Об относительно полных алгебрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2000. N.3. С.9-11.

© Омский государственный университет, 2000

УДК 512.572

ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЛНЫХ АЛГЕБРАХ

Л.М.Мартынов

Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры 644099, Омск, наб. Тухачевского 14

Получена 29 февраля 2000 г.

There are found sufficient conditions (they are necessary in cases of groups, modules and rings) for the existence of complete algebras in regard to some subvariety of any variety of algebras with the distiguished idempotent.

В теории абелевых групп важную роль играют понятия полноты (делимости), редуцированности, периодичности (в частности примарности) и чистоты (сервантности). Оказывается к этим понятиям возможен другой подход, использующий теорию многообразий групп. Это обстоятельство позволило нам определить их аналоги для произвольных алгебр [1]. При изучении этих понятий важно располагать критерием существования полных (относительно некоторого многообразия) алгебр. При этом зачастую необходима детализация аннонсированного в [2] предложения 1.2. Здесь приведены с обоснованием достаточные условия (в случаях групп, модулей и колец они являются и необходимыми) для существования в некотором многообразии алгебр с выделенным идемпотентом полной алгебры по некоторому его подмногообразию и для существования в нем квазимоногенной алгебры. Опираясь на общие результаты работы и основной результат статьи [3], получен отмечавшийся в литературе (см. [4, 5, 6]) факт о существовании при любом простом р > 3 локально конечной группы экспоненты р, совпадающей со своим коммутантом (на самом деле этот факт усилен добавлением требования о нетривиальности центра такой группы).

Пусть V — произвольное фиксированное многообразие алгебр с выделенным идемпотентом е, Ь(У) — решетка его подмногообразий, X € Ыу) и А £ V. Алгебра А называется X-полной, если ее Я'-вербальная конгруэнция р(Х, А) (т. е. наименьшая среди всех конгру-

1e-mail: martCiomsk.edu

энций алгебры А, факторалгебры по которым принадлежат X) есть универсальное отношение на А, т. е. р(Х,А) = А х А. Это равносильно тому, что Я-вербал Х{А) алгебры А (т. е. класс конгруэнции р{Х,А), содержащий е) совпадает с А. Алгебра А называется X-разрешимой, если она не имеет неодноэлементных Я-полных подалгебр. Последнее равносильно тому, что Х1{А) = {е} для некоторого ординала 7, где Я7(Л) обозначает -/~й Я-вербал алгебры А (см., напр., [7]).

Пусть X := {ar0,xi,...} — бесконечное счетное множество переменных. Для терма t над X через E(t) обозначается множество всех переменных из X, входящих в запись t . Если E(t) ф 0, то h(t) и f{i) обозначают соответственно минимальный и максимальный индексы переменных из E(t).

Пусть Т = {tn} — последовательность термов, удовлетворяющая следующим условиям:

1) E(tn) ф 0 для любого п;

2) E(tk) О Е(1т) = 0 для любых к ф гп;

3) h(t0) = 1 и f(tn) + 1 = h{tn+¡) для любого

п;

4) для любых к и п таких, что h(tn) < к < f(t„), переменная Хк принадлежит E(t„). Определим теперь последовательность S ~ {sn} термов над X:

sо х0, sn+i :=z Sn(th(sn), th(sn)+i, ■ ■ ■ ,tfU„))-

Ясно, что S обладает теми же свойствами. что и Т, исключая первое свойство из 3), так как h{s0) = 0, но h(t.0) — 1. Введем в рассмотрение последовательности {сп}

10

Л.М.Мартынов

констант и ^ = {.Рп} формул вида: :=

(МсМ«п)> сЧ«»)+ь • • чс/(и)) = с«)-

Следующая лемма легко доказывается индукцией по п.

Лемма. Если существуют такие элементы со, С1,..., ст в алгебре А, что все формулы из Т с константами из {со, с\,..., ст} верны в А, то для любого п такого, что т > /(йп), имеет место равенство в„(сн(8п), сл(я„)+1! • ■ •, с/(а„)) = со.

Основным результатом работы является Теорема. Пусть V — многообразие алгебр с выделенным идемпотентом е, 1С — квазимногообразие алгебр из V и X £ ¿(V). Если существует последовательность Т термов со свойствами 1)-4) такая, что 1п — е есть тождество в X и 5„ =е не является тождеством в некоторой алгебре Ап+х из 1С для любого п, то в 1С имеется X -полная неодноэлементная алгебра С такая, что

С — 1>п<шСп, где Со — {е} и при любом п подалгебра С„+] порождена /(вп) — + 1 элементами',

(И)С^ Л"(с„+1), для любого п. Если для любого п класс всех п-Х-

разрешимых алгебр из V является многообразием и алгебра Лп+1 является X --разрешимой ступени п + 1, то, кроме того, С удовлетворяет следующему условию:

(ш) для любого п алгебра Сп+ 1 является X -разрешимой ступени п + 1.

