Принципи розрахунку електричного імпедансу коливального п’єзокерамічного диска в області середніх частот Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

p-ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2017. № 4 e-ISSN 2313-688X. Radio Electronics, Computer Science, Control. 2017. № 4

УДК 621.373.826.032:534.232.082.73

Базто К. В.

Канд. техн. наук, доцент, доцент кафедри комп'ютеризованих та ¡нформац/йних технологй у приладобудуванн

Черкаського державного технолог1чного ун1верситету, Черкаси, Украна

ПРИНЦИПИ РОЗРАХУНКУ ЕЛЕКТРИЧНОГО 1МПЕДАНСУ КОЛИВАЛЬНОГО П'€ЗОКЕРАМ1ЧНОГО ДИСКА В ОБЛАСТ1 _СЕРЕДН1Х ЧАСТОТ_

Актуальтсть. Актуальтсть застосування pi3HMX функцюнальних елеменпв п'езоелектрошки в силових i шформацшних системах пояснюеться, перш за все, ïx високою надiйнiстю. Кiнцевою метою математичного моделювання фiзичного стану коливальних п'eзокеpамiчниx елементiв е якiсний i юльюсний опис характеристик i паpаметpiв юнуючих в них електричних та еластичних полiв.

Мета роботи - розрахунок електричного iмпедансу коливального п'езоелектричного диска в област сеpеднix частот.

Метод. При досить загальних початкових припущеннях отримана математична характеристика електричного iмпедансу п'езокеpамiчного тонкого диска з сущльним електродуванням торцевих поверхонь, який коливаеться у вакуума Показано, що електричний iмпеданс визначаеться усередненими значеннями компонента вектора змiщення матеpiальниx частинок п'езокерамжи.

Результати. Побудовано вираз для розрахунку електричного iмпедансу п'езокеpамiчного диска, який коливаеться в област сеpеднix частот, де вектор зсуву матеpiальниx частинок диска практично повшстю визначаеться pадiальним компонентом.

Висновки. В pезультатi дослщження математичноï моделi реального пристрою можна визначити той набip геометричних, фiзико-меxанiчниx та електричних паpаметpiв реального об'екта, який забезпечуе pеалiзацiю теxнiчниx показниюв функцiонального елемента п'езоелектpонiки, обумовлених в техшчному завданнi. Це iстотно скорочуе час i вартють розробки нових функцюнальних елеменпв п'езоелектpонiки. Перспективи подальших дослiджень можуть полягати в побудовi методики обчислення коефiцiентiв тpансфоpмацiï в п'езоелектричному трансформатср з декiлькома вторинними електричними колами.

Ключовi слова: тонкий диск, п'езокерамжа, електричний iмпеданс, вектор змщення матеpiальниx частинок п'езокеpамiки.

НОМЕНКЛАТУРА

и^ - амплiтудне значення електричного потенщалу; ю - колова частота змши знака потенщалу; / - час;

Ро - густина п'езокерамжи;

О^ - амплiтудне значення к-го компонента вектора електрично! шдукцп;

еклт - компонент тензора п'езоелектричних модушв; епт - амплiтудне значення компонента тензора не-скiнченно малих деформацш;

Хщ - компонент тензора дiелектричноl проникностi,

який експериментально визначаеться в режимi сталостi (рiвностi нулю) пружних деформацiй (верхнiй символ е );

Еу - амплпудне значення у -го компонента вектора

напруженост електричного поля в об'емi деформова-

ного п' езоелектрика;

®у - амплiтудне значення компонента тензора меха-

нiчних напружень;

Е ■

Сук/ - компонент тензора модутв пружностi, який

експериментально визначаеться в режимi сталостi (рiвностi нулю) напруженост електричного поля (верхнiй символ Е) в об'емi п'езоелектрика, який деформуеться. ВСТУП

Актуальнiсть застосування рiзних функцiональних елементiв п'езоелектронiки в силових i iнформацiйних системах пояснюеться, перш за все, !х високою над-iйнiстю. Одним iз основних елеменпв таких систем е п'езокерамiчний трансформатор [1], який е альтернативою електромагштним трансформаторам в тих сферах !х застосування, де необх^на висока надiйнiсть, стабiльнiсть, автономнiсть, максимальна тривалють без© Базшо К. В., 2017 БОТ 10.15588/1607-3274-2017-4-2

вiдмовноl роботи [2]. Об'ектами, де необхщне застосування таких наднадшних трансформаторiв напруги е: автоматичнi мiжпланетнi станцп; автономнi глибоководнi плаваючi об'екти; будь-яю iншi об'екти, доступ до яких сильно утруднений, неможливий або надзвичайно не-безпечний для людини (ядернi реактори; хiмiчно небез-печнi об'екти, станцп в Антарктидi i Арктицi, шдземш об'екти, орбiтальнi супутники тощо).

П'езоелектричний трансформатор мае ряд переваг в ж^внянт з електромагнiтним, а саме [3, 4]: високу питому потужшсть; вiдсутнiсть електромагнiтних завад; високу ефектившсть; можливiсть мшатюризацп; широкий частотний дiапазон; вогнестiйкiсть; проста техноло-гiя виготовлення. Надзвичайно широкi можливост п'езотрансформаторiв дозволяють використовувати !х при створенш рiзноманiтних аналогових i дискретних пристро!в перетворення сигналiв.

В даний час п'езотрансформатори знаходять все бшьше застосування в областях, де по^бне отримання високих напруг Практика застосування п'езотрансфор-маторiв показуе, що вони досить ефективно працюють на першш або на другiй модi коливань в областа частот вiд декшькох десяткiв до сотень кiлогерц [5].

П' езотрансформатори знаходять широке застосуван-ня в сучаснiй свiтлотехнiчнiй апаратур i приладах. Вони дозволяють мiнiмiзувати габарити пристро!в запалення i живлення рiзного класу газорозрядних ламп, створювати високоефективнi високочастотнi джерела живлення з ККД до 95%, що забезпечують пiдвищення довговiчностi ламп в 5-10 разiв i свiтловiддачу бiльш шж в 1,4 рази [6-8].

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1

Використання п'езотрансформаторiв стримуеться складшстю адекватного аналiтичного опису !х моделей [9]. Кiнцевою метою математичного моделювання фiзич-

ного стану коливальних п езокера]шчних елементiв е яюсний i кiлькiсний опис характеристик i параметрiв юну-ючих в них електричних i пружних полiв.

Практична значишсть адекватно! реальному об'екту математично! моделi очевидна. В результатi дослщжен-ня математично! моделi реального пристрою можна виз-начити той набiр геометричних, фiзико-механiчних та електричних параметрiв реального об'екта, який забез-печуе реалiзацiю технiчних показникiв функцiонального елемента п'езоелектрошки, обумовлених в технiчному завданш. Це iстотно скорочуе час i вартiсть розробки нових функцiональних елеменпв п'езоелектронiки. Вартiсть зекономлених ресурсiв становить комерцшну цiну математично! моделi.

Таким чином, актуальшсть розробки фiзично змютов-них математичних моделей дискових п' езоелектричних трансформаторiв зберiгаеться i в даний час.

