Принципы расчета пьезоэлектрических элементов с частично электродированными поверхностями Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

p-ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2015. № 1 e-ISSN 2313-688X. Radio Electronics, Computer Science, Control. 2015. № 1

УДК 534.121.1

Петрищев О. Н.1, Шарапов В. М.2, Сотула Ж. В.3, Базило К. В.4

1Д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры акустики и акустоэлектроники Национального технического

университета Украины «Киевский политехнический институт», Киев, Украина 2Д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой компьютеризированных и информационных технологий в приборостроении Черкасского государственного технологического университета, Черкассы, Украина 3Канд. техн. наук, доцент кафедры компьютеризированных и информационных технологий в приборостроении Черкасского государственного технологического университета, Черкассы, Украина 4Канд. техн. наук, доцент кафедры компьютеризированных и информационных технологий в приборостроении Черкасского государственного технологического университета, Черкассы, Украина

ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ С ЧАСТИЧНО ЭЛЕКТРОДИРОВАННЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

Решена актуальная задача определения вычислительных процедур, которые позволяют выполнить оценку параметров напряженно-деформированного состояния и передаточных характеристик пьезоэлектрических элементов с частичным электродированием поверхностей. Предложена последовательность вычислительных процедур, которая позволяет при расчете передаточных характеристик учитывать полный набор физико-механических и геометрических параметров пьезоэлектрического элемента и конечное значение выходного электрического импеданса генератора электрических сигналов. Предложена методика, которая позволяет выполнить адекватную реальной ситуации оценку эффекта связности упругих и электрических полей в случае их произвольного распределения в объеме колеблющегося пьезоэлектрического элемента. Сформулированный полный набор граничных задач технической электродинамики и динамической теории упругости представляет собой математическое содержание энергосилового метода анализа физического состояния пьезоэлектрических элементов в режиме вынужденных колебаний под действием внешнего источника электрической энергии. Предложенная последовательность вычислительных процедур может быть рекомендована в качестве основы расчета характеристик пьезоэлектрических элементов с частичным электродированием поверхности и микроэлектромеханических структур.

Ключевые слова: частичное электродирование поверхностей пьезоэлемента, микроэлектромеханические структуры.

НОМЕНКЛАТУРА

МЭМС - микроэлектромеханические структуры; - матрица диэлектрических проницаемостей;

екр - матрица пьезоэлектрических модулей;

Е

срХ - матрица модулей упругости;

ио - амплитуда электрического потенциала на элект-родированной поверхности;

Иг - амплитудное значение электрического потенциала на выходе генератора;

ю - круговая частота;

1 - время;

Б*(хк) - амплитуда гармонически изменяющегося во времени вектора индукции;

Й*(Хк) - амплитуда гармонически изменяющегося во времени вектора напряженности магнитного поля;

I *(Хк) - амплитуда вектора поверхностной плотности тока проводимости;

Ро - плотность деформируемого твердого тела;

С8 (Ю, П) - динамическая электрическая емкость пье-зокерамического элемента;

I - амплитуда электрического тока в проводниках, которые подключаются к электродированным участкам поверхности пьезоэлектрического элемента;

^эл (ю) - электрический импеданс пьезоэлектрического элемента;

Хзз - компонент тензора диэлектрической проницаемости в направлении электрической поляризации;

Хз1 - компонент тензора диэлектрической проницаемости в любом направлении на плоскости, которая перпендикулярна направлению электрической поляризации материала диска.

ВВЕДЕНИЕ

В 1986 г [1] впервые на страницах научной периодики появилась аббревиатура MEMS, которая заменяла длинное и долго произносимое словосочетание МЭМС. В настоящее время ведущие фирмы - изготовители радиоэлектронных компонентов серийно выпускают достаточно обширный перечень элементов, в состав которых включены различные МЭМС. Это, прежде всего, различные акселерометры, которые выпускаются многомиллионными тиражами, резонаторы и реализованные на их основе фильтры электрических сигналов, трансформаторы и другие микроминиатюрные электромеханические системы.

Технологии изготовления МЭМС в настоящее время принято называть микросистемными технологиями. МЭМС или, что то же самое, пьезоэлектрические элементы, изготовленные с помощью микросистемных технологий, имеют много общего с обычными, т. е. не микроскопических размеров, пьезоэлектрическими элементами, которые изготовляются из пьезокерамики. Для реализации тех или иных функциональных возможностей в МЭМС используются поликристаллические сегне-тоэлектрики, которые поляризуются постоянным электрическим полем в заданном направлении. Обычные пьезоэлектрические элементы изготавливаются из пьезокерамики, которая изначально является поликристаллическим сегнетоэлектриком, который на последнем технологическом этапе изготовления пьезокерамическо-го изделия поляризуется постоянным электрическим полем заданной ориентации. Отличительной чертой между МЭМС и обычными пьезоэлементами является способ электродирования рабочих поверхностей. Обычные пьезоэлектрические элементы имеют, как правило, сплошное электродирование поверхности. В некоторых

© Петрищев О. Н., Шарапов В. М., Сотула Ж. В., Базило К. В., 2015 DOI 10.15588/1607-3274-2015-1-2

специальных случаях электроды разделяются (разрезаются) на отдельные области, которые не имеют между собой гальванической связи. В МЭМС, как правило, используется частичное электродирование рабочих поверхностей, когда только часть поверхности поляризованного сегнетоэлектрика покрывается металлической пленкой. Этот способ электродирования позволяет возбуждать в объеме МЭМС несколько типов упругих колебаний. Манипулируя геометрическими параметрами электродированных поверхностей, можно управлять энергетикой колебательных процессов в МЭМС, т. е. создавать условия, когда один тип колебательных движений будет доминировать над остальными по амплитуде вектора упругих смещений материальных частиц.

Целью данной работы являлась разработка вычислительных процедур, которые позволяют выполнить оценку параметров напряженно-деформированного состояния и передаточных характеристик пьезоэлектрических элементов с частичным электродированием поверхностей.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим пьезоэлектрический элемент, для определенности в форме пластинки, ограниченной произвольным криволинейным контуром К (рис. 1). Пластинка располагается в декартовой системе координат (Х1 ,Х2 ,Хз) таким образом, что начало системы находится на срединной поверхности пластинки.