Доказательство. Пусть Т/г := (5(/С)УФ, где (¿(1С) — квазитеория из 1С, Ф = ^ и{со ф е} . Покажем, что существует модель для теории Т/г.

Согласно условию теоремы, существуют такие

с л (" + !) (п + 1) ^

алгебра Ап+\ и элементы ),..., ^ 6

Лп+1, что ф е. Если п - 0,

С (1)\ (1) / л

то «о (со ) -■ со Ф е и в выделяем элемент Сд1^. Если п > 0, то, по определению, «п •'= ■ • • ,*/(»„-!) ■ Для любого I

такого, что /г(«п_ 1) < г < /(вп-г), введем обозначение: с\п+1) :— • • ■, • Если п — 1 >0, то, согласно определению терма в„_1, по аналогии вводим обозначения для всех таких, что /г(й„_2) < г < /(й^-г) и т- Д' Таким образом, в алгебре Лп+1 выделяем такие элемен-

(п + 1) (п +1) ' {Г \ , 1

ты Со ,.. •, ^ , что первые из двп_1) 4- 1 формул множества Е будут верны в Лп+х при интерпретации с,- := с\п+1\ г = 0,1,. . ., /(•■>„).

13 I (" + !) (™ + 1)\ (п + 1)

Ввиду леммы, Мс},(,„) > • • ■ > сд,п) ) = со и поэтому формула со ф е также верна в Ап+1. Таким образом, для любой формулы г £ Т/г существует такое ш, что для любого п > т алгебра Лп+1 с выделенными элемен-

(п + 1) (п + 1) (п+1)

тами Со ,с\ ,... ^ является моделью для г. Но, согласно теореме 5.1 из [8] (с. 122), фильтрованное произведение П;г(Л,' '■ г £ (здесь Ло = {е}) является моделью теории Т/г для любого неглавного ультрафильтра Т над множеством N натуральных чисел.

Для удобства отождествим константы ск с их интерпретацией в Л. Ясно, что с* есть класс эквивалентности р? алгебры П> е /V > соответствующей ультрафильтру Т, определенный

/ (" + !) (п + 2) ч

элементом ск := (е, е,..., е, с\ , с\ ,...) из > тае М5п) < & < /(вп) • Рассмотрим подалгебру С алгебры Л, порожденную элементами Со,сь . . . . Алгебра С содержит по меньшей мере два различных элемента со, е и С £ /С, так как К, — квазимногообразие. Покажем, что С есть «V-полная алгебра, т. е. Х(С) = С. В самом деле, для любого п элемент сп есть значение терма tn в С, где 1п = е — тождество в X. Но тогда понятно, что (с„,е) £ р{Х,С), и поэтому с„ € Таким образом, любой образующий

алгебры С принадлежит ее подалгебре Х(С). Следовательно, Х(С) = С.

Далее, формулы из Т верны в С и поэтому С есть объединение своих подалгебр Со = {е}, Сп+1 = (си{зп), ■ ■ •, с}(ап)) по всем п . Кроме того, Сп < Х(Сп+1) для любого п. Таким образом, С удовлетворяет условиям (1) и (п) теоремы.

Пусть класс Xдля любого п является многообразием и равенство вп = е не является тождеством в X --разрешимой ступени п + 1 алгебре Лп+1 из К . Тогда в предыдущих рассмотрениях возьмем подалгебру Сп+1 из ^ > порожденную элементами ~сн(*п), ■ ■ ■, с/(5„) , как полный прообраз Сп+1 при естественном гомоморфизме из в : г е ЛГ). Ввиду конструкции Л^ -вербальной конгруэнции и определения терма вп, ¿-я компонента элементов гЧ»»)>-•■>ё/('>») принадлежит к Д""(Лп+т+1) для г = гг + т + 1 и любого т (напомним, что, согласно определению с* , ¿-я компонента элементов сЛ(,п),..., есть е для г < п + 1). Заметим, что Д"71 (Л„+т+1) является разрешимой ступени п+1. Таким образом, Сп+1 есть подалгебра Д1-разрешимой ступени п+1 алге-бРы Пте^ Хт{Ап+т+\) и, следовательно, Сп+1 является разрешимой ступени п + 1. Как гомо-морс}эный образ Л'-разрешимой ступени п + 1 алгебры Сп+1, алгебра Сп+1 из V является (п+1)--разрешимой. Поскольку Сп < Х(Сп+1) для любого п и со ф е, ясно, что ступень X-разрешимости алгебры Сп+\ равна п+1. Таким образом, С удовлетворяет условию (ш) теоремы.

Замечание 1. Легко понять, что условия теоремы являются необходимыми в случае, когда в многообразии V любое тождество вида и = V

Об относительно полных алгебрах

11

эквивалентно тождеству вида в = е.