Очевидно, що отримання зм^товних i достовiрних кiлькiсних оцiнок параметрiв фiзичного стану п'езоелек-тричних (п'езокерамiчних) елеменлв не представляеть-ся можливим без достовiрних даних про величини фiзи-ко-механiчних констант матерiалiв. 1нтенсивне i широко-масштабне практичне застосування синтетичних п'езоелектриюв (п'езокерамiка) стало новим iмпульсом, що стимулюе розвиток експериментальних методiв виз-начення фiзико-механiчних параметрiв п'езоактивних матерiалiв.

2 ОГЛЯД ЛГГЕРАТУРИ

При ближчому розглядi рiзноманiття метсадв можна розбити на три групи, а саме:

- метод резонансу-антирезонансу та його модифь кацп;

- метод кругових дiаграм i його модифжацп;

- ультразвуковi методи.

Ультразвуков! методи в сво!й теоретичнiй осжда спи-раються на формалiзм власних чисел i власних векторiв тензора Кр^тофеля [10] i припускають вимiрювання швидкостей поширення плоских хвиль рiзно! поляризацi! [11, 12]. Недолiками цього методу експериментальних дослщжень е складшсть пiдготовки зразкiв i складнiсть збудження плоских хвиль, якi повиннi поширюватися в суворо визначених в просторi кристалографiчних осей напрямках.

Метод кругових дааграм i деяк! його модифiкацi! до-сить докладно описанi в монографп [13]. Цей метод ба-зуеться на математичнш моделi електричного iмпедансу дослiджуваного зразка. Достовiрнiсть результатiв, яю от -римують за допомогою цього методу, визначаеться сту-пенем адекватностi математично! моделi реальному об' екту.

Метод резонансу-антирезонансу, за св^енням У Кедi [14], сходить до робгг Уоррена Мезона i передбачае вимiр частот електромеханiчних резонаншв i антирезонансiв сталих коливань дослщжуваних зразкiв. Як i в метод кругових дiаграм, теоретичною основою е математична модель електричного iмпедансу досл^жуваного зразка. З цiе! причини вм похибки методу кругових дiаграм при-таманнi i методу резонансу-антирезонансу.

В робота [15] вперше була зроблена спроба розробки методики експериментального визначення фiзико-меха-нiчних властивостей п'езоелектрично! керамiки, яка спи-ралася на основш уявлення механiки деформованого твердого тша з ускладненими (п'езоелектричними) влас-тивостями. Сдиним слабким мiсцем способу, описано-го в роботi [15], е склеювання двох п' езокерамiчних дискiв. Це склеювання мае погано вдаворюваш (особливо на тривалому iнтервалi часу) характеристиками, якi хоча i в незначнiй мiрi, але впливають на результати експериментального визначення модушв пружностi бiморфного п'езокерамiчного елемента. Саме з ще! причини вва-жаеться за необхiдне так змшити тридiапазонний метод резонансу-антирезонансу [15], щоб виключити з резуль-татiв експерименту важко прогнозований вплив пара-метрiв шару склеювання.

Вiдомо [16], що при опии рiзних форм коливань одного i того ж об'екта використовуються рiзнi набори ма-терiальних констант. Так, при опии товщинних коливань поляризовано! по товщиш п'езокерамiчно! пластинки

потрiбно, як мшмум, знання модуля пружностi с33 (модуль пружноста, вимiрюваний в режим сталостi (рiвностi нулю) напруженостi електричного поля), п'езомодуля 633 i дiелектрично! проникностi Х33 (дiелектрична про-никшсть, яка вимiрюеться в режимi сталост (рiвностi нулю) деформацi! або, як iнодi кажуть, але це правильно лише наполовину, проникшсть затиснутого п'езоелект-рика). При описi радiальних коливань поляризованого по товщиш п'езокерамiчного диска жт^бне знання на-

багато бшьшого числа матерiальних констант, а саме сЦ,

с12, С13, С33, е31, е33 i Х33. Згставляючи мiж собою рее ■ е

зультати вимiрювання модулiв пружност с£2 i С\3, нескладно помлити, що вони вiдрiзняються один вiд одного на величину, яка рщко перевищуе рiвень 0,3-0,5% вiд номiнального значення (див., наприклад, таблищ, наве-денi в монографiях [16, 17]). Насправдi, пружш власти-востi поляризовано! по товщиш п'езокерамiчно! пластинки в площиш, яка перпендикулярна до кристалограф-iчно! осi 2, е трансверсально iзотропними. Цей факт дае тдстави для висновку, що оцiнка числових значень мо-■ Е

дулш пружностi сар може i повинна проводитися в при-

Е Е

пущенш, що С12 = С13. Бiльш того, можна довести шляхом формальних мiркувань, що напружено-деформова-ний стан пластинки в режимi товщинних коливань

■ Е ■

описуеться за допомогою модуля пружност с33 тiльки в

Е Е

тому випадку, коли виконуеться рiвнiсть с^ = с^.

Таким чином, необх^но побудувати несуперечливу методику експериментального визначення матерiальних констант п'езокерамжи, яка доставляе достовiрнi значення мшмум трьох модулiв пружностi, двох елеменлв мат-рицi п'езомодулiв i одного елемента матрицi дiелектрич-но! проникносп.

Передуючи побудовi цiе! методики, необх^но по-слiдовно розглянути електричний iмпеданс коливально-

p-ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2017. № 4 e-ISSN 2313-688X. Radio Electronics, Computer Science, Control. 2017. № 4

го п'езокерам1чного диска в обласл низьких, середшх i високих частот. Метою даноï роботи е розрахунок електричного iмпедансу коливального диска в областi середшх частот.

3 МАТЕР1АЛИ I МЕТОДИ

Розглянемо (рис. 1) диск, товщина якого а в багато разiв менше радiуса R. Поверхш диска z = 0 i z = а ( z - координатна вюь цилiндричноï системи координат р, Ф, Z, початок я^ поеднано з центром нижньоï поверхнi диска) електродованi - покрип тонким (не бiльше 10 мкм) шаром срiбла. На верхню поверхню z = а подаеться елек-тричний потенцiал Uf)e1(at (величина U0 вибираеться з

умови U0/а << 0,1 £0, де E0 = 2 МВ/м - нaпруженiсть електричного поля, яким поляризовано мaтерiaл диска, що гарантуе вiдсутнiсть нелiнiйних ефекттв; 1 = V-1 - уяв-на одинипя). Нижня електродована поверхня z = 0 заземлена, тобто мае нульовий потенпiaл.

Прикладена до диска рiзниця електричних потенщ-aлiв створюе в його об'емi електричне поле, яке змiщуе юни пирконiю, титану, свинцю i кисню з положення рiвно-ваги. В результат гaрмонiйно змiнного в чаи деформу-вання диска в ньому виникають поляризацшш заряди, якi взаемодтоть на електродованих поверхнях з електрич-ними зарядами, якi доставляються на ni поверхш генератором рiзнипi електричних потенщaлiв. Результуючий електричний заряд Qemt на поверхнi z = а своïм елект-

ричним полем формуе електричний струм Ieimt в про-вiднику, який з'еднуе поверхню z = а з виходом електричного генератора. У будь-який момент часу

I emt = - d Q/ д t = - rnQeiat, тобто амплпуди струму i

електричного заряду на поверхш z = а зв'язаш лшшною

зaлежнiстю I = - i'roQ.

