Положительное решение проблемы А. И. Мальцева о неразрешимости Q-теорий Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.И. Будкин

Положительное решение проблемы

А.И. Мальцева о неразрешимости Q-теорий

УДК 512.57 УДК 512.55

Ключевые слова: квазимногообразие, мно-

гообразие, Q-теория, разрешимость, универсальная алгебра, кольцо, кольцо Ли.

Key words: quasivariety, variety, Q-theory, solvability, universal algebra, ring, Lee ring.

Более 40 лет назад А.И. Мальцев в Коуров-ской тетради [1] поставил следующую проблему (вопрос 2.40): существует ли конечно аксиоматизируемое многообразие

(1) колец,

(2) ассоциативных колец,

(3) лиевых колец,

/-теория (Q-теория) которого неразрешима?

В [2] построено конечно аксиоматизируемое многообразие колец (неассоциативных), проблема равенства в свободном кольце подходящего ранга которого неразрешима. Отсюда следует неразрешимость /-теории (и, следовательно, Q-теории) этого многообразия. Таким образом, вопрос 2.40(1) имеет положительное решение.

В данной работе представлено положительное решение этой проблемы А.И. Мальцева для Q-теорий ассоциативных и лиевых колец.

Будем рассматривать универсальные алгебры фиксированной сигнатуры П. Вместо слов ’’универсальная алгебра” часто будем говорить просто ’’алгебра”.

Формула вида

k

(Vxl ) ... (Vxn ) ( ti( X1, • • • , xn )

i=l

t'i{ ХЬ ...,Xn) ^ tX, ...,Xn)= t'{ Xl, . . .,Xn)), ГДе ti(xi,...,Xn),ti(xb...,Xn), t('X1,...,Xn),

t X,..., Xn) (i = \,...,k) - термы сигнатуры П в переменных X\,...,Xn, называется квазитождеством.

Формула вида

(Vxi) .. .{Vx^ (tX, ...,Xn)= t'( Xl, ..., Xn)),

где t(xi,...,xn),t'(xi,...,xn) - термы сигнатуры Л в переменных x\,...,xn, называется тождеством.

Класс K алгебр называется квазимногообразием (многообразием), если существует множество £ квазитождеств (соответственно, тождеств) такое, что алгебра A принадлежит

классу К в том и только в том случае, когда все формулы из £ истинны в А. Несложно заметить, что всякое многообразие является квазимногообразием.

Отметим также, что всякое нетривиальное (т.е. содержащее неодноэлементную алгебру) квазимногообразие К содержит свободную алгебру любого ранга г, т.е. алгебру /, обладающую свойством: существует множество X мощности г/

бражение р : X ^ А множества X в каждую алгебру А е К продолжаемо до гомоморфизма. Это множество X называют множеством свобод/

гебру в квазимногообразии К с множеством свободных порождающих X будем обозначать через /х( К).

^-теория класса К - это множество Т,(К) квазитождеств, истинных во всех алгебрах из класса К.

Перейдем к понятию ’’определяющее соотношение”. Зафиксируем нетривиальное квазимногообразие К алгебр. Пусть алгебра А е К порождается множеством 5 = {аг | г е I} элементов (I - некоторое множество индексов). Возьмем алгебру / = /х(К), свободную в К с множеством X = {хг I г е I} свободных порождающих. По определению свободной в К алгебры существует гомоморфизм а : / ^ А, при котором а(хг) = аг(г е I). Положим: кега = {(Ь,/) I а(Ь) = а(/)} - ядро гомоморфизма а. Для каждого терма г(хг1,..., х^п) элемент г(хг1,..., Хгп) алгебры / будем обозначать через Г (этот элемент называется значением терма г(хг1,..., хп) та порождающих хг1,..., х^п). Возьмем произвольное множество {г- = г- | 3 е 3} равенств термов в переменных X такое, что наименьшая конгруэнция, содержащая множество пар {(г- ,г-') | 3 е 3}, совпадает с

аА щих {аг I г е I} в квазимногообразии К (отпоси-а

выражепие:

А=< {хг I г е I}; {г- = г- | 3 е 3} > .

