CC BY
19
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 519.45
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(4).9-14 ИССЛЕДОВАНИЯ ПО СТЕПЕННЫМ MR-ГРУППАМ
(посвящается 80-летию Владимира Никаноровича Ремесленникова) М. Г. Амаглобели
Тбилисский государственный университет им. Ив. Джавахишвили, г. Тбилиси, Грузия Почетный доктор Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского
Аннотация. Мясников и Ремесленников определили категорию степенных MR-групп для ассоциативного кольца R с единицей. Настоящая статья посвящена изучению частичных экспоненциальных MR-групп, изоморфно вложимых в свое тензорное пополнение над кольцом R. Как следствие получено описание свободных MR-групп и свободных MR-произведений на языке групповых конструкций.
Дата онлайн-размещения 14.12.2018
Ключевые слова
Линдоновы R-группы, холловы R-группы, MR-группы, частичные MR-группы, тензорные пополнения
STUDIES OF EXPONENTIAL MR-GROUPS
(paper dedicated to professor Vladimir Nikanorovich Remeslennikov on the occasion of his 80th birthday)
M. G. Amaglobeli
Ivane Javakhishvili Tbilisi State University, Tbilisi, Georgia Honorary doctor of Dostoevsky Omsk State University
Abstract. Myasnikov and Remeslennikov introduced the category of exponential MR-groups over any associative ring R with identity.
This paper studies the partial exponential MR-groups which can be embedded into the tensor completions over R. As a corollary, a description of the free MR-groups in the language of group constructions is obtained.
Available online 14.12.2018
Keywords
Lyndon R-groups, Hall R-groups, MR-groups, partial MR-groups, tensor completions
Информация о статье
Дата поступления 05.10.2018
Дата принятия в печать 17.10.2018
Article info
Received 05.10.2018
Accepted 17.10.2018
1. Основные определения ленникова [1] была введена новая категория степен-
Пусть R - произвольное ассоциативное кольцо ных R-групп (MR-групп) как естественное обобщение с единицей 1. В работе А.Г. Мясникова и В.Н. Ремес- на некоммутативный случай понятия R-модуля.
- 9
Herald of Omsk University 2018, vol. 23, no. 4, pp. 9-14
Напомним основное определение, следуя статьям [1; 2].
Пусть £=(•, 1,е _ групповой язык (сигнатура), где " • " - бинарная операция умножения,
1 - унарная операция обращения элементов группы, е - константный символ для единицы группы.
Обогатим группой язык £ до языка
С = Цг ^{/„(Э) „еЯ} , где /а(д) - унарная алгебраическая операция.
Определение 1. Множество в будем называть линдоновой Я-группой, если на нем определены
операции • , 1 , е, {/(д) аей} и выполнены аксиомы:
1) аксиомы группы;
2) для всех д,Лев и всех элементов а,РеЯ выполняются равенства:
д1 = д, д° = е, е„ = е; (1)
да+Р= да^ дР , д^^ ; (2)
(Л1 дЛ)„ = Ы. (3)
При записи аксиом мы используем следующее соглашение: для краткости /а (д) будем записывать
в виде да, д ев, аеЯ .
Обозначим через Ц категорию всех линдоно-вых Я -групп. Так как аксиомы выше являются универсальными аксиомами языка £ , то Ц является
многообразием алгебраических систем языка Сдг и,
соответственно, из общих теорем универсальной алгебры следует, что можно говорить о многообразии Я-групп, об Я-гомоморфизмах, Я-изоморфизмах, о свободных Я-группах и так далее.
Определение 2. Пусть в,Н еЦ . Тогда гомоморфизм ф: в ^Н называется Я-гомоморфизмом, если ф(да)=ф(д)а для любых дев, аеЯ .
Существуют абелевы линдоновы Я -группы, не являющиеся Я-модулями (см. [3], где подробно исследована структура свободной абелевой Я-груп-пы). В работе [1] А.Г. Мясников и В.Н. Ремесленников добавили к аксиомам Линдона дополнительную аксиому (квазитождество):
(МЯ) (Vд,Л е С) (а е Я) [д,Л] = е ^ (дЛ)„ = даЛа , (4) где [д,Л]=д~1И~1дЬ .
Определение 3. Группу G будем называть MR-группой, если на G определена операция да для всех geG и при этом выполнены аксиомы (1)-(4).
Обозначим через Mr класс всех степенных R-групп с аксиомами (1)-(4). Ясно, что этот класс является квазимногообразием в языке L и в нем
снова есть понятия свободной MR-группы, R-гомо-морфизма и т. д., и кроме того, выполнено свойство: каждая абелева MR-группа является R-модулем и наоборот.
