CC BY
14. Ковалёв М.Д. О восстановимости шарнирников по внутренним напряжениям // Изв. РАН Сер. матем. 1997. 61, № 4. 37-66.
5. Dixon А.С. On certain deformable frameworks // Mess. Math. 1899/1900. 29. 1-21.
6. Wunderlich W. On deformable nine-bar linkages with six triple joints // Proc. Kon. ned. akad. wetensch. A. 1976. 79. 257-262.
7. Maehara H., Tokushige N. When does a planar bipartite framework admit a continuous deformation? // Theor. Comput. Sci. 2001. 263. 345-354.
Поступила в редакцию 22.10.2020
УДК 517.54+514.774
НЕКОТОРЫЕ КРИТЕРИИ ЕМКОСТНОГО ТИПА НЕКОМПАКТНОГО РИМАНОВА МНОГООБРАЗИЯ
Т. Р. Игонина1, В.М. Кесельман2, О. Р. Параскевопуло3
Рассматривается общее понятие интегральной емкости на римановом многообразии, включающее в себя известные для геометрической теории функций емкости, в том числе классическую и конформную. В терминах этой общей емкости, как и в случае классической емкости, определяется понятие емкостного типа некомпактного риманова многообразия. Приводятся некоторые интегральные критерии емкостного типа некомпактного риманова многообразия, которые дополняют и в определенных случаях усиливают известные критерии классического емкостного типа риманова многообразия.
Ключевые слова: риманово некомпактное многообразие, обобщенная емкость, конформный тип, р-параболический тип, р-гиперболический тип, объем геодезического шара, площадь геодезической сферы, функция исчерпания многообразия.
A fairly general concept of an integral capacity on a Riemannian manifold is considered, which includes the concepts of capacity known for the geometric theory of function such as the classical and conformal capacities. In terms of this general capacity, as in the case of the classical capacity, the concept of capacitive type of Riemannian manifold is defined. In this paper, we present some integral criteria of the capacitive type of a non-compact Riemannian manifold, which complement and, in certain cases, strengthen known criteria of the classical capacitive type of a Riemannian manifold.
Key words: non-compact Riemannian manifold, generalized capacity, conformal type of Riemannian manifold, p-parabolic type, p-hyperbolic type, volume of a geodesic ball, area of a geodetic sphere, exhaust function.
1. В работах fl, 2] было введено достаточно общее понятие обобщенной интегральной емкости на произвольном n-мерном римановом многообразии, названное (F, р)-емкостью, p > 1 (где F — заданная функция, зависящая от точки многообразия и касательного вектора в этой точке), включающее
p
определения обобщенной емкости послужили работы [3, 4].
В терминах (F,р)-емкости определяется fl, 2] понятие типа некомпактного риманова многообразия, а именно (F, р)-параболический и (F, р)-гиперболический типы. В случае классической
1 Игонина Татьяна Романовна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики-2 РТУ МИРЭА, e-mail: t-igoninaQmail.ru.
2Кесельман Владимир Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики-2 РТУ МИРЭА, e-mail: vmkesQyandex.ru.
3Параскевопуло Ольга Ригасовна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики-2 РТУ МИРЭА, e-mail: OlgarigparQgmail .com.
Iyonina Tatiana Romanovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow Technological University MIREA, the Department VM-2.
Кeselm,an Vladimir Mikhailovich Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow Technological University MIREA, the Department VM-2.
Paraskevopulo Olga Riyasovna Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow Technological University MIREA, the Department VM-2.
^емкости получаем классические понятия р-параболического и р-гиперболического типов (см., например, [5]) некомпактного риманова многообразия.
Настоящая работа является дополнением к работе [2], содержащей различные критерии (F,p)-типа некомпактного многообразия. Эти критерии сформулированы в виде интегральных условий на скорости роста некоторых характеристик V(F,p),h(t) и S(F,p),h(t)i t > 0, областей (обозначаемых Bh(t)), исчерпывающих при t Е (0, данное многообразие, где h — функция, задающая рассматриваемое исчерпание многообразия.
h
шарами Bh(t) (с центром в общей точке), указанные характеристики V(F,p),h(t) и S(F,p),h(t) представляют собой соответственно n-мерный объем V (t) шар a Bh(t) и (n — 1)-мерную площадь S (t) его поверхности.
В случае конформной емкости (т.е. n-емкости) почти все упомянутые "критерии типа" работы [2] были установлены в [6] как критерии конформного типа некомпактного риманова многообразия.
