CC BY
28
УДК 517.958
Журавчак Л. М.1, Забродська Н. В.2
1Д-р техн. наук, старший науковий сп1вроб1тник, профессор кафедри програмного забезпечення 1нституту комп'ютерних наук та ¡нформацйних технологий Нацонального унверситету «Льевська полтехнка», Льве, УкраТна 2Канд. техн. наук, старший науковий сп1вроб1тник в1ддту геоелектромагнтних методов Карпатського в1ддтення
1нституту геоф1зики ¡м. С. I. Субботна НАНУ, Льве, УкраТна
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРУЖНОДИНАМIЧНОТ ЗАДАЧ1 У ПОРИСТОМУ ФЛЮТДОНАСИЧЕНОМУ КУСКОВО-ОДНОР1ДНОМУ П1ВПРОСТОР1 _НЕПРЯМИМ МЕТОДОМ ПРИГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТ1В_
Актуальтсть. Розв'язуючи рiзномаштш прикладш задачi шженерно! та нафтогазово! геологи, геофiзики та геодинамiки, дослщ-ники часто використовують методи, що базуються на явищi сейсмоелектричного ефекту 2 роду, оскшьки електромагнiтне поле елект-рокiнетичного походження набагато шформатившше, нiж сейсмiчне, що його породило, i дозволяе визначати важливi петрофiзичнi параметри (наприклад, пористiсть та флющопроникшсть) геологiчного середовища. На першому еташ дослiдження цього ефекту виникае необхщшсть розв'язування пружнодинамiчноI задачi, об'ектом дослщження яко! е процеси поширення пружних хвиль у пористих вологонасичених кусково-однорщних середовищах. Ця задача також мае самостшне значення при монiторингу еконебезпеч-них явищ, зокрема, деформацiйних процеав в Грунтових масивах (особливо у прських районах), якi пов'язанi з !х просiданням внаслiдок карстопроявiв, землетрусiв, фшьтраци атмосферних опадiв на схилах та iншими явищами.
Мета роботи. Побудова математично! моделi поширення пружних хвиль у кусково-однорщних середовищах; створення програм-них засобiв для и числово! реалiзацil та апробацiя 11 ефективностi; проведення числових дослiджень залежност розподiлу компонент перемiщень на границ пiвпростору вiд параметрiв середовища.
Метод. Для створення математично1 моделi задачi використано теорiю Бiо, а для побудови II числово-аналггичного розв'язку -непрямий метод приграничних елеменлв, який базуеться на теори методiв граничних штегральних рiвнянь.
Результати. Розроблено програмне забезпечення, яке реалiзуе метод приграничних елеменлв для чисельно-аналiтичного моде-лювання пружнодинамiчноI задачi, та обГрунтовано його ефектившсть. Проведено обчислювальнi експерименти для оцшки похибок дискретизаци пригранично! област та апроксимаци математично! моделi.
Висновки. Дослiджено вплив змiни флющопроникност та пористост включення у формi паралелепшеда на розподiл компонент перемiщень на гранищ швпростору. Наведено практичнi рекомендаци по розпiзнаванню включень.
Ключовi слова: непрямий метод приграничних елеменлв, сейсмоелектричний ефект 2-го роду, пружнодинамiчна задача, куско-во-однорiднi середовища Бiо, поперечш хвилi, повздовжнi хвилi.
НОМЕНКЛАТУРА
НМГЕ - непрямий метод граничних елеменлв та; НМПГЕ - непрямий метод приграничних елеменлв; СЕ - сейсмоелектричний ефект; СЛАР - система лшшних алгебричних р1внянь; СФР - спещальний фундаментальний розв'язок;
Кт , Kmf,К тс - модул1 всестороннього стиску твердо! фази, рщко! фази, сухого скелету; ^ 3- - швпроспр;
Р - хвит (первинш хвит) - поздовжш або компресшш хвит;
Рт, Я т,^т, Бт, От коеф1ц1енти з р1вняння Ш°;
- хвит (вторинш хвит, хвит зсуву) - поперечш хвит;
ит (х, ^ та и^т4 (х, - фундаментальний та спец-1альний фундаментальний розв'язок;
и^ ( х, £,), и^ (х, Е,) - похщт по I компоненл вщ
ит (х, О та ит(х,О ;
V - кшьюсть приграничних елеменлв;
- компоненти функцш невщомих перемщень
на елеменл V у 0.т для типу хвиль q ; И - товщина пригранично! областц кт0 та кт (ю) - проникшсть в стацюнарному пол1 та
у Цт
© Журавчак Л. М., Забродська Н. В., 2017 БОТ 10.15588/1607-3274-2017-4-5
ктм, ктр] - хвильов! числа з р1вняння Гельмгольца у
Цт для 5 хвиль та р';
п1 (х) - компоненти зовшшньо! однозначно визначе-но! нормал1 до меж1 геосередовища Ц;
и(т), и(т) - перемщення твердо! й рщко! фаз середовища та включення у Цт;
(та )
Уф - компоненти функцн джерела;
V - номер елементу;
х = (Х1, Х2, Х3) - декартов! координати;
Ц - швпростар;
Цт - область з номером т;
Г та Гт - границя твпростору та границя Цт ; Д та 5 - абсолютна та вщносна похибки; а т' та вт - швидкост' -! поздовжньо! та поперечно!