Для упрощения последующих рассуждений, будем полагать, что пластинка выполнена из поляризованной по толщине, т. е. в направлении оси ОХ3, пьезокерамики. Будем также полагать, что поляризация выполнена постоянным электрическим полем, аксиальный компонент вектора напряженности которого имел постоянное значение в любой точке объема пластинки. Это позволяет утверждать, что материальные константы пьезоэлектрической пластинки (компоненты тензоров диэлектрической проницаемости, пьезоэлектрических модулей и модулей упругости) не зависят от координат точки внутри объема пластинки и задаются матрицами следующего вида:

ч „8

а) матрица диэлектрических проницаемостей Хц, которые экспериментально определяются в режиме постоянства (равенства нулю) упругих деформаций (верхний символ е):

Ц-е'"

хи

Х11

0 0

х 22 о Хз3

(1)

где Х11 = Х22 * Хзз ;

б) матрица пьезоэлектрических модулей е^р

(к = 1,2,3; в = 1,2,3,4,5,6- индекс Фойгта):

|екр =

0 0 0 0 е15 0

0 0 0 е24 0 0

е31 е32 е33 0 0 0

(2)

Рисунок 1 - Пьезоэлектрический элемент с частичным электродированием поверхностей Х3 = ±а

Е

в) матрица модулей упругости Срх, которые экспериментально определяются в режиме постоянства (равенства нулю) напряженности электрического поля (верхний символ Е), ((в, X) = 1, ■ ■ ■ , 6 - индексы Фойгта):

СЕ СрХ

СЕ С12 СЕ3 0 0

С22 СЕ С23 0 0 0

С33 0 0 0

СЕ С44 0 0

СЕ5 0

СЕ С66

(3)

С12 = С13 = С23;

„Е _„Е. С44 = С55;

где

е31 = е32 * е33 ; е15 = е24 = (е33 - е31 V2 ;

где СЕ1 = С22 * с|;

СЕ6 = (с1Е1 - С!Е2)Д

Предположим, что на верхней (Х3 = а) и нижней (Х3 = - а) поверхностях пьезоэлектрической пластинки имеются произвольно расположенные области 81 и 82, соответственно (рис. 1), которые покрыты тонким слоем металла, т. е. электродированы. При этом, в общем случае 81 * 82 * 8к, где 8к - поверхность пластинки, ограниченная контуром К. На поверхность 81 подается от генератора электрических сигналов электрический потенциал Иое1"1 (Ио - амплитуда электрического потенциала на электродированной поверхности 81; естественно, что Ио * Иг, 1 = л/—1). Символом 2г на рис. 1 обозначен выходной электрический импеданс генератора электрических сигналов.

2 ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

Частичное электродирование поверхности имеет своим следствием то, что электрические поля в объеме сег-нетоэлектрика становятся зависимыми от значений координат точки наблюдения за параметрами электрического поля. Этот феномен отсутствует в обычных пьезоэлектрических элементах. На условии постоянства напряженности переменного, созданного внешним генератором электрических сигналов, электрического поля в объеме

р-К8К 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2015. № 1 е-ЮБЫ 2313-688Х. Каёю ЕкоЬ-опга, Сошриег 8ыепое, СоПго1. 2015. № 1

пьезоэлектрического элемента базируются методики расчета напряженно-деформированного состояния пьезоэлектрических пластин [2] и оболочек [3]. В случае частичного электродирования поверхности пьезоэлектрического элемента эти методики не работают.

Последнее побуждает искать новые подходы к процедуре расчета параметров напряженно-деформированного состояния и передаточных характеристик пьезоэлектрических элементов с частичным электродировани-ем поверхности. Ниже будет изложена общая схема выполнения вычислительных процедур, которая, в принципе, позволяет выполнить оценку параметров напряженно-деформированного состояния и передаточных характеристик пьезоэлектрических элементов с частичным электродированием поверхностей. Эта схема может быть использована в качестве теоретической основы при математическом моделировании МЭМС.

3 МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Обозначим амплитудное значение вектора напряженности переменного электрического поля символом

Е*(хк). Электрическую поляризацию, которая создается переменным электрическим полем в объеме пьезоэлектрической пластинки, будем определять изменяющимся во времени по закону е^ вектором электрической индукции, амплитудное значение которого

обозначим символом 6*(Хк). При этом между компонентами векторов электрической индукции и напряженности электрического поля имеется линейное соответствие следующего вида:

°к (хк )=Хк]Е*(хк ).

(4)

В соотношении (4) и во всех последующих записях подобного типа предполагается суммирование по дважды повторяющемуся индексу. В формуле (4) таким индексом является символ который последовательно принимает значения 1, 2, 3.

Характеристики переменного электрического поля в объеме пьезоэлектрического элемента определяются уравнениями Максвелла, которые для амплитудных значений электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля записываются в следующем виде:

гоШ*(хк) = !*(хк) + ш>б*(хк),

В монографии [3] доказывается, что в диапазоне частот от нуля до десятков мегагерц уравнение (6) для идеальных диэлектриков можно записывать в следующем виде:

rotE*(xk ) = 0.

(8)

Условие (8) свидетельствует о потенциальном характере переменного электрического поля в объеме пьезоэлектрического элемента. По этой причине возможно описание этого поля с помощью скалярного потенциала ф*(хк )е^. При этом амплитудное значение Е*(хк) вектора напряженности переменного электрического поля, которое создается внешним источником, т. е. генератором электрических сигналов, определяется стандартным [4] образом:

Е*(хк )=- мгаа Ф*(хк).

(9)

Подставляя определение (9) в соотношение (4), а полученный результат - в условие (7) отсутствия свободных носителей электричества, получаем дифференциальное уравнение Лапласа, решение которого определяет амплитудные значения электрического потенциала

Ф*(хк ):

д2Ф*(хк) , д2Ф*(хк) + ^2 д2Ф*(хк) = 0, (10)

д х2

д х 22

д х2

где = %33/ XI1 - квадрат коэффициента анизотропии диэлектрической проницаемости пьезоэлектрика.

Общее решение дифференциального уравнения (10) должно удовлетворять следующим условиям на границах области существования:

Ф

(хк ^ = а = и0 ^ (х1, х2 М1;

дФ*(хк )

д х3

= 0 У(х1,х2)е8к -

(5)

^ = 0 «(хк).К, д п

(11)

(12)

(13)

rotE*(xk ) = - 1юБ*(хк ),

(6)

где Б*(хк )= ц0Й*(хк), Ц0 = 4л-10 Гн/м - магнитная проницаемость вакуума. Так как пьезокерамика является довольно хорошим диэлектриком, можно записать, что

У *(хк) = 0. Последнее означает, что реальной пьезокера-мике приписываются свойства идеально диэлектрика.

Вычисляя дивергенцию от левой и правой частей уравнения Максвелла (5), получаем, в случае идеального диэлектрика, следующий результат:

Шуб*(хк ) = 0.

(7)

дФ*(хк )

д х3

Ф

= 0 «(хьх2Мк - Б2, (14)

х, = -а

Ххк ^ = -а = 0 ^(х1,х2 М2

(15)

где символ д/д п означает производную в направлении внешней единичной нормали к боковой поверхности пластинки, которая опирается на контур к .

Условия (11) и (15) самоочевидны. Условия (12)-(14) носят приближенный характер [3] и выполняются тем точнее, чем больше отличается диэлектрическая прони-

хт = а

3

цаемость пьезоэлектрика от диэлектрическом проницаемости вакуума Хо = 8,85-10-12 Ф/ м. Для пьезокера-мики типа ЦТС диэлектрические проницаемости 8 3

Ху > 10 хо и поэтому граничные условия (12)-(14) можно считать практически точными. Если диэлектрическая проницаемость поляризованного сегнетоэлектрика в МЭМС менее 10 Хо, что, кстати сказать, еще не случалось, то условия (12)-(14) необходимо переформулировать с учетом существования полей рассеяния.