Основной результат настоящей работы состоит в критериях (F, р)-типа (точнее, (F, р)-парабо-лического типа) некомпактного риманова многообразия, дополняющих соответствующий критерий в списке критериев работы [2], при априорном предположении о свойствах функций V(f,p),h(t) и S(F,p),h(t) t > 0, близких к свойствам выпуклости.
Результаты работы имеют непосредственное отношение к известной в теории функций "проблеме типа" [7, с. 245], т.е. к нахождению условий для рассматриваемого многообразия, выраженных в терминах метрики многообразия, позволяющих определять его емкостный тип.
2. Перейдем теперь к точным формулировкам понятий и результатов настоящей работы. Пусть Mn — гладкое некомпактное n-мерное риманово многообразие с кусочно-гладким краем (возможно, пустым).
Пусть F = F(x, £) — какая-либо гладкая неотрицательная функция, определенная для любой точки x Е Mn и любого касательного вектора £ Е TxMn (TxMn — касательное пространство многообразия Mn в точке x) и обращающаяся в нуль только при £ = 0. Будем предполагать, что эта функция удовлетворяет следующему условию: для любых x Е Mn, £ Е TxMn, Л Е R выполняется неравенство
F(x,Л£) < cf HF(x, £)
с некоторой постоянной cf ^ 1, не зависящей от x, £ и Л.
Фиксируем произвольно число р > 1. Назовем (F, р)-емкостью компактного множества K С Mn число
cap(F p) (K, Mn) := inf / (F(x, Vu))p dv ,
' JMn
где точная нижняя грань берется по всем локально липшицевым функциям щ финитным в Mn и таким, что u ^ 1 на K.
В простейшем (одновременно и основном) случае F(x,£) = |£| введенная емкость называется р-е^костью, а при р = n — конформной ем,костью. Эти емкости стандартны в теории функций и лежат в основе определений конформно-параболического и конформно-гиперболического типов поверхности.
( F, р)
представляет собой емкость Шоке, поскольку обладает всеми ее необходимыми свойствами (см. [3]), такими, как монотонность, непрерывность и выполнимость неравенства Шоке.
Теперь, следуя классическому определению емкостного типа многообразия, принимаем следующее
Определение. Будем говорить, что некомпактное многообразие Mn имеет (F,fj)-параболический тип, если cap(F,p) (K, Mn) = 0 для любого компактного множества K С Mn.
В противном случае (т.е. если capF,p K > 0 для какого-либо компакта K С Mn) будем говорить,
что многообразие Mn имеет (F,j))-гиперболический тип.
рр
р = n Mn р
р = n р р = n
гиперболического) типа многообразия.
( F, р)
Mn
выраженные в виде интегральных условий на рост объема V (t) и площади S(t) граничной сфе-
ры геодезического шара радиуса t в полной метрике, конформно-эквивалентной исходной метрике многообразия.
При таком распространении в критериях (F, р)-емкостного типа многообразия роль класса конформных полных метрик принимает на себя класс функций исчерпания данного многообразия, которые играют роль функций расстояния на полном некомпактном римановом многообразии.
В свою очередь в роли функций объема V (t) и площади S(t) выступают соответственно вводимые ниже величины V(Fp),h(t) и S(Fp) th(t)-
Прежде всего назовем функцией исчерпания многообразия Mn произвольную локально липши-цеву неограниченную сверху в Mn функцию h, такую, что семейство множеств Bh(t) := {x Е Mn : h(x) < t], t > 0, образует исчерпание многообразия Mn, т.е. все множества Bh(t) предкомпактны, Bh(ti) d Bh(t2) при любых ti < t2, причем LitBh(t) = Mn.
Mn
функция расстояния r = r(p), p Е Mn, текущей точки p до некоторой фиксированной точки po Е M. Множества Br(t) представляют собой открытые геодезические шары радиуса t (с центром в po), и
их семейство при t > 0 образует исчерпание многообразия Mn.
h Mn
t
V(f,p),h(t)= i (F(x, Vh))p dv, S(FtP)h(t)= f (F(x, Vh))p (ds/\Vh\),
JBh(t) JdBh (t)
где dv — элемент n-мерного объема, a ds — элемент площади, точнее (n — 1)-мерной меры Хаусдорфа Mn Mn
В классическом случае F(x,£) = \£\ для рассматриваемой в качестве функции исчерпания полного многообразия Mn функции расстояния h = r, для которой, как известно, \Vr\ = 1 почти всюду в Mn, величина V(f,p),h(t) равна объему геодезического шара Br(t), а ^етичина S(FpP),h(t)
t
4. Сформулируем основной результат работы.