Большинство естественных примеров степенных R-групп лежат в классе Mr:
1) любая группа является MZ-группой;
2) делимая абелева группа является MQ-груп-
пой;
3) группа периода n является М^/^)-группой;
4) модуль над кольцом R является абелевой MR-группой;
5) произвольная про-р-группа является MZp-группой над кольцом целых р-адических чисел Zp;
6) произвольная нильпотентная степенная R-группа над биномиальным кольцом R (холлова R-группа), введенная Ф. Холлом в [4], является MR-группой.
Замечание 1. Степенные R-группы с дополнительной аксиомой М.Г. Амаглобели и В.Н. Ремесленников в работе [5] назвали MR-группами (R-кольцо).
Нильпотентные группы. Пусть c > 1 - натуральное число. Обозначим через Nc,r категорию нильпотентных R-групп ступени нильпотентности с из класса L, т. е. всех R-групп, в которых выполняется тождество
V хг,...,хс+1 [х1,...,хс+1] = е,
а через N°Ä категорию нильпотентных R-групп ступени с, в которых выполняется аксиома (MR). Структура R-групп без аксиомы (MR) очень сложна, поэтому в большинстве работ изучаются только R-груп-пы со свойством (MR). Далее в статье мы будем рассматривать только R-группы с этой аксиомой.
Холловы нильпотентные R-группы ([4]). Для того чтобы ввести это понятие, нам необходимо ограничить класс рассматриваемых колец.
Определение 4. Кольцо R называется биномиальным кольцом, если R - область целостности, содержащая Z в качестве подкольца, и с каждым элементом аеЯ включает все биномиальные коэффи-
а(ос - lV • -(ос - /7 +1)
циенты С"=—-—i-(iEN.
а n!
Примерами биномиальных колец являются любое поле нулевой характеристики, кольцо многочленов над таким полем и кольцо целых чисел.
Определение 5. Нильпотентная группа G ступени нильпотентности с называется R-группой (здесь R - биномиальное кольцо), если для любого aefi и xeG единственным образом определен элемент xа eG и для всех элементов группы G и кольца R выполнены следующие аксиомы (х, у,х1,...,хп eG,a,ßeR):
1) x1 = x, xa+p = xa xp, x ap=( x a)p;
2) (у 1 xy )"= у 1 xay;
3) < • • X =(x1-.-xf x2(Xf ■ ■ -тс(Xf , где X = {x1---x„}, тДх) -k-e слово Петреску.
Напомним, что для любого натурального k рекурсивно определяется k-е слово Петреску формулой
xi...x:=T1(X)c42(xf...T,_1(xf1T,(X)ci в свободной группе F с порождающими х1---хп. В частности,
n
т1(Х)=х1---х„, т2(Х)= Y\ [xi,x;]mody3(F)/
i> ¡, i ,i=i
где y3(F) - третий член нижнего центрального ряда группы F . Обозначим категорию холловых R-групп через HNcR .
Покажем, что структура групп из NcR очень сильно отличается от структуры холловых R-групп из класса HNcR. Для этого приведем структуру свободной R-группы в многообразии HNcR, следуя работе
[5]. Мы ограничимся рассмотрением двух биномиальных колец R = Q[t], R = Q(t). Обозначим через G0 свободную 2-ступенно нильпотентную R-группу с порождающими x и у . Хорошо известно, что мальцев-ская база этой группы состоит из трех элементов x, y, [y,x]. Общий вид элемента geG0 следующий:
g = x1 у5[у,x]s, у,8,sefi . В частности, в этой группе коммутант G'0 является свободным R-модулем ранга 1 с порождающим [у,x]. Если теперь G - свободная R-группа в многообразии N°R, то в работе [5]
показано, что G' является свободным R-модулем бесконечного ранга, и найдена база этого модуля.
Систематическое изучение MR-групп начато в работах [5-11]. Отметим, кстати, что результаты этих работ оказались весьма полезны при решении из-
вестных проблем Тарского. Настоящая статья посвящена изучению частичных степенных МЯ-групп, которые изоморфно вкладываются в свое тензорное пополнение над кольцом Я. Ключом к ее пониманию является понятие тензорного пополнения, введенное в [1]. Как следствие получено описание свободных МЯ-групп и свободных МЯ-произведений на языке групповых конструкций.
2. Тензорное пополнение
Здесь, следуя [1], вводится основная операция в классе степенных МЯ-групп. Она естественно обобщает на некоммутативный случай понятие расширения кольца скаляров для модулей.
