CC BY
2УДК 511
ВЛОЖЕНИЕ АТОМАРНОЙ ТЕОРИИ ПОДМНОЖЕСТВ
СВОБОДНЫХ ПОЛУГРУПП В АТОМАРНУЮ ТЕОРИЮ ПОДМНОЖЕСТВ СВОБОДНЫХ МОНОИДОВ
Б. О. Константиновский1, Ф.Д. Холодилов2
В работе рассматриваются атомарные формулы, составленные из предикатного символа С и двухместных функциональных символов \, /, U, П. На множестве всех подмножеств свободной полугруппы выражение X/Y обозначает множество, состоящее из элементов, которые при умножении справа на любой элемент множества Y дают элемент
X Y\X
каждая атомарная формула, истинная при всех интерпретациях на множестве подмножеств свободной полугруппы, истинна также при всех интерпретациях на множестве подмножеств свободного моноида.
Ключевые слова: исчисление Ламбека, модели исчисления Ламбека, языковые модели, свободная полугруппа, свободный моноид.
С
\ / U П X Y X/Y denotes the set consisting of elements whose product with any element of Y ( multiplying on the right) belongs to X. Similarly, one defines Y\X (multiplying on the left). We prove that every atomic formula that is true in every free semigroup powerset interpretation is also true in every free monoid powerset interpretation.
Key words: Lambek calculus, Lambek calculus models, language models, free semigroup, free monoid.
Свободные полугруппы оказываются важными объектами при работе с исчислением Ламбека, представленным в статье [1], в разных его вариациях. Доказываемое в настоящей работе утверждение позволяет предполагать наличие в конкретной модели исчисления Ламбека пустого слова, что может быть полезным при изучении некоторых закономерностей исчисления Ламбека.
Обозначим через X+ множество всех непустых слов, состоящих из букв множества X. Через X* обозначим множество всех слов из букв X, включ ая е — пустое слово. Вместе со — операцией конкатенации (склеивания) — X+ и X* образуют соответственно свободную полугруппу и свободный
о
Для подмножеств X и Y множества X* свободного моноида {X*, о) можно определить операции умножения, левого деления и правого деления следующим образом:
X о Y = {а о в| а е X,e е Y}, Y\X = {y е Х*^в е Ye О y е X}, X/Y = {y е X*ive е Y y о в е X}.
Для подмножеств X и Y множест ва X+ свободной полугр уппы {X+, о) операции умножения, левого деления и правого деления определяются аналогично:
X о+ Y = {а о вI а е X,e е Y}, Y\+X = {y е X+IV e е Ye о y е X}, X/+Y = {y е X+IVe е Y y о в е X}.
1 Константиновский Борис Олегович — студ. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kotstantinovskiyQgmail.com.
2Холодилов Филипп Дмитриевич — студ. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: f.kholodilovQgmail.com.
Konstantinovskiy Boris Olegovich Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Logic and Theory of Algorithms.
Kholodilov Filipp Dmitrievich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Logic and Theory of Algorithms.
Пример. Пусть а,Ь € Т, X = {а,аЬ}, У = {а}. Если рассматривать X и У как подмножества свободной полугруппы (£+, о), то У\+X = {Ь}. Если же как подмножества свободного моноида (Т*, о), то У\Х = {е,Ь}.
Замечание. Пусть Х,У С Т+. Результат применения к этим подмножествам умножения не зависит от того, рассматриваем мы X и У как подмножества свободной полугруппы (Т+, о) или же как свободного моноида (Т*, о). Поэтому в дальнейшем операцию о+ будем обозначать через о.
Теперь для делений можно дать эквивалентное определение:
У ^ = {^ € Т*| У о {} С X}, X/У = {^ € Т*| {7 }оУ С X}, У\+X = {7 € Т+| У о {} С X} X/ +У = {^ € Е+| {}оУ С X}.
Счетное множество примитивных типов {р1,р2, ■ ■■} будем обозначать через Рг. Множество типов Тр определим по индукции:
если р € Рг, то р € Тр;
если А, В € Тр, то (А\В) € Тр (А/В) € Тр (А и В) € Тр (А П В) € Тр.
Формулой в сигнатуре (\,/,и, П) называется фор мула А ^ В, где А и В являются типами.
Моделью на свободном моноиде в сигнатуре (\,/,и, П) назовем упорядоченную пару (Т*^), где Т — не более чем счетный алфавит, а w — это отображение из Тр в V(Т*) — множество всех подмножеств Т*, удовлетворяющее следующим условиям:
w(B\А) = w(B)\-ш(А), -и)(А/В) = -ш(А)/-ш(В), ■ш(А и В) = w(A) и w(B), w(A П В) = w(A) П w(B).
Моделью на свободной полугруппе в сигнатуре (\, /, и, П) назовем упорядоченную пару (Т+, w),
где Т — не более чем счетный алфавит, а w — это отображение из Тр в V(Т+) — множество всех Т+
w(B\А) = w(B)\+w(A), w(A/B) = w(A)/+w(B), w(A и В) = w(A) и w(B), w(A П В) = w(A) П w(B).
