CC BY
17
УДК 512.572
йй! 10.25513/1812-3996.2019.24(2).17-22
О РАНГАХ ПЛАНАРНОСТИ МНОГООБРАЗИЙ НИЛЬПОЛУГРУПП Д. В. Соломатин
Омский государственный педагогический университет, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 10.03.2019
Дата принятия в печать 11.04.2019
Дата онлайн-размещения 05.07.2019
Ключевые слова
Полугруппа, нильполугруппа, нильпотентная полугруппа, граф Кэли полугруппы, многообразие полугрупп, ранг планарности многообразия полугрупп
Аннотация. Доказано, что ранг планарности 0-приведенного многообразия нильполу-групп бесконечен. Кроме того, если система тождеств, определяющая многообразие нильполугрупп, среди тождеств, не эквивалентных системе 0-приведенных тождеств, имеет только одно минимальной длины вида u1xu2yu3 = и1уи2хи3, где слово u1v1 не содержит символы х и у, то ранг планарности такого многообразия конечен.
ON RANKS OF PLANARITY OF NIL-SEMIGROUPS VARIETIES
D. V. Solomatin
Omsk State Pedagogical University, Omsk, Russia
Article info
Received 10.03.2019
Accepted 11.04.2019
Available online 05.07.2019
Keywords
Semigroup, nilsemigroup, nilpotent semigroup, Cayley graph of a semigroup, semigroup variety, rank of planarity of a semigroup variety
Abstract. We prove that the rank of planarity for a variety of nil-semigroups is infinite if this variety is 0-reduced. Moreover, if the system of identities defining the variety of nil-semigroups among identities not equivalent to a system of 0-reduced identities has only one uixu2yu3 = viyv2xv3 with minimal lengths of words and the word UiVi does not contain symbols x and y, then the rank of planarity of this variety is finite.
В данной заметке мы продолжаем изучать предложенное Л.М. Мартыновым в [1] понятие ранга планарности для многообразий полугрупп. Напомним основные определения.
Пусть V - произвольное многообразие полугрупп. Если существует такое натуральное число г, что все ^-свободные полугруппы ранга < г допускают планарные графы Кэли (относительно множеств их свободных образующих), а ^-свободная полугруппа ранга г +1 уже не допускает планарный
граф Кэли, то рангом планарности многообразия V называется это число г = гп(И. Если для многообразия V такого натурального числа не существует, то говорят, что многообразие V имеет бесконечный ранг планарности, и пишут гп(V) = да.
Нильполугруппа - полугруппа с нулем, некоторая степень каждого элемента которой равна нулю. Многообразие нильполугрупп называем нильмного-образием. Полугруппа 5 с нулем 0 называется ниль-потентной полугруппой, если Б" = 0 для некоторого
натурального п; наименьшее п с таким свойством называется ступенью нильпотентности полугруппы. Каждое нильмногообразие имеет нильин-декс. Нильиндексом многообразия называется ниль-индекс моногенной свободной полугруппы в этом многообразии.
Всякая нильпотентная полугруппа, очевидно, будет нильполугруппой, обратное неверно. На языке многообразий это означает, что изучение рангов планарности нильмногообразий приоритетнее изучения рангов планарности многообразий нильпо-тентных полугрупп. Тем не менее, графы Кэли ниль-потентных полугрупп тоже вызывают неподдельный интерес исследователей [2].
Зададимся вопросом описания рангов планарности многообразий нильполугрупп и в первую очередь заметим, что существуют бесконечные серии имеющих бесконечный ранг планарности многообразий нильпотентных полугрупп и нильполугрупп [3].
Под (нетривиальным) тождеством u ~ v понимается пара различных слов u и v из абсолютно свободной полугруппы с нулем F° над бесконечным счетным алфавитом Х^ = {х, у, z, ^ Xl, x2, ..., xn, ..., у!, у2, ..., Уп, ...}. Для обозначения слов полугруппы fco0 будем использовать буквы и, V, w, а также эти буквы с индексами. Условимся в дальнейшем свободную полугруппу счетного ранга многообразия V полугрупп с нулем рассматривать над алфавитом и обозначать f„0 (V).
