CC BY
5
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 512.72
DOI 10.24147/1812-3996.2020.25(3).4-7
ГОМОМОРФНЫЙ ОБРАЗ НАСЛЕДСТВЕННО ЧИСТОЙ АЛГЕБРЫ С ВЫДЕЛЕННЫМ ИДЕМПОТЕНТОМ
О. В. Князев
Омский государственный педагогический университет, г. Омск, Россия
Информация о статье Аннотация. Изучаются наследственно чистые алгебры. Описаны свойства класса
Дата поступления наследственно чистых алгебр с выделенным идемпотентом.
03.07.2020
Дата принятия в печать 08.09.2020
Дата онлайн-размещения 28.12.2020
Ключевые слова
Универсальная алгебра, чистота
THE HOMOMORPHIC IMAGE OF A PURE HEREDITARY ALGEBRAS WITH A DISTINGUISHED IDEMPOTENT
Abstract. Inherently pure algebras are studied. Properties of the class of inherently pure algebras with an idempotent are described.
O. V. Knyazev
Omsk State Pedagogical University, Omsk, Russia
Article info
Received 03.07.2020
Accepted 08.09.2020
Available online 28.12.2020
Keywords
Universal algebra, purity
Значительную роль в теории групп играют понятия полноты, редуцированности, периодичности, сервантности и слабой сервантности (чистоты). Л. М. Мартынов в 2000 г. доказал в работе [1], что к определению этих понятий возможно подойти, используя теорию многообразий групп. Это позволило определить редуцированность, периодичность, чистоту для произвольных алгебр. В [1] предлагалась обширная программа по изучению универсальных алгебр, различных классов алгебр. В предыдущие годы проводились изучения по многим аспектам этой программы. Эти исследования веско передали
продуктивность и важность предложенного Л. М. Мартыновым подхода для развития структурных теорий универсальных алгебр. В 2016 г. вышел обзор Л. М. Мартынова [2], который подводит итоги проделанной работы, уточняет и ставит новые задачи для исследователей. В частности, в [2] ставится проблема 3.17 «Описать наследственно чистые алгебры данного многообразия алгебр» и проблема 3.18 «Охарактеризовать многообразия, в которых совпадают классы наследственно чистых и наследственно вербально чистых алгебр». В [3-5] отмечается ряд свойств наследственно чистых алгебр, в
ISSN 1812-3996-
частности, чистых алгебр с выделенным идемпотентом. В настоящей заметке продолжается изучение наследственно чистых алгебр с выделенным идем-потентом.
Прежде чем сообщить результаты заметки, приведем необходимые определения и условимся относительно некоторых обозначений.
Пусть V - произвольное фиксированное многообразие (универсальных) алгебр, в сигнатуру которых входит нульарная операция - выделение идем-потента; L(V) - решетка подмногообразий многообразия V, XeL(V),AeV. В дальнейшем под словом «алгебра» понимается алгебра из класса V, а через е обозначается выделенный идемпотент. Напомним, что элемент алгебры называется идемпотентом, если порождаемая им подалгебра одноэлементная. Наименьшая конгруэнция во множестве всех кон-груэнций на A - фактор алгебры, по которым принадлежат X, называется X-вербальной конгруэнцией алгебры A и обозначается через p(X, A). В классе алгебр с выделенным идемпотентом единственным классом X-вербальной конгруэнции p(X, A) на алгебре A, являющимся подалгеброй алгебры A, будет класс, содержащий идемпотент е. Обозначают его через X(A) и называют X-вербалом алгебры A.
Подалгебру B алгебры A называют X-чистой в A, если
X(B) = X(A) nB (*).
В случае, когда равенство (*) выполняется для любого атома решетки L(V), говорят, что подалгебра B алгебры A является атомно чистой в A. Если равенство (*) выполняется для любого подмногообразия X многообразия V, подалгебру B алгебры A называют вербально чистой в A. Алгебру, у которой все подалгебры являются X-чистыми, называют наследственно X-чистой алгеброй. Говорят, что алгебра A-X-полная, если X-вербал X(A) алгебры A совпадает с A .
Если а есть элемент алгебры A, то (а) обозначает подалгебру из A, порожденную элементом а. Подалгебру (a) называют моногенной подалгеброй. Элемент а алгебры A назовем X-полным, если X((a)) = (а). Множество всех X-полных элементов алгебры A обозначим через Cx(A). Здесь удобно заметить, что для любой алгебры A и любого многообразия X, как нетрудно понять, имеет место включение: Cx(A)cX(A).