Решение граничной задачи (10)-(15) является первой вычислительной процедурой при выполнении расчетов параметров напряженно-деформируемого состояния пьезоэлектрических элементов совместимых с микросистемными технологиями. На этом этапе фактически определяются уровни энергии электрического поля в любой, произвольно заданной точке объема пьезоэлектрического элемента. Необходимо подчеркнуть, что потенциал ф*(х^) рассчитывается в предположении, что он полностью определяется геометрическими параметрами пьезоэлектрического элемента и не зависит от параметров упругих и электрических полей, которые формируются в объеме колеблющегося пьезоэлемента.

После определения потенциала Ф*(хк) уравнения физического состояния колеблющегося пьезоэлектрического элемента, расчетная схема которого показана на рис. 1, можно записать в следующем виде:

= сЕ д и, = сукГ

5 хк

еку

ГдФ дФ*^ -+-

дХк дХк

Вт = е„

д и: 8 ^ + Х 8

'т ту /-ту

д Х

( * \

дФ дФ* -+-

д Х; д Х; V Л -1 У

(16)

(17)

где Сту - амплитудное значение компонента тензора результирующих механических напряжений; иц - амплитуда изменяющегося во времени по гармоническому

закону е1® I -го компонента вектора смещения материальных частиц пьезоэлектрика; Ф = Ф(Хк ) - скалярный потенциал внутреннего электрического поля [5], которое возникает в результате смещения ионов пьезоэлект-рика из равновесных положений узлов кристаллической

решетки; Ф* = Ф* (Хк ) - известный скалярный потенциал переменного электрического поля, которое создается внешним источником (генератором). По своему физическому содержанию уравнение физического состояния (16) является обобщенным законом Гука для упругой среды с пьезоэлектрическими эффектами, а уравнение (17) - законом электрической поляризации диэлектрика с пьезоэлектрическими свойствами.

Второй закон Ньютона в дифференциальной форме или, что то же самое - уравнение движения материальной частицы упруго деформируемого твердого тела, в общем случае записывается следующим образом:

дст(ХкД )= д2и: (кД) - р0

д Х;

(18)

д I2

Подставляя в определение (18) уравнение (16), и принимая во внимание, что все физические поля в объеме деформируемого пьезоэлектрического элемента изме-

няются во времени по гармоническому закону е лучаем уравнение следующего вида:

1Ю1

сЕ

ек1;-

д2Ф

дХкдХ; дХкдХ;

+ Р0®2и1 = fiK(xk )

(19)

где fiK(xk)- ек1;

д2Ф*

- амплитудное значение 1-го

д Хкд Х;

компонента вектора объемной плотности сил Кулона, которые создаются внешним источником (генератором) электрического поля. Естественно, что второе слагаемое в левой части уравнения (19) также имеет смысл 1-го компонента амплитудного значения вектора объемной плотности сил Кулона, которые возникают в объеме деформируемого пьезоэлектрика внутренним электрическим полем и препятствуют его деформированию электрическими полями внешних источников. При малых значениях пьезоэлектрических модулей, т. е. в случае, когда

еку ^ 1 Кл/м2, вторым слагаемым в уравнении можно, в принципе, пренебречь. Но для пьезоэлектрических керамик типа ЦТС (Р2Т), у которых еку < 20 Кл/м2, силами Кулона внутреннего электрического поля пренебрегать нельзя. Эти силы, т. е. второе слагаемое в уравнении (19), действуют согласно (связанно) с силами упругости (первое слагаемое) и увеличивают эффективную жесткость пьезоэлектрика. В некоторых направлениях жесткость пьезокерамики может увеличиваться более чем на 50%.

Условие (7) отсутствия свободных носителей электричества в пьезодиэлектрике справедливо, очевидно, при любом представлении вектора электрической индукции. Поскольку &у6(Хк) - 0, то, после подстановки в это условие уравнения (17), получаем следующий результат:

д2Ф д2Ф „2 д2Ф 1 д2и

+ —- + |2—- +—е 1

22 дХ1 дХ2

д хЗ

Х1 т1; д Хт д Х;

- 0. (20)

Уравнения (19), (20) представляют собой в общем случае систему из четырех дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Единственность решения этой системы уравнений обеспечивают граничные условия. Если пьезоэлектрический элемент колеблется в вакууме, т. е. не имеет механических контактов с другими материальными объектами, то на его боковых поверхностях вследствие выполнения третьего закона Ньютона должны обращаться в нуль нормальные и касательные напряжения, действующие на элементарных площадках этих поверхностей. Применительно к расчетной схеме, которая показана на рис. 1, сказанное выше записывается следующим образом:

д и I д Хк

■ ек3;

^ дФ дФ*Л -+-

дХк дХк

= 0 V(Х1,Х2)е 8к

(21)

по

ст

Х3 - ±а

р-^Ы 1607-3274. Радюелектронжа, iнформатика, управлiння. 2015. № 1 е-^Ы 2313-688Х. Каёю Eleеtroniеs, Coшputer Sеienеe, Control. 2015. № 1

ди1 д хк

ек1]

( *\

дФ дФ* -+-

дхк дхк

= 0Vхк е К, (22)

где п - компоненты вектора внешней единичной нормали к боковой цилиндрической поверхности пьезоэле-мента, в основании которой лежит криволинейный контур к (рис. 1).

Скалярный потенциал Ф(хк) внутреннего электрического поля должен удовлетворять следующим граничным условиям:

Ф(хк )х3 = а = 0 V(Х1,Х2)е Sl,

дФ(хк )

д х3

= 0 V (х1, х2 )е Sк - Sl,

(23)

(24)

дФ(хк )

д х1

дФ(хк )

х3 = а

д х2

= 0V(xьx2)е Sl_

(25)

п = 0 Vхк е К,

д Хi

Ф(хкI = -а = 0V(xl,x2)е S2,

(26)

(27)

дФ(хк )

дх3

= 0^х1,х2 )е ^ - S2 , (28)

дФ(хк )

д х1

дФ(хк )

д х2

= 0 V(Х1,Х2 )е Sl

(29)

Сформулированная соотношениями (19)-(29) граничная задача является наиболее полной и общей математической формулировкой граничной задачи электроупругости установившихся гармонических колебаний пьезоэлектрических элементов конечных размеров.

Не вдаваясь в пространные рассуждения, можно утверждать, что точное решение этой граничной задачи осуществить невозможно. Вместе с тем, вполне возможно построить алгоритм приближенного решения граничной задачи (19)-(29). Вычислительную процедуру, о которой пойдет речь, можно назвать методом последовательных приближений. При этом искомые компоненты вектора

смещения и^ (хк) и скалярного потенциала Ф(хк) представляются сходящимися рядами следующего содержания:

и, (Хк) = и(°)(хк)+ ¿Аи),

V = 1

Ф(хк )=Ф(0)(хк )+ ]^АФ(0)(хк ), (30)

V = 1

где и^ (хк) и Ф(хк) - точные решения системы уравнений (19), (20); и^0)(хк) и Ф(0)(Хк) - нулевые приближе-

ния к точным решениям; Аи (у)(хк) и АФ(0)(Хк) - поправки v-го порядка к нулевым приближениям точных

решений и^ (хк ) и Ф(хк ).

