ГРАДУИРОВКИ КУММЕРОВЫХ КВАДРАТИЧНЫХ РАСШИРЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Li П L2 = {andbnecn | n ^ 0} не контекстно-свободный язык, а значит, тем более не БКГОПТ. Теорема доказана.

Теорема 7. Пусть XПЕ2 = буква, c </ X UX2, языки Li е L2 е Е2 порождены БКГОПТ Gi,G2, тогда язык L1cL2 можно породить БКГОПТ.

Доказательство. Достаточно положить о (ri\r)/r2, где ri,r — результирующие типы для Gi,G2 соответственно. Если примитивные типы bG^ G2 имеют непустое пересечение, то следует заранее переобозначить примитивные типы в одной из грамматик. Теорема доказана.

Автор приносит благодарность профессору М.Р. Пентусу и к.ф.м.н. С. Л. Кузнецову за внимание к работе и ценные замечания.

Исследование выполнено при поддержке Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета "Мозг, когнитивные системы, искусственный интеллект".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ajdukiewicz К. Die syntaktische Konnexität // Stud. Philos. 1935. 1. 1-27.

2. Bar-HUlel Y., Gaifman C., Shamir E. On categorical and phrase-structure grammars // Bull. Res. Council Israel. 1960. 9F. 155-166.

3. Lambek J. The mathematics of sentence structure // Amer. Math. Monthly. 1958. 65, N 3. 154-170.

4. Пентус М.Р. Исчисление Ламбека и формальные грамматики // Фунд. и прикл. матем. 1995. 1, № 3. 729-751.

5. Сафиуллин А.П. Выводимость допустимых правил с простыми посылками в исчислении Ламбека // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 4. 72-76.

6. Пентус А.Е., Пентус М.Р. Теория формальных языков: Учеб. пособие. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2004.

Поступила в редакцию 02.06.2021

УДК 512.552

ГРАДУИРОВКИ КУММЕРОВЫХ КВАДРАТИЧНЫХ РАСШИРЕНИЙ

Д. А. Бадулин1, A. J1. Канунников2

В статье дано полное описание градуировок куммеровых квадратичных расширений по группе. Эти расширения допускают естественную градуировку по группе Галуа и ее подгруппам. Найдены необходимые и достаточные условия существования нетривиальных градуировок по другим группам.

Ключевые слова: градуированные кольца, расширения полей, группа Галуа.

We describe all gradings of quadratic kummer extensions by a group. These extensions have a natural grading by Galois group and its subgroups. We find criteria for such extensions to have non-trivial gradings by other groups.

Key words: graded rings, field extensions, Galois group.

Куммеровы расширения интересны тем, что допускают естественные градуировки, индуцированные их группами Галуа [1]. Мы опишем все градуировки куммеровых квадратичных расширений, в частности установим необходимые и достаточные условия, при которых всякая градуировка таких расширений индуцируется группой Галуа.

Пусть К — произвольное поле характеристики, отличной от 2; К — его алгебраическое замыкание. Для элемента а £ К через л/а £ К обозначим любой корень двучлена х2 — а. Через г £ К

1 Бадулин Дмитрий Алексеевич — студ. 2-го курса мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: badulindQbk.ru.

2Канунников Андрей Леонидович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ; ст. науч. сотр. Моск. центра фунд. и прикл. матем., e-mail: andrew.kanunnikovQgmail.com.

Badulin Dmitri Alekseevich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics.

Kanunnikov Andrei Leonidovich — Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Higher Algebra; Scientific Researcher of Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics MSU.

обозначим любой корень двучлена х2 + 1. Рассмотрим поле Ь = ..., ^/а^), где п £ N и

а\,...,ап € К, имеющее размерность 2п над К, т.е. при условии, что система

^ = Уач ■■■агт I т е N0,1 < Ч < ■ ■ ■ < гт < п} (|5| = 2п)

линейно независима над К. В этом случае поле Ь имеет естественную градуировку по группе Щ:, при которой ^/а]— однородный элемент степени е^ строка единичной матрицы): Ь = Мы опишем все градуировки расширения Ь/К по группе, при которых элементы поля К являются однородными степени е (нейтральный элемент группы). Обозначим КБ = [кв | к € К, в € Б}.

