CC BY
1Из сформулированной теоремы при р = п выводятся следующие версии критериев конформной параболичности многообразия в терминах конформно-эквивалентных метрик данного многообразия.
Многообразие Мп имеет, конформно-параболический тип тогда и только тогда, когда существует полная метрика д на многообразии, которая конформно-эквивалентна его исходной метрике и в которой объем, у(£) шара, ради уса, £ или площадь !3{Ь) сферы, радиуса, £ удовлетворяет соответствующему условию:
У® §(г)
ит -т- < оо , ит ---< оо ,
4—00 Ьп \ип~ t Г"11пга" 4
~ 1 ~ 1
причем какая-либо из функций (либо каждая из функций) или не убывает при
всех достаточно больших значениях
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кесельман В.М. Обобщенная емкость и связанные с ней критерии типа некомпактного риманова многообразия // Тез. докл. 5-й междунар. конф., посвященной 95-летию со дня рождения Л.Д. Кудрявцева. Москва, РУДН, 26-29 ноября 2018 г. М., 2018. 63-64.
2. Кесельман В.М. Понятие и критерии емкостного типа некомпактного риманова многообразия на основе обобщенной емкости // Математическая физика и компьютерное моделирование. ВолГУ. Волгоград. 2019. 22, № 2. 21-32.
3. Choquet G. Theory of capacities // Ann. Inst Fourier. 1954. 5. 131-295.
4. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.
5. Миклюков В.М. Геометрический анализ. Волгоград, 2007.
6. Зорин В.А., Кесельман В.М. О конформном типе риманова многообразия // Функц. анал. и его прил. 1996. 30, № 2. 40-55.
7. Альфорс Л. К теории поверхностей наложения // Успехи матем. наук. 1939. № 6. 222-250.
Поступила в редакцию 19.02.2021
УДК 510.6
БАЗОВЫЕ КАТЕГОРИАЛЬНЫЕ ГРАММАТИКИ С ОДНОЗНАЧНЫМ ПРИСВОЕНИЕМ ТИПОВ
М. Е. Вишникин1
Доказана незамкнутость класса базовых категориальных грамматик с однозначным присвоением типов относительно естественных языковых операций.
Ключевые слова: базовые категориальные грамматики с однозначным присвоением типов, иерархия Хомского, контекстно-свободные грамматики.
It is proved that unique typed basic categorial grammars are not closed under any natural language operations.
Key words: unique typed basic categorial grammers, Chomsky hierarchy, context-free languages.
Введение. Формальным языком называется произвольное множество слов (цепочек символов) над некоторым алфавитом Е. Формальные языки зачастую бывают бесконечными, но имеющими некоторую структуру, и для их конечного описания используются формальные грамматики. Одно из семейств формальных грамматик образуют категориальные грамматики.
1 Вишникин Максим Евгеньевич — студ. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: max.startjobQgmail.com.
Vishnikin Maksim Evgenievich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Logic and Algorithm Theory.
Понятие базовой категориальной грамматики восходит к работам К. Айдукевича (1934) [1] и И. Бар-Хиллела, Э. Шамира, X. Гайфмана (1953) [2]. В базовых категориальных грамматиках каждая буква алфавита сопоставляется нескольким типам (категориям), а слово принадлежит языку, если хотя бы для одного выбора этих типов выводима соответствующая секвенция, т.е. последовательность типов может быть преобразована к фиксированному целевому типу.
Известно, что любая контекстно-свободная грамматика эквивалентна некоторой базовой категориальной грамматике, более того, с определенными ограничениями на типы (форма Грейбах). Верно и обратное: любая базовая категориальная грамматика эквивалентна некоторой контекстно-свободной грамматике.
Расширением базовых категориальных грамматик являются грамматики Ламбека[3], где вводится дополнительная операция, а также расширяется набор правил для операции деления. Известно, что любая контекстно-свободная грамматика представима в виде грамматики Ламбека [4] и, более того, с однозначным присвоением типов [5], т.е. в виде грамматики Ламбека, в которой каждой букве алфавита сопоставлен ровно один тип.
Интересным свойством грамматик, входящих в иерархию Хомского (контекстно-свободных, автоматных), является замкнутость относительно естественных операций. Так, автоматные языки замкнуты относительно большинства естественных операций, а контекстно-свободные — относительно объединения, но не замкнуты относительно пересечения, а следовательно, и дополнения.
В отличие от грамматик Ламбека рассмотрение однозначного присвоения типов в базовых категориальных грамматиках дает существенно более узкий класс языков. Настоящая работа посвящена изучению свойств данного класса с точки зрения естественных операций. Оказывается, данный класс языков не замкнут относительно большинства естественных операций.
Основная часть. Терминология соответствует [6, 4].
Замечание. Отметим, что понятие базовой категориальной грамматики в настоящей работе понимается в узком смысле, а именно запрещены непримитивные результирующие типы, а также сложные вхождения типов в деления.
Определение. Пусть дано множество Рг примитивных типов. Определим BTp индуктивно:
Рг С BTp;
если A £ BTp и q € Рг, то (A/q) £ BTp и (q\A) £ BTp.
