподшення приведеноТ електричноТ напруженостi. Просторово-часовi розподiл декартових *-проекцш (*=х,у) приведено! електрично! напруженостi, збурювано! точковим
(х(0), y(0),z(0) = 0) -джерелом стороннього струму (рис.1а) в (х, у, z)-точц повиряного напiвпростору
(при z<h), над поверхнею ортотропного композита, задаються рiзницею членiв для первинного й вторинного (вщбитого) елементарних пол1в:
E( (х, y, z, t) = =
VoJ0 dt
- FfrW V(0K í 1 df (t _ r(1)/ c) HR (t _ r(3)/ c) df (t _ r(2)/ c) 1 (1)
= _F (X , У ^--dt dt f
де JU0 - магнiтна проникнiсть повиря; J0 й f(t) - амплттуда й обвiдна густини стороннього
струму; a* - *-компонента (* = х, у) елементарного векторного потенщалу; с - швидшсть поширення поля в повпрц
F (х(0), y(0)) = cos КX(0), y(0)), Fy (х(0), y(0)) = sin Их(0), y(0)), (2)
причому у - кут м1ж вюсю абсцис i стороннiм струмом в (X(0), y(0), z(0) = 0) -точцц r(1) =yl(х _х(0))2 + (y _y(0))2 + z2 > 0,
r(2) =J(х _ х(0))2 + (y _ y(0))2 + (2h _ z)2 > h (3)
- вiддаленостi (X, y, z)-точки повiтряного напiвпростору (z<h) в1д точкових джерел: фактичного й фжтивного з координатами (х(0),y(0),0) й (х(0),y(0), 2h),вщповщно:
r(3) = hr (2)/(2h _ z)
(2)
- частина вщстат r , яка локалiзована в композитi.
Характеристика вщбиття поверхнею ортотропного композита задаеться виразом для и *-проекцй' (*=х, у)[12]:
2
HR (t _ r(3) / c) = U(t _ r(3) / c)\ 1 _ -
(4)
10 (2j _ ia*(t _ r(3)/ c) / Ans0)
де U (r) - симетрична ступiнчаста функцiя, i = G„ - електрична провlднiсть уздовж
*- координати (*=х, у), S0- дiелектрична проникн1сть пов1тря, а модифiкована Функц1я Беселя уявного аргументу 0-го порядку:
1с(2.
-г ^-г(3)/с)) = Ъег(2. 4ж£„
<Г.О - г(3)/ с)
4жп
) -1 ■ Ъег (2,
<т.О - г(3)/ с)
4ж£„
)
(5)
подаеться за допомогою функцш Кельвiна 0-го порядку (позначення якого прийнято пропускати).
Приклад 1. Поблизу будь-яко! точки поверхнi ортотропного композита, де г^ = г(2) = г(3) = г, а 10 (0) = 1при t=r/c i 10 (да) = да при t = да, маемо так1 значення виразу (1) напочатку перехiдного режиму та в стацюнарному режимi:
Ет (X, у, 2 = к, X = г / с) = -К (Х(0), у(0)) ■2 ■ й( - г / с), Е' (х, У, 7 = к, X = да) = 0.
г й
Приклад 2. Якщо в момент часу 1=0 до (у (0), 2(0) = 0) -джерела прикладаеться ступiнчасто - синусо!дальне збурення частоти f з амплиудою У0 = 1/2л[ й обвщною /(X) = и(Х)вт2л/Х, тодi проекцiя (*=x, у) приведено! електрично! напруженостi в повиряному напiвпросторi задаеться виразом:
Е (х, у, 2, X) = -К (X(0), у(0)) X
и(X - г(1)/ с) ■ 008 2^(X - г (1Ч с)
(1)
Д1)
1 -
/0 (2д/- ¡а (X - г(3)/ с)/4да?0)
и(X - г(2)/с) ■ оо$2л[(X - гс)
(2)
Д2)
Таким чином, у повiтряному напiвпросторi (z<И) декартовi x-проекцiя (при *=х) тау-проекщя (при *=у) приведено! електрично! напруженостi (1) результуючого поля задаеться рiзницею однойменних компонент приведених напруженостей первинного й ввдбитого полiв. Так1 напруженостi обернено пропорцшш ввдстаням (x, у, z)-точки до фактичного й фiктивного точкових джерел i прямо пропорцiйнi часовим похвдним обвiдно!' стороннього струму, яш затриманi строком долання полем зазначених вщстаней. Приведена напруженiсть вторинного поля пропорцшна також значенню характеристики ввдбиття в момент часу, який задаеться затримкою досягнення полем, пiсля вщбиття вiд поверхнi композита, (x, у, z) -точки в повпрг
Перехвд до безрозмiрних координат
Переход до безрозмiрних координат здiйснимо окремо для х- i у- проекцiй приведено! електрично! напруженосп шляхом спiвмiрного дшення [10]:
4ж
1) просторових змшних на iндивiдуальнi кроки Л, =-(* = X, у), де р - хвильовий отр
а„р
повiтря:
X у г
х) ^ =-, К =—, ^ = —;
Л x Л/ х А/
л Г X К у 7 2 •
у) ху=Л" , 7у = А", 7у = А";
у у у
~х л > х ^ > х л ' -"ул'ул'у
2) часового аргументу на тривалють долання вiдповiдного просторового кроку зi швидк1стю
поширення поля в повпрг
лт сг X
х) тх = Т = аГ'
лТ а X
у) ту ="ЛГ
у у
г
А' =
л
а
,* = х, у
Такий вираз для часового кроку суттево спрощуе уявний аргумент модифжовано! функцi!' Беселя.