1. Градуированные кольца и поля. Все кольца предполагаются ассоциативными с ненулевой единицей.

Определение. Кольцо К называется градуированным, по группе С (или С-градуированным), если К = фдеС Кд, где [Кд | д € С} — семейство аддитивных подгрупп кольца К, таких, что КдКи С

Кдн для всех д,Н € С. При этом элементы множества Н(К) = У Кд называются однородным,иг,

дес

ненулевой элемент г € Кд называется однородным элементем степени д; множество 8ирр(К) = [д € С I Кд = 0} называется носителем, градуированного кольца К.

К

ждения: 1) 1 € Ке; 2) если элемент г € Кд обратим, то г-1 € Кд-1.

Определение. Градуированное коммутативное кольцо, в котором все ненулевые однородные элементы обратимы, называется градуированным, полем,.

Предложение 2. Для С-градуированного поля К верны утверждения: 1) Ке — поле; 2) 8ирр(К) есть абелева подгруппа в С; 3) Кд = гд Ке для любо го д € 8ирр(К) и любого гд € Кд \ 0.

Доказательство. 1) Из предложения 1 следует, что Ке — поле. 2) Так как 1 € Ке, то е € 8ирр(К).

Если д,Н € 8ирр(К), то существуют эле менты г € Кд \ [0}, в € Кн \[0}. По условию эти элементы обратимы, поэтому 0 = гв € Кдн, откуда дН € 8ирр(К)и г € К-1.

3) Пусть д € 8ирр(К) и г € Кд \ {0}. Тогда гКе С Кд и г-1Кд С Ке, т.е. Кд С гКе, значит, Кд = гКе. Предложение доказано.

СК торым полем К, лежащим, в Ке. Тогда К = Ке ■ |8ирр(К)|.

Доказательство. Для каждого д € 8ирр(К) выберем ненулевой элемент гд € Кд. Тогда К = Фде8ирр(д) гд Ке п0 предложению 2. Так как ёш^ К < то и К С Д=, то ёш^ Ке < топ |8ирр(К)| < то. Пусть [/1,..., /¿} — базис в Ке над К. Тогда [гд/1,..., гд/¿} — базис в Кд над К для каждого д € 8ирр(К) и [гд/ | д € 8ирр(К), г = 1,...,д,} — базис в К над К, откуда следует требуемое равенство. Предложение доказано.

Предложение 4. Расширение Ь/К является расширением Галуа с группой Галуа

Са1(Ь/К) ^

Доказательство. По предположению в начале статьи [Ь : К ] = 2п. Групп а Аи1(Ь/К) порождается п автоморфизмами, каждый из которых меняет знак у одного из радикалов д/аГ,..., ^[а^ и оставляет неподвижными остальные радикалы. Эти автоморфизмы коммутируют и имеют порядок 2, следовательно, Аи\(Ь/К) = Са1(Ь/К) = Zn. Предложение доказано.

Подгруппы в ЪП будем рассматривать как подпространства над полем %2- Множество промежуточных подполей между К и Ь обозначим через С (К, Ь). Для строки Н = (Н1,...,Нп) € ЪП обозначим

л/а = л/0111 ■ ■ ■ \[а~пп ■

Каждой подгруппе Н в ЪП сопоставим подпространство

ней

в Ь. Если ... — любой базис в Н над Ъ^, то <р(Н) = К(л/аН1,..., ^/аНк), поэтому ф(Н) — поле.

Предложение 5. Отображение ф устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами в ЪП и подполям и в С(К, Ь), причем ф(Н) = Н | для каждой подгруппы, Не Щ-

Доказательство. Очевидно, отображение р инъективно, поэтому достаточно доказать, что подполей в Ь столько же, сколько подгрупп в ЕП- Это следует из основной теоремы о соответствиях Галуа [3] с учетом предложения 4. Предложение доказано.

Предложение 6. Пусть Р е С(К, Ь), [Ь : Р] = 2Л, й е {0,... ,и]. Тогда существуют т,акие числа ¿1,..., € {1,..., п}, что Ь = Р(Л/сЩ,...,

Доказательство. По предложению 5 поле Р имеет вид р(Н) для некоторой подгруппы Н С ЕП порядка 2п-а. Рассматривая Н как векторное подпространство в ЕП, выберем в нем базис /1,..., ¡п-а и дополним его до базиса всего пространства Е^ элементами е^,..., е^, где е& — к-я строка единичной матрицы размера п х п (к = 1,... ,п). Заметим, что л/аек = л/ай- Поэтому Р =

..., А/а/—) и Ь = .., ^ • • • > т/Ч), откУДа слеДУет требуемое утвержде-

ние. Предложение доказано.