Формулировке основного результата заметки (теорема) предпошлем несколько вспомогательных утверждений, некоторые из них представляют само-
стоятельный интерес или уже отмечались в других заметках.
Лемма 1. Подалгебра С алгебры А, порожденная множеством Сх(А), является Х-полная алгеброй.
Доказательство. Для любого элемента с е С очевидно включение: Х((с)) с Х(С) с С. Но если Х((с)) = (с), то множество Сх(А), порождающее алгебру С, включается в подалгебру Х(С). Значит Х(С) = С.
Лемма 2 ([5], лемма 1). Если все моногенные подалгебры алгебры А суть Х-чистые подалгебры алгебры А, то А является наследственно Х-чистой алгеброй.
Следствие. Алгебра А - наследственно атомно (вербально) чистая тогда и только тогда, когда каждая ее моногенная подалгебра является атомно (вербально) чистой.
Лемма 3 ([4], предложение). Алгебра А является наследственно Х-чистой алгеброй тогда и только тогда, когда Сх(А) = Х(А).
Лемма 4 ([3], следствие 1). Всякая подалгебра наследственно Х-чистой алгебры суть наследственно Х-чистая алгебра.
Справедливость следующей леммы следует из утверждения 3 работы [1]
Лемма 5. Пусть С = А х В - прямое произведение Х-полных алгебр А и В, то С есть Х-полная алгебра.
Лемма 6. Если алгебры А и В являются наследственно Х-чистыми алгебрами, то прямое произведение АхВ также есть наследственно Х-чистая алгебра.
Доказательство. Пусть алгебры А и В являются наследственно Х-чистыми алгебрами. Тогда из леммы 2 следует, что Сх(А) = Х(А) и СХ(В) = Х(В). Нетрудно понять, включение Х(АхВ) с Х(А) х Х(В) = Сх(А) х Сх(В). Но по лемме 5 алгебра Сх(А) х Сх(В) есть Х-полная алгебра. А значит Х(А) х Х(В) с Х(А х В). Получили, что Х(А) х Х(В) = Сх(А) х Сх(В) = Сх(А х В) = Х(АхВ). По лемме 3 А х В - наследственно Х-чистая алгебра.
Напомним, что порождающая совокупность M элементов алгебры А называется независимой порождающей совокупностью элементов, если произвольное отображение M в алгебру А может быть продолжено до эндоморфизма алгебры А.
Договоримся, многообразие, порожденное алгеброй А, обозначать через уаг(А), а подмногообразие многообразия V, состоящее только из одноэлементных алгебр, - через Т.
Из [6, следствие 4] следует лемма7.
Лемма 7. Для того, чтобы алгебра A была свободной в многообразии уаг^), необходимо и достаточно, чтобы она обладала независимой порождающей совокупностью элементов.
В дальнейшем будем работать в многообразии алгебр, в котором каждая моногенная алгебра имеет независимую порождающую совокупность элементов. К таким, например, относятся многообразия всех групп, всех моноидов, всех полугрупп с нулем.
Лемма 8. Пусть V - многообразие алгебр, в котором каждая моногенная алгебра имеет независимую порождающую совокупность элементов. Тогда гомоморфный образ наследственно атомно чистой моногенной алгебры из V является наследственно атомно чистой алгеброй.
Доказательство. Пусть (о) - наследственно атомно чистая моногенная алгебра из V. Как отмечалось выше, (о) является свободной алгеброй в vaг((a)). При этом всякий гомоморфный образ Ща)) алгебры (а) находится в vaг((a)) и является моногенной алгеброй, которую обозначим через (Ь)= Ща)), а через р((а)) - конгруэнцию, соответствующую этому гомоморфизму. В свою очередь, (Ь) - свободная моногенная алгебра в vaг((Ь)). Также будем помнить, что vaг((Ь)) с vaг((a)). Хорошо известно, что для всякого неединичного подмногообразия X алгебр из V и любого атома Р решетки ¿(V) имеет место одно из двух: Р с X либо Р п X = Т. Если vaг((Ь)) п Р = Т, то Ср(Ь) = Р((Ь)) = (Ь) и по лемме 3 алгебра (Ь) - наследственно Р-чистая алгебра. Если Р с vaг((Ь)), то р((а)) с р(Р, (а)). Вспоминая вторую теорему о гомоморфизмах и то, что все свободные моногенные алгебры многообразия X изоморфны, заключаем, что моногенная, свободная в многообразии Р, ал-гебра(о)/р(Р, (а)) изоморфна моногенной, свободной в многообразии Р, алгебре(Ь)/р(Р, (Ь)). По условию Ср(а) = Р((а)). Значит, Ср(Ь) = Р((Ь)). Это и говорит о том, что (Ь) есть наследственно Р-чистая алгебра.