*Работа выполнена при поддержке АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (мероприятие I)5’.

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Множество {г- = г- | 3 е 3} называется мно-

А

в квазимногообразии К. Алгебра называется конечно определенной в К, если она обладает в К представлением с конечным множеством определяющих соотношений. Все рассматриваемые в данной работе алгебры являются конечно порожденными с конечным множеством определяющих соотношений. В этом случае представление А

зии К записывается так:

А=<х1,...,хп, п{хл,...,хп) =

= г' (хь .. .,хп), ..., гк( хЬ ...,хп)= г'к х, ...,хп) > .

Алгоритмические проблемы равенства и разрешимости ^-теории могут быть определены следующим образом.

Проблема равенства. Пусть конечно определенная в квазимногообразии М алгебра А в порождающих ах ,...,ап задана в М предста-

ВЛ0НИ0М

А=< х1,...,хп п=г[ ,...,гк = г'к > .

Проблема равенства: указать алгоритм, по-А

термов Ь(хх,... ,хп) и Ь'(хх,. ..,хп) ответить па вопрос, представляют они один и тот же элемент А

ли в А равенство Ь(^,...,ап) = Ь'(а\,...,ап), или же доказать, что такого алгоритма не может существовать.

Если такой алгоритм существует, то говорят,

А

А

Проблема разрешимости ^-теории: для

данной ^-теории указать алгоритм, посредством которого для любого квазитождества можно было бы сказать, принадлежит оно этой ^-теории, или же доказать, что такого алгоритма не существует.

Если такого алгоритма нет, то ^-теория называется неразрешимой; иначе ее называют разрешимой.

Для ^-теории Т,(К) данного класса К ее разрешимость эквивалентна существованию алгоритма, который по любому квазитождеству говорит, истинно оно в каждой алгебре из К или ложно в некоторой алгебре из К.

Нам понадобится следующая теорема.

М

ное квазимногообразие универсальных алгебр, А, В е М. Предположим, что А в порождающих {аг | г е I} имеет в М представление

А =< {хг | г е I};£1 >, а В в порождающих {Ьг | г е I} имеет в М представление В =< {хг | г е I};£г > . Если каждая форму-

М

формул £2 (в частности, если £1 С £2), то существует гомоморфизм р : А ^ В такой, что

рЮ = Ьг (г е I).

Полезную информацию о квазимногообразиях можно найти в [3, 4], об алгоритмических проблемах - в [5].

В следующей теореме найдено условие неразрешимости ^-теории.

М

универсальных алгебр, которое содержит одновременно конечно порожденную и конечно опреМ

мой равенства. Тогда ^-теория Т,,(М) класса М

А еМ М

(в порождающих ах,...,ап) представлением

А -< х1 , . .., хп, Ь1 (х1 , . . . , хп) -

- (х1 , . . . , хп) , ...,

Ьк(х1, . .., хп) — Ьк{х1, ..., хп) > .

Предположим, что ^-теория Т,,(М) разрешима. Зафиксируем алгоритм, который по каждому квазитождеству выясняет, принадлежит

Т, М

А

По каждой паре термов Ь(^,...,хп),

Ь'(хх,... ,хп) строим квазитождество

к

Ф = (Чхг)..^ Чхп)(/\ и( х,..., хп) =

1=1

ЬЦ хь ...,хп) ^ Ь(хг, ...,хп) = Ь' (хг,.. .,хп)) (его левая часть — конъюнкция определяющих

А

ляет выяснить, принадлежит квазитождество Ф

Т, М

Ф е Т,,(М), то Ь{а\, ..., ат) = Ь (а1...,а,п) в алгебре А; если ф е Т,,(М), то Ь(а\,..., ап) ф Ь' а ..., ап) в алгебре А. Это означает разре-А

В самом деле, если квазитождество Ф содер-Т, М

из М и, в частности, в А. ОтсюдаЬ(^,...,ап) = Ь' а,..., ап) в алгебре А.

