CC BY
7Отсюда ввиду (5) имеем
f р|2d(dn < 2^+4 №КMo2к-)| d(dn <
и=-ж Jr2 j=l N .. .. N Г
48C6^ / leil^ij |2 dW $ (u0j )| dn < / |£n||fi;1211412 d£dn.
j= J R JR j~\J R2
Подобным образом можно рассмотреть остальные два случая:
Фз = Wo- Ulj }N=i и ф4 = {fo- u0j }N=i.
Следовательно, теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lieb E, Thirring W. Inequalities for the moments of the eigenvalues of the Schrodinger Hamiltonian and their relation to Sobolev inequalities // Stud. Math. Phys., Essays in Honor of Valentine Bargmann, Princeton: Princeton Univ. Press, 1976. 269-303.
2. Кашин Б.С. Об одном классе неравенств для ортонормированных систем // Матем. заметки. 2006 80, № 2. 204-208.
3. Асташкин О.В. Неравенство Либа-Тирринга для L^-норм // Матем. заметки. 2007. 82, № 4. 163-169.
4. Барсегян Д.С. О неравенствах типа Либа-Тирринга // Матем. заметки. 2007. 82, № 4. 504-514.
5. Барсегян Д.С. О возможности усиления неравенства Либа-Тирринга // Матем. заметки. 2009. 86, № 6. 803-818.
6. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. M.: АФЦ, 1999.
7. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.
Поступила в редакцию 01.03.2010
УДК 510.649
О ДЛИНЕ СОВМЕЩАЮЩЕГО ТИПА В ИСЧИСЛЕНИИ ЛАМБЕКА
А. А. Сорокин1
В 1992 г. М. Р. Пентусом был установлен критерий существования такого типа C, что для данных типов A и B секвенции A ^ C и B ^ C являются выводимыми в исчислении Ламбека. В настоящей статье предлагается алгоритм построения типа C (в случае, если он существует) и доказывается квадратичная верхняя оценка его длины.
Ключевые слова: исчисление Ламбека, интерпретация в свободной группе, совместимость, совмещающий тип.
In 1992, M. Pentus established a criterion for the existence of a type C such that for given types A and B the sequents A ^ C and B ^ C are derivable in the Lambek calculus. In this paper we give an algorithm for construction of such a type C (provided it exists) and prove a quadratic upper bound for its length.
Key words: Lambek calculus, free group interpretation, conjoinability, join.
1. Исчисление Ламбека было введено в статье [1] для моделирования синтаксической структуры предложения. Типы исчисления Ламбека строятся следующим образом. Назовем примитивными типами элементы множества Pr = {'Pi,'Po,...}. Тогда множество Tp типов исчисления Ламбека есть наименьшее
1 Сорокин Алексей Андреевич — студ. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail:
alexey.sorokin@list.ru.
по включению множество, удовлетворяющее следующим условиям: Рг С Тр и для всех типов А и В из Тр элементы (А • В), (В\А) и (А/В) также принадлежат Тр. Внешние скобки в записи типа мы будем опускать. Определим длину типа ¿(А) как число вхождений примитивных типов. Элементы Тр будем обозначать большими латинскими буквами А, В, С,..., а последовательности типов — большими греческими буквами П , Г , А ,.... Выражения вида Г ^ А, где последовательность Г непуста, называются секвенциями исчисления Ламбека. Исчисление Ламбека имеет единственную аксиому А ^ А. Правила исчисления Ламбека таковы:
АП ^ В . . . ПА ^ В , .. ГАВА ^ С . .
гН\)> тт . Р/Л-»/). т./, ри—-?;(->•)>
П — A\B П — BfA' Г(А • B)A — C
11->АГВА->С И->АТВА->С Г^АД^В
ТЩА\В)А —>■ С T(B/A)UA С ГА —>■ А • В ^
тг . п — B ГВА — C В исчислении Ламбека допустимы правило сечения -рдд-(j- и пРавило подстановки.
Будем писать L Ь Г — A, если секвенция Г — A выводима в исчислении Ламбека.
Для каждого типа A определим двойственный ему тип dual(A): dual(pi) = pi, dual(AfB) = dual(B)\Pdual(A), dual(B\A) = dual(A)fdual(B), dual(B • A) = dual(A) • dual(B). Индукцией по выводу легко доказать, что выводимости секвенций A — B и dual(A) — dual(B) равносильны.
