CC BY
1Краткие сообщения
УДК 514.8, 531
ОБ ОДИНАКОВО И ПОЛНОСТЬЮ НАПРЯЖЕННЫХ ШАРНИРНЫХ МЕХАНИЗМАХ
М.Д. Ковалёв 1
Приводятся примеры плоских шарнирно-рычажных механизмов, допускающих при своем движении постоянное напряжение всех своих рычагов и имеющих переменные углы между любой парой смежных рычагов. Структурными схемами механизмов этих примеров являются полные двудольные графы.
Ключевые слова: шарнирный механизм, внутреннее напряжение, механизмы Диксона, полный двудольный граф.
Examples of flat hinge-lever mechanisms admitting constant stresses of all their levers during their movement and having variable angles between each pair of adjacent levers are given. Structural schemes of these mechanisms are complete bipartite graphs.
Key words: hinge mechanism, internal stress. Dixon's mechanisms, complete bipartite graph.
В настоящей работе излагаются примеры, дающие ответ на поставленный автором на "Восьмых Поляховских чтениях" (Санкт-Петербург, 2018) вопрос [1]. Мы рассматриваем идеальные плоские шарнирные механизмы. Это деформируемые2 конструкции из жестких стержней (рычагов), соединенных в своих концах шарнирами, допускающими свободное взаимное вращение стержней. Всю конструкцию считаем связной. Таким образом, существует непрерывное движение ее шарниров в плоскости, сохраняющее длины всех рычагов и не сводящееся к движению конструкции как жесткого целого*5. Структуру шарнирного механизма определяем [2, 3] связным без нетель и кратных ребер графом G(V,E), ребра которого отвечают рычагам, а вершины — шарнирам. Шарнирником называем положение шарнирного механизма, определяемое заданием положений pi <Е R2 его шарниров в плоскости.
Рычаги шарнирной конструкции могут быть напряжены и способны прикладывать силы к
pi
pa pj, можно записать [3, 4] как uij (pj — pi). Скал я р uij = Uji называют внутренним напряжением рычага ppj. Если задан шарнирник {pi} с m шарнирами, то его внутренние напряжения и = {uij} определяются как нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений
^ и^(pj — pi) = 0, 1 ^ i ^ m, j
pj
i
Если у нее имеется решение со всеми Uj = 0, то напряжение и называем полным. Легко привести примеры шарнирных механизмов, допускающих в каждом своем положении одно и то же
ш
меров составлены из нензгибаемых частей и не все углы между рычагами, выходящими из одного шарнира, переменны при их движении. Так, механизм на рис. 1 распадается на четыре напряженные нензгибаемые части, подобные его части, составленной из шарниров pi,p2,p3j лежащих на одной прямой и соединенных рычагами plp2, p2p3 и p3pl.
1 Ковалёв Михаил Дмитриевич доктор физ.-мат. паук. проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ.
e-mail: mdkovalevOmt.u-iiet.ru .
Kuvalev Mikhail Dmitrievich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Discrete Mathematics.
"Геометры говорят об изгибаемости конструкции.
-1Если при любом непрерывном движении шарниров, сохраняющем длины рычагов, получается изометричпая исходной конструкция, то исходную конструкцию называют пеизгибаемой.
ма его негогибаемые части перемещаются относительно друг друга с изменением угла в
Естественно возникают два следующих вопроса.
Существует .ли шарнирный механизм, который допускает при своем движении одинаковое и полное внутреннее напряжение ш и все углы между смежными рычагами которого переменны?
Существует ли шарнирный механизм, который допускает при своем движении одинаковое и полное внутреннее напряжение ш и углы между каждой парой рычагов которого переменны?
Мы приведем примеры механизмов, дающие положительный ответ на первый из поставленных вопросов. Назовем их ПНС-механизмами (полностью постоянно напряженными с переменными углами между смежными рычагами). Ранее [1, 3] автором было наложено более сильное требование неизменности полного внутренних) напряжения и переменности углов между смежными Рис. 2. Простейший ПНС-мехашпм рычагами в каждом положении шарнирно-
го механизма. Чтобы удостовериться в его выполнении для механизмов приводимых ниже примеров, достаточно установить неприводимость замыканий по Зарисскому их конфигурационных пространств как алгебраических множеств.
Простейший ПНС-механизм изображен на рис. 2. Это симметричный относительно координатных осей механизм, имеющий структуру полного двудольного графа К4,4. Как правило, конструкция с таким графом нензгибаема, но при указанном на рисунке наборе длин рычагов мы получаем механизм, который можно двигать так, чтобы он оставался симметричен относительно осей неподвижной системы декартовых координат Оху. Шарниры одной его доли лежат на оси Ох, другой — на оси Оу, длины его рычагов равны 1, 5, 5, 7. Если шарнир р\ находится на расстоянии х от начала координат, то шарнир р-2 лежит на расстоянии л/1 — х2 от начала координат, шарнир рз на расстоянии \/24 + х2, а шарнир р4 на расстоянии л/25 — х2. При этом длина рычага рзр4 остается равной 7. Беря внутренние напряжения симметричных рычагов равными и, например, порождая их набор напряжениями Ш12 = 1,Ш23 = — 1,шз4 = = —1, получим, как легко проверить, полное
х
Отметим, что, добавляя по четному числу шарниров в каждую долю на соответствующие оси системы координат с сохранением условия симметрии, из этого механизма мы получим ПНС-механизм с графом К2п,2т, где п,т ^ 2.
