CC BY
45
© Кесельман В.М., 2011
УДК 517.54+514.774 ББК 22.16+22.15
ЕВКЛИДОВО ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО В КЛАССЕ КОНФОРМНЫХ МЕТРИК НЕКОМПАКТНОГО РИМАНОВА МНОГООБРАЗИЯ
В.М. Кесельман
Для произвольного ?г-мерного некомпактного связного риманова многообразия в классе метрик, конформных исходной метрике многообразия, изоперимет-рическая функция многообразия приводится к асимптотически точной форме евклидова вида (как в пространстве М”).
Ключевые слова: риманово многообразие, конформный тип многообразия, конформная емкость, конформные метрики, изопериметрическая функция.
1. Изопериметрическое неравенство
Рассматривается произвольное некомпактное /?.-мерное (п > 2) связное гладкое риманово многообразие (Мп,д) с краем дМп, возможно пустым. Здесь g — исходная риманова метрика на Мп.
Для произвольной области D С Мп будем обозначать через V(D) и S(dD), соответственно, объем (то есть /?,-мерный объем) области D и площадь (то есть (/?, — Замерный объем) границы дD, которую будем всюду далее предполагать гладкой.
Под изопериметрическим неравенством на многообразии (Мп,д) понимается, как обычно, соотношение вида
V(V(D)) < S(dD), (*)
справедливое для любой области D С Мп конечного объема V(D).
Здесь V = V(x), х Е (0,V(Mn)), — некоторая функция, которая называется изо-периметрической функцией многообразия (Мп,д).
При этом, если дМп ф 0, то под границей 8D будем понимать относительную границу области D, то есть ту часть ее полной границы, которая лежит во внутренности многообразия. В этом случае неравенство (*) называется также относительным изопериметрическим неравенством.
Поскольку любая положительная функция, которая не превосходит изопериметри-ческую функцию, сама является изопериметрической функцией, то среди всех изопери-метрических функций многообразия наибольший интерес представляет наибольшая изопериметрическая функция многообразия. Такая функция существует, называется изопериметрическим профилем многообразия (Мп,д) и определяется следующим образом:
Ух е (0,V(Mn)) : V(x) := inf S(dD).
{D: V(D)=x}
Изопериметрическая функция V будет профилем многообразия (Мп,д), если она является асимптотически точной, то есть для любого е > 0 выполняется неравенство:
5(&0) < (1 +е)Т{Уф)) (**)
для всех областей И С Мп некоторого исчерпания многообразия Мп.
Назовем такое исчерпание е-асимптотически точным для функции V в метрике д. Иными словами, это такое исчерпание многообразия, на котором в метрике д реализуется е-асимптотическая точность изопериметрического неравенства с функцией V.
При этом неравенство (**) будем называть обратным изопериметрическим неравенством для функции V.
2. Классические изопериметрические неравенства
Напомним хорошо известные изопериметрические неравенства для двух классических /?,-мерных многообразий: евклидова пространства М” и пространства Лобачевского ИГ.
В М” выполняется так называемое евклидово изопериметрическое неравенство:
71 — 1
то есть пространство М” имеет изопериметрическую функцию вида Т>(х) = с • х~^~, где с = пь}/п, ьп — объем единичного шара в М”.
Евклидово изопериметрическое неравенство и соответствующая изопериметрическая функция являются точными в пространстве М”, то есть для указанной функции V неравенство (*) обращается в равенство, причем эта точность достигается на любом шаре Б С М”.
В пространстве Н” выполняется линейное изопериметрическое неравенство
сУ(0) < Б (дБ),
то есть Н” имеет изопериметрическую функцию линейного вида 'Р(х) = с ■ х, где с = /?.— 1.
Линейное изопериметрическое неравенство и соответствующая линейного вида изопериметрическая функция являются асимптотически точными в Н” (в смысле выполнимости неравенства (**) для указанной функции V), причем эта точность реализуется на шаровых исчерпаниях пространства Н”.