Будем писать A ^ B и говорить, что типы A и B эквивалентны, если L Ь A — B и L Ь B — A. В дальнейшем мы будем использовать следующие эквивалентности: Af(B • C) ^ (AfC)fB, (C\A)fB ^ C\(AfB) и (A • B) • C ^ A • (B • C). Это позволит нам опускать скобки в выражениях вида A • B • C и C\AfB.
В приложениях часто возникает вопрос построения такого типа C, что в исчислении Ламбека выводимы секвенции A — C и B — C и оценки его длины (лингвистическая мотивация рассматривается в [2]). Критерий существования такого типа доказан в [3], там же предложен алгоритм его построения для коммутативного исчисления Ламбека. Для неассоциативного варианта исчисления Ламбека эта проблема решена в [4]. Автору неизвестны какие-либо результаты для исчисления L. В данной работе предлагается алгоритм построения типа C для исчисления L и доказывается квадратичная верхняя оценка его длины.
2. Пусть фиксировано множество примитивных типов Pr = {pi ,p2,...}. Построим свободную группу FG с нейтральным элементом е, порожденную элементами Pr, и определим для каждого типа A исчисления Ламбека его интерпретацию в свободной группе [A]:
[Pi] = Pi, [AfB] = [A][B]"1, [B\A] = [B]"1[A], [A • B] = [A][B].
Для каждого типа A определим типы A и A-:
Pi = Pi, Pi- = Pi\PifPi, A^B = A• B, A^B- = B- • A-, A/B = a• B-,
Ä/B- = B • Ä-, B\A = Bi- • Ä, B\A- = l- • B.
Заметим, что [A] = [A] и [A-] = [A]-1.
Пример 1. Пусть A = (p4\p1)/(p2/p3). Тогда
[A] = P-1 о P1 о P3 о p-1, A = (P4\P4/p4) • P1 • P3 • (P2\P2/P2).
Пример 2. Пусть A = p1/(p2 • (p2\p3)). Тогда
[A] = P1 о p-1, T([A]) = p1 • (P3\P3/P3), A = p1 • (p3\p3/P3) • P2 • (P2WP2).
Будем писать A ~ B, если выполняется одно из следующих условий: (a) 3C(L Ь A — C А L Ь B — C) или (b) EID(L Ь D — AAL Ь D — B). Такие типы будем называть совместимыми, а тип C — совмещающим для типов A и B. Следующая лемма была доказана в работах [1] и [3].
Лемма 1. Условия (а) и (b) равносильны.
Доказательство. (а) — (b). Достаточно положить D = (A/C) • C • (C\B).
(b) — (а). Достаточно положить C = (D/A)\D/(B\D).
Из леммы легко следует, что ~ является отношением эквивалентности. Также в [3] было доказано, что равносильны следующие условия: Л ~ Б и [Л] = [Б].
Для каждого несократимого слова д = е € ЕС определим тип Т(д):
Т(рг) = Рг, Т(р-1) = рг\рг/рг, Тдд2) = Т(д1) • Т(д2).
В случае, если д = е, положим Т(д) = ц/ц, где ц — новый примитивный тип. Нетрудно показать, что для любого типа Л типы Л, Л и Т([Л]) совместимы. По индукции можно также показать, что 1(Т([Л])) ^
¡(А) < 31(Л).
Пример 3. Пусть Л = р1/(р2 • (р2\рз)). Тогда Т([Л]) = рх • (рз\рз/рз).
3. В данной работе для произвольных совместимых типов А и Б строится новый тип С, такой, что Ь Ь Л — С и Ь Ь Б — С, и оценивается его длина. Построение будет осуществляться по схеме, указанной на рисунке (заметим, что Т([Л]) = Т([Б])). На схеме типы Тх и Т2 соединены стрелкой, если Ь Ь Тх — Т2. В силу транзитивности выводимости тип С будет совмещающим для типов Л и Б. Опишем поэтапно его построение, на каждом шаге оценивая длину получающихся типов. Построим тип А, такой, что Ь Ь А —А и Ь Ь А —А. Докажем сначала вспомогательное утверждение. Утверждение 1. Для каждого типа Т найдется такой тип Т', что Ь Ь Т' — Т, ¡(Т') = ¡(Т) и Т' = их •... • ит, где каждый из типов иг имеет вид иг = Лг/Бг, иг = Лг\р^, иг = р^/Бг или иг = р^ для некоторых Лг, Бг,р.
