CC BY
1С учетом предложения 6 получаем описание градуировок поля Ь, при которых К С Ье:
1) в качестве Ье может выступать любое промежуточное подполе Р € С(К,Ь)~,
2) для описания градуировок с условием Ье = Р, где Р € С(К, Ь), в обозначениях предложения 6 применяем теоремы 2 и 3 с Р вместо К и {а¿1,.. .,0гл} вместо {а\,ап}.
Следствие 2. Пусть поле Ь градуировано группой О так, что К С Ье. Тогда 8ирр(Ь) = Ж' или Ж4 ®Ж,'-2 при некотором й €{0,... ,и}, причем второй случаи возможен, если только г € Ь\К иБ\Кгф0.
Пример. Опишем градуировки поля Ь = все компоненты которых ненулевые. По
следствию 2 это градуировки по группам {0}, %2, Ж ® и (случай О = {0} тривиален): О = Ж2 О = Ж2 ® Ж2 " О = Ж4
Lo Li
q©QV2 QieQiV 2
Q(BQi
Q(BQiV2 Qv^eQi
L(0,o) L(1,0) L(0,l) L(hi)
Q Q\/2 Qi QiV2
Q Qi QV2 QiV2
Q QV2 QiV2 Qi
Q QiV 2 QV2 Qi
Q Qi QiV2 QV2
Q QiV2 Qi QV2
Lo Li L2 L3
Q Q^ Qi Qfi
Q Q^ Qi Q^
Исследование второго автора поддержано грантом Московского центра фундаментальной и прикладной математики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Albu Т. Cogalois Theory// Pure and Appl. Math. CRC Press, 2003.
2. Nastasescu C., Van Oystaeyen F. Graded ring theory. Amsterdam, North-Holland, 2004.
3. Артин Э. Теория Галуа. M.: МЦНМО, 2008.
Поступила в редакцию 30.07.2021
УДК 511
КОЛИЧЕСТВО РАЗМЕТОК ГРАФОВ ДЕФИНИТНЫХ АВТОМАТОВ
Р. А. Ищенко1
В статье исследуется вопрос о количестве возможных разметок ребер ориентированного графа, при котором образованная диаграмма Мура соответствует некоторому дефинитному автомату. Доказано, что в случае сильносвязного графа автомата в алфавите из двух элементов такая разметка единственна. В случае алфавита из большего числа элементов показано, что максимальное количество разметок экспоненциально зависит от количества вершин.
Ключевые слова: дефинитные автоматы, диаграмма Мура, граф переходов, разметка графа автомата, структура графа автомата.
The issue concerning the number of possible labelings of directed graph's edges such that the resulting automation diagramm corresponds to a graph of a definite automaton is studied in the paper. It is proved that such a labeling is unique for a strongly-connected graph in an alphabet of two elements. In the case of an alphabet with a larger number of elements, the exponential dependence of the maximal number of labelings on the number of vertices is proved.
Key words: definite automata, automation diagramm, transition graph, labelings of automation graph, structure of automation graph.
1 Ищенко Роман Андреевич — асп. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ishchenko.romanlQgmail.com.
Ishchenko Rom,an Andreevich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Theory of Intelligent Systems.
1. Введение. Дефинитные автоматы представляют собой один из основополагающих классов автоматов, изучавшихся в том числе в работах [1-5]. Если мы сотрем отметки на диаграмме Мура автомата (предположим, информация потеряна), то получим ориентированный граф. В работе [5] приведен критерий того, что ориентированный граф может быть доопределен (размечен) до графа некоторого дефинитного автомата (восстановление информации), а также алгоритм, который осуществляет эту разметку (в таком случае граф называется дефинитным,, а разметка — д-разметкой). Цель данной статьи — определить максимальное число д-разметок в зависимости от структуры дефинитного графа. Отдельно рассматриваются автоматы с двумя входными символами, обладающие рядом интересных свойств; например, в [6] показано, что они вместе с булевыми функциями образуют полную систему относительно суперпозиции. В настоящей работе доказано, что в случае двух входных символов разметка сильносвязного дефинитного графа всегда единственна. В случае большего числа символов показано, что максимальное число разметок экспоненциально зависит от количества вершин.