Нулевое приближение и(0)(хк) к точному значению

амплитуды 1-го компонента вектора смещения материальных частиц пьезоэлектрического элемента находится в результате решения следующей стационарной граничной задачи:

е.

E ^ +Р0Л(°)= ^

д Хкд Хj

(31)

E ди(0) _к

д хк

= 0^х1,х2 Мк, (32)

х3 = ±а

еЕ: ди(0) ак

д хк

= 0 V хк е к,

(33)

-к — ■ (дФ*/д Хк ), 4 = е^ (дФ*/д Хк )

где ^ = ek3j 1дФ /дХк/Ь "еку* верхностные плотности сил Кулона электрического поля внешнего источника или, что то же самое, напряжения Кулона.

Таким образом, нулевое приближение к точным значениям компонентов вектора смещения материальных частиц пьезоэлектрика формируется решением граничной задачи (31)-(33). По физическому содержанию эта граничная задача динамической теории упругости является задачей о возбуждении гармонических колебаний

пьезоэлектрического элемента системой объемных к

и поверхностных (Сту ) нагрузок. Следует подчеркнуть, что при полном электродировании поверхностей пьезоэле-ментов и даже в случае разрезных электродов объемная плотность сил Кулона равна нулю и возбуждение упругих колебаний в таких пьезоэлементах осуществляется поверхностными нагрузками стк.

После решения граничной задачи (31)—(33) определяется нулевое приближение к точному значению скалярного потенциала внутреннего электрического поля. При этом уравнение (20) записывается в следующем виде:

д2Ф(0)+дМ0!+^2^0) = ^, (34)

2 X3

д х2

д х2

д х3

где рг°э) = ^

2и (0)

д2и

д хш д xj

- нулевое приближение к точно-

му значению объемной плотности поляризационного электрического заряда в объеме деформируемого пье-зоэлектрика. Общее решение уравнения Пуассона (34),

т. е. функция Ф(0)(Хк), должно удовлетворять граничным условиям (23)-(29).

п

Х3 = а

п

Х3 = а

Х3 = -а

Хт = а

Хт = а

3

3

После определения нулевого приближения Ф(0)(Хк)

выполняется расчет поправки Д и^1). Для этого в уравнение (19) подставляются значения

и(Хк)« и(0)(Хк) + Ди(0)(Хк) и Ф(Хк)-Ф(0)(Хк). Урав-нение (19) принимает следующий вид

2 ()

; ^+Р0®2 ди р- (35)

д Хкд Х;

где Д и^1) и Д и(1) - поправки первого порядка к нулевым приближениям и^0) и и(0) точных значений компонен-тов и/ (Хк) и и; (Хк) вектора смещений материальных

(0) е д 2Ф(0)

частиц пьезоэлектрика; ' - ек1;--нулевое при-

д Хкд Х;

ближение к точному значению 1-го компонента вектора объемной плотности сил Кулона, которые формируются внутренним электрическим полем в объеме деформируемого пьезоэлектрика.

Единственность решения системы уравнений (35) обеспечивается граничными условиями, которые записываются следующим образом:

Е дДиЛ_ст(0)

с3]к^

д Хк

з;

- 0^Х1,Х2 Мк, (36)

Х3 - ±а

Е дДи()

сук^--ст-

д Хк

- 0 V Хк е К,

(37)

где 40}- ек3;(дФ(07дХк), а(0) - ек1;(дФ(0)/дХк) -

нулевые приближения к точным значениям поверхностных плотностей сил Кулона, которые формируются внутренним электрическим полем в объеме колеблющегося пьезоэлектрического элемента.

Следует особо подчеркнуть, что граничная задача (35)-(37) решается по той же самой схеме, по которой была решена граничная задача (31)-(33). Это означает, что после построения аналитического выражения для

и (0)(Хк), т. е. для нулевого приближения к точному значению вектора смещения материальных частиц пьезоэлектрического элемента, не нужно заново конструировать общие решения для поправки Д и ()(Хк) первого

порядка и для поправок Ди("^(хк) всех последующих порядков. Для получения численных значений поправок

Ди(у)(Хк) необходимо только лишь подставлять в общие решения граничной задачи (31)-(33) соответствующие значения объемных и поверхностных плотностей сил Кулона, которые формируются внутренним электричес-

ким полем в объеме колеблющегося пьезоэлектрического элемента.

Получив первое приближение

и(1)(хк)- и(°)(Хк) + Ди(1)(хк) к точному значению вектора смещения материальных частиц, можно выполнить

оценку поправки ДФ(1)(Хк) к точному значению Ф(Хк) скалярного потенциала внутреннего электрического поля. Подставляя значение

и(1)(хк)- и(0)(хк) + Ди(1)(хк) в уравнение (34) и полагая при этом, что Ф(Хк )« Ф(0)(хк )+ ДФ()(хк ), получаем уравнение Пуассона для определения поправки

ДФ(1)(Хк ):

2 ДФ(1) д 2 ДФ(1)

дхДФ д х2

д ДФ1 д х2

+ 1

2ДФ()

2 д ДФ

д Х 23

_Д_Рпэ_

х8

(38)

где Дрпэ - е

(1) - д 2Ди(1)

пэ ~тп - -

д хт д х;

поправка первого порядка к

нулевому приближению точного значения объемной плотности поляризационного заряда в объеме деформируемого пьезоэлектрика. Единственность решения уравнения (38) обеспечивается граничными условиями (23)-(29).

Вновь, как и при определении поправки Д и (1)(Хк), можно сделать очевидный вывод. Для получения поправки ДФ(1)(хк ) как, очевидно, и всех последующих поправок ДФ(у)(Хк), нет необходимости в новом решении уравнения (38) и в последующем удовлетворении граничных условий (23)-(29). Для определения поправки

ДФ(1)(Хк ) необходимо и достаточно подставить в общее

решение уравнения (34) вместо объемной плотности р^^

величину ДрОО. Очевидно, что поправка V-го порядка, т.

е. величина ДФ("^(Хк), определяется общим решением уравнения (34), в правой части которого записывается

поправка Др^^ ).

Приближенное вычисление компонентов вектора смещения и скалярного потенциала внутреннего электрического поля составляет содержание второй вычислительной процедуры при математическом моделировании процессов, которые развиваются в объеме пьезоэлектрического элемента с частичным электродированием поверхностей.