Доказательство. Индукция по размеру типа. База Т = 'рг тривиальна. Пусть Т = Тх • Т2, тогда положим Т' = Т1 • Т2, где Т1 ,Т2 — искомые типы для Тх и Т2 соответственно. Теперь пусть Т = Тх/Т2. Пусть Т[ — искомый тип для Тх. Рассмотрим сначала случай ит = Лт\р^гп /Бт и положим
Т' = и[ • ... • ит-х • (Лт\р3т/(Т2 • Бт)).
В остальных случаях построение аналогично (тип ит берется эквивалентным и'т/Т2). Утверждение полностью доказано.
Теперь опишем алгоритм построения типа А, на каждом шаге оценивая его длину. Лемма 2. Найдется такой тит. А, что Ь А ^ А,Ь А ^ А и 1(А) ^ 112(А) + 1(А). Доказательство. Доказательство будем вести индукцией по длине А. В случае А = Рг положим А = Рг. Утверждение леммы выполняется.
На шаге индукции разберем несколько случаев: Л = Б • С, Л = Б/рг, Л = Б/(С/О), Л = Б/(О\С), Л = рг\Б, Л = (О\С)\Б, Л = (С/О)\Б. В силу отмеченных в п. 1 эквивалентностей остальные случаи сводятся к указанным, а ввиду двойственности достаточно разобрать только первые четыре из них. Кроме того, на основании утверждения 1 третий и четвертый случаи сводятся к следующим трем: Л = Б/(Е\рг/Б),Л = Б/(Е\рг),Л = Б/(рг/Б). Разберем для примера случай Л = Б/(С/О). Применив утверждение 1 к типу С, получим некоторый тип С' = и • ... • ит. В случае т = 1 тип Л уже имеет требуемый вид, иначе положим Л' = (Б/(и2 • ... • ит^О^/их (Л' имеет требуемый вид) и будем искать тип А'. Заметим, что Ь Ь А —А', тогда по правилу сечения Ь Ь А —А1 и можно взять А = А1 . Переходим к разбору случаев:
1) А = В ■ С. По построению А <->■ В -С. Положим А = В -С, тогда 1(А) = 1(В) + 1(С) < (1'2(В) + 12(С))/2 + 1(В)+1(С) <12(А)(2 + 1(А)-
2) А = В/Рг. Тогда А^ В ■ (Рг\Рг/'Рг)• ПОЛОЖИМ А = (р^/в)\рг/рг]
3) А = В/(Е\рг/0). Заметим, что А <-»■ В-0-(рг\Рг/рг)-Е. Положим Л = {рг/(В-1)))\рг/{(Ё\рг/0)-0).
Имеем 1{А) = 1{В) + ¿(25) + 1{Ё) + 2 /(£>) + 3 < \{Р{В) + 12(0) + + 21{Б) + /(Б) + /(£>) + 1{Е) + 3 < 1(/2(Б) + + + 2 (1(В) + + 1) ВД) + /(Л) + 2 < \{Г2{В) + /2(Д) + /2(Д) + 2 (1(В) + /(£) + 1) 1{Б) + 2 (¿(Б) + 1{Е))) + ¿(Л) ^ + 1(А). Искомая оценка доказана;
4) А = В/(Е\рг). Заметим, что А В ■ (Рг\Рг/Рг) ■ Е. Положим А = (Рг/В)\рг/(Е\рг). Оценка доказывается аналогично;
5) А = В/(Рг/0). Заметим, что А В ■ И ~Рг\Рг/Рг- Положим А = (Рг/(В ■ 0))\рг/((Рг/О) ■ И). В случае 1{В) ^ 2 оценка доказывается аналогично п. 3 леммы 2. В противном случае можно считать В = В = р^, тогда 1{А) = 1ф) + 21{Б) + 4 < + 31{Б) + 4 = + 2)2 + /(£>) + 2 = \Р{А) + 1(А). Искомая оценка получена, и лемма полностью доказана.
Теперь оценим длины типов Та и Тв. Это можно сделать, пользуясь следующей леммой.