хвиль у Ц т;
а тх, - звивист1сть пор у Ц т;
Пт - в'язюсть рщини у Цт;
М-тс - модуль зсуву скелету у Цт;
ртТ та рт - густина р1дко! та твердо! фази;
фт - пористасть середовища у Цт;
р-К8К 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2017. № 4 е-ЕЗБЫ 2313-688Х. Каёю Е1есйоп^, Сошриег Баепое, Сопйо1. 2017. № 4
а<Бк1 (х) - компонента тензора напружень; ють - критична частота Бю у О т ю - частота. ВСТУП
Земна кора е пористою пол1фазною структурою складно! будови, яка метить тверду, р1дку \ газопод1бну фази \ знаходиться в енергетично нестшкому сташ. У нш, внасл1док дп пружних ф1зичних пол1в природного чи штучного походження, виникають р1зномаштш складш ф1зико-х1м1чш процеси, яю, у свою чергу, спричинюють вторинне багатокомпонентне електромагштне поле. Таке явище називають сейсмоелектричним ефектом (СЕ) другого роду. Основна галузь його застосування - це вив-чення верхньо! частини геолопчного розр1зу при розв'-язуванш малоглибинних шженерних еколопчних та пдро-геолопчних задач та каротажш дослщження нафтогазових та пдрогеолопчних свердловин [1-6].
Як вщомо з [7], розв'язок задач1 сейсмоелектрики сто-совно ефекту другого роду знаходиться в результат! стльного розв'язування пружно-динам1чно! задач1 для пористого флю!донасиченого середовища (задач1 Бю), електроюнетично! задач1 визначення стороншх струшв, породжених вщносним рухом рщко! \ твердо! фази в се-редовищ1 Бю, та електродинам1чно! задач1 визначення електромагштного поля, породженого цими сторонш-ми струмами (р1внянь Максвела). При цьому вивчають-ся характеристики пружних хвиль, яю по-р1зному зале-жать вщ петроф1зичних, пружних та електричних власти-востей середовища \ тому здатш надати р1зномаштну \ багату геоф1зичну шформащю, зокрема, в1домост1 про пористасть та проникшсть прських порщ, про тип флю!-ду у пород1 та про його мшерал1защю. Пружно-динам1ч-на задача полягае у визначенш ушх компонент пере-мщень трьох пружних хвиль: одше! поперечно! хвкт та двох повздовжшх Р1 та Р2 хвиль.
Дана робота присвячена першому з цих етатв - ство-ренню математичних моделей процесу поширення пружних хвиль у кусково-однор1дних тривишрних середови-щах Бю та розробщ методики розв'язування вщповщно! пружно-динам1чно! задачь Беручи до уваги складшсть структури земно! кори та подальшу мету - вивчення сей-смоелектричного ефекту 2-го роду, отримаш модел1 по-винш достатньо точно описувати геометрж> тривишр-них об' еклв дослщжень, дозволяти швидко й легко зм1ню-вати !х ф1зичш параметри та вивчати змши характеристик поля, яю при цьому вщбуваються. Аналггичш розв'язки пружно-динам1чно! задач1 можлив1 лише для обмежено-го кола одном1рних моделей розр1з1в - однорщних або шаруватих. Тому актуальним завданням е використання р1зних чисельних метод1в, зокрема непрямого методу приграничних елеменлв, який добре себе зарекоменду-вав при розв'язуванш р1зних задач математично! ф1зики у тривим1рних кусково-однор1дних областях складно! форми [8].
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1
Розглянемо кусково-однорщний пористий швпростар, що займае у декартовш системi координат Х1, Х2, Х3 об-
ласть О = Л3- = {(х1,х2,х3):-от<х1 <ж>,-от<х2 <ж>,-от<х3 <0} \ метить включення О2, вибране у форм1 паралелетпе-да. Геосередовище О1 = О \(О2 ^Г2) та включення пе-ребувають в реальному мехашчному контакт!, причо-му Г2 пГ = 0, Г2 - межа включення О2, Г = {(Х1,Х2,хз):-да<Х1 -да<Х2 <да,Хз = 0} - ден-на поверхня.
Вхщш дат. Кожна зона От (т=1,2) мае постшш, але р1зш, ф1зичш характеристики: модуль зсуву скелету Цтс, модул всестороннього стиску твердо! й рщко! фаз [ сухого скелету пор1д Кт, Kmf, К тс, порист1сть середовища фт, звивистють пор атгю, густину рщко! й твердо! фаз Р^,Рт, в'язюсть рщин Пт. Флю!допроникн1сть середовища \ включення кт (ю) залежить вщ частоти ю.
Виходячи з р1внянь Б1о та беручи до уваги лшшне наближення залежност1 м1ж перемщен нями р1дко! \ твердо! фаз, одержимо векторш р1вняння Гельмгольца для компонент перем1 щень твердо! фази поперечно! та двох поздовжшх хвиль у кожнш складов1й твпростору:
Аи(тх) (х) - кт ,и(т^х)=и(т^)(х),
Аи(тр)(х) + к2тР,и(тр1)(х) = и(тр\х) ,
в2
Рт
2
а
(1)
,2 _ Ю о Ю2 2 де ктя = —, ктр = , вт - швидкост! поперечних
т]
2
хвиль, а т] (/=1,2) - швидкост1 поздовжн1х хвиль [9].
Р1вняння (1) доповнимо крайовими умовами р1вност1 нулю нормально! та тангенщальних компонент повного тензора напружень:
Ъ ^ш(х)п1 (х) = а £ а]х)п1 (х) = 0,
(Х)П (X
1=1 1=1
к=1,2,3, х еГ,
(2)
та умовами 1деального контакту на межах подшу се-редовищ, тобто неперервноста нормаль них [ тангенц1-альних компонент вектора перем1щень твердо! фази та повного тензора напружень [10, 11]:
«^(х) = «к2Х)(х), ик1рр )(х) = р] )(х),
к=1, 2, 3, х еГ
(3)
2
(х) = 1^Вк?/)(х)«/ (х) /=1 /=1
Ъ СТВк]') (х)п I (х) = ]С ¿¿кР\х)п1 (х) х е Г2 . (4)
=1
=1
де п1 (х) - компонента вектора зовн1шньо! одинично! нормал1 до Г та меж1 контакту Г2.