Результаты, которые получаются после выполнения первой и второй вычислительных процедур, т. е. расчетные формулы для потенциала Ф*(Хк) электрического поля, созданного в объеме пьезоэлектрического элемента генератором электрических сигналов, для скалярного

потенциала Ф(хк) внутреннего электрического поля и вектора смещения и(хк) материальных частиц, линей-

+

п

р-^Ы 1607-3274. Радюелектронжа, iнформатика, управлiння. 2015. № 1 е-^Ы 2313-688Х. Илёю Eleеtroniеs, Coшputer Sеienеe, Control. 2015. № 1

но зависят от электрического потенциала Щ, который существует на электродированной поверхности Sl. Из сказанного выше следует, что эти расчетные соотношения можно представить в следующем виде:

Ф*(хк) = и0Ф*(хк,п), Ф(хк)= и0Ф(хк,и,П),(39)

(хк ) = и0""|3и (xk,и п),

е33

(40)

где Ф*(хк,П), Ф(хк,и,П) и и/(хк,и,П) - безразмерные функции координат точки наблюдения и набора физико-механических и геометрических (символ П в списке аргументов) параметров пьезоэлектрического элемента; конструкция правой части выражения (40) обусловлена размерностью входящих в нее величин.

Поскольку потенциал и ^ Иг, т. е. потенциал и фактически является неопределенной величиной, постольку третья и последняя вычислительная процедура имеет своей целью определение амплитудного значения потенциала на электродированной поверхности пьезоэлектрического элемента.

Очевидно, что влияние пьезоэлектрического элемента на амплитуду электрического тока в проводнике, который соединяет его с генератором электрических сигналов, можно описать с помощью электрического импеданса гэл (и) пьезоэлектрического элемента. Электрический импеданс ^эл (и) должен удовлетворять основным положениям и определениям теоретической электротехники и, стало быть, закону Ома для участка электрической цепи, т. е.

2эл (и) = Ц0, (41)

где I - амплитуда электрического тока в проводниках, которые подключаются к электродированным участкам поверхности пьезоэлектрического элемента (рис. 1). Сила тока, или амплитудное значение I, прямо пропорциональна скорости изменения во времени электрического заряда р на электродированной поверхности пьезоэлектрического элемента. При гармоническом изменении во времени по закону е1и1 амплитуда I определяется следующим образом:

I = - 1иР1 = - ¿^2,

(42)

где и Р2 - амплитудные значения электрических зарядов на поверхностях Sl и S2 (рис. 1).

Амплитудное значение электрического заряда определяется следующим образом:

=Я °3 (х1,х2, а) = Ц

¡^1 S1

д Ul

'ёх"

■X 31

^ д Ф , д Ф*Л

дХ" дХ"

dSl = и0 Ц

331"-

е33 д П1 (хк ,ю, П)+ [ дФ(хк , ю, П)

33

д Х:

X 3"

д х:

д Ф *(хк, П)

д х"

dS1 = U0CE (ю, П). (43)

Таким образом, I = - №^^((1), П) и электрический импеданс пьезоэлектрического элемента

2эл (и)= -

1

¿и^^о, П)

(44)

Из схемы подключения генератора электрических сигналов (рис. 1) следует, что

и = и г 2эл(и) = и0 = -

и г

2Г + 2эл (и) 1 - 1игг Cs(и, П)

(45)

где CS(И, П) определена двойным интегралом в формуле (43).

Вычисление электрического потенциала и является содержанием третьей вычислительной процедуры при математическом моделировании пьезоэлектрических элементов с частичным электродированием поверхностей.

После выполнения третьей и последней вычислительной процедуры можно записать выражение для расчета смещений материальных частиц пьезоэлектрического элемента в следующем, окончательном, виде:

(хк ) =

е33

е33иг

1 - ¿иг^и, п)

и^ (хк, и, п). (46)

Выражение (46) является математической моделью динамического напряженно-деформированного состояния пьезоэлектрического элемента с частичным элект-родированием поверхности и является ключевым соотношением для количественных оценок передаточных характеристик пьезоэлемента при любых вариантах его функционального использования. Частотно-зависимая функция C 3(и, П) является теоретической основой для построения эквивалентных электрических схем в том смысле, в котором они были предложены в 1925-1928 гг Вальтером Г. Кэди радиоинженерам, которые занимались расчетом и проектированием высокочастотных генераторов электрических сигналов с кварцевым резонатором в цепи стабилизации частоты генерации [6]. 4 ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Рассмотрим первую вычислительную процедуру, т. е. расчет пространственного распределения в объеме пьезоэлектрического элемента переменного электрического поля. Решение этой задачи позволяет выполнить оценку количества энергии, которая потребляется пьезоэлектрическим элементом от внешнего источника, т. е. от генератора электрических сигналов. Эта процедура является первым этапом энергосилового метода [7-10] анализа физического состояния пьезоэлектрических элементов в режиме вынужденных колебаний под действием внешнего источника электрической энергии.

Рассмотрим диск (рис. 2) из поляризованной по толщине пьезоэлектрической керамики типа ЦТС (РгТ). Электрод на верхней (г = а) поверхности пьезокерамическо-го диска (позиция 1 на рис. 2) имеет форму круга радиуса

с центром на оси Ог цилиндрической системы коор -

х

а

К

+

х

а

3

не0

Ро

Рисунок 2 - Пьезоэлектрический диск с частичным электроди-рованием поверхностей

динат. На этот электрод подается гармонически изменяющийся во времени по закону е1®1 (1 - V—1) электрический потенциал и() - Цое1®*. Электрод на нижней (г - 0) поверхности диска (позиция 2 на рис. 2) выполнен в форме кольца с центром на оси 0г. Кольцевой электрод заземлен, т. е. его потенциал всегда равен нулю.

Исследуем характер распределения переменного электрического поля в объеме пьезокерамического диска в предположении, что внешний радиус Яо верхнего электрода совпадает с внутренним радиусом нижнего.

Итак, переменное электрическое поле в объеме пьезоэлектрического диска определяется с помощью скалярного потенциала Ф*(р, ф ,г)е1®1. При соосном расположении верхнего и нижнего электродов амплитудное значение скалярного потенциала зависит только лишь от радиальной р и аксиальной г координаты цилиндрической системы координат. Говоря иными словами, показанная на рис. 2 электродная структура создает в объеме диска из поляризованной по толщине пьезоке-рамики осесимметричное переменное электрическое поле, скалярный потенциал которого определяется уравнением Лапласа следующего вида:

1А

р др

дФ*(р ,г)

I-——-

др

+ 1

2 д2 Ф*(р,г) -

- 0 =

(47)

д г2

где ^2 - хЗз/Х11 - квадрат коэффициента анизотропии

диэлектрической проницаемости поляризованной керамики.

Для упрощения последующих вычислений разобьем объем пьезокерамического диска на две области. Первую область (0 < р < Я^; 0 < г < а) будем называть внутренней и электрический потенциал в ее пределах

будем обозначать символом Ф()(р ,г). Кольцевую область (Я о <р< Я; 0 < г < а) будем называть внешней областью или второй областью, а электрический потенциал в пределах этой области будем обозначать символом Ф*2)(р ,г).