Замечание. Из определения отображения w видно, что оно полностью задается своими значениями на примитивных типах.
Далее для краткости будем говорить "модель на свободной полугруппе" или "модель на свободном моноиде", опуская "в сигнатуре (\,/,и, П)".
Формула В ^ А называется истинной относительно модели (Т+^) ((Т*^)), если w(B) С w(A).
Пусть алфавит Т не содержит буквы е. Обозначим через Те алфавит Т и {е}.
Рассмотрим стирающее отображение относительно буквы е из Т+ в Т*, переводящее все слова,
ее так: стирающим отображением назовем отображение К : Т+ ^ Т*, такое, что
К(е) = е;
если a € Те и a = е , то К(a) = а;
К(аа) = К(а) о К(а) для а € Те и а € Т+.
Пополнением языка ЛС Т* назовем язык Л' = {а € Т+ 1К(а) € Л}.
Пополнением отображения w : Тр ^ V(Т*) назовем отображение ^ : Тр ^ V(Т+), заданное равенством ^(С) = С))'.
а | а|
значим длину слова а, т.е. число букв в этом слове, через ащ — букву с порядковым номером г в слове а при 1 ^ г ^ |а|.
Пример. Пусть а = ааЬа. Тогда |а| = 4, ащ = а, а[3] = Ь, а[4] = а.
Лемма. Если (Т*^) — модель на свободном моноиде, то (Т+) — модель на свободной полугруппе.
Доказательство. Индукция по построению формулы. Нужно показать, что ^(А/В) = ^(А)/+^(В) при условии w(A/B) = w(A)/w(B),
т.е. необходимо получить равенство (w(A)/w(B))' = А))'/+^(В))'■
Покажем сначала, что (w(A)/w(B))' о В))' С ^(А))'. Заметим, что
^(Б))' = {ег°7[1]еп ■ ■ ■ ^[к\е%к Ъ € w(D) : |7| = к, г0 ^ 0,---, гк ^ 0 и если к = 0, то г0 > 0}.
Пусть 7 = ег07[1]вг1 ...^[к]егк е (,ш(А)/'ш(В))' и в = е?°в\1]е^1 ■■■вще^ е В))', где 7 е (■и)(А)/и)(В)) и в е ь)(В).
Значит, 7 о в е эд(А), поэтому 7 о в = ег0^\\\ег1 ■ ■ .7[к]егк в[1]е^1 .. . вще^1 е ('ш(А))'. Так, мы доказали включение (w(A)/w(B))' С ■т'(А)/+и>'(В).
Осталось доказать включение w'(A)/+w'(B) С (w(A)/w(B))'. Для этого покажем, что если
7 = е и 5 е (w(A)/w(B))', то 5 о В))' С А))'. Условие 5 = е корректно, поскольку в левой части доказываемого включения деление понимается как деление в свободной полугруппе, а значит, е е w'(A)/+^(В). Если 5 = ег05[[1]ег1 ...5[к]егк е (w(A)/w(B))', то 5 е w(A)/w(B) (заметим, что 5 уже может быть пустым словом). То есть существует такое слово в е w(B), что 5 о в / w(A). Тогда, например, 3 ■= ев е В))', но при этом 5 о ре ^(А))'. Таким образом, получили требуемое равенство.
Для случая А\В проводятся ровно такие же рассуждения. Теперь рассмотрим случай А и В. Из серии равенств получаем требуемое:
w'(A и В) = А и В))' = А) и w(B))' = А))' и ИВ))' = ^(А) и w'(B).
Случай А П В разбирается аналогично предыдущему. Лемма доказана.
Теорема. Если формула истинна относительно всех моделей на свободных полугруппах в сигнатуре (\,/,и, П) на счетных алфавитах, то она истинна и относительно всех моделей на свободных моноидах в сигнатуре (\,/,и, П) на счетных алфавитах.
Доказательство. Пусть формула Е ^ Q истинна относительно моделей на свободных полугруппах в сигнатуре (\,/,и, П). Покажем ее истинность относительно моделей на свободных моноидах. Пусть (Т*^} — модель на свободном моноиде в сигнатуре (\,/,и, П), £ = {а1,а2,...}, Те = {е, а1, а2,...}. Используя изложенный выше способ, по модели (Т* построим пару (Т+ В силу доказанной леммы эта пара является моделью на свободной полугруппе. Из истинности Е ^ ^ ^^ ^^^^^^^^^^ ^^^^руппах следует, что w'(E) С Тогда по построению w' имеем
Е))' = w'(E) С w'(Q) = ^^^^ Пусть а е w(E). Слово еа лежит в ^(Е))', а значит, и в ^■ Но тогда, поскольку слово а свободно от буквы е, получаем а е w(Q). В силу свободы выбора а е w(E) имеем включение w(E) С w(Q), т.е. формула Е ^ Q истинна относительно модели (Т*^}. Исходя из произвольности (Т*^}, имеем истинность формулы Е ^ Q относительно всех моделей на свободных моноидах.