Очевидно, що електричний iмпедaнс Zei (ю) коливального диска повинен тдкорятися закону Ома для дiлянки кола з чого випливае, що

Zel (ю) =

Цс I

.Ul

mQ

(1)

Амплiтудне значення поверхневоï густини СТ0 електричного заряду визначаеться через амплпудне значення нормального цш поверхнi компонента вектора електрич-

Рисунок 1 - Розрахункова схема коливального п'езокерамшчного диску

но! шдукцп D (р, ф, z). У ситуацп, що розглядаеться

ст0 = Dz (р, z) i, оскшьки Bci фiзичнi поля в коливальному п'езокерамiчним диску a priori мають осьову симетргю, то

2п R R

Q = Jct0dS = J JpDz (р,z)dрdф = 2nJpDz (р,z)dр. (2)

S 0 0 0

Електричний стан диска визначаеться законом елект-рично! поляризацп дiелектрика, який мае п'езоелектричнi властивост [18], i в термiнах амплпудних значень характеристик гармонiйно змшних в часi фiзичних полiв запи-суеться в наступному виглядi ,s

Dk = eknms nm + UjEj- k, n, m, j = 1,2,3.

(3)

При записi спiввiдношення (3) за замовчуванням пе-редбачаеться, що виконуеться погодження про тдсумо-вування по двiчi повторюваним iндексам. Мiж iндекса-ми координатних осей правосторонньо! декартово! сис-теми координат i символами осей цилшдрично! системи координат юнуе взаемно однозначна вiдповiднiсть, а саме: 1 » р; 2 » ф i 3 » г.

Компоненти тензора несюнченно малих деформацш задовольняють узагальненому закону Гука для пружно-го середовища з п'езоелектричними властивостями [18], який записуеться наступним чином:

Jij = cijki 4l - ekijEk.

(4)

Пружш напруження Ъу i сили iнерцi!, якi виникають в

об'емi динамiчно деформованого твердого тiла, пов'язаш мiж собою другим законом Ньютона в диференщальнш формi або, як частше говорять, рiвняннями руху, яю в разi вiсесиметричного, змiнного в чаш за гармоншним законом напружено-деформованого стану записуються в цилшдричнш системi координат наступним чином [19]:

5ст,

РР

дст,

Pz

5р

5 z

стрр стфф

) + р0ю2ир = 0 , (5)

1 5 / ч

рдр(рст zp)

dCTzz

5 z

+ Р0Ю uz= 0,

(6)

де ир i иг - амплiтуднi значення компонентiв вектора

змщення матерiальних частинок - нескшченно малих об'емiв п'езокерамiки. Нормальнi i дотичнi напруження на поверхнях диска повинт задовольняти третьому закону Ньютона. Якщо диск коливаеться в вакуум або, що, практично, те ж саме, в повпр^ тобто не мае мехатчних контакта з iншими матерiальними об'ектами (рис. 1), то на поверхнях диска повинш виконуватися наступнi умови:

CTzP lz = 0,а СТ zz lz = 0,а

= 0 Vpe[0, R],

ст,

Pz lp = R

= CT,

РР lp = R

= 0 V z e[0, а].

(7)

(8)

Оскшьки деформацп визначаються через компонента вектора змщення (в розглянутiй задачi це

ерр=д иР/дР, еФФ = пр/р , е22 = д и2/д 2 i

Зр2 = (д ир /д г + д и2/д р))2), остшьки можна стверджу-

вати, що адекватний реальнш ситуацп математичний опис електричного iмпедансу передбачае адекватний математичний опис динамiчного напружено-деформованого стану коливального п'езокерамiчного диску. Природно, що на яюст i кiлькiснi характеристики напружено-дефор-мованого стану в об'емi диска робить ^тотний вплив електричне поле, яке е алгебра!чною сумою електричного поля, створеного генератором рiзницi електричних потенцiалiв (надалi - електричне поле зовшшнього дже-рела), i електричного поля, яке виникае через змщення iонiв з положення рiвноваги (прямий п'езоелектричний ефект). Це поле в подальшому будемо називати внутршшм електричним полем.

Середнiми частотами будемо називати частотний даа-пазон, в якому масштабна одиниця просторово! неодно-рiдностi напружено-деформованого стану (довжина пружно! хвит) стае порiвняною з радiусом п'езокерамь чного диска. Для тонких дисмв, коли вiдношення а/Я << 1, з наведеного вище формулювання випливае, що напружено-деформований стан практично не змiнюеться по товщиш диска. З граничних умов (7) випливае, що Стр2 = ст 22 = 0 У(р, г )еК. Рiвнiсть Стр2 = 0 при

Ер = 0 означае, що ер2 = е 2р = 0 У(р, г )еУ.

При зроблених припущеннях узагальнений закон Гука (4) доставляе наступш сшввщношення:

трр = С11ерр + С12ефф + С12егг - е31Е2

О2 = е31 (ерр + ефф) + е33е22 + ХззЕг пiсля виключення деформацп е22 визначаеться наступним виразом

о2=

р 5Р

р42) (р)

и 0

Х33"

а

(15)

;(1 + Ах33)

де Х33 = Х33 (1 + ^Х33 I - дiелектричнa проникнiсть для режиму планарних коливань. Надбавка

А%33 = е33^ (х33С33 ) при типових для п'езокерaмiк ЦТС

значеннях мaтерiaльних констант (СЦ = 110 ГПа;

сЕ2 = 60 ГПа; сЕ3 = 100 ГПа; е33 = 18 Кл/м2;

е31 =-8 Кл/м2 i х33 = 1400х0; Х0 = 8,85-10-12 Ф/м -дiелектричнa проникнiсть вакууму або дiелектричнa по-стiйнa) не перевищуе 0,262.

При визначенш компонента О2 виразом (15) формула для розрахунку електричного iмпедaнсу коливального диска записуеться в наступному виглядi

2е1 (ю) = -

и

0

/юС*н(*)

(ю)

(16)

де С* = лЯ2х3^а - динaмiчнa електрична емнiсть п'езокерaмiчного диска для режиму планарних коливань, тобто електрична емшсть в обласп середнiх частот. Фун-

(9) кцiя Н(*) (ю) розраховуеться за формулою

тФФ = С12ерр + С11ефф + С12е22 - е31Е2, (10)

0 = С12ерр + С12ефф + С3зе22 - е33Е2 . (11)

Зi спiввiдношення (11) випливае, що

£12

СЕ С33

(е +е ) + £31 Е

С33

(12)

Пiдстaновкa виразу (12) в формули (9) i (10) приводить до наступних результата

стрр = С11ерр + С12ефф - е31Е2

ст,

ФФ= С12ерр + С11ефф - е31Е2

(13)

(14)

де С11 = С1Е1 -(С12 ) /С33; С12 = С12-

(с1Е2 )2/с3Е3;

* / Е

е31 = е31 - е33/ С33 - мaтерiaльнi константи для режиму

планарних коливань, тобто для режиму деформування,

коли ст 22 = 0.