2. Основные понятия и результаты. Пусть V = (А, Q, ф) — конечный автомат без выходов. Автомат V называется дефинитным, если существует такое натуральное число к, что для любого входного слова ^^ны к существует такое состояние ца € что для любого состояния ц € Q выполняется ф(д, а) = ца, при этом минимальное такое к называется глубиной дефинитного автомата. Графом автомата V = (А, Q, ф) называется размеченный ориентированный граф О = ), вершины которого соответствуют состояниям автомата, при этом е = (ц,р) € Ш, /(е) = а ^ ф(ц, а) = р, где / : Ш — А, а € А. Ориентированный граф О = ^, Ш) называется автоматным, если существует такая функция / : Ш — А, что размеченный граф ^, Ш, /) является графом некоторого автомата, в таком случае функция / называется разметкой автоматного графа О в алфавите А, а
О
граф О = ^, Ш), у которого существует такая разметка /, что О = ^, Ш, /) — граф некоторого дефинитного автомата Vf = (А, Q, фд), называется дефинитным, графом,, а разметка / — д-разметкой.
Граф О с разметкой / раскладывается в сумму подграфов О = УаеА Од(а), где Од(а) = (а), /(а)) Ш(а) = {е € Ш\/(е) = а} и /(а) = /\Ш(а) (сужение функции / на множество Ш(а)). Как и в случае групповых автоматов, которые изучались в [7], будем различать разметки с точностью до замены букв и/или кратных ребер: разметки /1 и /2 граф а О в алфавите А называются различными, если множество {О(а)\а € А} = {Од2(а)\а € А}. Так как очевидно, что в случае входного алфавита из одного символа разметка всегда единственна, то далее везде считаем, что
Граф называется сильносвязным,, если существует ориентированный путь из любой вершины в любую другую. В настоящей работе доказано, что, когда алфавит состоит из двух символов и граф является сильносвязным, автомат можно восстановить единственным образом, иначе число разметок экспоненциально зависит от числа вершин.
Теорема 1. Сильносвязный, дефинитный граф О степе ни 2 имеет единственную д-разметку.
Теорема 2. Для любых натуральных чисел ш, к и п, таких что 2 ^ ш ^ к ^ п, существует дефинитный граф О степени ш с п вершинам,и и компонентой, сильной связности из к вершин, у которого не менее (ш — \ук-т+1 * ш!п-к различных д-разметок.
3. Доказательства результатов. Для доказательства теоремы 1 нам потребуется ряд дополнительных определений и лемма 1. Два различных состояния в, Ь автомата V = (А, Q, ф) называются 1-эквивалентными, если для любого символа а € А выполняется ф(в,а) = ф(Ь, а). Если (в,Ь) — пара 1-эквивалентных вершин в автомате V, то сжатым автоматом V(в,Ь) = (А^ \ в,ф3,г) будем называть автомат, полученный из автомата V следующим образом:
В работе [1] было показано, что у дефинитного автомата V с количеством состояний больше 1 всегда существует пара 1-эквивалентных вершин (в, Ь) и что сжатый автомат V(в,Ь) дефинитный тогда и только тогда, когда автомат V дефинитный. Определим множество смежности Г(д) вершины ц графа О = ) как Г(ц) = {р € Q\(q,p) € Ш} и назовем вершины в,Ь ориентированного графа
О = ^, Ш) псевдоэквивалентными, если Г(в) = Г(Ь). По аналогии со сжатым автоматом определим сжатый граф О(в,Ь) = ^ \ в, образованный из графа О = ) следующим образом:
= Ш \ {(в,ц)\ц € Q} и {(д,Ь)\(ц, в) € Ш}. В [5] было показано, что граф дефинитный тогда и только тогда, когда сжатый граф является дефинитным. Далее иногда мы будем подразумевать
\А\ > 1.
фзМ,а)
ф(ц, а), если ф(ц,а) = в; Ь, если ф(д, а) = в.
под разметкой f соответствующий ей автомат Vf и применять к ней вышеопределенные термины (сжатая разметка f (s,t), глубина разметки и пр.).
Лемма 1. В сильносвязном дефинитном графе G = (Q, W) с n > 1 вершинами не существует такой вершины q, что |r(q)| = 1.
n
База индукции: n = 2, пусть Q = {p,q}- Предположим противное, пусть без ограничения общности (БОО) для вершины q выполнено |r(q)| = 1. Если v графа G существует д-разметка, то существует пара псевдоэквивалентных вершин, поэтому Г(р) = r(q); пусть БОО Г(р) = r(q) = q. Тогда в графе не существует пути из вершины q в p, что противоречит тому, что G сильносвязный.