На внешних и внутренних поверхностях внутренней и внешней областей потенциалы Ф*1)(р,7) и Ф*2)(р,7) должны удовлетворять следующим граничным условиям:

Ф(1)(р,а)- и Vре[0,Rо]

(48)

дФ(1)(р ,г ) дг

-0V ре[о, Я0],

г - 0

Ф(1)(Я0,г)_ Ф*2)(Я0,г)- 0Vге[о, а]

дФ(1)(Я0,г) дФ(2)(я0,г) - 0Vге[0 (

д г

дФ(1)(р ,г )

др

дФ*2)(р ,г )

р-Яо

др

- 0Vге[о, а],

р-Яо

дФ(2)(р ,г)

дг

- 0 Vре[R0,R ],

Ф*2)(р,0)- 0Vре[Rо,R],

дФ

2)0^,г)

др

- 0 V ге[о,

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

р-Я

Условия (49), (53) и (55) являются приближенными [3] и выполняются тем точнее, чем больше диэлектрические проницаемости х8з и Х11 отличаются от диэлектрической проницаемости вакуума Хо - 8,85-10 12 Ф/м.

Поскольку диэлектрические проницаемости ХЗЗ и Х11 более чем на три порядка превосходят диэлектрическую проницаемость окружающей пьезокерамический диск среды, постольку эти граничные условия можно рассматривать как практически точные. Условия (50)-(52) имеют смысл условий сшивания решений уравнения (47) на границе р - Я 0 внутренней и внешней областей.

Решение уравнения (47) как во внешней, так и во внутренней областях, будем искать по стандартной технологии разделения переменных [11], т. е. будем полагать, что

Ф

(к)(р,г) - Я(к)(р)2(к)(г),к -

1,2.

(56)

где Я(к )(р) и г(к )(г) функции, зависящие только от радиальной и аксиальной координаты, соответственно.

Подставляя предполагаемый вид решения (56) в уравнение (47), получаем возможность записать его в следующем виде:

1

Я

1 дЯ р

(к),

(р)

д 2Я(к)

(р)

др

др2

г

д27(к)(г)

(^"¡г^. (57)

Равенство (57) может выполняться при произвольных значениях переменных р и г только в одном случае, когда его левая и правая части не зависят от р и г , соответственно, и обе равны одной и той же константе, которая называется константой разделения [11]. Выбор константы разделения в значительной мере предопределяется физическим содержанием решаемой задачи. Обозначим, для удобства

г

1

а

О

К

г - а

р-^Ы 1607-3274. Радюелектронжа, iнформатика, управлiння. 2015. № 1 е^Ы 2313-688Х. Иа^ Eleеtroniеs, Coшputer Sеienеe, Control. 2015. № 1

последующих записей константу разделения символом в ■ При этом из уравнения (57) следуют два обыкновенных дифференциальных уравнения следующего вида:

1

И

1 д И(к )(р) д2И(к )(р)'

р дР

др2

=р2

г

д 2г(к )(г ) = р2

д г2

(58)

(59)

Обилие граничных условий (см. соотношения (48)-(55)) требует соответствующего набора констант в общих решениях Ф(к)(р , г). Обеспечить соответствующее количество констант можно следующим образом.

Рассмотрим внутреннюю область (к = 1).

Если в уравнениях (58) и (59) определить параметр в как действительное число вь то получаем следующее выражение для скалярного потенциала:

Ф(11)(р ,г) = ^ (в1р)[А1 еos(Xlг) + Б1 Б1п(^1г)], (60)

где ¡0 (в1р) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; А1 и Б1 - константы; Х1 = Р1/Е, ; в1 - подлежащее определению действительное число.

Предположим теперь, что параметр в является мнимым числом ¿в2, т. е. в2 = - в2 Тогда из уравнений (58) и (59) получаем следующее выражение для расчета скалярного потенциала внутренней области дискового пье-зоэлемента:

Ф(12)(р,г) = У0 (в2, р) [еЦХ2г) + В2эЬ(Х2г)], (61)

где 10 (в2р) - функция Бесселя нулевого порядка; А2 и Б2 - константы; X2 = в2/£ ; в2 - подлежащее определению число. Очевидно, что суперпозиция общих решений Ф(11)(р,г) и Ф(12)(р,г) также является общим решением уравнения (47), т. е.

Ф(1)(р ,г)= Ф(11)(р ,г)+ Ф(12)(р, г). (62)

Из граничного условия (49) следует, что

Х^ (в1р)Б1 + Х 2У0 (в2р)Б2 = 0Vре[0,Rо ]. (63)

Если положить константы В1 = Б2 = 0, то равенство (63) и, соответственно, граничное условие (49), будут выполняться автоматически.

Поскольку числа в1 и в 2 могут назначаться по произволу расчетчика, постольку их определим так, чтобы выполнялись следующие условия:

cos(Xlа) = 0,

^ ^0 ) = 0.

Из условий (64) и (65) следует, что

в1 =вп = + 2п), п = 0,1,2,

2а

(64)

(65)

(66)

в2 = аш/И0, ш = 1,2,3,

(67)

где - ш-й корень уравнения 10 (х) = 0. Первые пять корней этого уравнения имеют следующие числовые значения: = 2,404826, = 5,520078, q3 = 8,653728, q4 = 11,791534 и = 14,930918. Легко заметить, что qш - qш -1 « п, при этом приближенное равенство выполняется тем точнее, чем больше ш номер корня.

Так как собственные числа вк и Xк (к = 1,2) образуют бесконечные множества, то им должны соответствовать бесконечные множества констант А1п и А2ш. При этом выражение для расчета скалярного потенциала Ф(1*(р ,г) принимает следующий вид:

р,г)= Е А1п:0 (впр)е

п = 0

^(1 + 2п) 2а

+ Е А2шУ0

ш =1

( ДшР^

еЬ(Х шг),

(68)

где х ш = qшl ).

При г = а должно выполняться граничное условие (49). Подставляя г = а в расчетную формулу (68), получаем

Е А2шУ0

ш =1

(

л(х ш а) = и

(69)

Функции Бесселя 10 (шр/) на интервале

0 < р < образуют систему ортогональных функций, т. е. существует интеграл [12] следующего вида:

К-0 |0, Vm Ф р;

|Ру0 <ЛгпРЖ0 )У0 (ЯрР^ )dP = \ п 2т2 0

И^ш)^, ш = р,

(70)

где 11 (яш ) - функция Бесселя первого порядка. Используя свойство ортогональности (70), из уравнения (69) получаем следующие значения коэффициентов А2ш:

А2ш = и0А2ш (qш )

(71)

где безразмерный множитель А2ш (qш) определяется следующим выражением:

А2ш (qш ) = -

2

яш^яш)еЬ

( Яш^ ^0

(72)

5 РЕЗУЛЬТАТЫ

В таблице 1 приведены результаты расчетов безразмерных весовых множителей А2ш (яш ) для первых двадцати корней уравнения 10 (х) = 0. При выполнении вычислений коэффициент анизотропии ^ = д/%33/%11 ди-

2

+

электрической проницаемости поляризованной пьезо-керамики принят равным единице, т. е. принято, что

Хзз/XI1 = 1. В действительности для пьезокерамики типа

ЦТС-19 коэффициент Е = 0,97 + 0,99. В третьей колонке табл. 1 приведены значения весового коэффициента

А^т = V[тМЧт )], которые не зависят от геометрического параметра а/ Я^. Безразмерный весовой множитель А2т (ят ) рассчитывался при различных значениях параметра а/Я^, что указано в заголовках соответствующих колонок табл. 1. 6 ОБСУЖДЕНИЕ

Предложена схема решения задачи для случая, когда расположенные на торцевых поверхностях диска электроды имеют форму соосно расположенных круга и кольца, причем наружный радиус кольца равен радиусу диэлектрического диска, а радиус круга совпадает с внутренним радиусом кольца.

