О конгруэнциях двупорожденного моноида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Бернштейн С.Н. Несколько замечаний об интерпо- 4. Привалов А.А. О равномерной сходимости интерполировании. Собр. соч.: В 3 т. М., 1952. Т. 1. С. 253-263. ляционных процессов Лагранжа // Мат. заметки. 1986.

2. Берман Д.Л. Сходимость интерполяционного процес- Т. 39, № 2. С. 228-243

са Лагранжа, постр°енног° для абсолютно непрерыв- 5. Салем Р. Acta Sci. et. Ind. Paris, 1940. № 1234. P. 862. ных функций и функций с ограниченным изменением

// Докл. АН СССР. 1953. Т. 112, № 1. С. 9-12. 6. Бари НК. Тригонометрические ряды. М, 1961.

3. Неваи Г.П. Замечания об интерполировании // Acta 7. Уитеккер Э.Т., ВатсонД.Н. Курс современного ана-Math. Acad. Sci. Hung. 1974 V. 25, № 1-2. P. 123-144. лиза: В 2 т. М., 1963. Т. 2.

УДК 512.532.2

О КОНГРУЭНЦИЯХ

ДВУПОРОЖДЕННОГО

МОНОИДА

Л.А. Кудрявцева

Московский государственный институт электронной техники, кафедра высшей математики E-mail: kety3@mail.ru

Рассматриваются конгруэнции свободной полугруппы над двух-буквенным алфавитом, порожденные парами слов длины 2. Показано, что число классов эквивалентности для слов длины n равно n +1. Найдено число слов в каждом классе.

Ключевые слова: конгруэнция, свободная полугруппа, моноид, класс эквивалентности.

ВВЕДЕНИЕ

About the Congruences of Two-Generated Monoid L.A. Kudryavtseva

Moscow Institute of Electronic Technology, Chair of Higher Mathematics E-mail: kety3@mail.ru

The congruences of two-generated monoid which generated by pair of words of length 2 are considered over two-letter alphabet. It is shown that number of equivalence classes for words of length n is equal to n +1. The number of words in each class is found. Key words: congruence, free semigroup, monoid, equivalence class.

Полугруппы часто задают множеством образующих М и определяющих соотношений Е. Будем рассматривать множество образующих из двух элементов М = {а,Ь}.В качестве Е будем рассматривать одно соотношение, представляющее собой равенство двухбуквенных слов. Полугруппы, заданные одним определяющим соотношением, изучались многими авторами, см., например, [1, 2]. Всего слов длины 2 в алфавите М существует 4. Из них можно составить С| =6 соотношений. На множестве из 4-х двухбуквенных слов можно рассмотреть два преобразования. Первое состоит в том, что буква а меняется на Ь, а Ь — на а. Второе является инверсией слова, т.е. первая буква становится последней, вторая — предпоследней и т.д. Если одно соотношение можно перевести в другое с помощью указанных преобразований, то количество классов эквивалентности на множестве Мп, а также количество элементов в каждом классе останутся без изменения. Такие соотношения можно назвать равносильными. Так, равносильными будут соотношения аа = аЬ, Ьа = ЬЬ, аа = Ьа, аЬ = ЬЬ. Таким образом, принципиально разными будут только соотношения

аа = аЬ, аЬ = Ьа, аа = ЬЬ, (1)

которые и будут рассмотрены в данной работе.

Если конгруэнция задается равенством к-буквенных слов, то конгруэнтными могут быть только слова одинаковой длины. Поэтому будем рассматривать соответствующее отношение эквивалентности на множестве Мп слов длины п.

Для каждого соотношения в каждом классе эквивалентности будет выбрано каноническое слово. Будет показано, что любое слово эквивалентно одному из канонических, и разные канонические слова между собой не эквивалентны. Заметим, что возможность сведения любого слова к одному из канонических означает алгоритмическую разрешимость проблемы равенства слов. В общем случае

© ЛА. Кудрявцева, 2010

неразрешимость проблемы равенства слов для конечно определенных полугрупп была установлена в 1947 году А.А. Марковым и Э. Постом.

В работе используются основные понятия теории полугрупп из [3].