Если квазитождество Ф не принадлежит тео-Т, М

В е М. Пусть ЬД Ьх ...,Ьп)= ЬЦ Ьх ..., Ьп), г = \,...,к, ЬЬ ...,Ьп)ф Ь' Ь ...,Ьп) В В. Тогда по

теореме Дика отображение а± ^ Ь\,...,ап ^ Ьп продолжаемо до гомоморфизма р : А ^ В. Отсюда

р{Ь{а1 , . .., ап)) Ь{Ь1 , ..., Ьп) Ф Ь (Ь1 . .., Ьп)

р(Ь'а . .., а,п)).

Значит, Ь{а\,..., ап) ф Ь'..., ап) в А.

Из вышесказанного следует, что теория Т, М зана.

Замечание 1. В [6] доказывается существование конечно определенной алгебры Ли над произвольным полем, в которой неразрешима проблема равенства. Это означает, в частности, что существует кольцо Ли конечной характеристики с неразрешимой проблемой равенства. Из теоремы 1 получаем, что найдется конечно аксиоматизируемое многообразие колец Ли, Q-тeo-рия которого неразрешима. Отсюда проблема Мальцева (вопрос 2.40(3) [1]) для Q-тeopий колец Ли имеет положительное решение.

Теорема 2. Существует конечно аксиоматизируемое многообразие ассоциативных колец, Q-тeopия которого неразрешима. Доказательство. Пусть

Р =< хь ...,хп п=г[ ,...,гк = гк >

— конечно определенная полугруппа с неразрешимой проблемой равенства. Существование такой полугруппы было почти одновременно дока-

Р

можно взять, например, следующую полугруппу Цейтина [9]:

< а, Ь, с, !, в; ас = са, ас! = !а, Ьс = сЬ, Ь! = !Ь, вса = св, в!Ь = !в, сса = ссав > .

Пусть р - простое число. Рассмотрим ассоциативное кольцо, имеющее в порождающих х\,...,хп следующее представление:

К =< хх,...,хп\П = г',...,гк = г'к,рхг = 0,... ,рхп = о >

(рх - краткая запнсь для х + х + ... + х).

р

По теореме Дика существует естественный гомоморфизм этого кольца на полугрупповое кольцо полугруппы Р над кольцом вычетов Zp р

Р

тами из Zp (нетрудно заметить, что это изоморфизм). Значит, мультипликативная полугруппа, порожденная в К элементами х,...,хп, изо-Р

К

Р

К

шима.

Многообразие ассоциативных колец, заданное тождеством (Ух)(рх = 0), содержит К и поэтому по теореме 1 имеет неразрешимую С^-теорию. Отметим также, что доказано, что класс всех ассоциативных колец также имеет неразрешимую Q-тeopию. Теорема доказана.

Замечание 2. Заметим, что теорема 2 является положительным решением проблемы Мальцева (проблема 2.40(2) [1]) для Q-тeopий ассоциативных колец.

В заключение хочу поблагодарить профессора К.II. Хухро, следствием общения с которым явилась эта статья.

Библиографический список

1. Нерешенные вопросы теории групп. Ко-уровская тетрадь. 16-е изд. / под ред. В.Д. Мазурова. - Новосибирск, 2006.

2. Попов В.Ю. Неразрешимость проблемы равенства в относительно свободных кольцах / Попов В.Ю. // Матем. заметки. - 2000. - Т. 67, №4.

3. Мальцев А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. - М., 1970.

4. Будкин А.И. Квазимногообразия групп / А.И. Будкин. - Барнаул, 2002.

5. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции / А.И. Мальцев. - М., 1986.

6. Бокуть Л.А. Неразрешимость проблемы

равенства и подалгебры конечно определенных алгебр Ли / Л.А. Бокуть // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1972. - Т. 36, Л'"6.

7. Post, EX. Recursive unsolvability of a problem of Thue / E. L. Post // J. Symbolic Logic. -1947. - V. 12, .Y'l.

8. Марков А.А. Теория алгоритмов / А.А. Марков // Tp. Мат. ин-та АН СССР. -1954. - Т. 42.

9. Цейтин Г.С. Ассоциативное исчисление с неразрешимой проблемой эквивалентности / Г.С. Цейтин // Тр. Мат. ин-та АН СССР. -1958 - Т. 52.