У [12] доведено, що величини 4ж /ар i 4же0 /а* (* = X,у) крошв узгоджено! дискретизацп задовольняють критерiю Найквiста.
Приклад 3. Для ортотропного композита з провщностями ах = 0.15 403 См / м i
а = 0.185 -103 См / м - поперек i вздовж напряму армування, вiдповiдно, кроки узгоджено!
дискретизацi! дорiвнюють: Лх = 0.222 мм, Л^ = 0.74 ■10-12с i Л= 018мм i
Л = 0.606 -10 12с. Вiдповiднi частоти Найкиста складають:
/хн = 1/Лх = 1.35 ТГц, /ун = 1/Л = 1.65 ТГц.
2
X
Добуток приведено! електрично! напруженосп в (х0у0, я)- точцi й просторового кроку А, (* = х, у)
кх(х(о),у(о),г,о ,А
СОБ у Б1П у
задаеться в безрозмiрних координатах виразом, який не залежить ввд фiзичних констант i кутiв проекцшвання:
1 [а.(Т. - Е(1))]- 1
— < - • - ■ * II — 1\ II —
^ а1 (Ч ( я,(2)
1 - 1
1- ¡(Т.- Е3 )
у- а (т .-е,(2))]
Тут прописними лiтерами позначенi безрозмiрнi величина, розмiрi аналоги яких записувались однойменними рядковими буквами, а аргумент обввдно! густини стороннього струму набув множника
А», щоб компенсувати введення безрозмiрного часу. Такий вираз доцшьно покласти в основу обчислювального ядра, використовуваного при знаходженш х- i у- проекцiй приведено! електрично! напруженосп.
Тому що частота узгоджено! дискретизаци задовольняе критерш Найквiста, коректнi так припущення:
а) горизонтальнi шари дискретно! атки вкривають поверхню композита, обранi горизонталью площини, котрi мiстять, зокрема, плоску фактичну й фiктивну антени;
б) антени представляються подiбними !м за конф^ращею й вдентичними мiж собою множинами точкових джерел стороннього струму, локалiзованих у вузлах двох шарiв сiтки дискретизацi!, симетричних щодо поверхш композита;
в) дослiдження впливу антен на обрану горизонтальну площину зводиться до вивчення дi!' елементарних полiв !хнiх точкових джерел на вузли дискретизацi! найближчих рядкiв(стовбцiв) вкриваючого шару атки.
Таким чином, переход до безрозмiрних координат дозволив коректно здшснити дискретизацiю задачi моделювання й спiвмiрити подання часово-просторових змiнних, а також позбавитись фiзичних констант i кулв проекцiювання.
Зони впливу точкових джерел i граничнi елементи
Зони впливу точкових джерел стороннього струму, яш моделюють прямокутну магнiтну антену, обмежеш суперпозицiею випромiнюваних сферично-концентричних хвиль. У залежносп вiд взаемного розташування точкових джерел !'хш зони впливу на обранш горизонтальнiй площинi можуть бути 0 -, 1-, 2-вимiрними.
Хвилi внутрiшнього точкового джерела матричного масиву досягають лише найближчого вузла дискретизаци на обранш горизонтально площинi, тому 0-вимiрна його зона впливу.
Крайнш рядок (стовпець) точкових джерел формуе цилiндричнi, в цiлому, хвилi, за винятком !хнiх кра!в, тому що хвильовi трубки його джерел обмежеш з бошв суперпозицiею. Кожна трубка взаемодiе лише з вузлами найближчого рядка(стовпця) вузлiв дискретизацi!' на обранш площиш (одновимiрною зоною власного впливу на рис. 1б, в межах яко! збурюються значення лише одше! декартово! компоненти електрично! напруженостi, наприклад, y-проекцi!' стовпцем крайнiх джерел, а х-проекцiя приймае виключно нульовi значення.).
Тiльки з двох бошв обмежеш суперпозищею сферичнi хвилi кутових - у матричному масивi -точкових джерел; у результат останш володшть двовимiрними зонами впливу (рис. 1б), зовнiшня границя котрих визначаеться ефективним розмiром областi вихорового струму в композита
Граничнi елементи (ГЕ), не накладаючись, суцiльно вкривають центральну частину обрано! горизонтально! площини в повир^ над областю поширення вихрового струму в композип (рис. 1б). Така площина - одна з можливих граничних мiж областями впливу полiв фактично! й фiктивно!' випромшювальних магнiтних антен, тому !! електрична напруженiсть - iнформативний об'ект дослвдження, зокрема, при оптимiзацi! розмiщення плоско! приймально! антени. Неперетиннiсть ГЕ зменшуе обсяг обчислень.