Замечание. На самом деле из доказательства теоремы видно, что в условии можно заменить класс счетных алфавитов на класс всех алфавитов, или даже на класс всех конечных алфавитов, или любой другой класс алфавитов, замкнутый относительно операции добавления буквы.
Замечание. Аналогичный результат для случая с делениями и пересечением получен в работе [2] В. Бушковского о полноте соответствующих фрагментов исчисления Ламбека и его варианта, допускающего пустые антецеденты.
Следствие. Если формула истинна относительно всех моделей на свободной полугруппе двух-буквенного алфавита, в сигнатуре (\,/,и, П), то она истинна и относительно всех моделей на свободном моноиде двухбуквенного алфавит,а в той же сигнатуре.
Доказательство. Достаточно показать, что условие истинности формулы относительно всех моделей на свободной полугруппе (свободном моноиде) двухбуквенного алфавита равносильно условию истинности этой формулы относительно всех моделей на свободных полугруппах (свободных моноидах) на счетных алфавитах. Применим метод, который использовал в своей работе [3] М. Р. Пен-тус, а именно построим гомоморфизм ф из свободной полугруппы на счетном алфавите Т = {а1, а2,... } в свободную полугруппу на алфавите Ф = {а, Ь}. Зададим ф на буквах алфавита Т следующим образом: ф(аг) = аЬга. Рекурсивно определим ф на словах в алфавите Т: для а = в7 положим ф(а) = ф(в)ф(^). Это определение корректно, причем полученный гомоморфизм ф инъективен. Пусть (Т+— модель на свободной полугруппе (Т+, о}. Тогда (Ф+,ь}, где V = ф о w, — модель на свободной полугруппе (Ф+, о}, причем истинность формулы относительно модели (Т+^} равносильна истинности этой формулы относительно модели (Ф+^}. Таким образом, доказано, что из истинности формулы относительно всех моделей на свободной полугруппе двухбуквенного алфавита следует истинность этой формулы относительно всех моделей на свободных полугруппах на счетных алфавитах. Обратное следствие легко получить, просто расширив двухбуквенный алфавит до счетного, сохранив отображение от модели на свободной полугруппе двухбуквенного алфавита. Для свободных моноидов рассуждения аналогичны. Осталось применить доказанную теорему.
Замечание. Обратное включение неверно: из истинности формулы во всех моделях на свободных моноидах не следует ее истинность во всех моделях на свободных полугруппах. Действительно, в качестве примера приведем формулу р/(д/д) ^ p• Пусть w — модель на свободном моноиде. Язык
w(q/q) будет содержать пустое слово, тогда w(p/(q/q)) будет подмножеством w(p). Теперь рассмотрим следующую модель v па свободной полугруппе: v(p) = {a}, v(q) = {Ь}. Тогда v(q/q) — пустое множество, а значит, v(p/(q/q)) = £*. Получается, что в этой модели формула p/(q/q) ^ p ложна.
Замечание. Метод доказательства через полноту соответствующего варианта исчисления Лам-бека не подходит для аналогичных утверждений ни для фрагмента с объединением и пересечением (неполнота доказана в [4]), ни для фрагмента с двумя делениями и объединением (неполнота доказана в [5]).
Замечание. Представленный здесь метод доказательства не подходит, если добавить в сигнатуру умножение. Дело в том, что в сигнатуре с умножением построенная по модели (T,*,w) пара (£+ ,w') может уже не быть моделью. Рассмотрим такую модель (X*,w), что w(p) = w(q) = {е}. Тогда w'(p ■ q) = {en\n ^ 1} и w'(p) о w'(q) = {en\n ^ 2} To есть w'(p ■ q) = w'(p) о w'(q), значит, пара (£+ ,w') не является моделью.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lambek J. The mathematics of sentence structure // Amer. Math. Monthly. 1958. 65, N 3. 154-170.
2. Buszkowski W. Completeness results for Lambek syntactic calculus // Z. math. Log. und Grundl. der Math. 1986. 32. 13-28.
3. Pentus M. Free monoid completeness of the Lambek calculus allowing empty premises // Logic Colloquium '96 / Ed. by J. M. Larrazabal, D. Lascar, G. Mints. Berlin; Heidelberg: Springer, 1998. 171-209.
4. Ono H., Komori Y. Logics without contraction rule //J. Symb. Log. 1985. 50, N 1. 169-201.
5. Kanovich M., Kuznetsov S., Scedrov A. L-models and R-models for the Lambek calculus with additives and the multiplicative unit // Logic, Language, Information, and Computation / Ed. by R. Iemhoff, M. Moortgat, R. de Queiroz. WoLLIC 2019. Lect. Notes Comput. Sci. Vol. 11541. Berlin; Heidelberg: Springer, 2019. 373-391.
Поступила в редакцию 09.04.2021