3. Класс конформных метрик многообразия. Формулировка гипотезы
На произвольном многообразии (Мп,д) любая его изопериметрическая функция, включая наибольшую, может иметь сколь угодно сложный вид, или, наоборот, быть только тождественно нулевой. Примеры таких многообразий (Мп,д) легко построить.
Однако при изменении метрики д изопериметрическая функция многообразия Мп, конечно, меняется.
В связи с теорией квазиконформных отображений нас интересуют конформные замены метрики, точнее, класс римановых метрик д на Мп,
д = Х2д, А > О,
полученных умножением метрики д на произвольные гладкие положительные функции на Мп. Такие метрики д называются конформно-эквивалентными, или, короче, конформными метрике д. В совокупности они составляют класс конформных метрик многообразия (Мп,д).
Будем говорить, что некоторое свойство, например, изопериметрическое неравенство, выполняется в классе конформных метрик многообразия (Мп,д), если оно справедливо относительно какой-либо метрики на Мп, конформной метрике д.
В.А. Зоричем был поставлен вопрос: какой наиболее простой вид имеет изопериметрическое неравенство в классе конформных метрик произвольного некомпактного многообразия (Мп,д), или, иными словами, к какому «нормальному» виду (кроме Р = 0) можно привести изопериметрическую функцию многообразия (Мп,д) посредством конформных замен его исходной метрики.
В процессе исследования характера изменения изопериметрической функции многообразия при конформных изменениях его метрики возникла (и была высказана В.А. Зоричем) следующая общая гипотеза [1]:
Для произвольного связного некомпактного риманова многообразия (Мп,д) в классе его конформных метрик найдется метрика, в которой изопериметрическая функция многообразия имеет один из двух канонических видов, а именно:
- либо евклидовый вид Т(х) = с- х~ (как в пространстве М”),
- либо линейный вид 'Р(х) = с ■ х (как в пространстве Н”),
с точностью до значений коэффициентов с в соответствующих видах изоперимет-рических функций.
При этом указанная изопериметрическая функция является асимптотически точной (в более общем варианте гипотезы, наибольшей изопериметрической функцией многообразия).
К настоящему времени сформулированная гипотеза в целом доказана, причем в уточненной форме — см. теорему 1 раздела 6. Уточнение гипотезы состоит в том, что возможность приведения изопериметрической функции многообразия к одному из указанных канонических видов (евклидову или линейному) зависит от того, какой конформный тип имеет данное многообразие.
Упомянутое здесь понятие конформного типа многообразия требует, естественно, определения, к которому мы сейчас перейдем, предварительно отметив один из истоков возникновения этого понятия и его роль для обоснования гипотезы в простейшем случае.
4. Двумерный случай
Рассмотрим данную гипотезу в простейшем случае некомпактного двумерного односвязного многообразия М2 без края (иногда называемого поверхностью).
В силу теоремы униформизации (или обобщенной теоремы Римана), всякое такое многообразие М2 конформно отображается либо на единичный круг, либо на евклидову плоскость М2. В первом случае многообразие М2 называется конформно гиперболическим (или говорят, что оно имеет гиперболический конформный тип), во втором случае М2 называется конформно параболическим (или, говорят, оно имеет параболический конформный тип).
Тогда под действием указанного конформного отображения любая конформно евклидова метрика (в единичном круге или в М2) индуцирует на самом многообразии М2 метрику, конформную его исходной метрике.
Поэтому, если многообразие М2 имеет гиперболический конформный тип, то метрика Лобачевского в единичном круге, будучи конформно евклидовой, переносится указанным образом на само многообразие вместе со всеми метрическими соотношениями пространства Н2, в частности, изопериметрическим неравенством Лобачевского.
Аналогично, если многообразие М2 имеет параболический конформный тип, то евклидова метрика в М2 индуцирует конформно эквивалентную метрику на М2, в которой сохраняются все метрические соотношения евклидовой плоскости М2, в частности, евклидово изопериметрическое неравенство.