Из теоремы работы[5] следует лемма 9.
Лемма 9. Класс наследственно атомно чистых алгебр из многообразия V алгебр с выделенным идемпотентом, в котором каждая моногенная ал-
-ISSN 1812-3996
гебра обладает независимой порождающей совокупностью элементов, совпадает с классом наследственно вербально чистых алгебр из многообразия.
Тогда, собирая вместе следствие и леммы 2, 4, 5, 8, 9, получим теорему.
Теорема. Класс всех наследственно атомно чистых алгебр из многообразия V алгебр с выделенным идемпотентом, в котором каждая моногенная алгебра обладает независимой порождающей совокупностью элементов, совпадает с классом всех наследственно вербально чистых алгебр из многообразия V и замкнут относительно взятия подалгебр, конечных прямых произведений и гомоморфных образов.
Замечание. Класс наследственно атомно чистых алгебр многообразия алгебр может быть не замкнутым относительно бесконечных прямых произведений. Приведем соответствующий пример.
Пусть V - многообразие всех групп. Хорошо известно, что атомы решетки L(V) - это в точности многообразия Ap абелевых групп простой экспоненты р для всех простых р. Всякая циклическая группа (ар) простого порядка р является наследственно атомно чистой группой хотя бы потому, что у нее нет нетривиальных подгрупп. Рассмотрим бесконечное прямое произведение A = Прер(ар) циклических групп (а)р, заставив р пробегать бесконечное множество P различных простых чисел. Выберем в группе A циклическую подгруппу (b), порожденную элементом b = (api, ар2,..., apn, ...)е A. Нетрудно понять, что подгруппа (b) есть бесконечная циклическая группа. И, если предположить, что A = Прер(ар) является наследственно атомно чистой группой, то по лемме 4 и группа (b), подгруппа группы A, будет наследственно атомно чистой. Покажем, что это не так. Зафиксируем простое число р. Группа (b) - бесконечная группа, значит - Ap(b) Ф (b) и элемент bp е Ap(b). Подгруппа (bp) с Ap(b). Значит, Ap(b) n (bp) = (bp), но (bp) также бесконечная группа, поэтому Ap(bp) Ф (bp). Следовательно, подгруппа (bp) группы (b) не есть чистая подгруппа группы (b). Следовательно, (b) не будет наследственно атомно чистой. В [7] можно найти описание наследственно атомно чистых групп.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Мартынов Л. М. О понятиях полноты, редуцированности, примарности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения : тр. междунар. семинара. Волгоград, 2000. С. 179-190.
Вестник Омского университета 2020. Т. 25, № 3. С. 4-7
ISSN 1812-3996-
2. Мартынов Л. М. Полнота, редуцированность, примарность и чистота для алгебр: результаты и проблемы // Сибирские Электронные Математические Известия. 2016. Т. 13. С. 181-241.
3. Князев О. В. О чистых алгебрах // Вестник Омского университета. 2001. № 3. С. 18-20.
4. Князев О. В. О чистых алгебрах с выделенным идемпотентом // Математика и информатика: наука и образование : межвуз. сб. науч. тр. : ежегодник. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2001. Вып. 1. С. 17-19.
5. Князев О. В. Об абсолютно чистых алгебрах с выделенным идемпотентом // Математика и информатика: наука и образование : межвуз. сб. науч. тр. : ежегодник. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. Вып. 2. С. 23-26.
6. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М. : Наука, 1970. 392 с.
7. Князев О. В. Клиффордовы полугруппы с чистыми подполугруппами. М., 2000. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 30.03.00, № 861-В00.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Князев Олег Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике, Омский государственный педагогический университет, 644099, Россия, г. Омск, наб. Тухачевского, 14; e-mail: knyazev50@rambler.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Knyazev Oleg Viktorovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Omsk State Pedagogical University, 14, nab. Tukha-chevskogo, Omsk, 644099, Russia; e-mail: knyazev50@ rambler.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Князев О. В. Гомоморфный образ наследственно чистой алгебры с выделенным идемпотентом // Вестн. Ом. ун-та. 2020. Т. 25, № 3. С. 4-7. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(3).4-7.
FOR QTATIONS
Knyazev O. V. The homomorphic image of a pure hereditary algebras with a distinguished idempotent. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2020, vol. 25, no. 3, pp. 4-7. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(3).4-7. (In Russ.).