Компонент вектора електрично! шдукцп

(ю) =

2е*1а

(2 ) 'Л >

Х33 Я

Введемо позначення

(Я) - Щ

(17)

(2) 1 а

и(2 )(р) = а1 ир (р ,2 )2,

а 0

i будемо називати величину ир2) (р) усередненим по тов-щинi диска рaдiaльним компонентом вектора змiщення мaтерiaльних частинок диска.

Для визначення усередненого по товщиш диска ра-дiaльного компонента вектора змщення мaтерiaльних частинок диска на середшх частотах пiддaмо операцп усереднення рiвняння сталих рaдiaльних коливань (5). Приймаючи до уваги, що

а {^2 = а [стр2 (р, а)-стр2 (р,0 )] =0,

а

результат усереднення можна представити таким вира-зом

дстррр(р) , 1

др

+ — Р

рр

(р)-стф2ф)(р) +р0Ю2ир2 )(р} = 0. (18)

р-К8К 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлшия. 2017. № 4 е-ЕЗБЫ 2313-688Х. Каёю Шео^оп^, Сошриег Баепое, Сопйо1. 2017. № 4

Нормальш напруження стрр (р) i стфФ (р) визнача-ються з спiввiдношень (13) i (14):

стр^р (р)=а Ьр(р)*=с 4т*+

(2 )

■Л '

+ С1

(р)

12"

- е^2)(р)

(19)

( ) 1 " ди(2) (р) фФ (р)=а{стфф (р)=С12 Рдр

,(2 )

+ С

(р)

11

- е*ъхЕ()(р)

(20)

Так, як

О2 (р) = ^^[Ри(2) (Р)^ + Х33Е() (Р), (21)

то з ж^вняння двох, фiзично е^валентних, визначень (15) i (21) акшального компонента вектора електрично! шдукцп сл^е, що

Е22 )(р) = - Ц,/ с

(22)

Пщставляючи спiввiдношення (19) i (20) в звичайне диференцiйне рiвняння (18), отримуемо стандартне рiвняння для функцш Бесселя

д 2и(2 )(р) д и(2 )(р)

др2

+ р-

др

(Хр)2 - 1]и(2)(р) = 0

рiшення якого, очевидно, мае такий вигляд и(2)(р) = ЛЗХ (Хр),

(23)

де Л - константа, що тдлягае визначенню; (Хр) -

функцiя Бесселя першого порядку; Х = ю/^Сц/р0 -

хвильове число рaдiaльних коливань п'езокерaмiчного диска.

Константа Л визначаеться з гранично! умови

,(2) РР

ним чином

стрр (Я) = 0 (умова виконуеться автоматично) наступ-

Л = -

е31и0

Я

[XЯJ0 (ХЯ) - (1 - к) J1 (ХЯ)]'

де Jо (ХЯ) - функцiя Бесселя нульового порядку; к = с12/ Сц - число менше одиницi.

Пiдстaвляючи значення константи в формулу (23), а отриманий результат - в сшввщношення (17), отримуе-

мо можливють записати вираз (16) в наступному виглядi:

(24)

^ (ю)=-^ Р (*)(ю),

I юСд

де

Е (*)(ю)=.

XЯJ0 (ХЯ)-(1 - k)J1 (ХЯ)

XЯJ0 (ХЯ) - (1 - к - 2К^1

)Jl (ХЯ)

(25)

К31 = (е*1) !(Сцх33 ) - квадрат коефiцiентa електроме-

хaнiчного зв'язку п'езокерaмiки в режимi рaдiaльних коливань диску, поляризованого по товщиш.

Функщя Е (*)(ю), що задана виразом (25), мае ряд

характерних точок на ом частот ю. На чaстотi югт, яка вщповщае т -му за номером кореню рiвняння

xJ0 (х) - (1 - к) J1 (х) = 0, (26)

функщя Е(*) (югт ) = 0. На частот югт частота змiни

знаку сил Кулона, яю деформують п'езокерaмiчний диск, збiгaеться з т-ой по номеру власною частотою рaдiaль-них вiсесиметричних коливань круглого диска i в^бу-ваеться резонансне споживання енергп джерела пруж-них коливань. Осюльки iдеaльне джерело гaрмонiйно змшно! в час рiзницi електричних потенцiaлiв мае не-скiнченний запас енергл, остшьки на частотах рaдiaль-них електромехашчних резонaнсiв aмплiтуднi значення

рaдiaльного компонента ир2) (р) вектора змщення ма-терiaльних частинок диска необмежено зростають. Вщпо-вiдно до цього зростають aмплiтуднi значення компонентiв тензора деформацш i, як нaслiдок, необмежено зростають амплпудш значення електричного заряду на по-верхнi 2 = а. Останне е причиною необмеженого зрос-тання aмплiтудних значень змшного струму в провщни-ках, яю пiдключенi до електродованих поверхонь диска. Несюнченш струми на виходi щеального генератора електрично! напруги виникають в результат короткого зами-

кання, тобто коли опiр навантаження 2е1 (ю гт ) = 0. 4ЕКСПЕРИМЕНТИ

У тaблицi 1 наведет числовi значення перших двох корешв ( Х1 i Х2) рiвняння (26) i !х вiдношення ^21 = Х2/ Х1 в залежност вiд значень параметра к. Необидно тдкрес-лити, що вiдношення ^21 в точностi дорiвнюе вщношен-ню ю21 = юг 2/ юг1 , тобто кругових частот другого i першого рaдiaльних електромехaнiчних резонaнсiв, яке легко i точно визначаеться експериментально. Необх^но звернути увагу ще й на те, що числовi значення корешв рiвняння (26) змiнюються досить мало в порiвняннi зi змiною параметра к. Це необхiдно враховувати при ви-конaннi вимiрювaнь, яю необхiдно виконувати з усiею можливою ретельшстю.

Слщом за частотами rorm рaдiaльних резонaнсiв слiду-ють частоти, на яких обертаеться в нуль знаменник вира-

зу (25). На цих частотах функщя F(*) (ю) необмежено зростае. Вщповщно до цього необмежено зростае електричний iмпедaнс п'езокерaмiчного диска. Це вщбуваеть-ся через те, що поляризацшш заряди повшстю компен-сують електричний заряд, який формуе на електродова-них поверхнях диска генератор електричних сигнaлiв. Результуючий заряд Q обертаеться в нуль i електричний струм в провщниках зникае. Це вiдповiдaе розiмкнутому електричному колу або електричному колу, в якому включено несюнченно великий опiр. При цьому п'езокерам-iчний диск, природно, не споживае енергл вiд джерела коливань, тобто вщ генератора. Щоб тдкреслити специ-фiку i вiдмiннiсть цього стану вщ стану на частотах елек-тромехaнiчного резонансу, частоти roam, на яких

Zel (юam ) œ, називають частотами електромехашч-ного антирезонансу.