Определение. Базовая категориальная грамматика (БКГ) есть тройка G = (£,r,>), где £ — конечный алфавит, r £ Рг (r называется результирующим типом) и> — произвольное конечное бинарное соответствие > С £ х BTp, сопоставляющее каждой букве алфавита один или несколько синтаксических типов. Слово ai . ..an порождается БКГ G, если существуют такие типы Bi,..., Bn £ BTp, что для любого i ^ n выполняется ai > Bi и последовательность Bi,..., Bn может быть приве-r
A/q,q ^ Arn q,q\A ^ A.
Язык, задаваемый БКГ G, определяется как множество всех непустых слов ai. ..an в алфавите £,
G
Замечание. Отметим, что в БКГ никогда не выводится пустое слово.
Базовую категориальную грамматику будем называть базовой категориальной грамматикой с
a££
один тип A £ Tp, такой, что a> A.
Определение. Для A £ BTp определим числитель £(A) £ Рг и левый и правый знаменатели y>(A),^(A) £ Рг* индуктивно:
если A = p £ Рг, то £(A) = p, ^(A) = ф(A) = е (здесь и далее е означает пустое слово);
если A = q\B, то £(A) = £(B), p(A) = <p(B) q и ф(A) = ф(B);
если A = B/q, то l(A) = l(B), <p(A) = <p(B) и ф(A) = q^(B).
Определение. По данной БКГ G определим контекстно-свободную грамматику CF(G). Нетер-
Gr каждой пары (a, A) £ > введем контекстно-свободное правило £(A) ^ A) a^(A).
Теорема 1. Языки, порождаемые БКГ G и контекстно-свободной грамматикой CF(G), совпадают.
CF(G)
свободную грамматику MCF(G) следующим образом. В каждое правило вида p ^ qk ... q1as1... sm, где a £ £ и p,qi,...,qk ,si,..., sm £ Рг, добавим новые нетерминальные символы hi¿, i = 0,...,k,
j = 0,...,m. Заменим данное правило на следующее множество правил:
{p — hk,m} U {hi j — hi,j-iSj | i = 1, ...,k,j = 1,..., m} U
U {hi,j — qihi-i,j I i = 1,..., k,j = 1, ...,m} U {ho , 0 — a} .
Ясно, что L(MCF(G)) = L(CF(G)).
Чтобы доказать, что L(G) С L(MCF(G)), достаточно заметить, что любому правилу БКГ соответствует некоторое правило в MCF(G) с подходящими hi j. С другой стороны, L(CF(G)) С L(G), поскольку каждое правило CF(G) представляется в виде последовательности правил G.
Теорема доказана.
Введем понятие счетчика для БКГОПТ:
Определение. Пусть p,q Е ft, a A Е BTp. Положим
#р(р) = 1
#p(q) = 0, если p = q; #p(q\A) = #p(A) — #p(q)',
#p(A/q)=#p(A) — #p(q).
Для последовательности типов Ai... An положим #p(Ai... An) = #p(Ai) + .. .+#p(An); #p(e) = 0. Если не указана переменная, по которой ведется счет, положим #(A) = ^ #p(A). Для буквы
pePr
определим значение счетчика на этой букве как значение счетчика на типе этой буквы, для последовательности букв — как сумму значений счетчика на всех буквах данной последовательности.
Лемма 1. Если слово w Е L(G), где G — БКГОПТ, то (w) = 1 и #G(w) = 0, если p = r.
Доказательство. Достаточно заметить, что счетчики не меняются при преобразованиях из определения базовой категориальной грамматики, а в конце цепочки преобразований получается
r
" Лемма 2. Есл,и G - БКГОПТ и слово w Е L(G), то wk / L(G) Ук ^ 2.
Доказательство. Поскольку w Е L(G), имеем #G(w) = 1 по лемме 1. Но тогда #G(wk) = к ■ #G(w) = к = 1 откуда wk Е L(G). Лемма доказана.
Теорема 2. Если язык L задан БКГОПТ, то язык (Е+ — L) нельзя задать БКГОПТ.
Доказательство. Пусть слово w Е Е+. Тогда согласно лемме 2 имеем wn Е L. Таким образом, w2 Е (Е+ — L) и w4 = (w2)2 Е (Е+ — L). Значит, согласно лемме 2 язык (Е+ — L) нельзя задать БКГОПТ. Теорема доказана.
Лемма 3. Пусть язык L над алфавитом Е содержит слово wn, где n ^ 2 для некоторого слова w Е Е* (которое необязательно л ежит, в L). Тогда, яз ы,к L нельзя, задать БКГОПТ.
Доказательство. Предположим, что L = L(G), G — БКГОПТ. Рассмотрим #G(wn). С одной стороны, (wn) = n ■ #G(w), а с другой — (wn) = 1. Лемма доказана.
Теорема 3. Класс языков, задаваемых БКГОПТ, не замкнут, относительно произведения.
Доказательство. Рассмотрим язык L = {а}, заданный БКГОПТ с присвоением типов a>r. Тогда язык L ■ L = {а2} не задается БКГОПТ по лемме 3. Теорема доказана.