Индуктивный переход: пусть утверждение леммы справедливо для n ^ 2, докажем его для графа cn + 1 вершиной. Предположим противное: пусть для некоторых вершин q и p выполнено r(q) = {p} и f — д-разметка графа G. Пусть (s,t) — пара 1-эквивалентных вершин разметки f; несложно показать, что если s = q, то |r(q)| = 1 в графе G(s,t), иначе |r(t)| = 1. Так как при этом G(s,t) является сильносвязным дефинитным графом с количеством вершин n > 1, получаем противоречие с предположением индукции. Лемма доказана.
Следствие 1. У сильносвязного дефинитного графа с n > 1 вершинами в алфавите из двух элементов нет, кратных ребер.
n
База индукции: n = 1. Утверждение очевидно. Индуктивный переход: пусть утверждение спра-
n
G с количеством вершин n + 1. Предположим, что дефинитный граф G в алфавите из двух символов A = {а, в} имеет две различные д-р азметки fi и f2- Покажем, что v раз меток fi и f2 существует пара одинаковых 1-эквивалентных вершин. Предположим противное, тогда существуют такие вершины s, t,p, q, что вершины s, t 1-эквивалентны в fi, вершины p, q 1-эквивалентны в f2 и {s, t} = {p, q} пусть Б00 s £ {p, q}. Несложно показать, что в графе G(s, t) вершины p, q являются псевдоэквивалентными, тогда граф, полученный сжатием пары (p, q) в графе G(s, t), является дефинитным, обозначим его произвольную д-разметку через g(p, q). Очевидно, что существует некоторая д-разметка g графа G(s, t), в которой пара (p,q) 1-эквивалентна, и д-разметка g(p,q) является сжа-
g fi(s, t) G(s, t)
как в fi(s,t) тара (p, q) не 1-эквивалентна. Поэтому v разметок fi и f2 существует пара одинаковых 1-эквивалентных вершин (s,t) и существуют д-разметки fi(s,t) и f2(s,t). Поскольку разметки fi и f2 различны, то {Gf1 (a),Gfx (в)} = {Gf2 (a),Gf2 (в)} БОО Gf1 (а) £ {Gf2 (a),Gf2 (в)}- При этом по предположению индукции {G(s,t)h(s,t)(a), G(s,t))} = {G(s,t)h(s,t)(a),G(s,t)h(s,t)(в)}, и можем считать, что G(s,t)f1(s,t)(a) = G(s,t)f2(s,t)(a). Это возможно только, если существует такая вершина w, что {^f1 (w,a),pf2 (w,a)} = {s,t} и фf1 (q,a) = фf2 (q,a) для любой вершины q = w. Однако тогда при сжатии вершин s и t образующееся ребро (w, t) является кратным в графе G(s, t) — противоречие со следствием 1. Теорема доказана.
Перед доказательством теоремы 2 исследуем структуру дефинитного графа и докажем ряд дополнительных лемм. Нам понадобится следующее утверждение.
Утверждение 1 [3]. Пусть V = (A, Q, ф) — дефинитный автомат, тогда множество вершин Q может быть представлено в виде разложения из непересекающихся подмножеств {Qo, Qi,...,Qi}, Q = U ¿={o 1} Qi> такого, ч,т,о выполнены, три условия:
1) C = (A, Q0, ф^0) — дефинитный автомат с сильносвязным графом,;
2) для любого i £{1,...,l} и пары (q, а) £ (Qi х A) ф^, а) £ (J^={0 i_i} Qj;
3) для любо го i £ {1,... ,l} и любого состо яния q £ Qi существует буква, а £ A, такая, что ф^,а) £ Qi_i.
Лемма 2. Множество вершин Q дефинитноыо графа G = (Q, W) может быть единственным образом представлено в виде разложения Q = Ui={0 } Qi из непересекающихся подмножеств {Qo,Qi,...,Qi} с соответствующим множест вом ребер Wi = {(p, q) £ W ^ £ Qi} и графами Gi = (Qi U{q £ Q^ ребро (p, q) £ Wi}, Wi), i £{0,... ,l}, такого, что
1) g0 — сильносвязный, граф с множест вом вершин Q0;
2) для любого i £{1,...,l} и ребра, (p, q) в граф е Gi выполне но q £ (Jj={0 i-i} Qj;
3) для любого i £ {1,... ,l} и любой верш ины, p £ Qi в граф е Gi существует р ебро (p, q), такое, что q £ Qi_i.