На рис. 2 наведеш граничнi елементи для обчислення проекцiй Ех i Еу електрично! напруженостi в складi всiляких 2-вимiрних перетинiв просторово-часово! обласп над поверхнею композита.
д) E* (X, Y=B, 2; T=To)
е) Е* (Х=А, % 2, Т=То)
Рис. 2. Граничт елементи для обчислення проекц1й ЕХ 1 ЕУ електричноК напруженостi в склад1 вс1ляких 2-вим1рних перер1з1в просторово-часовоК областi над поверхнею композита
Висновки. В повиряному напiвпросторi x- i у- проекцп вiдносно! електрично! напруженосп результуючого елементарного поля дорiвнюють рiзницi однойменних компонентiв ввдносних напруженостей первинного та вщбитого полiв; такi напруженосп обернено пропорцiйнi вiдстаням до фактичного й фжтивного точкових джерел i прямо пропорцiйнi часовим похвдним обвщно! густини стороннього струму, затриманого строками долання зазначених вщстаней. Вiдносна напружешсть
вторинного поля пропорцшна також значенню характеристики вщбиття в момент часу, котрий задаеться затримкою досягнення обрано! точки в повiтрi.
При переходi до безрозмiрних координат, причому окремо для x- i y-проекцш вщносно! електрично! напруженостi, використанi кроки дискретизаци вшей х, у, z й часу, зворотно пропорцшш електропровiдностi композита вздовж (поперек) армувальних волокон. Завдяки так1й узгодженiй дискретизацi! виникають шдстави для представления магнiтно! антени масивом точкових джерел стороннього струму, спрощуються рiвияния моделювання шляхом усунення фiзичних констант i кутiв проекцiюваня, досягаеться спiвмiрнiсть подання просторово-часових даних. Значення модифжовано! функци Беселя уявного аргументу можна обчислювати лише раз, попередньо табулюючи !х в постiйнiй пам'ят приладiв контролю.
Ортотропiя електропровiдностi композита зумовлюе прямокутну форму випромiнювально! магштно! антени та орiентацiю !! сторш уздовж осей координат х i у. У дослiджуванiй горизонтальнiй площиш над областю поширення вихрового струму встановлено розташування зон впливу для точкових джерел: двовишрних для кутових, одновимiрних для решти крайнiх i нуль-вимiрних - для внутрiшнiх джерел квадратного масиву. Зони впливу заповнюються неперетинними граничними елементами потрiбно! вимiрностi.
Усунення фiзичних констант i купв проекцшвання в безрозмiрних координатах дозволяе отримати обчислювальне ядро, використовуване спшьно при знаходженнi x- i y- проекцiй приведено! електрично! напруженостi в складi шести можливих 2-вимiрних перетишв просторово-часово! областi над поверхнею ортотропного композита.
Лiтература
1. Композиционные материалы: Справочник / Под ред. Д. М. Карпиноса. - К.: Наукова думка, 1985.
- 592с.
2. Композиционные материалы: Справочник / Под ред. В. В. Васильева, Ю. М. Тарно польского. -М.: Машиностроение, 1990. - 512с.
3. Неразрушающий контроль и диагностика / Под ред. В. В. Клюева. -М.: Машиностроение, 2003. -656с.
4. Жданов М. С. Математическое моделирование электромагнитных полей в трехмерно-неоднородных средах. - /М. С. Жданов В. В. Спичак //М.: Наука, 1992. - 187.
5. Бреббия К. Применение метода граничних элементов в технике./К. Бреббия, С. Уокер// -М.: Мир, 1982. - 248с.
6. Бенержди П. Методы граничных элементов в прикладных науках./ П. Бенержди, П. Баттерфилд //- М.: Мир,1984.-498с.
7. Ahmed M. T., Lavers J. D., Burke P. E. A Unified Approach for Eddy Current Calculations in Induction and / or Skin Effect 2-D Problems //Journal of Electromagnetic Waves and Applications. - 1990. - V.4.
- I.11. - PP. 1055-1075.
8. Сильвестр П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков / П. Сильвестр, Р. Феррари // - М.: Мир, 1986. - 230с.
9. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики./ А. Н. Тихонов, А. А. Самарский// - М.: Наука, 1977. - 736с.
10. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров / С. Фарлоу // - М.: Мир, 1985. - 384с.
11. Pashchenko V. A., Khandetskii V. S. Questions of the Theory of Electromagnetic Testing of Orthotopic Composites Using Nostationary Fields. 1. The Elementary Vector Potential of Primary and Reflected Fields in the Air above the Flat Surface of a Composite // Russian Journal of Nondestructive Testing. - 2012. - V.48. - No.6. - РР. 357-372.
12. Pashchenko V. A. The subsurface sounding analytical description of orthotopic composite in dimensionless coordinates // Proceedings of the 14й International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. - Kharkiv, Ukraine, 2012, pp. 176 - 179.
