CC BY
20
УДК 502/504 : 532.543 Е. В. ДУВАНСКАЯ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса»
ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ БУРНОГО ПОТОКА И ЕЕ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
В работе приводится общая формулировка двухмерной плановой задачи для свободнорастекающегося бурного потока. Описаны основные допущения модели, система уравнений движения потока в плоскости годографа. Получены общие решения системы для потенциальной функции и функции тока.
Расчет гидравлических параметров, бурный поток, горизонтальное отводящее русло.
In this work the general formulation of a two-dimensional planned problem for a freely spreading rapid flow is given. The basic model assumptions,system of equations of flow movement in the hodograph plane are described. There are received general solutions of the system for a potential function and current function.
Calculation of hydraulic parameters, rapid flow, horizontal tailrace channel.
Исследование свободного растекания бурного потока в широкое отводящее русло за водопропускными трубами, работающими в безнапорном режиме, имеет большое значение для теории плановых потоков, расчета и проектирования ГТС дорожного, мелиоративного строительства, а также систем водопользования.
Следует отметить вклад, сделанный известными учеными и специалистами в области гидравлики плановых потоков: И. А. Шеренкова, С. А. Христиановича, Л. И. Высоцкого, Б. Т. Емцева, Г. А. Ли-лицкого, Г. И. Сухомела, А. В. Гарзанова, П. А. Журавлева, С. А. Чаплыгина, Н. Т. Мелещенко.
Однако экспериментальные исследования показывают, что модели известных авторов требуют уточнения [1, 2]. В частности, рассогласование с экспериментом координат крайних линий тока, полученных И. А. Шеренковым и Г. А. Ли-лицким, достигает 40 % и более. Таким образом, задача определения параметров свободнорастекающегося бурного водного потока является актуальной.
Для постановки краевой задачи свободного растекания бурного водного потока за водопропускной трубой в широкое отводящее русло в данной работе рассмотрим упрощенную модель потока.
Основные допущения модели: поток открытый, бурный, двухмерный в плане, стационарный; поток имеет продольную ось симметрии в плане течения; дно отводящего русла плоское, горизонтальное; силы сопротивления потоку не учитываются; движение потока потенциальное.
При указанных допущениях справедлив интеграл Бернулли для двухмерных в плане бурных потоков: V2
V-+ь=щ, (1) 2 g
где V - модуль вектора скорости жидкой частицы потока; к - местная глубина потока; Н0 - постоянная, определяемая по известным значениям к0, V,; к0, V0 - глубина и скорость потока на выходе из трубы соответственно; g - ускорение силы тяжести.
Уравнение неразрывности потока в дифференциальной форме:
аVь), а(^)
dx
dy
0,
(2)
где Vx = V cos 0; Vy = V sin 0; 0 - угол между вектором скорости и продольной осью симметрии потока ОХ.
Из условия потенциальности потока следует:
dV dVy
y
dy dx
0.
(3)
Система уравнений движения двухмерного в плане потока есть нелинейная
замкнутая система трех дифференциальных уравнений в частных производных:
V2 2 g
+ h = H 0, V2 = Vx2 + Vy2;
d (Vx h) + d(Vyh) = 0.
dx
dy
dV dVy
dy dx
= 0,
d2j
dx2
с2 -
( j
v dx
/
- 2 d2j dj dj +
+
d2j
dy2
d j dy
dxdy dx dy
л2 ^ ' = 0;
^: V = j; V, = j
V2 =
d j dx
+
dф^2 V2 , __
— ;—+h = h0.
dy , 2 g 0
d2 у
dx2
1-
1
2/ 2 с h
dy
¥
2
+
+
d2 у
dy2
2/ 2 с h
dy
dx
2
+
+ 2 dy dy dy = 0 — с2h2 dxdy dx dy
= dy.
V2
hVx = ^; hVy = -У; с = 4Ф;
dy dx
2 g
+ h = H0—V2 = Vx2 + Vy2.
Для бурных потоков т изменяется в пределах 1/3 < т < 1.