Доказательство. Возможность разложения следует из утверждения 1, докажем его единственность. Предположим, что существуют два разложения графа G на подграфы {Gi,i = 0,...,l} и
{О., г = 0,..., I'}, удовлетворяюнще условиям, приведенным выше. Докажем индукцией по числу г, что Qi = Q'i для любого г €{0, ...,1}, из чего будет следовать равенство разложений.
База индукции: покажем, что Qo = Q'0■ Из условия 1 следует, что Оо и О'0 являются компо-
О
абщей вершины. Предположим противное, тогда множество вершин Q0 является подмножеством 1} Qi■ Заметим, что для любого числа г = {1,...,1} множество вершин Q0 не является подмножеством Qi, так как иначе для любой вершины р € Q0 в графе О существовало бы ребро (р, д), такое, что д € Qi-1 по условию 3 для разложения {Оi}, что противоречит условию 1 для разложения {О.}. Поэтому существуют вершины р,д € Q0, такие, что р € Qi,д € Qj для некоторых различных чисел г,] € {1,... , I}, пусть г > Тогда так как компонента О0 является сильновязной, то в графе О существует путь из вершины д в вершину р, однако из условия 2 для разложеаия {О.} следует, что любой путь из вершины д может включать только вершины из множества Ук={0 j-l} Qk — противоречие.
Индуктивный переход: пусть для любого г < к € {1,...,1} выполнено Qi = ^^ докажем, что Qk = Q'k■ Покажем, что Qk Q ^^ Предположим противное: пусть существует вершина д, такая, что д € Qk и д € Q'k■ Тш как д € и ¿-о Qi = и^—1 Qi'> т0 существует такое число ] € {к + 1,..., I'}, что д € поэтому то условию 3 для {О.} в графе О существует ребро (д,р), такое, что р € ^^_1, что противоречит условию 2 для {О.}. Аналогиино Q'k Q Qk■, что доказывает лемму.
Следствие 2. Пусть множество а ерши н ^ ^^^^^^тюго графа О = ^, Ш) может быть представлено в виде разложения Q = и.={0 1} Qi, удовлетворяющего условию леммы 2. Тогда,
О0 О /
0 /0 /\ О0 О0
О0 /
фа О такова, что /0= /\О0 является д-разметкой графа О0. Пусть Ь = шах{\аа\: д € Q \ Q0,a € А*,а € А,ф(д,а) € Q \ Q0 и ф(д,аа) € Q0} и г0 — глубина д-разметки /0. Докажем, что / является д-разметкой с глубиной г ^ Ь + Т0- Рассмотрим любое слово а длины Ь + Т0, пусть а = Ьс, \Ь\ = Ь, \с\ = г0. Тогда то определению Ь для любого состояния д € ^ ^^^^аднено фд(д,Ь) € Q0. Так как глубина д-разметки /0 равна Т0, то существует состояние дс € Qo, такое, что для любого состояния д € Qo имеет место фд (д,с) = дс. Поэтому для любого со стояния д € Q выполнено фд(д, а) = фд(д, Ьс) = фд(фд(д,Ь),с) = дс, значит, / является д-разметкой графа О и О дефинитный.
Необходимость (дефицитность разметки /0= / О0 для любой д-раз метки / графа О) напрямую следует из утверждения 1 и леммы 2. Следствие доказано.
О0 ш
к ^ ш вершинами и натурального п ^ к существует дефинитный граф О степени ш с п вершинами, компонентой сильной связности О0 и количеством д-разметок, не меньшим ш^- * I, где
1 — количество различных д-разметок графа О0.
О
степени ш с п вершинами и с компонентой сильной связности О0, такой, что любое ребро в графе О \ О0 не является кратным и
О0
вершину подграфа О0 (существует, так как к ^ ш, см. рис. 1).