У реальному експеримент нулi i нескiнченностi вiдсутнi, оскшьки в реальних пружних мaтерiaлaх завжди юнують втрати на в'язке тертя. Ц втрати можна врахува-ти за допомогою параметра Qm , який мае змют мехаш-чноï добротностi мaтерiaлу. Як вiдомо, добротшстю на-зиваеться безрозмiрне число, величина якого обернено пропорцшна втратам енергп в коливaльнiй системi за перюд. В iдеaльних пружних тiлaх, де втрати енергл на

Таблиця 1 - Перш1 два кореня р1вняння

xJ0 (x) - (1 - k) J1 (x) = 0

в'язке тертя вщсутш, Qm ^ <». У реальних об'ектах доб-ротнiсть Qm мае кiнпеве значення. При цьому модут

пружностi cpA (Qm ) записуються наступним чином [20]

k M Х2 Ы

0,00 1,841184 5,331443 2,895660

0,05 1,878980 5,341153 2,842582

0,10 1,915393 5,350843 2,793601

0,15 1,950511 5,360511 2,748259

0.20 1.984414 5,370155 2,706167

0,25 2,017172 5,379773 2,666988

0.30 2,048850 5,389364 2.630434

0,35 2,079508 5,398928 2,596253

0,40 2,109198 5,408462 2,564226

0,45 2,137971 5,417963 2,534162

0,50 2,165871 5,427433 2,505889

0.55 2,192942 5.436869 2,479259

0,60 2,219221 5,446270 2,454137

0,65 2,244744 5,455635 2,430404

0.70 2.269547 5.464962 2.407953

0,75 2,293658 5,474251 2,386690

0.80 2.317109 5,483500 2.366527

0,85 2,339926 5,492708 2,347385

0,90 2,362135 5,501874 2,329195

0,95 2,383761 5,510998 2,311892

1,00 2,404826 5,520078 2,295417

= V-ï -

(27)

уявна

4i(Qm ) = cßl(l + vQm)

E

де cp^ - статичний модуль пружностц i

одиниця.

5 РЕЗУЛЬТАТИ

На рис. 2 покaзaнi модут рaдiaльних змiщень uPz) (р)

в п'езокерaмiчному диску рaдiусом R = 33 • 10-3 м i тов-щиною а = 3•Ю-3 м. Параметри мaтерiaлу диску ( п' езокерaмiки) сЦ = 110 ГПа; cjE = 60 ГПа; c3E3 = 100 ГПа; e33 = 18 Кл/м2; e31 =- 8 Кл/м2 i Х33 = 1400 Х0; Qm = 100; k = cn/cn = 0,324. Розра-

хунки були виконaнi на частотах перших трьох електро-мехашчних резонaнсiв. Номер резонaнсноï частоти проставлений в rnrni рисунку бшя вiдповiдноï кривоï. Для зазначеного вище значення параметра k резонансним частотам вщповщають нaступнi значення коренiв рiвнян-ня (26): x, = 2,063690; x2 = 5,393958 i x3 = 8,574693. Рiзниця електричних потенпiaлiв U0 = 1В. По осi абсцис на рис. 2 вiдклaденi значення безрозмiрною рaдiaльноï координати pjR .

Звертае на себе увагу надзвичайно швидке зменшен-ня рiвнiв рaдiaльних змiщень у мiру зростання номера електромехaнiчного резонансу

Цей факт додатково шюструеться на рис. 3, де показана змша модуля рaдiaльного змiщення M(z) (R ) бiчноï

поверхнi р = R п'езокерaмiчного диска в широкому дia-пaзонi частот. Обчислення проводилися при зазначено-му вище нaборi геометричних i фiзико-мехaнiчних пара-метрiв коливального диска. Цифрами в жш рисунку вка-зaнi номери електромехaнiчних резонанив. По осi абсцис на рис. 3 вщкладено безрозмiрне хвильове число x = AR. З представлених на рис. 3 результата обчислень випли-вае, що на частотах в околищ першого товщинного резонансу (це приблизно в^повщае значенням AR s 40 + 60 ) рaдiaльнi змiщення мaтерiaльних части-нок диска, розрaховaнi в припущенш, що ст zz = 0, пере-стають iснувaти.

На рис. 4 показана змша модуля електричного iмпе-дансу п'езокерaмiчного диска в дiaпaзонi середнiх частот (рис. 4а). На вставщ в поле рис. 4а показано зм^

значень модуля Zei (ю) в найближчш околипi частоти юг1 першого електромехашчного резонансу На рис. 4б показана змша модуля електричного iмпедaнсу в околищ частоти raa1 першого електромехашчного антирезонансу. Геометричнi i фiзико-механiчнi параметри диска, якi використовувалися при обчисленнях за формулою (24), вказаш в коментарях до рис. 3.

р-^Ы 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлшия. 2017. № 4 е-^Ы 2313-688Х. Каёю Шео^^, Coшputer Science, Contro1. 2017. № 4

Як випливае з формули (27), вирази (24) i (25) е функ- метра, отримуемо наступну оцiнку мехашчно! доброт ■ щями малого параметра е = 1/Qм. Розкладаючи функ

цiю 2е1 (ю) в степеневий ряд по малому параметру е , i

обмежуючи розкладання першим ступенем цього пара- Qм = '

ностi п езокерaмiки: 2

К |[(Х1 + к - 1) -/1 (хт )- к 0 (хт )

4 хтУСд (0)K321J1 (хт )2е1 (хт )

(28)

1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

00

(р\

х 10 м

-1- -1- —1— —1—

/

1 7

у /

1

/

/ / /

! /Сг^ —......3

О

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

и^тхю"

><4

:

1

2

J 1 3 А к л 5 1— ш

10

14

18

Рисунок 2 - Рад1альш змщення матер1альних частинок п'езокерам1чного диска на частотах перших трьох електроме-хашчних резонанав

Рисунок 3 - Рад1альш змщення б1чно! поверхш п'езокерам1ч-ного диска в широкому д1апазош частот

Рисунок 4 - Модуль електричного ¡мпедансу диску в област середшх частот

де xm - m-ий корiнь рiвняння (26); v = -JRecnjр0 -

швидкiсть поширення рaдiaльних коливань в п'езоке-рaмiпi, визначена без урахування втрат на в'язке тертя;

C* (0) - динaмiчнa електрична емнiсть коливального диска, визначена через дiелектричну проникнiсть Re Х33,

в якш не враховуються втрати на в'язке тертя; Zei (xm ) -електричний iмпедaнс диска на частота m-го електромехашчного резонансу. Сл^ тдкреслити, що Zei (xm ) е дшсною величиною. З покaзaноï на рис. 3а вставщ, можна визначити Zei (x1 ) = 7,8Ом. Постановка пiеï величи-

ни в формулу (28) дае значення Qm = 100,096. У розра-

хунок було закладено значення Qm = 100, тобто отри-мана ощнка знаходиться в добрiй згодi з ютинним зна-ченням мехaнiчноï добротности