2. Градуировки куммерова квадратичного расширения.

Теорема 1. Пусть поле Ь градуировано по группе так, что Ье = К. Тогда, верны утверждения:

1) однородные элемент,ы, степени 2 в Ь лежат в КБ \ К;

2) если в Яирр(Ь) есть элемент к порядка, 4, то г е КБ \ К, Ь^ = Кг, Ь^ = К(1 + г)в для некоторого в е Б \ Кг;

3) 8ирр(Ь) = ЕП или Е4 ф ЕП-2, причем вт,орой случай возможен, если только г е КБ \ К и Б \ Кг = 0.

Доказательство. 1) Пусть г — однородный элемент в Ь степени 2. Тогда г / К и г2 е К,

поэтому К (г) = К ф Кг — расширение поля К степени 2. По предложению 5 это поле имеет вид

р(Н) для некоторой подгруппы Н в порядка 2, значит, К (г) = К ф К у/а1, где 0 ф к £ т.е. К (г) = К (в) для некоторого в е Б. Имеем г = а+Ьв, а,Ь е К,Ь = 0. Отсюда г2 = а2+Ь2в2+2аЬв е К, следовательно, аЬв = 0 (так как а2 + Ь2в2 е К, 2аЬв е Кв и К П Кв = 0), поэтому а = 0 (так как Ьв = 0). Итак, г = Ьв е Б.

2) Пусть г е Ь^. Тогд а г4 е Ь^4 = Ье = КиЬ 5 К ф Кг ф Кг2 ф Кг3 = К (г) — расширение поля К степени 4. По предложению 5 поле К (г) имеет вид р(Н) для некоторой подгруппы Н С ЕП порядка 4. Это значит, что существуют такие различные элементы в,Ь е Б \ К, что К (г) = К ф Квф КЬ ф КвЬ = К (в, Ь). В частности, г = а + Ьв + сЬ + йвЬ, где а, Ь,с,й е К. Следовательно, сопряженные

гК

г = г1 = а + Ьв + сЬ + йвЬ, г2 = а — Ьв + сЬ — йвЬ, г3 = а + Ьв — сЬ — йвЬ, г4 = а — Ьв — сЬ + йвЬ (1)

(так как сопряженные с г над К (в) равны а + Ьв ± (с + йв)Ь, а над К (Ь) они равны а + сЬ ± (Ь + (Ь)в). С другой стороны, минимальный многочлен элемента г над К равен х4 — г4, поэтому {г1, г2,гз,г4} = {±г, ±гг}. В частности, все четыре элемента (1) различны и их сумма 4а равна 0. Отсюда а = 0

Ь, с, (

что Ь = 0 и с = 0 (если, например, Ь = 0 и й = 0, то перейдем к элементам в = в, Ь = вЬ, тогда в'Ь' = в2Ь е КЬ). Поэтому среди элементов (1) только г4 может равняться —г = —Ьв — сЬ — йвЬ. Значит, й = 0 и с точностью до замены г на —г имеем

г = Ьв + сЬ, —гг = Ьв — сЬ гЬв + гсЬ = —Ьв + сЬ (1 — г)сЬ = (1 + г)Ьв сЬ = гЬв.

Отсюда получаем требуемые выводы: (а) г = (1 + г)Ьв; (Ь )г = ^еКБ\К-,

в гв К в Б \ Кг

Из п. (а) следует, что г е К, так как иначе г2 = 2гЬ2в2 е К. Итак, Ь^ = Кг = К(1 + г)в для некоторого в е Б \ Кг. Следовательно, Ь^2 = К(2г)в2 = Кг, в частности г / К.