О
разметка / графа О такова, что /\О0 = /0 является д-разметкой, обозначим множество этих д-разметок Т. Покажем, что в Т не менее ш^- * I различных д-разметок. Пусть {д1,... ,д1} — произвольный набор из I различных д-разметок графа О0 и Т. = {разметки /графа О такие, что / О0 = д¡}, г €{1,...,1}. Заметим, что если разметка /. € Т. и разметка / € Т для г = то разметки /. и Рис. 1. Граф О /р различны, так как д. и др различны. Пусть две разметки /. и
/' принадлежат Т. для некоторого г € {1,...,1}, /. = /' (как функции). Тогда существует такой символ а, что (а) = Од;(а), при этом для любого символа 7 = а выполнено (а) = Од/(^), поскольку ОЯ1 (а) = О91 (^) из-за отсутствия крат пых ребер в О0. Поэто му разм етки /¡и /' различны. Для доказательства леммы осталось заметить, что и.е{1 1} Т. ^ Та \Т. \ = ш^- для любого г €{1,...,1}. ""'
Лемма 4. Для любых натуральных чисел т и и, таких, что и ^ т ^ 2, существует сильносвязный дефинитный граф без кратных ребер С степени т с количеством вершин и, у которого
не менее (m — 1)!
n_m+i
д-разметок.
Доказательство. Случай т = 2 очевиден, пусть т ^ 3. Рассмотрим граф С с вершинами {д1,..., дп} и разметкой / в адфавите {а1,..., ат}, такой, что выполнены 4 условия (см. рис. 2, различная штриховка ребер обозначает различные символы алфавита, по которым осуществляется переход) :
1) (д, аг) = дг для любого д Е иг Е{1,...,т — 1};
2) фf (дг ,ат) = дп для любо го г Е {1,...,т — 1};
3) фf (дг,ат) = дг-1 для любого г Е{т + 1,...,п}-,
4) фf (дт,ат) = дт-
Очевидно, что С
Рис. 2. Разметка /
сильносвязный граф без кратных ребер. Разметка / является дефинитной с глубиной и — т + 1, так как для любого состояния д Е Q выполнено
{дг для любого слова а, оканчивающегося на аг при люб ом г е{1, ...,т — 1};
дп-¿+1 для любого слова а, оканчивающегося на г символов ат при любом г Е{1,...,п — т + 1}.
Рассмотрим множество Т разметок графа С, таких, что для любой разметки / 'из Т выполнено (д,ат) = фf(д,ат) и ^(дг,а^) = фf(дг,а^) для любого д Е ^ ^ ^юбых г,] Е {1,...,т — 1}.
Заметим, что T| = (m — 1)!
n_m+i
числу всевозможных перестановок из m — 1 цветов аl,
) аm_1
для каждой из n — m + н qm,... ,qn. Каждая из этих разметок является д-разметкой, так как
в любой разметке f' £ T вершины qi,..., qm_i 1-эквивалентны и f'(qi,..., qm_i) = f (qi,..., qm_i)
m—2
из набора {qi,.. .,qm_i})-
fi f2 T fi = f2
функции). Тогда существует такое i, что Gf1 (ai) = Gf2(аi). При этом для любого символа j = i, j £ {1,...,m} выполнено Gf1 (а^ = Gf2 (аj•), поскольку фf1 (qi^i) = qi и фf2 (qi^j) = qj. Поэтому Gf1 (а) £ {Gf2(y),y £ A} из чего следует, что fi и f2 различные д-разметки. Лемма доказана. Доказательство теоремы 2 напрямую следует из лемм 3, 4.
Автор проносит благодарность научному руководителю Д. Н. Бабину за оказанную помощь и поддержку в исследовании задачи и написании данной работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Perlee М., Rabin М.О., Shamir Е. Theory of definite automata j j IEEE Trans. Electron. Coniput. 1963. 12. 233 243.
2. Ginzburg A. About some properties of definite, reverse-definite and related automata j j IEEE Trans. Electron. Coniput. 1966. 15. 806 810.
3. Ito M., Duske J. On cofinal and definite automata j j Acta Cybernetica. 1983. 6. N 2. 181 189.
4. Жук Д.Н. О классификации автоматных базисов Поста по разрешимости свойств А-полноты для дефинитных автоматов // Дискретн. матем. 2010. 22. № 2. 80 95.
5. Ищенко Р. А. О разметке графов дефинитных автоматов j j Вести. Моск. ун-та. Матом. Механ. 2019. № 5. 44 48.
6. ВаЫп D.N. On completeness of the binary bounded determined functions with respect to superposition j j Discrete Math, and Appl. 1991. 1, N 4. 423 431.
7. Ищенко P.А. Оценка количества разметок графов групповых автоматов j j Интеллект, системы. 2020. 24. № 4. 75 86.
Поступила в редакцию 28.07^2021