Лемма 3. Пусть V £ Tp, Е £ Tp, [Е] = е. Тогда найдутся такие типы Т', Т", что
a) Ь Ь (V • Е) — Т' Л Ь Ь V — Т' Л ¡(Т') < 2¡(Е) + ¡(V);
b) Ь Ь (Е • V) — Т'' Л Ь Ь V — Т'' Л 1(Т'') < 21(Е) + ¡(V).
Доказательство. Доказательство будем вести индукцией по длине Е. На каждом шаге достаточно доказать только п. а, п. Ъ доказывается по двойственности. База индукции: ¡(Е) = 2, тогда с точностью до переименования переменных возможны два случая: Е = р • (р\р/р) и Е = (р\р/р) • р. В первом случае положим Т' = (V • р)/р, во втором положим Т' = (p/V)\р.
Докажем лемму в случае, когда Е не представляется в виде произведения Е1 • V, такого, что [Е1 ] = е и [Е2] = е. Действительно, если такое представление возможно, применим утверждение леммы сначала для типов V и Е1, а потом для полученного типа Т' и типа Е2, что даст утверждение леммы в общем случае.
Пусть ¡(Е) = 2 п, тогда с точностью до переименования переменных возможны два случая:
Е = р • Еп-1 • (р\р/р) и Е = (р\р/р) • Еп-1 • р, где Еп-1 — тип длины 2 п — 2. По предположению индукции существуют типы Т'п_ 1 и ТЦ_ 1, такие, что Ь Ь р • Еп-1 — Т'п_ 1, Ь Ь р — Т'п_ 1, Ь Ь Еп-1 • р — Т"_ 1, Ь Ь р — т 1.
В первом случае положим Т' = (р/(V • 1))\р/р, во втором положим Т' = (p/V)\р/(Т"_ 1 \р). Получим, что ¡(Т') = 3 + ¡(Т'-1) + ¡(V) < 4 + 2 ¡(Еп-1) + ¡(V) = ¡(Еп) + ¡(V). Лемма доказана.
Лемма 4. Для любого типа А найдется тип Та, такой, что Ь Ь А — Та, Ь Ь Т([А]) — Та и ¡(Та) < ¡(А).
Доказательство. Разберем два случая.
Случай 1: [А] = е. Пусть [А] = д1 о ... о дк, где каждый элемент д^ является либо порождающим элементом ЕС, либо обратным к нему. Тогда Т([А]) = Т(д1) • ... • Т(д/). Найдутся типы Vo,. ..,Vk, такие, что Уj[Vj] = е и А = Vo • Т(д1) • Vl • Т(д2) •... • Т(д/) • V/ (какие-то из Vo, ...,11/ могут отсутствовать) и для некоторых типов Vj выполняется, что Уj Vj = Vj. Применив сначала п. а леммы 3 к типам Т(д1) и Vo, получим некоторый тип Шо, такой, что Ь Ь Т(д1) — Шо, Ь Ь Vo • Т(д1) — Шо и ¡(Шо) ^ 2 ¡(Уо) + ¡(Т(д1)). Далее, применив п. Ъ леммы 3 к типам Шо и V!, получим тип такой, что Ь Ь Шо — (а значит, по правилу сечения Ь Ь Т(д1) — Ш{), Ь Ь Шо • Vl — Ш1 и ¡(Ш{) ^ ¡(Шо) + 2 ¡(У1). Также для каждого j € [2,к], применив п. Ъ леммы 3 к типам Т(gj) и Vj, получим тип Wj, такой, что Ь Ь Т(gj) — Wj, Ь Ь Т(gj) • Vj — Wj и ¡(Wj) ^ ¡(Т(gj)) + 2¡(у). В качестве Та возьмем Ш1 • ... • Wj. Несколько раз применив правила • — и — •, убедимся в том, что Ь Ь А — Та и Ь Ь Т([А]) — Та.
Оценим длину типа Та: ¡(Та) = Е ¡Ш) < Е ¡(Т(д*)) + 2 £ ¡У) = ¡(Т([А])) +2 • £ ¡(У;). Заметим,
_ 1=1 г=1 г=о г=о
что это в точности ¡(А).
Случай 2: [А] = е. Применив лемму 3 к типам А и д, получим тип Т', такой, что Ь Ьд — Т', Ь Ь А • д — Т' и ¡(Т') < 2 ¡(А) + 1. Положим Т = Т'/д. Нетрудно видеть, что Т удовлетворяет всем условиям леммы.