Вихщними даними е компоненти перемщень «1, и2, из кожно! з хвиль 5, Р1, Р2 у будь-якш точщ геосередовища ^1, включення Ц2 та на !х гранищх Г та Г2 в1дповвдно.
2 ОГЛЯД Л1ТЕРАТУРИ
Основи теори пружних хвиль в пористому двофазному середовищ1 заклав Я. I. Френкель [12], який дав перший те-оретичний опис СЕ ефекту, що був в1дкритий в 1939 р. А.Г. 1вановим [13, 14]. Р1вняння, яю описують поширення пруж-них хвиль в пористому волого-(чи газо-) насиченому сере-довищ1 сформулював у 1956 р. М. Бю [15].
Через твстолггтя тсля роботи Я. I. Френкеля, С. Прайд [16] бшьш строго описав задачу сейсмоелектрики з допо-могою взаемозв'язано! узгоджено! системи р1внянь, яка об'еднувала р1вняння Бю, електроюнетики \ Максвела. Шзшше в роботах [17, 18] було запропоновано простше формулювання ще! задачу яке враховуе нехтування ма-лим оберненим впливом електромагштного поля на пруж-не \ зводиться до послщовного розв'язування р1внянь Бю, електроюнетики \ Максвела. На даний час програмно ре-ал1зоваш та дослщжет сейсмоелекгричш задач1 для горизонтально \ радиально-шаруватих середовищ та приведет розрахунки для типових моделей [7] з використанням ме-тод1в штегральних та 1нтегро-диференщальних р1внянь. У робот [19] одержано аналпичш розв'язки в рамках низь-кочастотно! модел1 для горизонтально-шаруватого середовища. У робота [20] викладено основи теори Бю для опи-су пористо-пружних насичених рвдиною середовищ \ про-анал1зовано напрямки !! розвитку, приведено коротке пор1вняння моделей Бю \ модел1 пористих середовищ, побудованих на основ1 теори сумшей, та розглянуто хви-льов1 задачу розв'язаш у рамках теори Бю.
Як показуе анал1з цих публжацш, на даний час у куско-во-однор1дних тривишрних областях складно! форми пруж-но-динам1чна задача не е розв'язана, \ тому е актуальною.
Метод штегральних р1внянь та створеш на його баз1 прям1 та непрям! методи граничних та приграничних [8] елеменлв мають низку беззаперечних переваг при мо-делюванш процемв у кусково-однорщних областях, оскшьки точно задовольняють вихщш р1вняння модел1, доступно описують необмежеш \ нашвобмежеш об'екти та дозволяють моделювати складну поверхню геолопчних об'еклв, що знаходяться у земнш кор1, обмежуються дискре- тизащею тшьки гранищ об'екта та меж под1лу середовища, дають високу точшсть обчислень у внутршшх НМГЕ та примежових (НМПГЕ) точках.
У НМГЕ та НМПГЕ штегральш зображення вихщно-го диференщального р1вняння записуються через згорт-ку його фундаментального сингулярного розв'язку з штенсивностями «фжтивних» джерел, розподшеними на меж1 об'екта або в зовшшнш приграничнш до нього об-ластг Сам1 по соб1 функцп штенсивност не мають пев-ного ф1зичного сенсу, але, коли вони знайдеш, значення шукано! функцп усередиш тша можуть бути отримаш за !х допомогою простим штегруванням.
3 МАТЕР1АЛИ ТА МЕТОДИ
Для знаходження розв'язюв задач1 (1)-(4) використае-мо НМПГЕ [8]. Для кожного т розв'язок и^"? шукаемо
в простор! ят . З щею метою розглянемо област Вт с ятт таи, що Цт с Вт, дЦт п дВт = 0 . У приграничних областях От = Вт \ Цт введемо приграничш еле-
менти От (V = 1,...,Vm), яю не перетинаються м1ж собою, з нев1домими компонентами «фжтивних» перемщень,
апроксимованих постшними акта)( 9 е {м, р1, р2}).
З використанням НМПГЕ запишемо штегральне зображення компонент вектора перемщень як розв'язюв задач1 (1)-(4), похщних вщ них за координатами та компонент тензора напружень:
ст Вк1(х)
ик19)(х)=£ак? К9)(х ад! (I)+1'¡к (х,и1а)),
v=1 у!,
!=1 У2
ик?
!=1 У1
и(к,?(х)^ ^(х,^© +3(*и2а)), (5)
!=1 У2
)(х) = Ис£(¿к? |иИ1/?)(х,1)^© + !=1 у!,
+419) | и<г1|)(х, (I))+
У!
+^1с (1 ц (х,иИ1а))+1 ц (х,иИ1к))), к ^ 1,
®х) = 2Ц1с|иЙ)(х,(I) +
!=1 У!, + Ба £ |и^х, |)4У!(|) +
!=1 I=1 у1 +О?£ £ 4(1а) IиИ1а)(х,(1)+
!=1 I=1 у1
+ 2щс1 Ц (х,и(1?)) + £1(х,иИ1?)),
I=1
-В2?)(х)=^2с £ (4к2?) |и ,?9)(х, 1)4/ 2(1)+
!=1 У2
+Iи(2а)(х,|)4у2(1)) +
у2 '
+ ц 2с (х,и ,(г2а)) +12? (х,и ,(к2а))), к ФI,
p-ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлшия. 2017. № 4 e-ISSN 2313-688X. Radio Electronics, Computer Science, Control. 2017. № 4
a^Cx) = ^ £(d(Vq) JU,?q)(x,4)dy2(1) +
JBkl
v=1 у2
+d\2q) J u,C2q) (x, w 2(i))+
K1c = K2c = 17,91-109Па, P1 f =p2 f =1000 кг/м3, P1 =P2 = 2650 кг/м3 , П1 = П2 = 0,001 Па с, |1с = |2с = 17,79-109 Па. 3, Мш = M2B = 1.