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть А — полугруппа, заданная множеством порождающих элементов М = {а, Ь} и одним из определяющих соотношений (1). Множество всех слов длины п обозначим Мп . Конгруэнции, задаваемые соотношениями (1), обозначим соответственно р1 = (аа,аЬ),р2 = (аЬ,Ьа),р3 = (аа,ЬЬ). Каждому слову т длины п можно сопоставить целое неотрицательное число э(т), двоичная запись которого получится, если символ а заменить на 0, а Ь на 1. Число в(т) будем называть весом слова т. Каноническим словом будем называть слово наименьшего веса в каждом классе эквивалентности. Если т е Мп, то через к(т) обозначим число элементов в классе эквивалентности, содержащем слово т.

2. ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ СООТНОШЕНИЕ аа = аЬ

Предложение 1. Если полугруппа А задана определяющим соотношением аа = аЬ, то число классов эквивалентности на множестве Мп равно п + 1. Канонические слова в каждом классе имеют вид тг = Ьгап-г,г = 0,1,...,п. Число элементов в каждом классе равно к(тг) = 2п-г-1, г = 0,1,... ,п — 1 и к(тп) = 1.

Доказательство. Если в слове т есть подслово аЬ, то заменим его на аа. Таким образом слово т = Ь^^^Ьа ' и, где и — подслово длины п — г — 1, эквивалентно слову тг. Слова тг, г = 0,1,... ,п, г

между собой не эквивалентны, так как в слове т = ■ и первые (г + 1) букву изменить нельзя.

г

В каждом классе эквивалентности слово тг имеет наименьший вес и, значит, является каноническим. Каждое слово эквивалентно одному из канонических слов тг. Класс эквивалентности, содержащий

слово тг, содержит слова вида т = Ь^^^а ■ и, где и — произвольное подслово длины п — г — 1, и

г

поэтому состоит из к(тг) = 2п-г-1 элементов. □

3. ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ СООТНОШЕНИЕ аЬ = Ьа

Предложение 2. Если полугруппа А задана определяющим соотношением аЬ = Ьа, то число классов эквивалентности на множестве Мп равно п + 1. Канонические слова в каждом классе имеют вид тг = ап-гЬг,г = 0,1,... ,п. Число элементов в каждом классе равно к(тг) = С1п, г = 0,1,... ,п.

Доказательство. Слова вида т1 = и■ Ьа■ V и т2 = и■ аЬ■ V эквивалентны. Переставляя в слове т все буквы а в начало слова получим, что каждое слово эквивалентно одному из тг. Количество букв а и Ь у эквивалентных слов одинаково, поэтому слова тг при разных г не могут быть эквивалентны между собой. Слово тг имеет наименьший вес в своем классе эквивалентности, поэтому является каноническим. Количество слов в классе с каноническим словом ап-гЬг равно числу способов выбрать из п мест г мест в слове т, на которые мы поставим букву Ь, тогда на остальные места мы поставим букву а. Это число равно Сгп. Всего классов эквивалентности п + 1. □

4. ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ СООТНОШЕНИЕ аа = ЬЬ

Каждому слову т сопоставим целое число гпй(т), называемое индексом, следующим образом. Буквы а в слове т заменим на 0, а буквы Ь на 1. В полученной последовательности с1с2 ■■■сп положим гпй(т) = с1 — с2 + с3 — с4 + ... + (—1)п-1 сп. Например, если т1 = ааааЬаЬ, то гпд,(т1) = 2, а для слова т2 = аааЬаЬа ) = —2. Пусть и — либо пустое слово, либо слово, состоящее из одной

буквы Ь, либо слово, состоящее из чередующихся букв Ь и а, начиная с Ь. Обозначим

тг = аг ■ и, г = 0,1,...,п. (2)

Предложение 3. Если полугруппа А задана определяющим соотношением аа = ЬЬ, то число классов эквивалентности на множестве Мп равно п + 1. Канонические слова в каждом классе имеют вид (2).