В дальнейшем будет важен один частный случай последовательности Т, когда все ее термы получаются из некоторого терма t переименованием переменных. В этом случае будем говорить, что последовательность Т порождается термом I. а терм йп будем называть п-й степенью терма I и обозначать через . Например, в случае групп последовательность Т = {[х2П+1, £'2«+2]} порождается коммутатором < = [жь^г] и последовательность ¿> = имеет вид:

№ := а;сь*(1) := [ц,х2], 1{2) := [[яг3,а:4], [®5,®б]],----

В связи с этим сформулируем одно следствие теоремы.

Следствие 1. Пусть V — многообразие алгебр с выделенным идемпотентом е, X — его подмногообразие, К, — класс X -разрешимых алгебр из V. Если среди тождеств многообразия X существует такое тождество I = е, что равенство = е не является тождеством в К. для любого п, то класс К- не является квазимногообразием.

В самом деле, предположим, что условия следствия выполнены, но 1С есть квазимногообразие. Тогда, согласно теореме, /С содержит неодноэлементную X -полную алгебру С, но это противоречит X -разрешимости алгебр из К,. Таким образом, К, не является квазимногообразием.

Замечание 2. Условие "равенство = е не является тождеством в К для любого п" из следствия 1 будет иметь место, если для многообразия X, заданного тождеством I — е, класс

Д-(п)

есть многообразие, 1-базируемое в V тождеством = е, ф Д-(п+1) и Л'М содержится в 1С для любого п. □

Пусть V есть атом решетки £(У). Квази-моногенной алгеброй типа V00 назовем алгебру С-р«. , для которой выполнены следующие условия: 1) С-р°° = ип<иСп , где Сп — моногенная алгебра при любом п; 2) С„ ^ Т(Сп-1-1) для любого п; 3) для любого п алгебра С„ является V-разрешимой ступени п.

Следствие 2. Если в теореме последовательность Т порождается термом I от одной переменной и выполнены все остальные ее условия при /С = У и X — V, то в V существует квазимоногенная алгебра типа 7-*°° •

Укажем на одно применение теоремы к теории групп для решения актуального в свое время вопроса о существовании локально конечной группы экспоненты р, совпадающей со своим коммутантом.

Следствие 3. Для любого простого числа р > 3 существует локально конечная группа

экспоненты р с нетривиальным центром, совпадающая со всоим коммутантом.

Доказательство. Прежде всего, известно [3], что многообразие К.р локально конечных групп простой экспоненты р > 3 при любом п содержит разрешимую группу Gn ступени п. Пусть п > 1. Так как Gn нильпотентна, ее (п — 1)-й коммутант ^ содержит подгруппу Н порядка р, лежащую в центре группы Gn. Если GÍf 1^ ф Н, то группа Gn/H является разрешимой ступени п и ее (п — 1) — й коммутант имеет центральную подгруппу порядка р. Таким образом, можно предполагать, что | | =р.

Применяя теорему к случаю V = 1С = 1СР, X — Ар — многообразие абелевых групп экспоненты р, последовательность Т порождается термом t := [an, ж2] и 5 = {í^}, заключаем, что в К.р существует неединичная группа С, совпадающая со своим коммутантом. Так как любое значение терма в Gn+1 содержится в ее центре, из доказательства теоремы получаем, что в группе С = (co,ci,...) выполнены соотношения [с2„+1,с2„+2] = сп и [со,ся] = е при п = 0,1,2,.... Итак, группа

С = (с0, СЬ . . . I [с2п + 1,С2п + 2] = с„, [с0,с„] = e)fcp удовлетворяет требованиям следствия 3.

[1] Mart.ynov L.M. On notions of completeness, solvability, primarity, reducibility and purity for arbitrary algebras. International conference on Modern Algebra and Its Applications. Vanderbilt University, Nashville, Tennessee, May 14-18, 1996. Schudule and Abstracts. P. 79-80.

[2] Мартынов JI. M. О многообразиях разрешимых алгебр!I Изв. вузов. Математика. 1989. №6. С. 1.5-17.

[3] Размыслов Ю. П. Об одном примере неразрешимых почти кроссовых многообразий групп// Алгебра и логика. 1972. Т. 11. №2. С. 186-205.

[4] Львов И. В., Хухро Е. И. Комментарий к вопросу 5.56. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск, 1978. С. 73.

[5] Vaughan-Lee М. R. and Wiegold James. Countable locally mlpotent groups о/ finite exponent without maximal subgroups. Bull. Math. Soc. 1981. Vol. 13. №1. P. 45-46.

[6] Колмаков Ю. А. О многообразиях, все группы которых обладают свойством, близким к разрешимости/ / Мат. заметки. 1984. Т. 35. №5. С. 735-738.

[7] Мартынов Л. М. О проблеме спектров разрешимости для многообразий алгебр// Алгебра и логика. 1990. Т. 29. №2. О. 162-178.

[8] Справочная книга по математической логике. Ч. 1. Теория моделей: Пер. с англ. М.: Мир, 1981.