У деяких роботах робляться спроби визначення меха-

нiчноï добротностi як вщношення юа^ДЮ0 707 , де юа1 - кругова частота першого електромехaнiчного антирезонансу; Дю 0,707 - смуга частот на рiвнi -3 дБ вiд значення модуля Zei (юа1 ) , тобто максимального значення

електричного iмпедaнсу на частота першого антирезонансу. Виконуючи пi розрахунки за допомогою графжа, який показаний на рис. 4б, отримуемо значення Qm = 153,3, яке ютотно вiдрiзняеться ввд зaклaденоï в роз-рахунок величини Qm = 100. Причина такого стану речей полягае в тому, що електромехашчний антирезонанс формуеться за рахунок взaемодiï (взaемноï компенсацп) електричного заряду, який наводиться на електродованш поверхнi диска генератором рiзницi електричних потенц-iaлiв, i поляризацшного заряду, який утворюеться в результата деформування п'езоелектрика. Говорячи шши-ми словами, втрати на в'язке тертя не е, на вiдмiну вщ електромехaнiчного резонансу, единим фактором, який визначае величину електричного iмпедaнсу

На рис. 5 показано частотно залежну змiну модуля

безрозмiрноï функцп F((ю), яка визначена виразом

(25). Розрахунок був виконаний для того ж набору гео-метричних i фiзико-мехaнiчних пaрaметрiв, який викори-стовувався при обчисленнях, результати яких покaзaнi на рис. 3 i рис. 4. На вставщ в поле рис. 5 показана змша

модуля функцп F(i) (ю) в дiaпaзонi безрозмiрних хвиль-

ових чисел 3 < AR < 5 або, що те ж саме, безрозмiрних

F (*)(ю)

частот 3 < ют0 < 5 (Т0 = Rjv ), де

1. При зна-

ченнях A*R = ю*т0 = 3,83 модуль функцп F(*) (ю) дорь внюе одинипi i електричний iмпедaнс

Ze

(ю*) = 1 ю

Cd

Знаючи значення

Ze

i

■M

Рисунок 5 - Частотно залежна змша модуля функцп F(*) (ю)

на визначити модуль динaмiчноï електричноï емноста в режимi планарних коливань п'езокерaмiчного диска, i, як нaслiдок, отримати оцiнку модуля дiелектричноï про-никноста х33. Оскiльки пiд час виконання вимiрювaнь

значення частоти ю*, на якiй F(ю*) = 1, a priori не-вiдомо, остiльки ïï значення, в першому наближенш,

можна оцiнити таким чином: ю* s (юг + юа)/2, де юг = (юг1 + юг2V2 i юа = (юа1 + юа2V2.

6 ОБГОВОРЕННЯ

З теорп Лiфшиця-Пaрхомовського-Меркуловa [21] випливае, що коефщент загасання ультразвуку в широкому дiaпaзонi частот можна описати таким виразом

PsSf 2 +S2 f4,

де §1 i §2 - структурш параметри, числовi значення яких визначаються середньостатистичними розмiрaми зерен мaтерiaлу; f - циктчна частота.

Коефiцiент загасання ß i мехашчна добротнiсть Qm пов'язaнi мiж собою в облaстi середнiх частот в такий

спомб: Р = У( 2QÎp)) , де A i Y - хвильовi числа рaдiaль-них i товщинних коливань круглого диска. Знаючи значення мехашчних добротностей q(p) i Q на частотах

першого i другого резонансу, а також першого i другого електромехaнiчних резонaнсiв можна побудувати оцiн-ки чaстотноï зaлежностi мехaнiчноï добротностi в облaстi середнiх i високих частот. Крiм того, можна сформувати оцiнку чaстотноï зaлежностi добротноста в перехiдному частотному дiaпaзонi. Зазначеш оцiнки надзвичайно важ-ливi при математичному моделювaннi функцiонaльних пристроïв п'езоелектронiки, яю працюють в широкому частотному дiaпaзонi.

Розглянувши електричний iмпедaнс коливального п'езокерaмiчного диска в облaстi низьких, середнiх i ви-

соких частот можна буде побудувати методику експери-ментального визначення мaтерiaльних констант п'езоке-рамжи. Перспектива подальших дослiджень також може полягати в побудовi методики обчислення коефщентав трансформацп в п'езоелектричному трaнсформaторi з декiлькомa вторинними електричними колами.

Слщ зауважити, що п' езоелектричш диски з частко-вим електродуванням одше! або двох поверхонь досить часто використовуються для створення рiзних функцю-нальних пристро!в п'езоелектронiки. Зокрема, диски з секторним електродуванням поверхш е практично ос-новним елементом багатьох мшроелектромехашчних систем. Множиншсть i рiзномaнiття практичного засто-сування дисюв з секторним електродуванням природ-ним чином стимулюе теоретичш дослiдження, метою яких е прогнозування характеристик i технiчних пара-метрiв пристро!в п'езоелектрошки, якi створюються на !х основ^ Прогноз здiйснюеться на пiдстaвi математич-но! моделi, яка е основним результатом теоретичного опису реального пристрою. Практична значимють адекватно! реальному об'екту математично! моделi очевидна. В результата дослщження математично! моделi реального пристрою можна визначити той нaбiр геометрич-них, фiзико-мехaнiчних та електричних пaрaметрiв реального об'екта, який забезпечуе реaлiзaцiю техшч-них покaзникiв функцiонaльного елемента п'езоелектро-шки, обумовлених в технiчному зaвдaннi. Це ютотно ско-рочуе час i вaртiсть розробки нових функцiонaльних еле-ментiв п'езоелектронiки. Вaртiсть зекономлених ресурмв становить комерцiйну цiну математично! модел^ ВИСНОВКИ

Основнi результати ще! статга можна зaфiксувaти на-ступним чином.

1. Вперше при досить загальних початкових припу-щеннях отримано вираз для розрахунку електричного iмпедaнсу коливального п'езокерaмiчного диска.

2. Показано, що електричний iмпедaнс визначаеться усередненими значеннями компонентiв вектора змщен-ня мaтерiaльних частинок п'езокерaмiки.

3. Побудовано вираз для розрахунку електричного iмпедaнсу коливального п'езокерaмiчного диска в об-лaстi середнiх частот, де вектор зсуву мaтерiaльних частинок диска практично повшстю визначаеться рaдiaль-ним компонентом.

4. В результата дослщження математично! моделi реального пристрою можна визначити той нaбiр геомет-ричних, фiзико-мехaнiчних та електричних пaрaметрiв реального об'екта, який забезпечуе реaлiзaцiю техшч-них покaзникiв функцiонaльного елемента п'езоелектро-шки, обумовлених в технiчному зaвдaннi. Це ютотно ско-рочуе час i вaртiсть розробки нових функцiонaльних еле-ментiв п'езоелектронiки.