Предложенная схема решения задачи использует метод последовательных приближений, что позволяет получить аналитические выражения для расчета коэффициентов в математическом описании потенциала электрического поля в объеме диска с анизотропной диэлектрической проницаемостью. ВЫВОДЫ

В работе решена актуальная задача определения вычислительных процедур, которые позволяют выполнить оценку параметров напряженно-деформированного состояния и передаточных характеристик пьезоэлектрических элементов с частичным электродированием поверхностей.

Научная новизна результатов, полученных в статье, состоит в том, что впервые предлагается последовательность вычислительных процедур, которая позволяет при расчете передаточных характеристик учитывать полный набор физико-механических и геометрических параметров пьезоэлектрического элемента и конечное значение выходного электрического импеданса генератора электрических

Таблица 1 - Резул

сигналов, а также впервые предлагается методика, которая позволяет выполнить адекватную реальной ситуации оценку эффекта связности упругих и электрических полей в случае их произвольного распределения в объеме колеблющегося пьезоэлектрического элемента. Сформулированный полный набор граничных задач технической электродинамики и динамической теории упругости представляет собой математическое содержание энергосилового метода анализа физического состояния пьезоэлектрических элементов в режиме вынужденных колебаний под действием внешнего источника электрической энергии.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что предложенная последовательность вычислительных процедур может быть рекомендована в качестве основы расчета характеристик пьезоэлектрических элементов с частичным электродировани-ем поверхности и микроэлектромеханических структур.

Перспективы дальнейших исследований состоят в определении процедуры расчета амплитудного значения потенциала на поверхности дискового пьезоэлектрического элемента с частичным электродированием. БЛАГОДАРНОСТИ

Работа выполнена в рамках госбюджетной научно-исследовательской темы Черкасского государственного технологического университета «Разработка новой технологии проектирования и создания на ее основе малогабаритных низкочастотных пьезоэлектрических преобразователей для гидроакустики, электроакустики, компьютерной техники, приборостроения» (№ гос. регистрации 0113И003349). СПИСОК ЛГГЕРАТУРИ

1. Варадан В. ВЧ МЭМС и их применение / В. Варадан, К. Виной, К. Джозе. - М. : Техносфера, 2004. - 528 с.

2. Ананьева А. А. К расчету поршневого пьезоэлектрического излучателя без учета внутренних потерь / А. А. Ананьева // Акустический журнал. - 1958. - Т. 4, № 3. - С. 223-232.

3. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость / В. Т. Гринченко, А. Ф. Улитко, Н. А. Шуль-га. - К. : Наук. думка, 1989. - 280 с.

4. Тамм И. Е. Основы теории электричества / И. Е. Тамм. - М. : Наука, 1976. - 616 с.

ты экспериментов

т Ят А0 А2т А2т Ят )

а/ Я0 = 0,1 а я0=0,2 а я0=0,4 а/Я0 = 0,8

1 2 3 4 5 6 7

1 2,404826(00) 1,601975(00) 1,556743(00) 1,433008(00) 1,068376(00) 4,581400(-01)

2 5,520078(00) -1,064799(00) -9,208959(-01) -6,361205(-01) -2,312844(-01) -2,572544(-02)

3 8,653728(00) 8,513992(-01) 6,088411 (-01) 2,924759(-01) 5,338622(-02) 1,677065(-03)

4 1,179153(01) -7,296452(-01) -4,100099(-01) -1,367963(-01) -1,305292(-02) -1,167732(-04)

5 1,493092(01) 6,485236(-01) 2,774129(-01) 6,530816(-02) 3,305117(-03) 8,422161 (-06)

6 1,807106(01) -5,895428(-01) -1,8 84451 (-01) -3,173932(-02) -8,556177(-04) -6,208900(-07)

7 2,121164(01) 5,441802(-01) 1,286367(-01) 1,564097(-02) 2,248713(-04) 4,646171 (-08)

8 2,435247(01) -5,078936(-01) -8,828160(-02) -7,790196(-03) -5,975099(-05) -3,514693(-09)

9 2,749348(01) 4,780125(-01) 6,090726(-02) 3,912089(-03) 1,600895(-05) 2,680750(-10)

10 3,063461(01) -4,528506(-01) -4,222733(-02) -1,977401(-03) -4,317264(-06) -2,057938(-11)

11 3,377582(01) 4,312839(-01) 2,940508(-02) 1,004760(-03) 1,170395(-06) 1,588077(-12)

12 3,691710(01) -4,125307(-01) -2,055546(-02) -5,127524(-04) -3,186614(-07) -1,230758(-13)

13 4,005843(01) 3,960282(-01) 1,441773(-02) 2,626185(-04) 8,707525(-08) 9,572677(-15)

14 4,319979(01) -3,813595(-01) -1,014249(-02) -1,349206(-04) -2,386668(-08) -7,468262(-16)

15 4,634119(01) 3,682084(-01) 7,153367(-03) 6,949911(-05) 6,558958(-09) 5,841790(-17)

16 4,948261(01) -3,563301 (-01) -5,056596(-03) -3,588208(-05) -1,806645(-09) -4,579974(-18)

17 5,262405(01) 3,455318(-01) 3,581565(-03) 1,856312(-05) 4,986362(-10) 3,597905(-19)

18 5,576551(01) -3,356591 (-01) -2,541305(-03) -9,620500(-06) -1,378691(-10) -2,831427(-20)

19 5,890698(01) 3,265869(-01) 1,806041 (-03) 4,993823(-06) 3,818014(—11) 2,231754(-21)

20 6,204847(01) -3,182126(-01) -1,285331 (-03) -2,595887(-06) —1,058 825(—11) -1,761575(-22)

Примечание. Запись 1,856312(-05) эквивалентна записи 1,856312x10 5

p-ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2015. № 1 e-ISSN 2313-688X. Radio Electronics, Computer Science, Control. 2015. № 1

Петрищев О. Н. Гармонические колебания пьезокерамичес-ких элементов. Ч. 1. Гармонические колебания пьезокерами-ческих элементов в вакууме и метод резонанса - антирезонанса / О. Н. Петрищев. - К. : Аверс, 2012. - 300 с. Кэди У Пьезоэлектричество и его практическое применение / У Кэди. - М. : Изд-во иностранной литературы, 1949. - 720 с. Sharapov V. Piezoceramic sensors / V. Sharapov. - Heidelberg, Dordrecht, London, New York : Springer Verlag, 2011. - 498 p. Шарапов В. М. Пьезоэлектрические датчики / В. М. Шарапов, М. П. Мусиенко, Е. В. Шарапова. - М. : Техносфера, 2006. - 632 с. Sharapov V. Piezoelectric electroacoustic transducers / V. Sharapov, Zh. Sotula, L. Kunitskaya. - Heidelberg, Dordrecht, London,

New York: Springer Verlag, 2013. - 240 p.