Таким образом, для двумерной односвязной некомпактной поверхности М2 изо-периметрическая функция действительно приводится посредством конформной замены метрики поверхности либо к евклидову виду пространства М2, либо к линейному виду пространства Н2, причем в соответствии с тем, какой конформный тип имеет поверхность М2, а именно, параболический или гиперболический, соответственно.
5. Понятие конформного типа /?-мерного некомпактного риманова многообразия
Отмеченный выше в двумерном случае способ разделения некомпактных многообразий на конформно гиперболические и параболические не распространяется на /?.-мер-ные многообразия при п > 2, поскольку в этом случае, как известно, конформные отображения практически отсутствуют и потому нет аналогов теоремы униформизации.
Однако вместо конформных отображений многообразия (Мп,д) можно рассматривать конформные замены его метрики д (которые в случае поверхности (М2,д) раздела 4 могут служить эквивалентной альтернативой конформным отображениям (М2,д) в
Тогда для распространения приведенного в двумерном специальном случае понятия конформного типа многообразия на произвольное многообразие (Мп,д) (при п > 2) следует использовать характеристики многообразия, сохраняющиеся при любых конформных заменах его метрики — так называемые конформные инварианты многообразия.
Одним из таких конформных инвариантов некомпактного риманова многообразия является конформная емкость абсолюта («бесконечности») многообразия, определяемая следующим образом.
Пусть С — произвольное открытое множество в Мп, а С — отличный от точки континуум (связный компакт) в С.
Конформной емкостью конденсатора (С, С) называется величина
где inf берется по всем гладким финитным в G функциям / таким, что / = 1 на С.
Известно, что на любом многообразии (Мп,д) имеет место альтернатива: величина cap (С, Мп) либо положительна, либо равна нулю независимо от выбора невырожденного континуума С С Мп.
Поскольку это свойство емкости cap (С, Мп) определяется только геометрией многообразия Мп на «бесконечности», то в указанных альтернативных случаях обычно говорят о положительной или нулевой конформной емкости абсолюта многообразия.
Известно (и легко проверить), что для пространства Лобачевского Н” конформная емкость его абсолюта положительна, а для евклидова пространства Жп она равна нулю.
Принимается следующее определение (см., например, [2]):
- если сар (С, Мп) > 0 для любого или хотя бы одного невырожденного континуума С С Мп (то есть конформная емкость абсолюта многообразия положительна), то многообразие Мп относится к конформно-гиперболическому типу,
- если сар (С, Мп) = О для любого или хотя бы одного невырожденного континуума С С Мп (то есть конформная емкость абсолюта многообразия нулевая), то Мп относится к конформно-параболическому типу.
Поскольку величина сар (С, С) не меняется при конформных заменах исходной метрики многообразия, то конформный тип многообразия является его конформным инвариантом.
Тем самым, при любом п > 2, совокупность всех некомпактных римановых многообразий (Мп,д) конформно инвариантно (то есть инвариантно относительно конформных замен исходной метрики многообразия) разбивается на два класса: класс конформно-гиперболических многообразий (содержащий пространство Лобачевского Н”) и класс конформно-параболических многообразий (содержащий евклидово пространство М”).
Отсюда, в частности, следует, что определение конформного типа произвольного многообразия (Мп,д) эквивалентно приведенному в разделе 4 определению в рассматриваемом там случае некомпактных односвязных двумерных поверхностей.
6. Теорема о нормальном виде изопериметрической функции
Исходя из классификации некомпактных многообразий на основе понятия конформного типа многообразия, а также с учетом проведенного в разделе 4 обсуждения двумерного случая, в формулировке гипотезы, приведенной в разделе 3, можно сделать естественное уточнение, касающееся зависимости канонического вида искомой изопериметрической функции от конформного типа данного многообразия, а именно: в классе конформных метрик многообразия (Мп,д) изопериметрическая функция многообразия, имеющая евклидов вид, существует на конформно параболическом многообразии, а имеющая линейный вид — на конформно гиперболическом многообразии.