Система уравнений движения потока в плоскости годографа скорости, согласно [3, 4], приобретает следующий вид:
(4)
где Ух, Уу, к - неизвестные функции; х, у - независимые переменные.
Перейдем в системе (4) к естественной форме. Для потенциальной функции ф = ф(х, у) получим систему дифференциальных уравнений [2, 3]:
dip _ 2h0 i dy d0 т #0 1-х d '
dq> _ К Зх-l dy ^_2ЯоТ(1-Т)2 d0'
(7)
При этом между плоскостью годографа скорости и физической плоскостью течения потока справедлива следующая дифференциальная зависимость:
á{x+ iy)= ye"
с h ^
dcp +i—dy
v h y
(8)
(5)
Аналогично системе уравнений (5) получим систему уравнений относительно функции тока у = у(х, у):
где г - мнимая единица; е - основание натурального логарифма.
Как известно из [3], система (7) допускает аналитические решения.
Дифференцируя первое уравнение системы (7) по аргументу 1, а второе - по аргументу 6 и приравнивая смешанные вторые частные производные, получим следующее уравнение математической физики:
(9)
d J 2х dy [ | 1-Зх d>_Q
dx [1-х dx J 2x(l-x) de
(6)
Перейдем от уравнений движения потока в физической плоскости для естественных функций ф = ф(х, у), у = у(х, у) к уравнениям для ф = ф(т, 9), у = у(т, 9) в плоскости годографа скорости относительно аргументов т, 9, где 1 = У2/2gH0 квадрат скоростного коэффициента.
Для бурных потоков
Д = [3т-1/4 (1 -т)]>0 при 1/3 <t< 1 и уравнение (9) относится к гиперболическому типу.
Для поиска аналитических решений уравнения (9) воспользуемся известным методом разделения переменных [5]. Для этого представим функцию у(т; 9) в виде произведения:
у(т; 9) = ^(х)^). (10)
Функцию у2(9) можно выбрать в следующем виде:
у2(9) = cos n9, или у2(9) = sin n9. (11)
Тогда уравнение (9) сводится к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго порядка:
dt 11 -1 dt
1 - 3t
4t(1 -t)
2 Уш = 0. (12)
Полагая в уравнении (12) n = 2k, k = = 1, 2, 3, ..., приведем его к следующему виду:
с
<1 Г х а\|/11с 1 * ( 1-Зх) л ----V-(13)
(1т [1-х (1т / т(1-х)2
Производя далее в (13) замену
V (х),
получим для функции Ук(т) известное гипергеометрическое уравнение с действительными коэффициентами [7]:
Л2У ЛУ
х(1 -х) + [ 2к + 1 -2к х]ЛУк + 1 7 Лх2 1 J Лх (14)
+к (2к + 1)Ук = 0.
Общее решение уравнения (14) [6]:
V* = 41У2 + А 2У к),
где ¥<к) =хкУк(1); ¥<к) =хкУк(2); Ук(1) = р («к, ¿к, Ск, х) = 1+
+ «А^ 1 «к («к + 1) ¿к (¿к +1)х2 + . Ск 2! Ск (Ск +1) ' Ук(2) = х-2кР(ак -2к,¿к -2к,1 -2к,х); (15)
Р(ак, ¿к, ск, т) - гипергеометрическая функция.
Коэффициенты ак, ¿к, ск определяются по формулам:
2к -1 4\2к2 +1
ак =-+
К =
2 2 2£-i yjrn2 +1
ck = 2k +1.
(2)
Решение У является линейно не-
к у(1)
зависимым с решением Ук .