Напомним [4], что полугрупповые тождества вида w ~ 0, при w * 0, а также многообразия полугрупп с нулем 0, задаваемые системами тождеств такого вида, называются 0-приведенным. Такие многообразия обладают неприводимым базисом тождеств вида w ~ 0, и их множество имеет мощность континуум. Существенный вклад в изучение таких многообразий был внесен Т.А. Мартыновой [4-8], которой, в частности, доказано, что множество всех нетривиальных 0-приведенных многообразий относительно умножения в смысле А.И. Мальцева [9] образует группоид с сокращением континуальной мощности. Отметим, что тождество w ~ 0 в полугрупповой сигнатуре эквивалентно системе двух тождеств wх ~ w, хw ~ w, где х - переменная, не входящая в запись слова w.
Будем рассматривать многообразия нильполугрупп, у которых множество тождеств I = 10 и !1, где 20 - это система 0-приведенных тождеств, а I! содержит лишь не эквивалентные 0-приведенным тожде-
ства. В частности, Z1 не может содержать тождеств, у которых хотя бы одно из слов содержит подслово вида wk, где k - это нильиндекс многообразия, которое оно определяет, и не может содержать тождества, содержание слов которых разное. Ясно, что h всегда не пустое, так как содержит тождество вида xk = 0 во всяком нильмногообразии, а h может быть пустым, когда многообразие в точности 0-приведен-ное. Тождество u ~ v назовем тождеством минимальной длины в системе Z1, если у любого другого тождества из Z1 длина любого слова будет больше, чем максимальная из длин слов u, v.
Ранее нами были перечислены все возможные планарные многообразия полугрупп [10], т. е. такие многообразия, каждая полугруппа которых допускает планарный граф Кэли, имеющий бесконечный ранг планарности по определению. Последних оказалось конечное число. Основным же результатом данной заметки является
Теорема. Ранг планарности 0-приведенного многообразия нильполугрупп бесконечен. Кроме того, если система тождеств, определяющая многообразие нильполугрупп, среди тождеств не эквивалентных системе 0-приведенных тождеств имеет только одно минимальной длины вида uixu2yu3 = viyv2xv3, где слова u, Vj - не обязательно различные, допустимо пустые для некоторых многообразий, а uiVi не содержит символы x и у, то ранг планарности такого многообразия конечен.
Для сравнения напомним [11], что нетривиальное многообразие коммутативных полугрупп либо имеет бесконечный ранг планарности и при этом совпадает с многообразием полугрупп с нулевым умножением, либо имеет ранг планарности 1, 2 или 3.
Доказательству теоремы мы предпошлем несколько дополнительных определений и лемму. Пусть S - полугруппа, X - множество порождающих ее элементов. Как и прежде [12], через Coy(S, X) обозначим граф Кэли полугруппы S относительно X. Граф Coy(S, X) состоит из множества вершин S и множества помеченных дуг - всевозможных троек (a, x, b), где a, b 6 S, x 6 X и ax = b.
Заметим, что в данном случае граф Кэли является ориентированным мультиграфом с помеченными дугами. Вершины графа обычно изображаются точками на плоскости, а дуга (a, x, b) - линией, направленной от a к b и помеченной элементом x. При изображениях графов Кэли часто опускают легковосстановимые метки дуг. Основой ориентированного мультиграфа называем (обыкновенный) граф, полученный из данного графа удалением петель и
заменой всех дуг, соединяющих две вершины одним ребром, соединяющим эти вершины. Ориентированный мультиграф называем планарным, если его основа является планарным графом. Будем говорить, что полугруппа Б допускает планарный граф Кэли, если для некоторого множества Xоснова графа Сау(Б, X) является планарным графом. Если I - идеал полугруппы Б, то соответствующая рисовская конгруэнция имеет своими классами I и одноэлементные подмножества {х}, где х из Б \ I. Фактор-полугруппу по рисовской конгруэнции называют фактор-полугруппой Риса по соответствующему идеалу. Перейдем теперь непосредственно к ключевому утверждению, на следствие из которого опирается доказательство теоремы.
Лемма 1. Фактор-полугруппа Риса свободной полугруппы по любому идеалу допускает планарный граф Кэли.