Наш механизм построен на основе впервые обнаруженного А.К. Диксоном [5, 6] нетривиального механизма первого типа структуры полного графа К33. Аналогичный пример дает и механизм структуры К44, построенный О. Боттемой (см. [7]) па основе механизма Диксона второго типа. Этот механизм в каждом своем положении имеет ту же симметрию, что и механизм нашего примера, но шарниры каждой его доли не лежат на одной прямой. Конфигурационное пространство этого механизма гладко, а значит, неприводимо, и он являяетея ПНС-механизмом в каждом своем положении.
У всех этих ПНС-механизмов имеются пары рычагов, остающихся параллельными между собой при движении механизма. Таким образом, не все попарные углы между рычагами переменны. И вопрос существования полностью и одинаково напряженных механизмов с переменными углами между каждой парой рычагов остается открытым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kovalev M.D. On equally arid completely stressed hinged mechanisms // AIP Conf. Proc. 8th Polyakhov's Reading-2018. СПб.: American Institute of Physics Inc.. 2018. 1 6.
2. Ковалёв М.Д. Геометрическая теория шарнирных устройств // Изв. РАН. Сер. матом. 1994. 58. № 1. 45 70.
3. Ковалёв М.Д. Геометрические вопросы кинематики и статики. М.: Ленанд. URSS. 2019.
4. Ковалёв М.Д. О восстановимости шарнирников по внутренним напряжениям // Изв. РАН Сер. матем. 1997. 61, № 4. 37-66.
5. Dixon А.С. On certain deformable frameworks // Mess. Math. 1899/1900. 29. 1-21.
6. Wunderlich W. On deformable nine-bar linkages with six triple joints // Proc. Kon. ned. akad. wetensch. A. 1976. 79. 257-262.
7. Maehara H., Tokushige N. When does a planar bipartite framework admit a continuous deformation? // Theor. Comput. Sci. 2001. 263. 345-354.
Поступила в редакцию 22.10.2020
УДК 517.54+514.774
НЕКОТОРЫЕ КРИТЕРИИ ЕМКОСТНОГО ТИПА НЕКОМПАКТНОГО РИМАНОВА МНОГООБРАЗИЯ
Т. Р. Игонина1, В.М. Кесельман2, О. Р. Параскевопуло3
Рассматривается общее понятие интегральной емкости на римановом многообразии, включающее в себя известные для геометрической теории функций емкости, в том числе классическую и конформную. В терминах этой общей емкости, как и в случае классической емкости, определяется понятие емкостного типа некомпактного риманова многообразия. Приводятся некоторые интегральные критерии емкостного типа некомпактного риманова многообразия, которые дополняют и в определенных случаях усиливают известные критерии классического емкостного типа риманова многообразия.
Ключевые слова: риманово некомпактное многообразие, обобщенная емкость, конформный тип, р-параболпческпй тип, р-гиперболический тип, объем геодезического шара, площадь геодезической сферы, функция исчерпания многообразия.
A fairly general concept of an integral capacity on a Riemannian manifold is considered, which includes the concepts of capacity known for the geometric theory of function such as the classical and conformal capacities. In terms of this general capacity, as in the case of the classical capacity, the concept of capacitive type of Riemannian manifold is defined. In this paper, we present some integral criteria of the capacitive type of a non-compact Riemannian manifold, which complement and, in certain cases, strengthen known criteria of the classical capacitive type of a Riemannian manifold.
Key words: non-compact Riemannian manifold, generalized capacity, conformal type of Riemannian manifold, p-parabolic type, p-hyperbolic type, volume of a geodesic ball, area of a geodetic sphere, exhaust function.
1. В работах fl, 2] было введено достаточно общее понятие обобщенной интегральной емкости на произвольном n-мерном римановом многообразии, названное (F, p)-eMKOCTbю, p > 1 (где F — заданная функция, зависящая от точки многообразия и касательного вектора в этой точке), включающее
p
определения обобщенной емкости послужили работы [3, 4]. ( F, p)
( F, p) ( F, p)
1 Игонина Татьяна Романовна — канд. фнз.-мат. наук, доцент каф. высшей математики-2 РТУ МИРЭА, e-mail: t-igoninaQmail.ru.
2Кесельман Владимир Михайлович — канд. фнз.-мат. наук, доцент каф. высшей математики-2 РТУ МИРЭА, e-mail: vmkesQyandex.ru.
3Параскевопуло Ольга Ригасовна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики-2 РТУ МИРЭА, e-mail: OlgarigparQgmail .com.
Iyonina Tatiana Romanovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow Technological University MIREA, the Department VM-2.
Кeselm,an Vladimir Mikhailovich Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow Technological University MIREA, the Department VM-2.
Paraskevopulo Olya Riyasovna Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow Technological University MIREA, the Department VM-2.