В [5] показано, что ряд (15) сходится
абсолютно и равномерно при
|х|^ 1. (17)
Далее, полагая в уравнении (12) п = = 2к - 1, к = 1, 2, 3,..., получим:
а г т ¿у,,] (2^—1)2(1~зт) (18)
Сделав в уравнении (18) замену
к-1 , ч
V =х 2Ук (х), (19)
также приведем его к дифференциальному гипергеометрическому уравнению:
Л2У ЛУ
х(1 -х) + [ 2к + 1 -2к х]^ +
Лх Лх (20)
+к (2к +1) Ук = 0,
которое имеет следующее общее решение: № 2' 2012
у1к = Ак*(1)хк"^2Ук*(1) + Лк*(2)х к^У(2) =
=А(1)¥;к1)+а<М2),
„•(1) \ , аА 1 ак (ак +1)¿к (¿к +1) 2
где Ук (1)= Р(а ¿к,ск,х) = 1 х +--^ к , ' к \к—х2 +...;
к к ск 2! Ск (Ск +1)
У(2) =х1-2к Р (ак +1 - 2к, ¿к +1 - 2к ,2 - 2к, х); (21)
«• = к -1 + >/3к2 - 3к +1; ¿к = к -1 -V3к2 - 3к +1; = 2к.
С учетом найденных решений (15), (21) общее решение уравнения (9) можно записать так:
¥ = А0 + ЗДю (0) + СоV20 (х) +
+
+
I{[ 4'V11! + 4JV1?]
k=1
[ BV 1i!+5k2)v1k)] cos kö}
sin ke +
+
(22)
+
+
2{[ ^4ЧМ2)] sin (2k-i)e
k=1
+ [ ^V11) + B^] cos (2k - l)e}.
Решения y1O(0) и V20(T) находятся стандартными методами из (9).
Решение для потенциальной функции, соответствующее решению (22), определяется выражением:
(16) ф = фо +
2h t
H
— [1 A0 +C0¥20 00)
Ö +
+
J Во Vio (ö) dö] +
2h t
Ho 1 -
(2)]. 1k
J sinke de + ^kVfk + Bk2)¥lk]-J coskö dö} + (23)
+H^r-iff A^V f}
H 0 1 X k=1
■J sin (2k-1)ödö + [BkVk)+ Bk:(2)¥(k)]-
■J cos 12k - 1)e de}.
Сформулируем теперь граничную задачу растекания бурного потока в физической плоскости течения потока (рисунок).
Y h„ V„ у = №___ Сухое русло / ^ \ в - 0_____-—т—" " "" \ -""l0
— G 1 —
—»- —- 1 X
О Ось симметрии потока
План растекания потока
В силу симметрии потока рассматриваем только его верхнюю часть относительно оси симметрии ОХ.
Необходимо определить в плане течения потока G его параметры:
h = h(х;у), V = V(х;у), 0 = 0(х;у) (24) и неизвестную границу растекания у =f (х) при следующих условиях: х = 0; у(0) = Ъ/2;
V(0;у) = Vo, h(0;у) = 0(0;у) = 0
при 0 < у < Ъ/2; (25)
ух = f' = tg 0— вдоль произвольной линии тока
при х h V ^Vmax. На оси симметрии потока 0 (х; 0) = 0.
Границу у = f (х) полагаем гладкой, монотонно возрастающей функцией аргумента х . При этом функции (24) должны удовлетворять системе (4). В рамках модели, описываемой системой дифференциальных уравнений (4), что вдоль граничной линии тока функция h изменяется монотонно от значения h0 до нуля, функция V изменяется от V0 до значения
Vmax =42SH0 , угол 0 - от нуля до 9max.
Обоснуем это следующим образом.
Известно, что бурный поток, растекаясь (без учета сил сопротивления потоку), будет неограниченно расширяться [2]. Выделим в потоке элементарную струйку шириной Ъ, тогда расход этой элементарной струйки
DQ = Vhb = const. (26)
Беря логарифмическую производную этого выражения, получаем:
dV dh db Л
-+ — + — = 0. (27)
V h Ъ
Из уравнения Бернулли дополнительно следует:
dh + VdV = 0. (28) g
Исключая из соотношений (27), (28) глубину h, получаем:
db=( Fr—i) dV
Ъ v ' V
Для бурных потоков число Фруда Fr > 1, или
dV 1 db
изменения глубины, учитывая, что
V Fr -1 b
Устанавливаем
(29)
закономерность
dV = -Fr
dh __ V_
h hg следовательно, dh _ Fr db
h ~ Fr-1 b
dV
V 1
(31)
Из уравнений (29), (31) следует, что вдоль расширяющейся струйки (&Ь > 0) бурного потока (Гг > 1) скорости возрастают (dV > 0), а глубины уменьшаются (dh< 0).