ПОДЯКИ

Робота виконана в рамках науково-дослщно! роботи Черкаського державного технолопчного унiверситету «Створення високоефективного iнтелектуaльного комп -лексу для розробки та досл^ження п'езоелектричних

компонента для приладобудування, медицини та робо-

тотехшки» (№ держ. реестрацп 0117U000936). СПИСОК ЛГГЕРАТУРИ

1. Исследование характеристик пьезоэлектрического трансформатора на основе радиальных колебаний в тонких пьезокера-мических дисках / [А. В. Богдан, О. Н. Петрищев, Ю. И. Якименко, Ю. Ю. Яновская] // Электроника и связь. Тематический выпуск «Электроника и нанотехнологии». - 2009. - Ч. 1. -С. 269-274.

2. Математическое моделирование колебаний тонких пьезокера-мических дисков для создания функциональных элементов пьезоэлектроники / А. В. Богдан, О. Н. Петрищев, Ю. И. Якименко, Ю. Ю. Яновская // Электроника и связь. Тематический выпуск «Электроника и нанотехнологии». - 2009. - Ч. 2. -С. 35-42.

3. Hsu Yu-Hsiang. Electrical and Mechanical Fully Coupled Theory and Experimental Veribi cation of Rosen-Type Piezoelectric Transformers / Yu-Hsiang Hsu, Chih-Kung Lee, Wen-Hsin Hsiao // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control. - 2005. - Vol. 52, No. 10. - P. 1829-1839.

4. Flynn Anita M. Fundamental Limits on Energy Transfer and Circuit Considerations for Piezoelectric Transformers / Anita M. Flynn, Seth R. Sanders // IEEE Transactions on Power Electronics. -2002. - Vol. 17, No. 1. - P. 8-14.

5. Паэранд Ю. Э. Влияние места закрепления пьезотрансформа-тора на эффективность его работы / Ю. Э. Паэранд, П. В. Охрименко, К. Ю. Филоненко // МНПК «Современные информационные и электронные технологии». - 2014. -С. 69-70.

6. Новые области применения пьезотрансформаторов / [В. М. Климашин, В. Г. Никифоров, А. Я. Сафронов,

B. К. Казаков] // Компоненты и технологии. - 2004. - № 1. -

C. 56-60.

7. Day Michael. Understanding piezoelectric transformers in CCFL backlight applications / Michael Day, Bang S. Lee // Analog Applications Journal. - 2002. - 4Q. - P. 18-24.

8. Wells Eddy. Comparing magnetic and piezoelectric transformer approaches in CCFL applications / Eddy Wells // Analog Applications Journal. - 2002. - 1Q. - P. 12-18.

9. Експериментальш частотш характеристики п'езотрансфор-матора поперечно-поперечного типу для стабшзацп струму люмшесцентно! лампи / [Шкодзшський О., Белякова I., Шсьщо В., Медвщь В.] // Вюник ТНТУ - 2011. - Том 16, № 3. - С. 142-148.

10. Лямов В. Е. Поляризационные эффекты и анизотропия взаимодействия акустических волн в кристаллах / В. Е. Лямов. -М. : Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 223 с.

11. Богданов С. В. Определение упругих и пьезокерамических постоянных ромбических кристаллов акустическим методом / С. В. Богданов // Акуст. журн. - 1997. - Т.43, № 3. - С. 304.

12. Богданов С. В. Акустический метод определения упругих и пьезоэлектрических постоянных кристаллов 6 mm- и 4 mm-классов / С. В. Богданов // Акуст. журн. - 2000. - Т. 46, № 5. -С. 609.

13. Шульга Н. А. Колебания пьезоэлектрических тел / Н. А. Шуль-га, А. М. Болкисев. - Киев : Наукова думка, 1990. - 228 с.

14. Кэди У Пьезоэлектричество и его практические применения / У Кэди. - М. : ИЛ, 1949. - 718 с.

15. Дидковский В. С. К вопросу об определении физико-механических констант пьезокерамических материалов / В. С. Дид-ковский, О. Н. Петрищев, А. Н. Шаблатович // Электроника и связь. - 2004. - № 22. - С. 76-87.

16. Гринченко В. Т. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.5. Электроупругость / В. Т. Гринченко,

А. Ф. Улитко, Н. А. Шульга. - Киев : Наукова думка, 1989. -280 с.

17. Партон В. З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел / В. З. Партон, Б. А. Кудрявцев. -М. : Наука, 1988. - 472 с.

18. Петрищев О.Н. Гармонические колебания пьезокерамичес-ких элементов. Часть 1. Гармонические колебания пьезокера-мических элементов в вакууме и метод резонанса - антирезонанса / О. Н. Петрищев. - Киев : Аверс, 2012. - 300 с.

19. Новацкий В. Теория упругости / В. Новацкий. - М. : Мир, 1975. - 873 с.

20. Улитко А. Ф. Амплитуды и фазы продольных колебаний пьезо-керамических стержней с учетом переменной механической добротности / А. Ф. Улитко. - Ки1в : Видавничо-полшра-фiчний центр «Кшвський ушверситет», 2004. - С. 204-208.

21. Пападакис Э. Затухание ультразвука, обусловленное рассеянием в поликристаллических средах. - В кн. Физическая акустика, т. IV. Часть Б. Приложения физической акустики в квантовой физике и физике твердого тела / Э. Пападакис. - М. : Мир, 1970. - С. 317-381.

Стаття надшшла до редакцп 22.09.2017.

Шсля доробки 28.10.2017.

Базило К. В.

Канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры компьютеризованных и информационных технологий в приборостроении Черкасского государственного технологического университета, Черкассы, Украина

ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИМПЕДАНСА КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО ДИСКА В ОБЛАСТИ СРЕДНИХ ЧАСТОТ

Актуальность. Актуальность применения различных функциональных элементов пьезоэлектроники в силовых и информационных системах объясняется, прежде всего, их высокой надежностью. Конечной целью математического моделирования физического состояния колеблющихся пьезокерамических элементов является качественное и количественное описание характеристик и параметров существующих в них электрических и упругих полей.

Цель работы - расчет электрического импеданса колеблющегося пьезоэлектрического диска в области средних частот.

Метод. При достаточно общих начальных предположениях получено математическое описание электрического импеданса колеблющегося в вакууме пьезокерамического тонкого диска со сплошным электродированием торцевых поверхностей. Показано, что электрический импеданс определяется усредненным значениям компонентов вектора смещения материальных частиц пьезокерамики.

Результаты. Построено выражение для расчета электрического импеданса колеблющегося пьезокерамического диска в области средних частот, где вектор смещения материальных частиц диска практически полностью определяется радиальным компонентом.

Выводы. В результате исследования математической модели реального устройства можно определить тот набор геометрических, физико-механических и электрических параметров реального объекта, который обеспечивает реализацию технических показателей функционального элемента пьезоелектроники, оговоренных в техническом задании. Это существенно сокращает время и стоимость разработки новых функциональных элементов пьезоелектроники. Перспективы дальнейших исследований могут заключаться в построении методики вычисления коэффициентов трансформации в пьезоэлектрическом трансформаторе с несколькими вторичными электрическими цепями.

Ключевые слова: тонкий диск, пьезокерамика, электрический импеданс, вектор смещения материальных частиц пьезокерамики.

Bazilo C. V.