Доказательство. Заметим, что для подслова Ьаа возможно следующее преобразование Ьаа^ЬЬЬ^ааЬ. Это означает, что слова т1 = и • ааЬ • V и т2 = и • Ьаа • V для любых подслов и и V эквивалентны. Покажем, что каждое слово длины п эквивалентно одному из слов вида (2). Действительно, если слово т содержит подслово аа и левее этого подслова имеются буквы Ь, то переместим аа в начало слова т. Если слово т содержит подслово ЬЬ и левее этого подслова имеются буквы Ь, то заменим ЬЬ на аа и опять же переместим аа в начало слова т. Тогда слово т за конечное число шагов преобразуется в эквивалентное ему слово вида (2).

Заметим, что при замене аа на ЬЬ (или наоборот) гпй(т) не меняется. Значит, эквивалентные слова имеют одинаковые индексы. Покажем, что слова wi при разных г не эквивалентны друг другу. Для этого достаточно проверить, что они имеют разные индексы. Пусть сначала п — четно и wi = а... аЬаЬа.. у Тогда при четном г гп^т^ = пр — 0. При г нечетном wi = а... аЬа... ЬаЬ и

i n — i i n — i

) = г—п— < 0. Далее, при п нечетном для четного г т^т^ = п—2+1 > 0, а при нечетном г гпй(тт,) = < 0. Таким образом, при любых п индексы слов разные, т.е. они не эквивалентны друг другу, и число классов эквивалентности на множестве Мп равно п + 1. Ясно, что слова имеют наименьший вес в своем классе эквивалентности, т.е. являются каноническими.□

Сложнее получить формулу для числа элементов в каждом классе эквивалентности. Мы приведем два доказательства следующей теоремы: первое основано на индукции по п, второе использует комбинаторную формулу Вандермонда.

Теорема 1. Обозначим через а(п, к) число слов в классе эквивалентности слов длины п, содержащих слово тк = ак • и, (0 < к < п), где и — либо пустое слово (при к = п), либо состоящее из одной буквы Ь (при к = п — 1), либо состоящее из чередующихся букв Ь и а, начиная с Ь. Тогда

а(п, к) = СП2]. (3)

Доказательство 1. Индукция по п. Для п = 1 имеются два слова а и Ь:

а(1,0) = С0 = 1, а(1,1) = С11 ] = С0 = 1.

Пусть формула верна для слов длины меньшей п и докажем ее для п.

Заметим, что случаи к = 0 и к = 1 очевидны, так как в этих случаях классы эквивалентности состоят из одного слова и аЬа... , что согласуется с формулой (3). Далее будем предполагать,

пп

что к — 2.

Рассмотрим два случая: когда к четно и когда к нечетно.

Случай 1. к = 21, I — 1. Пусть имеется слово = аа „ . аЬа.... Все слова в классе эквива-

21 п—21

лентности, содержащем т21, разобьем на две группы: к первой причислим те, которые начинаются с буквы а, ко второй отнесем начинающиеся с Ь. Пусть а(п,к) = в + 7, где в — число слов в первой группе, а 7 — во второй. Отсечем от слова т21 самую левую букву а и будем делать преобразования только над оставшимся словом длины п — 1. По предположению индукции существует а(п — 1,к — 1) = Сп —1] = С1п—}1 слов, эквивалентных данному, т.е. в = Сп——11.

Далее, поскольку к — 2, две первые слева буквы аа можно заменить на ЬЬ. Первую букву Ь больше не трогаем, а вторую букву Ь сдвигаем вправо (если 21 — 2 > 0) пользуясь преобразованием Ьаа^ЬЬЬ^ааЬ. Поскольку число букв а справа от ЬЬ равно к — 2 = 21 — 2 — четно, полученное слово ЬЬа . „ аЬа... эквивалентно слову

21 — 2 п — 21

(4)

21 — 2 п — 21

Далее рассмотрим три подслучая: п — 21 =0, п — 21 = 1 и п — 21 — 2.

Подслучай 1.1. п — 21 = 0. Слово (4) имеет вид Ьа. „ аЬ. Отсечем левую букву Ь. В классе

21 — 2

[ П-2 ] 7 — 1

эквивалентности слова Ь по предположению индукции содержится Сп—1 = Сп—1 слов. Значит,

п—2

16

Научный отдел

Y = СП-11. Так как к = 2l = n , всего получится a(n, к) = a(n, n) = в + Y = СП— + СП— = / 1)! ! ! k [ k ] = 2(1-1n)7(n-1)! = 221(1-1n;!(n-1)! = щПт^ = СП = СП = Cn2 слов. Значит, в этом случае формула

доказана.