Из уравнения (29) видно, что при свободном растекании поток расширяется, глубины падают, а скорости возрастают. Переходя далее от элементарной струйки к потоку в целом, можно утверждать, что характер растекания всего потока описывается зависимостями (29)...(31) и этот характер растекания справедлив вдоль произвольной линии тока, как на границе, так и внутри потока.
Перейдем теперь к постановке задачи в плоскости годографа скорости. Для этого выясним свойства функций у (т; 6) и ф(т; 6).
В плоскости годографа скорости для потоков, имеющих ось симметрии, функция тока вдоль оси должна быть равна нулю:
у(т;0 ) = о, (32)
так как эта линия тока отсекает от оси нулевой расход потока. Исходя из вида функции у(т; 6) в выражении (22), условие (32) будет выполняться в случае, если
Л = 0; В0 = 0;0, = 0;
В« = Вк2) = В^ = В? 2) = 0, к = 1,2,3,...
Следовательно, для определения функции тока достаточно выбрать следующее решение:
/11)+ЛМГ
41)
Ч 2)
k=l
)+
(33)
[ 4V/) + AM] sin k0-+[ AM1^AM2»] sm (2k - 1)0^
Заметим, что выражение (33) для выполнения условия
v(vo)= Vb
необходимо дополнить слагаемым M sin 0(т-т„ )"V2 (1 -t)Y, (34)
где lim (t-t0) 1 sin0 = 1 - условие вдоль линии тока в окрестности точки (х = Т0; 0 = 0); M, у - постоянные, подлежащие определению в процессе решения задачи.
Таким образом, исходное выражение для функции тока имеет следующий вид:
i = M sin е(т-т0 )-1/2 (1 -t)Y +
Х{[ 4V2 + 42V£?] sin ke+ (35)
k=i
[ AVi1^^V?] sin (2k - i)e}.
+
2h
Ф = Фо +
Ho 1 -t t=í
Ai diü+a(2)
(2)
d t
d t
с 2h0
•J sin ked e++ 0
Ho 1 -t
:(l)
A dt
:(l) di:
+
+diíL
+ -
d t
2hoM t d
•J sin (2k - i)e d e
+
Hn 1 -1 d t
(i -t)'
J sin e d e.
Vb=:L{[^k1 v 12+42 V! * e _ +
2 k=1
+[[ (1 V í1 > + Ak(2 )v1Í2 >] sin (2k - 1)e max }.
янных
A(1) a(2) 2)
+
Запишем соответствующее общее решение для потенциальной функции:
функции тока:
у = у(х; 0; А1'; А21; -Г; Л*(2 >); Ф = Ф(х; 0; А«11; А21; А"; А4).
Выводы
Автором сформулированы основные свойства бурных потоков при свободном растекании.
Описаны краевые условия двухмерной плановой задачи.
Получено общее решение двухмерной плановой задачи.
(36)
.(х-х0 )2
Из условия 0 = 0тах вдоль граничной линии тока на бесконечности, т.е. при х = 1 следует:
2
Таким образом, задачей свободного растекания потока в плоскости годографа скорости является определение постов выражениях
(35), (36) для потенциальной функции и
1. 1. Шеренков И. А. О плановой задаче растекания струи бурного потока кнесжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. ОТН. - 1958. - № 1. - С. 72-78.
2. Справочник по гидравлике / Под ред. В. А.Большакова. - Изд. 2-е, пере-раб. и доп. - Киев: Вища школа, 1984. - 343 с.
3. Емцев Б. Т. Двухмерные бурные потоки. - М.: Энергия, 1967. - 212 с.
4. Ширяев В. В., Мицик М. Ф., Дуван-ская Е. В. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков: монография / Под общей ред. В.В. Ширяева. - Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2007. - 133 с.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров - М.: Наука, 1970. - 720 с.
Материал поступил в редакцию 30.01.12. Дуванская Елена Викторовна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Сервис»
Тел. 8-903-43-177-26 Ешай: [email protected]
t
t