Середовище i включення в1др1знялися лише за проникн-
—12
iстю i пористiстю: k01 = 10 , Ф1 = 0,3, -12
+ 2!2с1Ц(x,U(k2q)) + Dqq £g(x,U,/2q)) , (6) k02 = 0,00M°-12, Ф2 = 0,03
l=1
де U(ms)(x, 4) = U(ms)(r) = exp(-kmsr) , U(mp)(x, 4) =
4nr
U (mp;)(r) exp('kmpjr) . ,
= U (r) =--- - фундаментальнi розв язки
2 V-3
Межу паралелепшеда розбивали на однаково! форми граничт елементи у виглядi прямокутниюв, i на !х основi з
деякою «товщиною» h будували приграничш елементи у виглядi паралелепiпедiв, кожний з яких задавався 8-ма точками [8]. Кожна СЛАР складалась з 2 V рiвнянь.
Для перевiрки достовiрностi ще! моделi дослiджено точшсть задоволення першо! умови контакту на верхнш
рiвнянь (1) для простору, r2 = £3=1 (xi -4l )2, (~b1<=x1<=b1, -Ъ<=х<=Ъ2, X3=x3g+b3) та бiчнiй гранях
' 1лопопо_ тт1 тто тто Utc tu TTA\m TTnvTiKT/T7 ттт/^i mimiT/riTATT m тт
r'2 = £2=1(xi - 4i )2 + (X3 + 43)2, 4 = (41,42,43) e R3, 17(x,Ф) = J®(x,4)ugmq)(4)d^m(4) , Uhlq)(x,4) =
Qm
_rj(1q)/ \.Tj(1q)/ i\
= и (r) + и (r) - СФР рiвнянь (1) для твпростору, якi автоматично задовольняють крайову умову (2),
U,(imq)(x, 4) = dU(mq) (x, 4)/SXi , Pm, ßm, Rm, Dm - об-
числювальш параметри з рiвняння Бю [20].
Для знаходження невщомих констант dkVmq), запише-
мо три системи лiнiйних алгебричних рiвнянь, вимагаючи задоволення в колокацшному сенсi умов iдеального контакту (3), (4) та беручи до уваги (5), (6). 1х розв'язки потам використано у (5) для знаходження шуканих перемiщень. 4 ЕКСПЕРИМЕНТИ
Програмну реалiзацiю запропонованого чисельно-аналггичного пiдходу здiйснено з використанням системи MATLAB та проведено низку досл^жень впливу фiзичних параметрiв на розподш перемiщень.
Числовi дослiдження проводилися для випадку, коли у швпростс^ мiстилося одне включення у формi пара-лелепiпеду з «центром мас» в точцi (0,0, h), h=-4, розмь рами 2a1, 2ü2 , 2^3 , причому = Ü2 = 403 , 03 = 1. Всi геометричш параметри були безрозмiрними.
Джерело хвиль розмщували в Q1 i для спрощення обчислень вибирали точковим з координатами x1g = 0,
g = 0, x3g =-10. Дослiджували поширення мехашч-них хвиль, збурених в напрямку одше! осi (z) з частотою ю = 10 Гц. 1нтенсившсть джерела хвиль описувалася
функщею: u3qg = 10-5 , ujg = u 2qg = 0, q = {s, p1, p2}.
Пружнi характеристики середовища i включення ви-бирали однаковими вiдповiдно фiзичним властивостям реального геолопчного середовища [7]:
K1 = K2 = 35,70 -109 Па, Kf = K2 f = 2,25 -109 Па,
3/
ралеле- пшеда. Як вщомо, похибки, що виникають тд час застосування НМПГЕ, зумовлеш тшьки процедурами апроксимацi!, дискретизацп та числового iнтегрування. Тому точшсть методу щодо дискретизацп можна регулю-вати зм1ною товщини пригранично! област та кшьюстю елеменлв. Ставилося завдання знайти оптимальне по-еднання цих величин, враховуючи час обчислень, при цьому частину точок спостереження вибирали на гра-ничних елементах у тих точках колокацп, у яких задоволь-няли умову контакту (3) при побудов1 СЛАР.
5 РЕЗУЛЬТАТИ
На рисунку 1а показано залежшсть змши вщносно!
похибки 8 = («31х) - «32х))/ «3^ в^д змши «висоти» Н приграничного елементу для 5-хвиль при задоволенш першо! умови контакту при К=48. Розбиття на елементи здшснювали так: по 2 елементи на б1чних гранях \ по 8 елеменлв на верхнш та нижнш гранях. Як видно з ри-сунюв, у точках колокаци похибка вщсутня, найбшьша похибка спостер1гаеться при наближенш до кшщв гра-ничних елеменлв.
Для хвиль типу Р представлено абсолютну похибку
А= «31р1) - «32р1) (рис. 1б), оскшьки обчислювальш зна-
чення е близькими до нуля (порядку 10е-9 для Р1 та порядку 10е-13 для Р2), а використання вщносно похибки спотворюе результати, аналопчш графжи отримано \ для
А2 = «31Р2) -«32Р2). На цих граф1ках видно, що з1 збшьшенням товщини елементу похибка зменшуеться, отже, точн1сть обчислення зростае.
Наступне досл1дження проводилося при фжсованш товщин1 приграничних елемент1в Н=1, але при р1знш !х к1лькост1. Графжи представлен1 вздовж проф1лю, коли х1 зм1нювали в1д -Ь1 до Ь а х2=1 (рис. 2). Досл1джували залежн1сть точност1 задоволення першо! умови контакту ввд к1лькост1 елемент1в. Як видно з графтв, при збшьшенш V з 24 до 48 як вщносна, так \ абсолютна похибки суттево зменшуються. При збшьшенш елеменлв з 48 до 128 похибка практично не змшюеться, але при цьому збшьшуеться час обчислення (приблизно у 2 рази).