Доказательство. Рассмотрим основу графа Кэли свободной полугруппы многообразия всех полугрупп. Данная основа является лесом, т. е. ациклическим графом с единственной внешней гранью Г, и ранг планарности такого многообразия бесконечен. К лесу всегда можно с сохранением свойства планарности добавить вершину, соединенную ребрами с некоторыми вершинами исходного леса, результат умножения которых на образующие элементы попадает в идеал, по которому осуществляется факторизация. Таким образом, планарность будет сохранена и при соединении ребром единственной добавленной вершины в грани Г с некоторыми вершинами исходного леса при последующем отождествлении элементов из идеала с добавленной вершиной. Таким способом можно получить плоскую укладку основы графа Кэли фактор-полугруппы Риса по любому идеалу относительно произвольного числа образующих. □
Так как свободная полугруппа 0-приведенного многообразия является фактор-полугруппой Риса по
вполне характеристическому (замкнутому относительно всех эндоморфизмов) идеалу, то из леммы очевидным образом вытекает
Следствие 1. Ранг планарности любого 0-при-веденного многообразия равен бесконечности.
Для доказательства теоремы нам понадобится вспомогательная конструкция, позволяющая кратко записывать представление графа Кз,з в виде последовательности кодов вершин девяти непересекающихся цепей, первая и последняя вершины которых принадлежат разным долям графа. Например, если некоторое нильмногообразие задано системой тождеств {X = 0; ху = ух} при к > 2, то конфигурация 0 -У1д - у1, 0 - у2д - у2, 0 - узд - уз, у4 - У4У1(= У1У4) - У1, У4 - У4У2(= У2У4) - У2, У4 - У4Уз(= У3У4) - Уз, Ув - У5У1(= У1У5) -У1, Ув - УвУ2(= У2У5) - У2, Ув - УвУз(= УзУв) - Уз формирует граф, изображенный на рис. 1. Такая запись фактически представляет собой полный двудольный граф, содержащий по три вершины в каждой из долей, закодированные словами 0, у4, У5 в одной доле и У1, У2, Уз - в другой доле. д - символ, заменяющий слово, состоящее из повторения образующего символа, не вошедшего в запись остальных вершин, столько раз, что еще одно умножение на этот символ привело бы к 0; так как многообразие состоит из нильполугрупп, то последнее всегда возможно.
Найденная конфигурация может быть распространена и на многообразие, заданное системой тождеств {X = 0; и1хи2уиз = ^у^х^}, при условии, что второе тождество не эквивалентно системе 0-приведен-ных тождеств, следующим способом: 0 - и^и2д -и1У1и2, 0 - и1У2и2д - и1У2и2, 0 - и1узи2д - и1узи2, ^У4^2 -
^1У4^2У1^з(= и1У1и2У4из) - и1У1и2, У1У4У2 - ^1У4^2У2^з( =
и1У2и2У4из) - и1У2и2, У1У4У2 - У1У4^2УзУз(= ^Уз^У4из) -и1Узи2, У1У5У2 - ^1У5^2У1^з(= и1У1и2У5из) - и1У1и2, У1У5У2 -^1У5^2У2^з(= и1У2и2У5из) - и^2, ^5^2 - ^1У5^2Уз^з( =
и1узи2у5из) - и1узи2, что соответствует графу, изображенному на рис. 2.
УЗУ5
у I У2 уъ
Рис. 1. Гомеоморфный графу Кзз подграф основы графа Кэли свободной полугруппы нильмногообразия, заданного системой тождеств {хк = 0; ху ~ ух} при к > 2
"1У1«21,3' ЩУгЩ2* ЩУзЩ3,у
Рис. 2. Гомеоморфный графу К3,3 подграф основы графа Кэли свободной полугруппы нильмногообразия, заданного такой системой тождеств, что не 0-приведенное существенное тождество минимальной длины в нём единственно и имеет вид и1хи2уи3 ~ v1yv2xv3, при и^, не содержащем х и у
Доказательство. Назовем «существенным» нетривиальное тождество, отличное от тождества X ~ 0 и его следствий, где к - это нильиндекс многообразия. Несущественные тождества в записи многообразий можно опускать.