Как уже было отмечено, уточненная гипотеза в целом получила подтверждение (хотя и остались некоторые не до конца выясненные моменты, о которых мы скажем ниже). В результате доказана следующая теорема.
Теорема 1 (о нормальном виде изопериметрической функции). Пусть (Мп,д) — произвольное связное некомпактное риманово многообразие.
Тогда при любом е > 0 можно построить метрику д, конформную исходной метрике д, такую что д-объем многообразия Мп бесконечный и на (Мп,д) выполняется изопериметрическое неравенство, в котором изопериметрическая функция Р имеет следующий вид:
- если (Мп,д) — многообразие конформно-гиперболического типа, то Р(х) = = а ■ х при всех х > 0 (где а > 0 — некоторая постоянная);
- если (Мп,д) — многообразие конформно-параболического типа, то Р(х) = ^^
= Ъ ■ х~ при всех х > £ (где Ъ > 0 — некоторая постоянная).
При этом указанная изопериметрическая функция Р является е-асимптоти-чески точной на многообразии (Мп,д).
Эту теорему можно дополнить следующей информацией о геометрическом виде исчерпания многообразия, на котором реализуется е-асимптотическая точность изопериметрической функции V.
Дополнение. В случае многообразия (Мп,д) конформно-гиперболического типа е-асимп-тотически точное для линейного изопериметрического неравенства исчерпание многообразия является сколь угодно близким к (/-шаровому исчерпанию многообразия Мп (то есть к исчерпанию, состоящему из концентрических геодезических (/-шаров).
В случае многообразия (Мп,д) конформно-параболического типа е-асимптотически точное для евклидова вида изопериметрического неравенства исчерпание многообразия является сколь угодно близким к (/-шаровому исчерпанию не самого многообразия Мп, а его подмногообразия, полученного из Мп выбрасыванием некоторого неограниченного открытого множества конечного (сколь угодно малого) (/-объема.
При этом метрика д является полной.
Замечание. Первая часть теоремы — о приведении изопериметрической функции к линейному виду на конформно-гиперболических многообразиях — доказана в работах [1] и [3]. Вторая часть теоремы — о приведении изопериметрической функции к евклидову виду на конформно-параболических многообразиях — в работах [4] и [5].
Обратим внимание, что в теореме евклидов вид изопериметрической функции Р(х), в отличие от линейного вида для конформно-гиперболического многообразия, установлен лишь для достаточно больших х > 0 (точнее, для X > £, где е априори сколь угодно мало).
Это ограничение представляется вполне естественным для данной теоремы, поскольку конформный тип многообразия характеризует поведение многообразия только на «бесконечности» и поэтому может отвечать за выполнимость изопериметрического неравенства лишь для областей достаточно большого (/-объема.
Тем не менее в случае многообразий конформно-гиперболического типа предположение об отграниченности от нуля (/-объемом областей И не требуется (хотя в первоначальном доказательстве в [1] это предположение присутствовало, но в дальнейшем нам удалось от него освободиться в [3]).
Вполне возможно, что указанное ограничение является излишним и для конформно-параболических многообразий.
7. Об обращении теоремы о нормальном виде изопериметрической функции
Теорема 1 утверждает, что для произвольного многообразия (Мп,д) его изоперимет-рическую функцию можно привести с помощью конформного преобразования исходной метрики д к тому или иному асимптотически точному нормальному виду (линейному или евклидову) в зависимости от конформного типа данного многообразия.
Естественно, возникает вопрос о справедливости обратной теоремы о том, характеризуется ли конформный тип многообразия возможностью приведения его изопериметрической функции к линейному или евклидову виду (при условии или без условия асимптотической точности).
В случае линейного вида изопериметрической функции (какой она имеет в пространстве Лобачевского Н”) ответ на поставленный вопрос дает следующее предложение (см. [1]).