3) По предложению 2 множество Яирр(Ь) является абелевой группой, а из предложения 3 следует, что |8ирр(Ь)| = 2П. Поэтому группа 8ирр(Ь) раскладывается в прямую сумму циклических 2-групп. Среди них может быть максимум одна группа порядка 4, так как из п. 2 следует, что к1 = К2 для любых элементов к1,к е 8ирр(Ь), имеющих порядок 4. Осталось показать, что группа Яирр(Ь) не имеет элемента порядка 8. Предположим, что д — такой элемент и Ьд = Кр, р е Ь. Тогда порядок элемента д2 равен 4 и то п. 2 имеем г / К та Ьд4 = Кг, поэтому двучлен х4 — р4 неприводим над полем К (г). Отображение р ^ гр продолжается до автоморфизма расширения К(р)/К(г) и далее до автоморизма расширения Ь/К(г). Порядок полученного автоморфизма не менее 4: р ^ гр ^ —р ^ —гр ^ р. В то же время Са1(Ь/К(г)) С Са1(Ь/К) = ЕП — противоречие. Теорема доказана.

Далее опишем все градуировки поля Ь по группам ЪП и Ъ4 Ф ЪП~2 ■ Нейтральный элемент в этих группах будем обозначать 0.

Теорема 2. Для любого упорядоченного базиса (г\,... ,тп) прост,ра,не тва ЪП над пол ем, Ъ2 существует единственная градуировка поля Ь по группе Ъ'П = {в\,..., еп}, такая, что

Ь0 = К, Ье.=Ку/ъ\ з = 1,...,п. (2)

Всякая градуировка поля Ь по груп пе Ъ'П, для, которой 8ирр(Ь) = Щ, описывается таким образом. Доказательство. Если на поле Ь задан а ЪП-градуирока, удовлетворяющая условиям (2), то

Ьд = лю50г0 д _ _ _ _ кп6п (к\,... ,кп £ Ъъ). (3)

Тем самым градуировка определена однозначно. С другой стороны, равенства (3) определяют градуировку, удовлетворяющую условию (2).

Пусть теперь на поле Ь задан а ЪП-градуировка, для которой Яирр(Ь) = ЪП- По предложению 3 имеем Ьо = 1, т.е. Ьо = К. По утверждению 1 теоремы 1 все однородные элементы в Ь лежат

в КБ. Поскольку множество КБ состоит из 2п классов пропорциональных над К элементов, то каждый из этих классов (вида Кв, в € Б) является множеством однородных элементов некоторой степени. В частности,

Ье.=Ку/з = 1

где т\,...,тп € ЪП. При этом элементы т\,...,тп должны образовывать базис в ЪП над Ъ2, иначе сумма аддитивных подгрупп (3) по всем д € ЪП не будет совпадать с полем Ь. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть п ^ 2, г € Кл/ар, где р <Е Щ\0. Тогда для, любого элемента а € Ъ^\ {0, р} и любого упорядоченного набора (т1,..., тп-2) элементов из Щ, дополняющего систему (р, а) до базиса в Щ, существует единственная градуировка поля Ь по группе Ъ4 ФЪп-2 = Ц}4 Ф(в1}2 Ф. ..Ф(в п- 2}2 такая, что

Ьо = К; (4)

Ь1 = К{ 1 + г)^] (5)

Ье.=Ку/?\ з = 1,... ,п — 2. (6)

Ь Ъ4 Ф Ъп-2, для, которой Яирр(Ь) = Ъ4 Ф Щ , описывается

таким образом,. В частности, такая градуировка существует в точности тогда, когда г € КБ \ К иБ\Кгф0.

Доказательство. Рассмотрим градуировку поля Р = К(г, л/аа) по группе Z4 = {0, /, 2/, 3/}:

Р0 = К, Р1 = К{1 + г)Л/аТ, Ру = Кг, Р3/ = К(1 - г)^[а ,

а также градуировку поля = К(КБ\{г, \[а7, %\[а7\) по группе Ъ^~2 = (е\,..., еп-2), определяемую условиями (6). Эти градуировки индуцируют градуировку композита Ь = Р^ ^адей Р и Q по группе С = Ъ4 Ф Ъ^2:

Ьд+н = РдQh, д € Ъ4,н € ъп-2,

и эта градуировка однозначно определяется равенствами (4)-(6).