Подслучай 1.2. n — 2l = 1. Слово (4) имеет вид Ьо.^^ЬЬ. Оно эквивалентно слову bа.„ а.

21-2 21 После отсечения левой буквы b получится слово а.^а. В классе эквивалентности этого слова,

21

по предположению индукции (2l = n — 1), содержится С21 = СП-1 слов, т.е. y = СП-1. Поэтому

a(n, к) = a(n, n — 1)= в + Y = СП— + СП-1 = СП = СП = сПк ].

Подслучай 1.3. n — 2l > 2. В этом подслучае слово (4) будет иметь вид bb а. „ а baba.... Оно

2l-2

эквивалентно слову bbbO^i. . Отсекая левую букву b, получим слово bg .... В классе

21 + 1 n-21-2 21 + 1

[ 2ͱ1 ] 1

эквивалентности этого слова, по предположению индукции, содержится Cn-21 = СП-1 слов. Тогда

a(n, к) = в + Y = СП— + СП-1 = СП = СП = СП2 ].

Случай 2. к = 21 + 1, l > 1. Так же как и в первом случае, разобьем все слова, эквивалентные слову W21+1 = ^..^^а..., на две группы, и пусть в и y имеют тот же смысл, что и ранее.

2l+1

Если в слове w21+1 отсечь одну левую букву а, то число слов, эквивалентных оставшемуся слову а ..., по предположению индукции, равно СП-1 = в. Далее, считаем число слов во вто-

2l

рой группе. Заменяя в слове w21+1 первые две буквы аа на bb и перенося вторую букву b вправо, получим эквивалентное слово bq. „ qbq.... Отсечем левую букву b. В классе эквивалентности, со-

2l-2

держащем оставшееся слово, по предположению индукции, содержится СП-_\ = Y слов. В итоге

a(n, к) = в + Y = СП-1 + СП— = СП = СП2 ] .□

Доказательство 2. В предложении 3 было показано, что класс эквивалентности конгруэнции р3 на множестве МП образует все слова, имеющие одинаковый индекс. Эти слова эквивалентны каноническому слову = а ... о^Ьо ... для некоторого к = 0,1,..., n. Пусть w — произвольное слово

к п — к

длины n. Заменим в нем буквы а на 0, а буквы b на 1. В полученной последовательности c1c2 ... cn

обозначим s = c1 + c3 + c5 +..., t = c2 + c4 + +____Тогда ind(w) = s — t. Для краткости будем писать

ind вместо ind(w). Тогда s = t + ind. Подсчитаем число слов с фиксированным значением индекса, равного ind. Обозначим это число а. Рассмотрим два случая в зависимости от четности n — длины слова w.

Случай 1. n = 2n1, n1 > 1. Тогда —n1 < ind < n1, 0 < s,t < n1. Число решений уравнения c1 + c3 + ... + c2ni-1 = s при фиксированном s и c = 0 или 1 равно СП 1. Аналогично для уравнения c2 + c4 + ... + c2ni = t число решений равно СП 1. Тогда

П1 П1 П1

_ \ Л sis f~ft _ \ л ^tt+índ f~it _ \ л ^tt+índ f~m1 —t _ /"ГП1 +índ _ /-re1 —índ /r\

a = Сn 1 ' Сn 1 = Сn 1 ' Сn 1 = Сn 1 ' Сn 1 = С2П1 = С2П1 . (5)

t=0 t=0 t=0

1

Здесь мы воспользовались комбинаторной формулой Вандермонда СП+т = ^ СП ■ С—1, которая

í=0

получается из равенства (1 + x)n+m = (1 + x)n(1 + x)m сравнением коэффициента при x1 в обеих частях равенства. Далее, рассмотрим два подслучая для четного и нечетного к.

Подслучай 1.1. к = 2к1, к1 = 0,1,...,n1. В этом подслучае слово wk имеет вид w2k1 = = а_^6а6а_.. А ind = 2n^2kl = n1 — к1. Подставляя в (5), получим а = С^Г^ = С^1 = С2].