Предложение 1. Если в некоторой метрике д, конформной исходной метрике многообразия (Мп,д), его д-объем бесконечен, а его изопериметрическая функция имеет вид Р(х) = а ■ х, а > 0, при достаточно больших х > 0, то (Мп,д) — многообразие конформно-гиперболического типа.
Это предложение является прямым следствием следующей известной нижней оценки конформной емкости (см., например, [6, с.48]):
Поскольку для линейной изопериметрической функции интеграл в правой части сходится, то сар (С, Мп) > 0. Значит, многообразие Мп — конформно-гиперболичес-
Таким образом, для первой части теоремы 1, утверждающей существование на конформно-гиперболическом многообразии (Мп,д) в классе его конформных метрик изопериметрической функции линейного вида, справедливо и обратное утверждение.
Более того, конформно-гиперболический тип многообразия гарантируется наличием в классе конформных метрик многообразия изопериметрической функции линейного вида а ■ х даже при достаточно больших х > 0 и без дополнительных предположений о точности этой изопериметрической функции.
Перейдем теперь к рассмотрению евклидова вида изопериметрической функции (который она имеет в пространстве М”).
В отличие от рассмотренного линейного вида изопериметрической функции существование на многообразии изопериметрической функции евклидова вида Ъ ■ х~^~ (при достаточно больших х > 0) еще не определяет однозначно конформный тип данного многообразия, а именно, конформно-параболический тип.
Действительно, в силу теоремы 1 на любом многообразии (Мп,д) конформно-гиперболического типа в некоторой метрике д, конформной метрике д, существует изо-периметрическая функция линейного вида а ■ х при х > 0. Следовательно, функция евклидова вида а ■ х'^, будучи при х > 1 меньшей, чем а ■ х, также является изопериметрической функцией многообразия (Мп,д) для всех областей (/-объема х > 1.
Правда, в указанной метрике д изопериметрическая функция евклидова вида не будет асимптотически точной ни на каком исчерпании многообразия (поскольку невозможно одновременное выполнение как линейного вида изопериметрического неравенства (*), так и евклидова вида обратного изопериметрического неравенства (**) для областей сколь угодно большого объема).
Тем не менее (см. теорему 2 следующего раздела) в классе конформных метрик произвольного конформно-гиперболического многообразия (Мп,д) для любого е > 0 можно построить метрику, в которой изопериметрическая функция многообразия является е-асимптотически точной и имеет евклидов вид Ъ ■ х^ при х>£.
Таким образом, для второй части теоремы 1, утверждающей существование на конформно-параболическом многообразии (Мп,д) в классе его конформных метрик асимптотически точной изопериметрической функции евклидова вида, обратное утверждение не справедливо.
Однако остается возможность обращения теоремы 1 для случая конформно-пара-болического многообразия, если дополнить ее утверждение определенным условием о характере исчерпания, на котором реализуется асимптотическая точность искомой изопериметрической функции V евклидова вида. Ориентиром в поиске такого обращения может стать следующее простое предложение.
сар (С, Мп) >
где С — произвольный континуум в Мп, (/-объем которого V(С) > 0.
Предложение 2. Предположим, что для всех областей И некоторого исчерпания полного некомпактного риманова многообразия (Мп,д) бесконечного объема выполняется обратное изопериметрическое неравенство (**) для функции V евклидова
ТЬ — 1
вида Ъ ■ х~, Ь > 0, при достаточно больших х > 0.
Тогда если это исчерпание шаровое, то многообразие (Мп,д) имеет конформ-но-параболический тип.
Доказательство. Действительно, поскольку для любого шара В (г) С Мп (радиуса г) его объем У(г) := У(В(г)) и площадь 5(г) := 5(сШ(г)) его границы связаны соотношением У{г) = 5(г), то обратное изопериметрическое неравенство (**) с функцией
^^
Т>(х) = Ъ ■ х~^~ для шарового исчерпания {В(г)} переписывается в следующем виде:
У'(г) < с-У(г)^
при всех достаточно больших г > 0. Здесь с > 0 — некоторая постоянная.