Теорема 4. Если язык L = 0; то язы,к L+ нельзя, задать БКГОПТ.
Доказательство. В языке L существует какое-то слово, таким образом, в L+ присутствует любая степень данного слова, а следовательно, по лемме 3 язык L+ нельзя задать БКГОПТ. Теорема доказана.
Теорема 5. Класс языков, задаваемых БКГОПТ, не замкнут, относительно объединения.
Доказательство. Пример: Li = {a} L2 = {ab}. Каждый из этих языков задается БКГОПТ: для Li — это a > r, а для L2 — a> r, b> (r\r). Предположим, что Li U L2 = {a,ab} = L(G) для некоторой БКГОПТ G. Тогда, поскольку a Е L(G), должно быть a > r и, поскольку ab Е L(G), должно быть b > r\r. Но тогда abb Е L(G) — противоречие. Теорема доказана.
Теорема 6. Класс языков, задаваемых БКГОПТ, не замкнут, относительно пересечения.
Доказательство. Пример: Li = {andbnecm | n,m ^ 0} L2 = {amdbnecn | n,m ^ 0}. Каждый язык задается своей БКГОПТ. Например, Li задается контекстно-свободной грамматикой со следующими правилами:
{r rc} U{r ^ rie} U {ri ariq} U{q ^ b}U {ri d} ,
нетрудно видеть, что указанная контекстно-свободная грамматика может быть переписана в виде БКГОПТ: a> (ri/q)/ri, b>q, c>r/r, d>ri, e> ri\r. Аналогично можно задать L2, но их пересечение
Li П L2 = {andbnecn | n ^ 0} ие контекстно-свободный язык, а значит, тем более не БКГОПТ. Теорема доказана.
Теорема 7. Пусть EiПЕ2 = буква, c ф Ei UЕ2; языки Li <Е L2 G Е2 порождены БКГОПТ Gi,G2, тогда язык L1cL2 можно породить БКГОПТ.
Доказательство. Достаточно положить о (ri\r)/r2, где ri,r — результирующие типы для Gi,G2 соответственно. Если примитивные типы bG^ G2 имеют непустое пересечение, то следует заранее переобозначить примитивные типы в одной из грамматик. Теорема доказана.
Автор приносит благодарность профессору М.Р. Пентусу и к.ф.м.н. С. Л. Кузнецову за внимание к работе и ценные замечания.
Исследование выполнено при поддержке Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета "Мозг, когнитивные системы, искусственный интеллект".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ajdukiewicz К. Die syntaktische Konnexität // Stud. Philos. 1935. 1. 1-27.
2. Bar-HUlel Y., Gaifman C., Shamir E. On categorical and phrase-structure grammars // Bull. Res. Council Israel. 1960. 9F. 155-166.
3. Lambek J. The mathematics of sentence structure // Amer. Math. Monthly. 1958. 65, N 3. 154-170.
4. Пентус М.Р. Исчисление Ламбека и формальные грамматики // Фунд. и прикл. матем. 1995. 1, № 3. 729-751.
5. Сафиуллин А.Н. Выводимость допустимых правил с простыми посылками в исчислении Ламбека // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 4. 72-76.
6. Пентус А.Е., Пентус М.Р. Теория формальных языков: Учеб. пособие. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2004.
Поступила в редакцию 02.06.2021
УДК 512.552
ГРАДУИРОВКИ КУММЕРОВЫХ КВАДРАТИЧНЫХ РАСШИРЕНИЙ
Д. А. Бадулин1, A. J1. Канунников2
В статье дано полное описание градуировок куммеровых квадратичных расширений по группе. Эти расширения допускают естественную градуировку по группе Галуа и ее подгруппам. Найдены необходимые и достаточные условия существования нетривиальных градуировок по другим группам.
Ключевые слова: градуированные кольца, расширения полей, группа Галуа.
We describe all gradings of quadratic kummer extensions by a group. These extensions have a natural grading by Galois group and its subgroups. We find criteria for such extensions to have non-trivial gradings by other groups.
Key words: graded rings, field extensions, Galois group.
Куммеровы расширения интересны тем, что допускают естественные градуировки, индуцированные их группами Галуа [1]. Мы опишем все градуировки куммеровых квадратичных расширений, в частности установим необходимые и достаточные условия, при которых всякая градуировка таких расширений индуцируется группой Галуа.
Пусть К — произвольное поле характеристики, отличной от 2; К — его алгебраическое замыкание. Для элемента а £ К через л/а £ К обозначим любой корень двучлена х2 — а. Через г £ К
1 Бадулин Дмитрий Алексеевич — студ. 2-го курса мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: badulindQbk.ru.
2Канунников Андрей Леонидович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ; ст. науч. сотр. Моск. центра фунд. и прикл. матем., e-mail: andrew.kanunnikovQgmail.com.
Badulin Dmitri Alekseevich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics.
Kanunnikov Andrei Leonidovich — Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Higher Algebra; Scientific Researcher of Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics MSU.