Аналопчш дослщження проведет для б1чно! сторо-ни. Результати представлен1 на рисунках 3 та 4.
Y
6 |и£|
0.25 0.2' 0.15 0.1 0.05
о'
о : ! -в-И=0.1 -»=11=0.5 ! -•-11=1
( 1 ......................................1......................................'
I I ! ■+-п=1.5
; ......................................!.....................................¡,
\ / ш
-4
-2
0
х
Рисунок 1 - Порiвняння точност розв'язку при рiзних товщинах Ь приграничних елементiв на верхнiй граш паралелепiпеда
для ¥=48
§К1
8lu.fl
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
-е-У=24 I ■+Л/=48 ■*Л/=128
\
\ \
\\ ^ V \ у г- \
-4
-2
0
X
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
Л \ -а-\/=24 ]' -*Л/=48 -в-\/=128
\ ^ V ; 1
V \ -Е --"V
——а г -о- » о——-
4 -2 0 2 4
а б
Рисунок 2 - Порiвняння точност розв'язку на верхнш граш паралелешпеда при рiзнiй юлькосп ¥ приграничних елеменпв для Н=1
х 10
о, 0.1 о, 0.;
-9-11=0.1
4-202 4
аб Рисунок 3 - Порiвняння точност розв'язку при рiзнiй товщинi Н приграничних елементiв на бiчнiй гранi для ¥=48
На рисунку 5 показано результати обчислення тре-тьо! компоненти И3 функцп перемщень для р1зних титв хвиль: 5 (рис. 5а), Р1 (рис. 5б) та Р2 (рис. 5в) на дшянщ поверхш швпростору Г^ = {(Х1,Х2, Х3):—10 < Х1 < 10, — 10 < Х2 < 10,Хз = 0}. Як видно з цих рисунюв графжи перемщень е симетричш вщносно центру мас включен-
ня, тому результати подальших досл1джень дощльно пред-ставляти по профшю Гр = {(Х1, Х2, Х3):—10 < Х1 < 10,
Х2 = 0, Х3 = 0}. На рисунку 5 г показано сшввщношення м1ж величинами перемщень 5", Р1, Р2 по вказаному профшю. Як видно з цих графтв, найбшьш1 значення перемщень мають Р1 хвкт, а найменш1 - Р2.
а
р-К8К 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2017. № 4 е-ЕЗБЫ 2313-688Х. Каёю Ше^гоп^, Сошриег Баепое, Сопйо1. 2017. № 4
8|<|
0.06
0.04
0.02
11 1 ! ни/ь 24 > 48 Ш
\ \ I .....................1..........................3
; 1
4-202 1
0.06 0,05 0.04 0.03 0.02 0.01
\ -е-24 !>
\ -е-128
\\ }
[//
в—а ——*-—я
4-202 1
Рисунок 4 - Пор1вняння точност розв'язку при р1знш юлькосп приграничних елеменпв V на б1чнш граш паралелешпеда для Ь = 1
Рисунок 5 - Поля перемщень М-1^, М-^1 р2),
На рисунку 6 показано залежшсть змши вертикаль-них компонент перемщень при змш коефшденпв пори-стост 1 проникност ко2 1 Ф2. На рис. 6а, 6б показано вплив змши пористост при сталш флющопроникност на вертикальш компоненти перемщень на дшянщ Ц^ меж1 твпростору для хвиль та Р1. Як бачимо, з1 збшьшенням пористост значення компонент перемщень зростають, оскшьки збшьшуеться вологонасичешсть, а, отже, \ швидюсть хвиль.
обчислеш на д1лянщ Г^ поверхш твпростору
Якщо ж пористасть е сталою величиною, а флющоп-роникшсть зм1нюеться, то спостер1гаемо збш на кривих
Ш). ч (1р1Ъ ч (1 р2), ч
м- (х) та м^ (х), а на кривих м^ у(х) - р1зницю
(рис. 6в), отже, поздовжня повшьна хвиля виявляеться бшьш шформативною в цьому випадку. 6 ОБГОВОРЕННЯ
Проведен дослщження засв1дчили ефектившсть ви-користання НМПГЕ для розв'язку пружно-динам1чно!
Рисунок 6 - Вплив змши пористостi при сталш флю!допроникносп на компоненти перемщень м3(1'?)(х), u^ p1)(x) (рис. а, б) та змши флю!допроникносп при сталш пористост на компоненту перемщення u3(1 p2) (x) (рис. в) по профшю Г„ межi пiвпростору
задач!. Перевагою цього методу е можливють регулю-вання точноста обчислення за рахунок додаткового параметру (товщини пригранично! областа), що суттево вщриняе НМПГЕ в1д НМГЕ.
У випадку однаково! кшькоста елементав та однаково-го ступеня апроксимацп невщомих перемщень (зокре-ма, константами) вища точшсть досягаеться при викори-станш НМПГЕ, що дозволяе обмежитись меншою кшьюстю елементав дискретизацп, враховуючи оптим1-защю числових дослщжень щодо часу, зокрема, для дос-татньо! точност обчислень вистачае 48 приграничних елеменлв товщиною к = 1.
Для формулювання практичних рекомендацш при розшзнаванш локальних неоднор1д ностей ощнено ок-ремий та взаемний впливи пористоста \ флю!допроник-ност включення. Встановлено залежност впливу ко-ефщентав пористоста та проникноста включення на вертикалью компоненти перемщень на меж! швпростору. Ощнено шформативш можливоста, яю можуть надати кожна з трьох хвиль. Плануеться провести дослщження в залежноста вщ форми включення, вщсташ його вщ гранищ, р1зних способ1в розташування джерела, зокрема на поверхш швпростору, оскшьки це дасть можлив1сть мо-делювати ряд важливих задач, що виникають при мошто-рингу навколишнього середовища.