Интегрируя это дифференциальное неравенство, получаем для всех достаточно больших г оценку: У{г) < с - гп (с некоторой другой постоянной с), которая обеспечивает, как хорошо известно (см., например, [2]), конформно-параболический тип полного некомпактного многообразия Мп.
В настоящее время мы не знаем, может ли предложение 2 служить в качестве обратной теоремы к теореме 1 (в соответствующей уточненной форме) в случае многообразия конформно-параболического типа, поскольку имеющееся доказательство теоремы 1, как было сказано в дополнении к ней, предъявляет исчерпание, хотя и близкое к шаровому исчерпанию подмногообразия, но все же не к шаровому исчерпанию всего многообразия, которое фигурирует в условии предложения 2.
Тем не менее удалось выявить некоторые аналитические свойства построенного в доказательстве теоремы 1 асимптотически точного исчерпания, характеризующие его близость к шаровому исчерпанию, и с помощью этих свойств определить класс исчерпаний, на которые распространяется предложение 2. Об этом — в следующем разделе.
8. Евклидово изопериметрическое неравенство
В данном разделе мы сформулируем теорему о том, что в классе конформных метрик произвольного некомпактного многообразия (Мп,д) всегда выполняется асимптотически точное изопериметрическое неравенство евклидова вида.
При этом мы приведем аналитические свойства исчерпаний, на которых в случае конформно-параболических многообразий реализуется указанная асимптотическая точность евклидова вида изопериметрического неравенства, причем приводимые свойства исчерпания будут однозначно определять конформно-параболический тип многообразия.
Напомним, что под исчерпанием многообразия Мп понимается, как обычно, семейство областей С Мп, £ > £0, таких, что <е -0(£г) при любых < £2,
причем = Мп. Говорят, что исчерпание {£>(£)} порождается функцией исчерпания к, если к — непрерывная функция на Мп такая, что = {р Е Мп \ < 1}
для всех I > 10.
В случае некомпактного полного риманова многообразия (Мп,д) стандартным примером его функции исчерпания является функция расстояния г = ёд(р,ро) текущей точки р € Мп до некоторой фиксированной точки ро € Мп. Эта функция порождает
шаровое исчерпание многообразия геодезическими шарами с центром в ро. Известно, что г — локально-липшицева функция и |V/г| = 1 почти всюду в Мп.
Определение 1. Исчерпание {D(t)} многообразия (Мп,д) назовем (1 + е)-близким к шаровому исчерпанию данного многообразия, если оно порождается локально-липши-цевой функцией исчерпания h, удовлетворяющей следующим условиям:
- существует открытое множество U С Мп, g-объем которого < е, и такое, что почти всюду на Mn \ U выполняются неравенства
Si < |Vfr| < 62
ДЛЯ некоторых положительных 5\, 62, причем 82/< 1 + £’>
- при почти всех достаточно больших t > О
sup \Vh\ < fit),
dD{t)CU
где функция / является неубывающей (при достаточно больших t > 0) и удовлетворяет
Г-\- ОО (jf .
условию J ущ = +оо.
Теперь мы можем сформулировать анонсированную в начале данного раздела теорему, которая может служить дополнением к теореме 1 (см. раздел 6) о нормальном виде изопериметрической функции.
Теорема 2 (об изопериметрическом неравенстве евклидова вида). Пусть (Mn,g) — произвольное связное некомпактное риманово многообразие.
Тогда при любом е > 0 можно построить метрику д, конформную исходной метрике д, такую что д-объем многообразия Мп бесконечный и на (Мп,д) выполняется е-асимптотически точное изопериметрическое неравенство с изоперимет-рической функцией V евклидова вида V(x) = Ъ ■ х~ при всех х > £ (где Ъ > 0 — некоторая постоянная).
При этом, в случае конформно-параболического многообразия Мп метрику g можно построить полной, а £-асимптотически точное исчерпание для указанной функции V является (1 + е)-близким к шаровому исчерпанию многообразия (Мп,д).