Следствие из леммы 1 обеспечивает верность теоремы в одну сторону. Остается доказать, что ранг планарности будет конечен у любого многообразия, не обладающего неприводимым базисом тождеств вида w ~ 0. Неприводимый базис тождеств такого многообразия представим дизъюнктным объединением М0 и М1, где М0 - множество 0-приведенных тождеств, а М1 - непустое множество тождеств, каждое из которых не эквивалентно системе 0-приве-денных. Отсортируем тождества множества М1 по возрастанию формирующих их слов, а при равной длине слов в паре тождеств расположим их в лексикографическом порядке. Выберем из образовавшегося списка тождество и ~ V, не следующее ни за каким другим. Оно имеет вид х1...х,--1хх,-+1...ху-1ух,-+1...хп =
~ Xп+1.^■Xq-1yXq+1.^■Xr-1XXr+1 .--хп+т.
В записи этого тождества не обязательно являются одновременно различными все вспомогательные символы х# при разных значениях нижнего индекса, но всегда найдется хотя бы одна пара символов, как (х; у), порядок следования которых в левой части тождества отличается от порядка их следования в правой части тождества, в противном случае тождество тривиально.
Пусть и! = Х1...Х-1, и2 = Х-ц.-.Х;-!, и3 = Ху+1...Хп, V! = Xп+l...Xq-l, = Xq+l...Xr-l, Vз = Хщ.Хп+т, - не обязательно различные слова, допустимо пустые для некоторых многообразий. Тогда при и!VI, не содержащем х и у в свободной полугруппе анализируемого многообразия, обнаруживается конфигурация, соответствующая изображенному на рис. 2 графу.
Наличие в М1 оставшихся тождеств, отличных от выбранного и ~ V, не обеспечит склеивание вершин указанной конфигурации. В чем можно убедиться последовательным добавлением оставшихся тождеств к выбранному, при этом истинность теоремы обусловлена следующими тремя факторами:
1) добавляемое существенное тождество не эквивалентно никакой системе 0-приведенных тождеств в многообразии, образующемся в результате добавления этого тождества, поэтому никакое под-слово из слов длины п добавляемого тождества не эквивалентно 0, а значит и никакая из вершин длины, не превышающей п в обнаруживаемой конфигурации, не будет отождествлена с 0, кроме самого 0;
2) слова кратчайшей длины п, формирующие добавляемое не 0-приведенное тождество, имеют конечную длину п, поэтому заполнить их можно конечным числом образующих элементов при получении конкретных соотношений;
3) некоторая конечная степень к любого элемента в рассматриваемом многообразии нильполу-групп будет равна 0, т. е. в нем выполняется тождество хк ~ 0, поэтому можно сформировать непересекающиеся маршруты от любой вершины до 0 в обнаруживаемой конфигурации путем умножения достаточное число раз на один и тот же образующий элемент, формируя подслово д.
Анализируя конфигурацию на рис. 2, приходим к выводу, что в системе тождеств, задающих рассматриваемое многообразие, не существует тождества, разрушающего соответствующую конфигурацию и при этом не формирующего 0-приведенное многообразие.
Коль скоро в обнаруженной конфигурации для не 0-приведенных многообразий фигурирует конеч-
ное число образующих элементов, то можно сделать вывод о том, что в случае конечности ранга планарности многообразие нильполугрупп задается системой тождеств, содержащих одно или несколько тождеств, не являющихся 0-приведенными.
Таким образом, охвачены все нильмногообра-зия из условия, и теорема доказана. □
Кроме того, для формирующего перестановочное многообразие полугрупп перестановочного тождества xix2-xn » x^a-.xna, где n > 1 - натуральное число и ст - нетривиальная перестановка множества {1,2,...,n}, ранги планарности соответствующего многообразия изучены в [3]. Все тождества, выполняемые в перестановочном многообразии, имеют одинаковую длину. В левую и в правую компоненту тождеств данного многообразия символы входят ровно по одному разу, а также всегда можно найти пару символов, которые поменяли порядок следования в словах выбранного тождества, поэтому справедливо
Следствие 2. Если минимальное тождество в системе тождеств, фигурирующего в теореме многообразия, будет перестановочным, в частности коммутативным, то ранг такого многообразия будет конечен.