2к1 2n1 —2к1

Подслучай 1.2. к = 2к1 + 1, к1 =0,1,..., n1 — 1, w2k1+1 = /я/ „. b . Тогда ind = к1 — n1,

2к1 +1 2n1 —2к1 — 1

_ +índ _ ,^(к1 _ 2]

а = С2щ = С2щ = °n .

Случай 2. n = 2n1 + 1, n1 > 0. Тогда

П1 П1 _ \ Л /"rs sit _ \ л syt+ind syn1—t _ sin1+ind _ sin1+1—ind

a = Cn 1+1 ■ Cn 1 = Cn1+1 ■ Cn 1 = C2n1 +1 = C2n1 +1 • t=0 t=0

Далее также рассмотрим два подслучая.

Подслучай 2.1. k = 2fcb k1 = 0,1,...,n1. Слово wk имеет вид w2k1 = a •.. a haha^ • • b.

2k1 2n1 —2k1 +1

Тогда ind = n1 - k1 + 1. Подставляя в (6), получим a = С2Щ+1—ind = Ck1 = сП2

Подслучай 2.2. k = 2k1 + 1, k1 = 0,1,...,n1. Слово wk имеет вид w2k 1+1 = a • ^ aba...ha.

2k1 +1 2n1—2k1

Тогда ind = k1 — n1. Подставляя в (6), получим a = С2П++Пd = Ck1 = сП2

гk 1

Таким образом, во всех случаях a = Cn2 .□ Библиографический список

1. Book R.V. A note on special Thue systems with a single single defining relation // Math. Systems Theory. 1985. defining relation // Math. Systems Theory. 1983. V. 16. V. 18. P. 135-143.

P. 57-60. 3. Ляпин Е.С. Полугруппы. М.: Гос. изд-во физ.-мат.

2. Otto F., Wrathall C. A note on Thue systems with a лит., 1960. 592 с.

УДК 517.984

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА С ПОМОЩЬЮ СПЕКТРАЛЬНЫХ СЛЕДОВ СТЕПЕНЕЙ ЕГО РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Е.М. Малеко

Магнитогорский государственный технический университет, кафедра математики E-mail: emaleko@rambler.ru

Пусть дискретный самосопряженный оператор T действует в сепарабельном гильбертовом пространстве и имеет ядерную резольвенту, причем собственные числа и собственные функции оператора T известны. В работе рассмотрен метод вычисления собственных чисел возмущенного оператора T + P, если резольвента этого оператора представима в виде сходящегося ряда Неймана по собственным функциям оператора T. Суть метода заключается в том, что сперва находится набор чисел, скольугодно точно приближающих следы степеней резольвенты оператора T+P. Затем с помощью данного набора составляется и решается система нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных, образующих в ней степенные суммы. Решением системы является единственный с точностью до перестановки набор ненулевых чисел, приближающих сдвинутые на одну и ту же константу А обратные величины первых собственных значений оператора T + P.

Ключевые слова: собственные значения, резольвента, сепа-рабельное гильбертово пространство.

The Approached Calculation of Eigenvalues of the Discrete Operator by Means of Spectral Traces of Resolvent Degrees

E.M. Maleko

Magnitogorsk State Technical University, Chair of Mathematics E-mail: emaleko@rambler.ru

Let a discrete self-adjoint operator T acts in a separable Hilbert space and have the kernel resolvent, and eigenvalues and eigenfunctions of the operator T be known. In the paper the method of calculation of eigenvalues of the perturbed operator T + P is considered. Resolvent of this operator is presented as convergent Neumann series on eigenfunctions of the operator T. The point of the method is that at first is found a set of numbers which approximate traces of the resolvent degrees of the operator T + P. Then by means of the given set, the system of nonlinear algebraic equations is constructed and solved. The solution of the system is a set of numbers which approximate first eigenvalues of the resolvent of the perturbed operator T + P.

Keywords: eigenvalues, resolvent, separable Hilbert space.

Очень часто резольвенту дискретного дифференциального оператора в явном виде получить бывает очень сложно или же вообще невозможно. Однако, если возникла ситуация, когда спектральные следы степеней резольвенты находятся приближенно достаточно легко и точно без знания явного

© Е.М. Малеко, 2010