10. Шарапов В. М. Электроакустические преобразователи / В. М. Шарапов, И. Г. Минаев, Ж. В. Сотула, Л. Г. Куницкая. -М.: Техносфера, 2013. - 280 с.

11. Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. - М. : Высшая школа, 1970. - 712 с.

12. Прудников А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. - М. : Наука, 1983. - 752 с.

Статья поступила в редакцию 08.09.2014.

После дорабoтки 27.01.2015.

Петрщев О. М.1, Шарапов В. М.2, Сотула Ж. В.3, Базшо К. В.4

'Д-р техн. наук, професор, професор кафедри акустики та акустоелектрошки Нацюнального техшчного ушверситету Укра1ни «Кшвський полггехшчний шститут», Ки1в, Укра1на

2Д-р техн. наук, професор, завщувач кафедри комп'ютеризованих та шформацшних технологш в приладобудуванш Черкаського державного технолопчного ушверситету, Черкаси, Укра1на

3Канд. техн. наук, доцент кафедри комп'ютеризованих та шформацшних технологш в приладобудуванш Черкаського державного технолопчного ушверситету, Черкаси, Укра1на

4Канд. техн. наук, доцент кафедри комп'ютеризованих та шформацшних технологш в приладобудуванш Черкаського державного технолопчного ушверситету, Черкаси, Укра1на

ПРИНЦИПИ РОЗРАХУНКУ П'ЕЗОЕЛЕКТРИЧНИХ ЕЛЕМЕНТ1В З ЧАСТКОВО ЕЛЕКТРОДОВАНИМИ ПОВЕРХНЯМИ

Виршена актуальна задача визначення обчислювальних процедур, яга дозволяють виконати оцшку параметрiв напружено-дефор-мованого стану та передаточних характеристик п'езоелектричних елеменпв з частковим електродуванням поверхонь. Запропонована послщовшсть обчислювальних процедур, яка дозволяе при розрахунку передаточних характеристик враховувати повний набiр фiзико-мехашчних i геометричних параметрiв п'езоелектричного елемента i ганцеве значення вихщного електричного iмпедансу генератора електричних сигналiв. Запропоновано методику, яка дозволяе виконати адекватну реальнш ситуаци оцшку ефекту зв'язносп пружних i електричних полiв у разi 1х довшьного розпод^ в об'емi п'езоелектричного елемента, який здшснюе коливання. Сформульований повний набiр граничних задач техшчно! електродинамжи та динамiчноl теори пружносп являе собою математичний змют енергоси-лового методу аналiзу фiзичного стану п'езоелектричних елеменпв в режимi вимушених коливань шд дiею зовнiшнього джерела електрично! енерги. Запропонована послiдовнiсть обчислювальних процедур може бути рекомендована в якосп основи розрахунку характеристик п'езоелектричних елеменпв з частковим електродуванням поверхш i мжроелектромехашчних структур. Ключовi слова: часткове електродування поверхонь п'езоелемента, мжроелектромехашчш структури.

Petrishchev O. N.1, Sharapov V. M.2, Sotula Zh. V.3, Bazilo K. V.4

*Dr.Sc., Professor, Professor of department of acoustics and acoustoelectronics, National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, Ukraine

2Dr.Sc., Professor, Head of Instrument Making Department, Cherkasy State Technological University, Cherkasy, Ukraine 3PhD, Associate Professor of Instrument Making Department, Cherkasy State Technological University, Cherkasy, Ukraine 4PhD, Associate Professor of Instrument Making Department, Cherkasy State Technological University, Cherkasy, Ukraine PRINCIPLES OF CALCULATION OF THE PIEZOELECTRIC ELEMENTS WITH SURFACES PARTIAL ELECTRODES COVERING

The sequence of computational procedures, which allows when calculating transfer characteristics to use the full range of physical, mechanical and geometrical parameters of the piezoelectric element and the final value of the output electric impedance of the electrical signals generator, is proposed. The method, which allows you to perform the real situation adequate assessment of the connectivity effect of elastic and electric fields in the case of their arbitrary distribution in the volume of vibrating piezoelectric element, is proposed. The formulated complete set of boundary problems of technical electrodynamics and elasticity dynamic theory is the mathematical content of the energy-power method of the piezoelectric elements physical state analysis in the regime of forced oscillations under the influence of the electrical energy external source. The proposed sequence of computational procedures can be recommended as a theoretical basis for characteristics calculating of the piezoelectric elements with partial surfaces covering by electrodes and microelectromechanical structures. Keywords: piezoelectric element surfaces partial electrodes covering, microelectromechanical structures.

REFERENCES

Varadan V., Vinoj K., Dzhoze K. VCh ME'MS i ix primenenie. Moscow, Texnosfera, 2004, 528 p.

Anan'eva A. A. K raschetu porshnevogo p'ezoe'lektricheskogo izluchatelya, Akusticheskij zhurnal, 1958, vol. 4, No. 3, pp. 223-232.

Grinchenko V. T., Ulitko A. F., Shul'ga N. A. Mexanika svyazannyx polej v e'lementax konstrukcij. Vol. 5. E'lektrouprugost'. Kiev, Nauk. dumka, 1989, 280 p.

Tamm I. E. Osnovy teotii e'lektriche stva. Moscow, Nauka, 1976, 616 p.

Petrishchev O. N. Garmonicheskie kolebaniya p'ezokeramicheskix e'lementov. Ch 1. Garmonicheskie kolebaniya p'ezokeramicheskix e'lementov v vakuume i metod rezonansa -antirezonansa. Kiev, Avers, 2012, 300 p.

10

11

12

Ke'di U. P'ezoe'lektrichestvo i ego prakticheskoe primenenie.

Moscow, Izd-vo inostrannoj literatury, 1949, 720 p.

Sharapov V. Piezoceramic sensors. Heidelberg, Dordrecht, London,

New York, Springer Verlag, 2011, 498 p.

Sharapov V M., Musienko M. P., Sharapova E. V P'ezoe'lektricheskie

datchiki. Moscow, Texnosfera, 2006, 632 p.

Sharapov V, Sotula Zh., Kunitskaya L. Piezoelectric electroacoustic

transducers. Heidelberg, Dordrecht, London, New York, Springer Verlag,

2013, 240 p.

Sharapov V. M., Minaev I. G., Sotula Zh. V., Kunickaya L. G. E'lektroakusticheskie preobrazovateli. Moscow, Texnosfera, 2013, 280 p.

Koshlyakov N. S., Gliner E'. B., Smirnov M. M. Uravneniya v chastny'x proizvodny'x matematicheskoj fiziki. Moscow, Vy'sshaya shkola, 1970, 712 p.

Prudnikov A. P., Bry'chkov Yu. A., Marichev O. I. Integraly' i ryady'. Special'ny'e funkcii. Moscow, Nauka, 1983, 752 p.

9

7

2

9