Последнее утверждение этой теоремы можно дополнить замечанием о том, что в случае конформно-гиперболического многообразия Мп асимптотически точное исчерпание для изопериметрической функции V евклидова вида не может быть (1 + е)-близким к шаровому исчерпанию многообразия. Такое замечание никак не связано с конструкцией метрики д в теореме 2, а является непосредственным следствием следующей общей теоремы.
Теорема 3. Предположим, что для всех областей D некоторого исчерпания некомпактного риманова многообразия (Мп,д) бесконечного объема выполняется обрат-
^^
ное изопериметрическое неравенство (**) для функции V евклидова вида Ъ- х~, где Ъ > 0 — постоянная.
Тогда, если это исчерпание является (1 + е)-близким к шаровому исчерпанию многообразия (для какого-либо £ > 0), то многообразие имеет конформно-парабо-лический тип.
Как видим, эта теорема распространяет предложение 2 (предыдущего раздела) с шаровых исчерпаний многообразия на исчерпания, близкие к шаровым.
С другой стороны, именно на таких исчерпаниях, в силу теоремы 2, реализуется асимптотическая точность евклидова вида изопериметрического неравенства в классе конформных метрик конформно-параболического многообразия.
Таким образом, как непосредственное следствие теорем 2 и 3, имеем.
Критерий конформной параболичности риманова многообразия. Связное некомпактное риманово многообразие (Мп,д) имеет конформно-параболический тип тогда и только тогда, когда для любого е > 0 найдется такая конформная исходной метрике многообразия полная метрика д, в которой объем многообразия (Мп,д) бесконечный и существует е-асимптотически точная изопериметрическая функ-ция V евклидова вида V(x) = Ъ ■ х~ при х > s, причем соответствующее е-асимп-тотически точное для указанной функции V исчерпание многообразия является (1 + е)-близким к шаровому исчерпанию многообразия (Мп,д).
Выражаю свою искреннюю благодарность В.А. Зоричу за постоянное внимание и интерес к настоящей работе, ценные советы и замечания.
Я глубоко признателен В.М. Миклюкову и всем слушателям моего доклада по теме данной работы за интересные вопросы и обсуждение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зорич, В. А. Изопериметрическое неравенство на многообразиях конформно-гипербо-лического типа / В. А. Зорич, В. М. Кесельман // Функциональный анализ и его приложения. — 2001. — Т. 35, № 2. — С. 12-23.
2. Зорич, В. А. О конформном типе риманова многообразия / В. А. Зорич, В. М. Кесельман // Функциональный анализ и его приложения. — 1996. — Т. 30, № 2. — С. 40-55.
3. Кесельман, В. М. Изопериметрическое неравенство на конформно-гиперболических многообразиях / В. М. Кесельман // Мат. сб. — 2003. — Т. 194, № 4. — С. 29-48.
4. Кесельман, В. М. Изопериметрическое неравенство на конформно-параболических многообразиях / В. М. Кесельман // Мат. сб. — 2009. — Т. 200, № 1. — С. 3-36.
5. Кесельман, В. М. Об относительном изопериметрическом неравенстве на конформно-па-раболическом многообразии с краем / В. М. Кесельман // Мат. сб. — 2011. — Т. 202, № 7. - С. 117-134.
6. Миклюков, В. М. Геометрический анализ. Дифференциальные формы, почти решения, почти квазиконформные отображения / В. М. Миклюков. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2007. - 503 с.
EUCLIDEAN ISOPERIMETRIC INEQUALITY ON NON-COMPACT RIEMANNIAN MANIFOLD
V.M. Keselman
For arbitrary ??,-dimensional non-compact connected Riemannian manifold the isoperimetric function of the manifold can be reduced to Euclidean form (as in R”) in the class of Riemannian metrics conformal to the initial metric of the manifold; moreover this form is asymptotically sharp.
Key words: Riemannian manifold, conformal type of manifold, conformal capacity, conformal metrics, isoperimetric function.