PhD, Associate professor, Associate professor of department of Computerized and Information Technologies in Instrument Making, Cherkasy State Technological University, Cherkasy, Ukraine

PRINCIPLES OF ELECTRICAL IMPEDANCE CALCULATING OF OSCILLATING PIEZOCERAMIC DISK IN THE AREA OF MEDIUM FREQUENCIES

Context. The relevance of the use of various functional elements of piezoelectronics in power and informational systems is due, above all, to their high reliability. The final goal of mathematical modeling of the vibrating piezoelectric elements physical condition is a qualitative and quantitative description of characteristics and parameters of existing electrical and elastic fields.

Objective. The aim of this work is to calculate the electrical impedance of oscillating piezoelectric disk in the mid-frequency range.

Method. At sufficiently general initial assumptions a mathematical description of the electrical impedance of the oscillating thin piezoceramic disk with end surfaces continuous covering by electrodes in vacuum is obtained. It is shown that electric impedance is determined by the averaged values of the components of piezoceramics material particles displacement vector.

Results. Expression for electrical impedance calculating of the oscillating piezoceramic disk at middle frequencies is built, where the disk's material particles displacement vector is almost completely determined by the radial component.

Conclusions. As a result of research of real device's mathematical model a set of geometrical, physical and mechanical and electrical parameters of a real object can be determined which provides realization of technical parameters of piezoelectric functional element specified in technical specifications. This significantly reduces the time and cost of new functional elements of piezoelectronics development. Prospects for further research can be defined as the construction of technology for calculating of transformation coefficients in piezoelectric transformer with several secondary electrical circuits.

Keywords: thin disk, piezoelectric ceramics, electrical impedance, piezoelectric ceramics material particles displacement vector.

REFERENCES

1. Bogdan A. V., Petrishhev O. N., Yakimenko Yu. I., Yanovskaya Yu. Yu. Issledovanie xarakteristik p'ezoe'lektricheskogo transformatora na osnove radial'nyx kolebanij v tonkix p'ezokeramicheskix diskax, E'lektronika i svyaz', Tematicheskij vypusk «E'lektronika i nanotexnologii», 2009, Part 1, pp. 269-274.

2. Bogdan A. V., Petrishhev O. N., Yakimenko Yu. I., Yanovskaya Yu. Yu. Matematicheskoe modelirovanie kolebanij tonkix p'ezokeramicheskix diskov dlya sozdaniya funkcional'nyx e'lementov p'ezoe'lektroniki, E'lektronika i svyaz', Tematicheskij vypusk «E'lektronika i nanotexnologii», 2009, Part 2, pp. 35-42.

3. Yu-Hsiang Hsu, Chih-Kung Lee, Wen-Hsin Hsiao Electrical and Mechanical Fully Coupled Theory and Experimental Veribication of Rosen-Type Piezoelectric Transformers, IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control, 2005, Vol. 52, No. 10, pp. 1829-1839.

4. Flynn Anita M., Sanders Seth R. Fundamental Limits on Energy Transfer and Circuit Considerations for Piezoelectric Transformers, IEEE Transactions on Power Electronics, 2002, Vol. 17, No. 1, pp. 8-14.

5. Pae'rand Yu. E'., Oxrimenko P. V., Filonenko K. Yu. Vliyanie mesta zakrepleniya p'ezotransformatora na e'ffektivnost' ego raboty, MNPK «Sovremennye informacionnye i e 'lektronnye texnologii», 2014, pp. 69-70.

6. Klimashin V. M., Nikiforov V. G., Safronov A. Ya., Kazakov V. K. Novye oblasti primeneniya p'ezotransformatorov, Komponenty i texnologii, 2004, No. 1, pp. 56-60.

7. Day Michael, Lee Bang S. Understanding piezoelectric transformers

in CCFL backlight applications, Analog Applications Journal, 2002, 4Q, pp. 18-24.

8. Wells Eddy Comparing magnetic and piezoelectric transformer approaches in CCFL applications, Analog Applications Journal, 2002, 1Q, pp. 12-18.

9. Shkodzinskyi O., Bieliakova I., Pistsio V., Medvid V. Eksperymentalni chastotni kharakterystyky piezotransformatora poperechno-poperechnoho typu dlia stabilizatsii strumu liuminestsentnoi lampy, Visnyk TNTU, 2011, Vol. 16, No. 3, pp. 142-148.

10.Lyamov V. E. Polyarizacionnye e'ffekty i anizotropiya vzaimodejstviya akusticheskix voln v kristallax. Moscow, Izd-vo Mosk. un-ta, 1983, 223 p.

11. Bogdanov S. V. Opredelenie uprugix i p'ezokeramicheskix postoyannyx rombicheskix kristallov akusticheskim metodom, Akust. zhurn., 1997, Vol. 43, No. 3, P. 304.

12. Bogdanov S. V. Akusticheskij metod opredeleniya uprugix i p'ezoe'lektricheskix postoyannyx kristallov 6 mm- i 4 mm-klassov, Akust. zhurn., 2000, Vol. 46, No. 5, pp. 609.

13. Shul'ga N. A., Bolkisev A. M. Kolebaniya p'ezoe'lektricheskix tel, Kiev, Naukova dumka, 1990, 228 p.

14. Ke'di U. P'ezoe'lektrichestvo i ego prakticheskie primeneniya. Moscow, IL, 1949, 718 p.

15. Didkovskij V. S., Petrishhev O. N., Shablatovich A. N. K voprosu ob opredelenii fiziko-mexanicheskij konstant p'ezokeramicheskix materialov, E'lektronika i svyaz', 2004, No. 22, pp. 76-87.

16. Grinchenko V T., Ulitko A. F., Shul'ga N. A. Mexanika svyazannyx polej v e'lementax konstrukcij, Vol. 5, E'lektrouprugost'. Kiev, Naukova dumka, 1989, 280 p.

17. Parton V. Z., Kudryavtsev B. A. E'lektromagnitouprugost' p'ezoe'lektricheskix i e'lektroprovodnyx tel. Moscow, Nauka, 1988, 472 p.

18. Petrishhev O. N. Garmonicheskie kolebaniya p'ezokeramicheskix e'lementov. Chast' 1. Garmonicheskie kolebaniya p'ezokeramicheskix e'lementov v vakuume i metod rezonansa -antirezonansa. Kiev, Avers, 2012, 300 p.

19.Novackij V. Teoriya uprugosti. Moscow, Mir, 1975, 873 p.

20.Ulitko A. F. Amplitudy i fazy prodol'nyx kolebanij p'ezokeramicheskix sterzhnej s uchetom peremennoj mexanicheskoj dobrotnosti, Kyiv, Vydavnycho-polihrafichnyi tsentr «Kyivskyi universytet», 2004, pp. 204-208.

21. Papadakis E'. Zatuxanie ul'trazvuka, obuslovlennoe rasseyaniem v polikristallicheskix sredax, V kn. Fizicheskaya akustika, Vol. IV, P. B, Prilozheniya fizicheskoj akustiki v kvantovoj fizike i fizike tverdogo tela. Moscow, Mir, 1970, pp. 317-381.