Условимся обозначать Nk = var{x1x2_xk ~ 0} многообразие всех нильпотентных полугрупп ступени нильпотентности k. Тогда из доказательства теоремы и следствия 2 очевидным образом вытекает
Следствие 3. Ранг планарности любого подмногообразия многообразия N3=var{xyz ~ 0} многообразия всех нильпотентных полугрупп ступени нильпотентности < 3 либо бесконечен и при этом многообразие является 0-приведенным, либо не превосходит 3.
В заключение приведем пример тождества, не эквивалентного 0-приведенному, но которое не совпадает с рассматриваемым в заметке тождеством специального вида минимальной длины среди тождеств, не эквивалентных системе 0-приведенных тождеств: xyy=xyx. Основная проблема, в которую упирается используемый метод доказательства конечности или бесконечности ранга планарности многообразия в этом случае, проявляется при проверке равенства слов и является неразрешимой для данного класса полугрупп [13].
Автор выражает глубокую признательность профессору Л. М. Март ынову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения результатов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новые проблемы алгебры и логики. Юбилейное 900-е заседание семинара // Омский алгебраический семинар, ОФ ИМ СОРАН, г. Омск, 12 ноября 2015 г. URL: http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml? presentid=12900 (дата обращения: 01.03.2019).
2. Макарьев А. Л. Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом // Математика и информатика: наука и образование : межвуз. сб. науч. тр. Ежегодник. Вып. 5. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2006. С. 40-46.
3. Соломатин Д. В. О рангах планарности многообразий полугрупп идемпотентов, нильполугрупп и полугрупп с перестановочным тождеством // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 4 (86). С. 11-21.
4. Мартынова Т. А. Группоид 0-приведенных многообразий полугрупп // Исследования по современной алгебре. Свердловск, 1979. С. 96-115.
5. Мартынова Т. А. О группоиде многообразий полугрупп с нулем // Изв. вузов. Математика. 1982. № 11. С. 77-79.
6. Мартынова Т. А. Наибольший группоид многообразий полугрупп с нулем // Алгебра и логика. 1982. Т. 21, № 3. С. 251-268.
7. Martynova T. A. The groupoid of 0-reduced varieties of semigroups // Semigroup Forum. 1983. Vol. 26, № 3/4. P. 249-274.
8. Мартынова Т. А. О произведении многообразий полугрупп // Изв. вузов. Математика. 1988. № 1. С. 36-41.
9. Мальцев А. И. Об умножении классов алгебраических систем // Сиб. матем. журн. 1967. Т. VIII, № 2. С. 346-365.
10. Соломатин Д. В. Планарные многообразия полугрупп // Сиб. электрон. матем. изв. 2015. Т. 12. C. 232-247.
- 21
Herald of Omsk University 2019, vol. 24, no. 2, pp. 17-22
11. Соломатин Д. В. Ранги планарности многообразий коммутативных полугрупп // Прикладная дискретная математика. 2016. № 4 (34). С. 50-64.
12. Zelinka B. Graphs of Semigroups // Casopis. Pest. Mat. 1981. Vol. 106. P. 407-408.
13. Гуревич Ю. Ш. Проблема равенства слов для некоторых классов полугрупп // Алгебра и логика. 1966. Т. 5, вып. 5. С. 25-35.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Соломатин Денис Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике, Омский государственный педагогический университет, 644099, Россия, г. Омск, наб. Тухачевского, 14; e-mail: solomatin_dv@omgpu.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Соломатин Д. В. О рангах планарности многообразий нильполугрупп // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 2. С. 17-22. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(2). 17-22.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Solomatin Denis Vladimirivich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Omsk State Pedagogical University, 14, Tukhachev-sky quay, Omsk, 644099, Russia; e-mail: chasnat@ bk.ru.
FOR GTATIONS
Solomatin D.V. On ranks of planarity of nil-semigroups varieties. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 2, pp. 17-22. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(2).17-22. (in Russ.).