Пусть теперь на поле Ь задана градуировка по группе С, для которой Яирр(Ь) = С. По предложению 3 имеем Ьо = 1, т.е. Ьо = К. По утверждению 2 теоремы 1 имеем Ьf = К(1 + г)в для некоторого в £ Б \ Кг. Пусть в £ КЛ/аа, а £ Ъ^. Тогда а ф 0, р, т.е. элементы рта линейно независимы над Ъ^. Далее по утверждению 1 теоремы 1 однородные элементы в Ь степеней в1,..., еп-2 лежат в КБ поэтому существуют такие элементы т1,... ,тп-2 € ЪП, что выполнены равенства (6). При этом

Ь = К (г, з) ® К(^Т1) <8) ... <8) К(^т"-2), поэтому элементы т1,..., тп-2 дополняют систему {р, а} до базиса в Ъ'П- Теорема доказана.

Следствие 1. Число градуировок поля Ь по группе С с условия ми Яирр(Ь) = С и Ье = К равно

'|СЬп(Ъ2)|, если С = ЪП;

(2П - 2)|СЬп-2(Ъ2)|, если С = Ъ4 Ф Ъп-2,г € Б, Б \ Кг = 0; 0 в остальных случаях.

С учетом предложения 6 получаем описание градуировок поля Ь, при которых К С Ье:

1) в качестве Ье может выступать любое промежуточное подполе Р € С(К,Ь)~,

2) для описания градуировок с условием Ье = Р, где Р € С(К, Ь), в обозначениях предложения 6 применяем теоремы 2 и 3 с Р вместо К и {а¿1,.. .,0гл} вместо {а\,ап}.

Следствие 2. Пусть поле Ь градуировано группой О так, что К С Ье. Тогда 8ирр(Ь) = Ъ\ или Ъ4 ФЪ-2 при некотором й €{0,... ,и}, причем, второй случай возможен, если только г € Ь\К иБ\Кгф0.

Пример. Опишем градуировки поля Ь = все компоненты которых ненулевые. По

следствию 2 это градуировки по группам {0}, %2, Ъ2 Ф Ъ^ и (случай О = {0} тривиален): О = Ъ2 О = Ъ2 Ф Ъ2 " О = Ъ4

Lo Li

QieQiV 2

Q(BQi

Q(BQiV2 Qv^eQi

L(0,o) L(1,0) L(0,l) L(i,i)

Q QV2 Qi QiV2

Q Qi QV2 QiV2

Q QV2 QiV2 Qi

Q QW2 QV2 Qi

Q Qi QiV2 Q\/2

Q QiV2 Qi Q\/2

Lo Li L2 L3

Q Q^ Qi Qfi

Q Q^ Qi Q^

Исследование второго автора поддержано грантом Московского центра фундаментальной и прикладной математики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Albu Т. Cogalois Theory// Pure and Appl. Math. CRC Press, 2003.

2. Nastasescu C., Van Oystaeyen F. Graded ring theory. Amsterdam, North-Holland, 2004.

3. Артин Э. Теория Галуа. M.: МЦНМО, 2008.

Поступила в редакцию 30.07.2021

УДК 511

КОЛИЧЕСТВО РАЗМЕТОК ГРАФОВ ДЕФИНИТНЫХ АВТОМАТОВ

Р. А. Ищенко1

В статье исследуется вопрос о количестве возможных разметок ребер ориентированного графа, при котором образованная диаграмма Мура соответствует некоторому дефинитному автомату. Доказано, что в случае сильносвязного графа автомата в алфавите из двух элементов такая разметка единственна. В случае алфавита из большего числа элементов показано, что максимальное количество разметок экспоненциально зависит от количества вершин.

Ключевые слова: дефинитные автоматы, диаграмма Мура, граф переходов, разметка графа автомата, структура графа автомата.

The issue concerning the number of possible labelings of directed graph's edges such that the resulting automation diagramm corresponds to a graph of a definite automaton is studied in the paper. It is proved that such a labeling is unique for a strongly-connected graph in an alphabet of two elements. In the case of an alphabet with a larger number of elements, the exponential dependence of the maximal number of labelings on the number of vertices is proved.

Key words: definite automata, automation diagramm, transition graph, labelings of automation graph, structure of automation graph.

1 Ищенко Роман Андреевич — асп. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ishchenko.romanlQgmail.com.

Ishchenko Rom,an Andreevich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Theory of Intelligent Systems.