Пример 4. Пусть А = (р/р2) • (рз/(р2\рз)) • р4 • рб)/рб. Тогда [А] = р1 о р4, Vl = (р2\р2р) • рз • (рз\р3/рз) • р2, V2 = р5 • (р5\рб/рб), А* = р1 • Vl • р4 • V2.
Теперь, пользуясь конструкцией из доказательства леммы 1, положим А = (А/А)\А/(Тд\А), В = (В/В)\В/(Тв\В) и оценим длину построенных типов.
Лемма 5. Справедливо неравенство 1(А) ^ ^¿2(А) + 13¿(А).
Доказательство. По построению 1{А) = 1{А) +1(Тд) +3/(А). По лемме 2 имеем 1{А) ^ ^¿2(А) +1(А), а согласно лемме 4, 1{ТА) ^ 1(А), тогда 1{А) ^ \12{А) + 1{А) +41{А). Поскольку 1{А) ^ 3¿(А), то ¿(А) ^ ±/2(А) + ¿(А) +4-3 ¿(А) = \12{А) + 13 ¿(А). Лемма доказана.
Теорема. Пусть для типов А и В исчисления Ламбека существует тип С, такой, что Ь Ь А — С и Ь Ь В —С. Тогда можно выбрать тип С таким образом,, что 1{С) ^ ^(¿2(А) + 12{В)) + 13 (¿(А) + ¡(В)) + 9 тт^А),^)).
Доказательство. Положим С = (Т([А])/А)\Т([А])/(В\Т([А])). Из доказательства леммы 1, а также из свойств типов А,В,Т([А]) следует выводимость секвенций А — С и В — С. Теперь оценим длину построенного типа.
По построению ¡(С) = ¡(А)+г(В)+3 ¡Т([А]). Поскольку Т([А]) = Т([В]), то ¡(Т([А])) ^ 3 тт^А), ¡(В)), а по лемме 5 имеем 1(А) ^ \12(А) + 131(А), 1(В) ^ \12(В) + 131(В). Отсюда следует, что 1(С) ^
\(l2(A) + 12(В)) + 9min(1(A), 1(B)) + 13 (1(A) + 1(B)). Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ламбек И. Математическое исследование структуры предложения // Математическая лингвистика: Сб. пер. / Под ред. Ю. А. Шрейдера и др. М.: Мир, 1964. 47-68.
2. Foret A. Conjoinability and unification in Lambek categorial grammars // New Perspectives in Logic and Formal Linguisitics: Proc. V Roma Workshop. Roma: Bulzoni, 2001.
3. Pentus M. Equivalent types in Lambek calculus and linear logic. Препринт № 2 Матем. ин-та РАН, отдел матем. логики. М., 1992.
4. Foret A. On the computation of joins for non-associative Lambek categorial grammars // Proc. 17th Int. Workshop on Unification. Valencia, Spain, June 8-9, 2003. Valencia, 2003.
Поступила в редакцию 28.04.2010
УДК 511.331.1+517.588
КРАТНЫЕ ДЗЕТА-ЗНАЧЕНИЯ Е. А. Уланский1
В статье предлагается более широкое определение кратных дзета-значений. Доказывается сохранение всех свойств, известных для кратных дзета-значений в смысле их классического определения.
Ключевые слова: кратные дзета-значения, обобщенные полилогарифмы, шаффл-про-изведение, стаффл-произведение.
The definition of multiple zeta values is extended in the paper. The preservation of the main properties known for multiple zeta values in the sense of their classic definition is proved.
Key words: multiple zeta values, generalized polylogarithms, shuffle, stuffle.
Со времен Эйлера не угасает интерес к исследованию свойств дзета-значений, т.е. значений в целых точках дзета-функции Римана
те n=1
В настоящее время исследуются два обобщения дзета-функции:
C(Sl ,S2,...,Sl)= „^„J st, (1)
/¿1 /¿2 ♦ ♦ ♦ //
n±>n 2>...>n l^l
C(si,s2,...,Sl)= £ --Щ. (2)
п,1 п22 ...п. 1 2 1
Числа в1,...,81 в рамках настоящей работы будут натуральными, причем $1 ^ 2, что необходимо для сходимости рядов (1), (2), суммы которых называются кратными дзета-значениями (в случае сумм (2) — нестрогими кратными дзета-значениями).
1 Уланский Евгений Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail:
ulanskiy@mail.ru.