ВИСНОВКИ
Використовуючи НМПГЕ побудовано числово-ана-л1тичну методику розв'язування пружно-динам1чно! задач!, яка е першим етапом при розв'язуванш задач! сей-смоелектрики. Ця методика дозволяе обчислювати ум три компоненти вектор1в перемщень трьох тишв хвиль (поперечно! 5 та двох повздовжних Р1, Р2) у будь-якш точщ середовища. На основ! запропонованого шдходу у пакета МАТЬАБ створено програмний комплекс для про-ведення числових дослщжень. Проведено обчислювальш експерименти для ощнки похибки дискретизацп пригранично! обласп та апроксимацп математично! модель Дослщжено залежшсть пористоста \ флю!допроникноста на розподш компонент перемщень на гранищ твпрос-тору. Дана методика може бути застосована при визна-ченш впливу в!бращйних дш на динам!чш процеси, що вщбуваються у земнш кор1, оскшьки вони можуть при-звести до зсувних явищ \ провал1в, а також при моделю-ванш джерел штучних вибух1в, природних землетрушв,
розм1щуючи точков1 та сюнчених розм1р1в джерела р1зних тишв та точки спостереження в будь-якому мгсщ швпро-стору та на його гранищ.
Запропонована методика плануеться використовува-тися для отримання даних при розв'язуванш електрою-нетично! задач1 визначення стороншх струшв, породже-них вщносним рухом рщко! i твердо! фази в середовищ1 Бю та розв'язування електродинамiчноl задачi визначення електромагштного поля, породженого стороншми струмами. ПОДЯКИ
Робота виконана у Карпатському вщдшенш 1нститу-ту геофiзики у рамках держбюджетно! науково-дослщно! теми БФЦ-8 «Комплексш геофiзичнi дослiдження для виявлення та прогнозування еконебезпечних явищ». СПИСОК ЛГГЕРАТУРИ
1. Garambois S. Full waveform numerical simulations of seismoelectromagnetic wave conversions in fluid-saturated stratifield porous media / S. Garambois., M. Dietrich. // Journal of Geophysical Research. - 2002. - Vol. 107, № B7, 10.1029/ 2001JB000316. - P. ESE 5-1-ESE 5-18.
2. Gao Y. Seismoelectromagnetic waves radiated by a double couple source in a saturated porous medium / Y Gao, H. Hu // Geophysical Journal International. - 2010. - Vol. 181. - P. 873-896.
3. Schmitt D. P. Full-wave synthetic acoustic log in radially semiinfinite saturated porous media / D. P. Schmitt, M. Bouchon, G. Bonnet // Geophysics. - 1988. - Vol. 53, № 6. - P. 807-823.
4. Lee T. Transient electromagnetic response of a magnetic or superparamagnetic ground / T. Lee // Geophysics. - 1984. - Vol. 49, № 7. - P. 854-860.
5. Сейсмоэлектрический эффект второго рода в горных породах (по данным лабораторных исследований) / [О. А. Агеева, Б. С. Светов, Г. Х. Шерман, C. В. Шипулин] // Геология и геофизика. - 1999. - Т. 40, № 8. - C. 1251-1257.
6. Фридрихсберг Д. А. Исследование связи явления вызванной поляри-зации с электрокинетическими свойствами капиллярных систем / Д. А. Фридрихсберг, М. П. Сидорова // Вестник ЛГУ сер. Физика и химия. - 1961. - Вып. 1, № 4. - C. 57-69.
7. Светов Б. C. Основы геоэлектрики / Б. С. Светов. - Москва : Издательство ЛКИ, 2008. - 656 c.
8. Журавчак Л. М. Метод приграничних елеменлв у прикладних задачах математично! фiзики / Л. М. Журавчак, С. Г. Грицько. -Львiв : Карпатське вщдшення 1нституту геоф1зики НАН Ук-ра!ни, 1996. - 220 с.
9. Журавчак Л. М. Методика розв'язування задачi сейсмоелект-рики стосовно ефекту другого роду у кусково-однорщному швпростс^ / Л. М. Журавчак // Матерiали науково! конфе-
p-ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлшия. 2017. № 4 e-ISSN 2313-688X. Radio Electronics, Computer Science, Control. 2017. № 4
ренци-семшару «Сейсмолопчн та гео(^зичт дослiдження в сейсмоактивних регюнах», Львiв, 3-5 червня 2014 р. - Львiв : «Сполом», 2014. - C. 42-49.
10. Журавчак Л. М. Математичне моделювання ефекту виклика-но!' поляризацii у тривимiрних задачах геоелектророзвiдки / Л. М. Журавчак, Н. В. Забродська // Вюник НУ «Львiвська полiтехнiка». Сер. «Комп 'ютернi науки та шформацшш тех-нологii». - 2009. - № 650.- C. 158-167.
11. Журавчак Л. М. Розтзнавання провщних та високоомних включень у кусково-однорщному пiвпросторi при математич-ному моделюванн усталених коливань електро- магттного поля / Л. М. Журавчак, Ю. О. Федоришин // Вюник НУ «Львiвська полiтехнiка». Сер. «Комп 'ютерт науки та шфор-мацшш технологii». - 2014. - № 800. - C. 159-167.
12. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектричес-ких явлений во влажной почве / Я. И. Френкель // Известия АН СССР, серия географических и геофизических наук. - 1944. -Т. 8, № 4. - C. 133-150.
13. Иванов А. Г. Сейсмоэлектрический эффект 2 рода / А. Г. Иванов // Известия АН СССР, серия географических и геофизических наук. - 1940. - № 5. - C. 699-727.
14. Иванов А. Г. Эффект электризации пластов земли при прохождении через них упругих волн / А. Г. Иванов // Докл. АН СССР. - 1939. - Вып. 24, № 1. - С.41-43.
15. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solids / M. A. Biot // Journal Acoustic. Soc. Amer. - 1956. -Vol. 28. - P. 168-186.
16. Pride S. R. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous media / S. R. Pride // Phys. Rev., B. -1994. - Vol. 50. - P. 15678-15696.
17. Светов Б. C. К теоретическому обоснованию сейсмоэлектри-ческого метода геофизи-ческой разведки / Б. С. Светов // Геофизика. - 2000. - № 1. - C. 28-39.
18. Светов Б. C. Электромагнитное поле механо-электрического происхождения в пористых влагонасыщенных горных породах: I. Постановка задачи / Б. С. Светов, В. П. Губатенко // Физика Земли. - 1999. - № 10. - C. 67-73.
19. Математическое моделирование сейсмоэлектрического эффекта второго рода, порождаемого плоскими упругими волнами в пористых влагонасыщенных средах / [И. Г. Московский, О. М. Балабан, О. С. Федорова, А. В. Кочетков ] // Интернет-журнал «Науковедение». - 2015. - Том 7, № 1. - http:// naukovedenie.ru/PDF/ 04TVN115.pdf.
20. Городецкая Н. С. Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах / Н. С. Городецкая // Акустичний вюник. - 2014. -Т. 10, № 2. - С. 43-63.
Стаття надшшла до редакцй 06.03.2017.
Шсля доробки 22.03.2017.
Журавчак Л. М.1, Забродская Н. В.2
1Д-р техн. наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры програмного обеспечения Института компьютерных наук и информационных технологий Национального университета «Львовская политехника», Львов, Украина
2Канд. техн. наук, старший научный сотрудник отдела геоелектромагнитных методов Карпатского отделения Института геофизики им. С. И. Субботина НАН Украины, Львов, Укра'на
РЕШЕНИЕ УПРУГО-ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ В ПОРИСТОМ ФЛЮИДОНАСЫЩЕННОМ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЯМЫМ МЕТОДОМ ПРИГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Актуальность. При решении различных прикладных задач инженерной и нефтегазовой геологии, геофизики, геодинамики часто используются методы, базирующиеся на явлении сейсмоэлектрического эффекта 2-го рода, так как электромагнитное поле электрокинетического происхождения намного более информативнее, чем породившее его сейсмическое, и дает возможность определять важные петрофизические параметры (например, пористость и флюидопроницаемость) геологической среды. На первом этапе исследования этого эффекта возникает необходимость решения упруго-динамической задачи, объектом исследования которой являются процессы распространения упругих волн в пористых влагонасыщенных кусочно-однородных средах. Эта задача также имеет самостоятельное значение при мониторинге экологически опасных явлений деформационных процессов в почвенных массивах, особенно в горных районах, связанных с их проседанием вследствие карстопроявлений, землетрясений, фильтрации атмосферных осадков на склонах и других явлений.
Цель работи. Построение математической модели распространения упругих волн в кусочно-однородных средах; создание программных средств для ее числовой реализации и аппробация ее эффективности; проведение численных исследований зависимости параметров среды от распределения компонент перемещений на границе полупространства.
Метод. Для создания математической модели задачи используется теория Био, а для построения ее численно-аналитического решения - непрямой метод приграничных элементов, базирующийся на теории методов граничных интегральных уравнений.
Результаты. Разработано программное обеспечение, которое реализует метод приграничных элементов для численно-аналитического моделирования упруго-динамической задачи. Проведены вычислительные эксперименты для оценки погрешностей дискретизации приграничной области и аппроксимации математической модели.
Выводы. Исследовано влияние изменения флюидопроницаемости и пористости включения в форме параллелепипеда на распределение компонент перемещения на границе полупространства. Приведены практические рекомендации по распознаванию включений.
Ключевые слова: непрямой метод приграничных элементов, сейсмоэлектрический эффект 2-го рода, упруго-динамическая задача, кусочно-однородная середа Био, поперечные волны, продольные волны.
Lubov Zhuravchak1, Natalia Zabrods'ka2,
'Dr. Sc., Professor of software department of Institute of Computer Science and Information Technologies, Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine
2PhD, Senior researcher, Carpathian Branch of Subbotin Institute of Geophysics NAS, Lviv, Ukraine
SOLVING OF ELASTIC DYNAMICAL PROBLEM IN A POROUS FLUID-SATURATED PIECEWISE-HOMOGENEOUS HALFSPACE BY THE INDIRECT METHOD OF NEAR-BOUNDARY ELEMENTS
Context. Solving the different applied problems of engineering and petroleum geology, geophysics and geodynamics, researchers often use methods based on phenomenon seismic-electrical effect of the second kind, since the electromagnetic field of electrical-kinetic origin is much more informative than the seismic one that generated it, and from it they can determine important petrophysical parameters (for example, porosity and fluid permeability) geological environment. At the first stage of investigation of this effect, the need of solving an elastic-dynamic problem arises, when the object of investigation is the processes of propagation of elastic waves in porous, fluid-saturated piecewise homogeneous media. This task also has an independent meaning for monitoring ecologically dangerous phenomena in the study of deformation
processes in soil massifs, especially in mountainous areas, associated with their subsidence due to caverns, earthquakes, filtration of precipitation on the slopes and other phenomena.
Objective. Construction of a mathematical model for the propagation of elastic waves in piecewise homogeneous media; creation of software for its numerical implementation and testing of its effectiveness; carrying out numerical investigations of the dependence on the parameters of the medium on the distribution of the displacement components at the boundary of the half-space.
Method. We used the Bio theory to create a mathematical model of the problem and the indirect method of near-boundary elements to construct its numerical-analytical solution, last one is based on the theory of methods of boundary integral equations.
Results. The software that implements the near-boundary elements method for numerical and analytical modeling of the elastic-dynamic problem has been developed. Computational experiments were carried out to estimate errors of discretization of the near-boundary region and of approximation of the mathematical model.