Mn n
h
полняется любое из следующих условий:
V(F,p),h(t) S(F,p),h(t) , .
lim ——— < oo (1), lim ——7— < oo (2), t—<tP\np-H W t—^tP-Hrf-H w
1 1
причем функция V(Fp) h(t)/t (или SpFp) h(t)/t) не убывает при достаточно больших t. Тогда, мно-Mn (F, p)
Mn (F, p)
ствует такая функция исчерпания h многообразия, для которой выполняются оба условия (1), (2),
1 1
а функции V(Fp) h(t)/t и SpFp) h(t)/t не убывают при достаточно больших t.
Первая часть этой теоремы дает условия на рост величины V(f,p),h(t) жли S(fp)hh(t) (для за-
h
( F, p) ( F, p)
предположении о характере функции V(fp),h(t) ми S(fp),h(t) (близком к свойству выпуклости).
( F, p)
теореме, являются точными в следующем смысле:
во-первых, при указанном в теореме предположении о характере функции V(FpP),h(t) (или S(F,P),h(t)) условие (1) (или (2)) (т.е. определенное ограничение на рост этой функции), гаранти-( F, p)
сильный рост функции;
во-вторых, априорное предположение о характере функции V(f,p),h(t) (или S(FpP),h(t)) также
(
t) (1) (2)
( F, p)
Из сформулированной теоремы при р = и выводятся следующие версии критериев конформной параболичности многообразия в терминах конформно-эквивалентных метрик данного многообразия.
Многообразие Мп имеет, конформно-параболический тип тогда и только тогда, когда существует полная метрика д на многообразии, которая конформно-эквивалентна его исходной, метрике и в которой объем, у(£) шара, ради уса, £ или площадь !3{Ь) сферы, радиуса, £ удовлетворяет соответствующему условию:
У® §(г)
ит -т- < оо , ит ---< оо ,
4—00 Ьп \ип~ t Г"11пга" 4
~ 1 ~ 1
причем какая-либо из функций (либо каждая из функций) или не убывает при
всех достаточно больших значениях
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кесельман В.М. Обобщенная емкость и связанные с ней критерии типа некомпактного риманова многообразия // Тез. докл. 5-й междунар. конф., посвященной 95-летию со дня рождения Л.Д. Кудрявцева. Москва, РУДН, 26-29 ноября 2018 г. М., 2018. 63-64.
2. Кесельман В.М. Понятие и критерии емкостного типа некомпактного риманова многообразия на основе обобщенной емкости // Математическая физика и компьютерное моделирование. ВолГУ. Волгоград. 2019. 22, № 2. 21-32.
3. Choquet G. Theory of capacities // Ann. Inst Fourier. 1954. 5. 131-295.
4. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.
5. Миклюков В.М. Геометрический анализ. Волгоград, 2007.
6. Зорин В.А., Кесельман В.М. О конформном типе риманова многообразия // Функц. анал. и его прил. 1996. 30, № 2. 40-55.
7. Альфорс Л. К теории поверхностей наложения // Успехи матем. наук. 1939. № 6. 222-250.
Поступила в редакцию 19.02.2021
УДК 510.6
БАЗОВЫЕ КАТЕГОРИАЛЬНЫЕ ГРАММАТИКИ С ОДНОЗНАЧНЫМ ПРИСВОЕНИЕМ ТИПОВ
М. Е. Вишникин1
Доказана незамкнутость класса базовых категориальных грамматик с однозначным присвоением типов относительно естественных языковых операций.
Ключевые слова: базовые категориальные грамматики с однозначным присвоением типов, иерархия Хомского, контекстно-свободные грамматики.
It is proved that unique typed basic categorial grammars are not closed under any natural language operations.
Key words: unique typed basic categorial grammers, Chomsky hierarchy, context-free languages.
Введение. Формальным языком называется произвольное множество слов (цепочек символов) над некоторым алфавитом Е. Формальные языки зачастую бывают бесконечными, но имеющими некоторую структуру, и для их конечного описания используются формальные грамматики. Одно из семейств формальных грамматик образуют категориальные грамматики.
1 Вишникин Максим Евгеньевич — студ. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: max.startjobQgmail.com.
Vishnikin Maksim Evgenievich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Logic and Algorithm Theory.