Conclusions. The effect of change of the characteristics of an inclusion (in a form of a parallelepiped), in particular its fluid permeability and porosity, on the distribution of displacement components on the half-space boundary has been investigated. The practical recommendations of the recognition of inclusions have been done.
Keywords: Biot theory, electromagnetic fields, seismic-electrical effect of the second kind, elastic dynamical problem, elastic waves propagation, indirect method of near-boundary elements.
REFERENCES
1. Garambois S., Dietrich M. Full waveform numerical simulations of seismoelectromagnetic wave conversions in fluid-saturated stratifield porous media, Journal of Geophysical Research, 2002, Vol. 107, No. B7, 10.1029/2001JB000316, pp. ESE 5-1-ESE 5-18.
2. Gao Y., Hu H. Seismoelectromagnetic waves radiated by a double couple source in a saturated porous medium, Geophysical Journal International, 2010, Vol. 181, pp. 873-896.
3. Schmitt D. P., Bouchon M., Bonnet G. Full-wave synthetic acoustic log in radially semi-infinite saturated porous media, Geophysics, 1988, Vol. 53, No. 6, pp. 807-823.
4. Lee T. Transient electromagnetic response of a magnetic or superparamagnetic ground, Geophysics, 1984, Vol. 49, No. 7, pp. 854-860.
5. Ageeva O. A., Svetov B. S., Sherman G. H., Shipulin C. V. Sejsmojelektricheskij jeffekt vtorogo roda v gornyh porodah (po dannym laboratornyh issledovanij), Geologija i geofizika, 1999, Vol. 40, No. 8, pp. 1251-1257.
6. Fridrihsberg D. A., Sidorova M. P. Issledovanie svjazi javlenija vyzvannoj poljarizacii s jelektrokineticheskimi svojstvami kapilljarnyh sistem, Vestnik LGU, ser. Fizika i himija, 1961, Vyp. 1, No. 4, pp. 57-69.
7. Svetov B. C. Osnovy geojelektriki. Moscow, Izdatel'stvo LKI, 2008, 656 p.
8. Zhuravchak L. M., Gryc'ko Je. G. Metod prygranychnyh elementiv u prykladnyh zadachah matematychnoi' fizyky. L'viv, Karpats'ke viddilennja Instytutu geofizyky NAN Ukrai'ny, 1996, 220 p.
9. Zhuravchak L. M. Metodyka rozv'jazuvannja zadachi sejsmoelektryky stosovno efektu drugogo rodu u kuskovo-odnoridnomu pivprostori, Materialy naukovoi' konferencii '-seminaru «Sejsmologichni ta geofizychni doslidzhennja v sejsmoaktyvnyh regionah», L'viv, 3-5 chervnja 2014 r. L'viv, "Spolom", 2014, pp. 42-49.
10. Zhuravchak L. M., Zabrods'ka N. V Matematychne modeljuvannja efektu vyklykanoi' poljaryzacii' u tryvymirnyh zadachah geoelektrorozvidky, Visnyk NU "L'vivs'ka politehnika". Ser. "Komp'juterni nauky ta informacijni tehnologii'", 2009, No. 650, pp. 158-167.
11. Zhuravchak L. M., Fedoryshyn Ju. O. Rozpiznavannja providnyh ta vysokoomnyh vkljuchen' u kuskovo-odnoridnomu pivprostori pry matematychnomu modeljuvanni ustalenyh kolyvan' elektro-magnitnogo polja, Visnyk NU "L'vivs'ka politehnika". Ser. "Komp'juterni nauky ta informacijni tehnologii'", 2014, No. 800, pp. 159-167.
12. Frenkel' Ja. I. K teorii sejsmicheskih i sejsmojelektricheskih javlenij vo vlazhnoj pochve, Izvestija AN SSSR, serija geograficheskih i geofizicheskih nauk, 1944, Vol. 8, No. 4, pp. 133-150.
13. Ivanov A. G. Sejsmojelektricheskij jeffekt 2 roda, Izvestija AN SSSR, serija geograficheskih i geofizicheskih nauk, 1940, No. 5, pp. 699-727.
14. Ivanov A. G. Jeffekt jelektrizacii plastov zemli pri prohozhdenii cherez nih uprugih voln, Dokl. AN SSSR, 1939, Vyp. 24, No. 1, pp. 41-43.
15. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluidsaturated porous solids, Journal Acoustic. Soc. Amer, 1956, Vol. 28, pp.168186.
16. Pride S. R. Governing equations for the coupled electromagnetics and acoustics of porous media, Phys. Rev., B, 1994, Vol. 50, pp. 15678-15696.
17.Svetov B. C. K teoreticheskomu obosnovaniju sejsmojelektricheskogo metoda geofizicheskoj razvedki, Geofizika, 2000, No. 1, pp. 28-39.
18. Svetov B. C., Gubatenko V. P. Jelektromagnitnoe pole mehano-jelektricheskogo proishozhdenija v poristyh vlagonasyshhennyh gornyh porodah: I. Postanovka zadachi, Fizika Zemli, 1999, No. 10, pp. 67-73.
19. Moskovskij I. G. Balaban O. M., Fedorova O. S., Kochetkov A. V. Matematicheskoe modelirovanie sejsmojelektricheskogo jeffekta vtorogo roda, porozhdaemogo ploskimi uprugimi volnami v poristyh vlagonasyshhennyh sredah, Internet-zhurnal «Naukovedenie», 2015, Vol. 7, No. 1, http://naukovedenie.ru/ PDF/ 04TVN115.pdf.
20. Gorodeckaja N. S. Volny v poristo-uprugih nasyshhennyh zhidkost'ju sredah, Akustichnij visnik, 2014, Vol. 10, No. 2, pp. 43-63.