Определение 6. Пусть G - МЯ-группа, ц: Я ^ 5
- гомоморфизм колец. Тогда М5-группа Gs называется тензорным 5-пополнением МЯ-группы G, если G удовлетворяет следующему универсальному свойству:
1) существует Я-гомоморфизм X: G ^Gs такой, что ) МБ порождает Gs, т. е. (Х^= G5;
2) для любой МБ-группы Н и любого Я-гомо-морфизма ф: G ^Н, согласованного с ц (т. е. такого, что ф(да)=ф(д), существует Б-гомомор-
физм у: Gs ^ Н, делающий коммутативной следующую диаграмму
H
>
ф
(А ф = <р).
В [1] доказано, что для любой МЯ-группы G и любого гомоморфизма ц : R ^S тензорное пополнение GS всегда существует и оно единственное с точностью до изоморфизма. Там же показано, что если G - абелева МЯ-группа, то GS = G®S - тензор-
R
ное произведение Я-модуля G на кольцо S.
Операция тензорного пополнения перестановочна с операциями прямого произведения и взятия прямого предела и, вообще говоря, не перестановочна с операциями декартова произведения и взятия обратного предела [7]. Перестановочность тензорного пополнения с прямыми пределми позволяет многие вопросы о пополнениях сводить к случаю конечно порожденной группы. Действительно, пусть {G,. (/' е I); nj J - прямой спектр группы G, составленный из конечно порожденных групп G . Тогда G = limG/ и Gs=limG,s.
Построение тензорного пополнения данной группы удобно вести по шагам, постепенно «доопределяя степени». Это приводит к понятию частичной МЯ-группы. Также к частичным МЯ-группам приводят некоторые групповые операции над МЯ-группами. Пусть Я - кольцо, в - группа.
Определение 7. Группу в будем называть частичной МЯ-группой, если возведение в степень определено для некоторых пар (д,а), но не обязательно для всех пар; причем если определена одна часть равенства в аксиомах (1)-(4), то определена и другая часть, и для них выполняются аксиомы (1)-(4) в определении МЯ-группы.
Класс частичных МЯ-групп будем обозначать через р . Например, если Я - подкольцо кольца 5, тогда любая МЯ-группа является частичной М5-группой.
На протяжении всей статьи будем предполагать, что кольцо я в качестве подкольца содержит кольцо целых чисел Z. Пусть в - частичная МЯ-груп-па, т. е. в ер .
Определение 8. Будем говорить, что группа в является точной относительно кольца Я, если гомоморфизм X: в ^вя является вложением.
Определение 9. Будем говорить, что группа в является точной, если она является точной относительно любого кольца, содержащего Z.
Пусть Я - кольцо, р0 - категория частичных МЯ-групп. По определению группа в из р принадлежит р0, если выполнены следующие условия:
1) для любой максимальной абелевой подгруппы М из в и любого х <£М пересечение М п Мх = е;
2) канонический гомоморфизм у: М ^М®Я
я
является вложением.
Основной является
Теорема 1 (анонсирована в [15]). Пусть Z -подкольцо кольца я и группа в еР°, причем в в и я+ (аддитивная группа кольца я) нет элементов порядка 2. Тогда группа вя точна, т. е. гомоморфизм X: в ^ вя является вложением.
При доказательстве этой теоремы используется способ построения тензорного пополнения, основанный на конструкции свободного произведения групп с объединенной подгруппой, и техника комбинаторной теории групп (см. [14]). Данная теорема дает достаточное условие для точности тензорного пополнения. Заметим, что условие 1) из определения
класса р0 является также необходимым. В классе р0 содержатся свободные группы. Он замкнут относительно прямых пределов, свободных произведений и расширений специального вида. Важным следствием из этой теоремы является точность тензорного пополнения для кольца R, содержащего кольцо целых чисел Z. Для конкретных колец, например, для тел нулевой характеристики и кольца многочленов R=Z[x1,...,xn] с целыми коэффициентами, эта теорема доказана в работах [16; 17].
Замечание 2. Определим класс групп ТЦ , более широкий, чем класс р0. Будем говорить, что группа G еРя*, если для любой ее максимальной подгруппы M выполнено условие: M либо R-мо-дуль, либо M удовлетворяет условиям 1) и 2) в определении класса р0. Тогда основная теорема справедлива и для групп класса р*.
3. Свободные произведения МЯ-групп
Сформулируем понятие свободной MR-груп-пы. Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей 1, X - произвольное множество.
Определение 10. MR-группа FR (X) с множеством R-порождающих X называется свободной МЯ-группой с базой X, если выполнено следующее условие: для каждой MR-группы G произвольное отображение ф0: X ^G продолжается до R-гомо-
морфизма ф: FK (XG . Множество X называется множеством свободных МЯ-порождающих FR (X). Мощность XI называется рангом группы FR (X).
Теорема 2. Для любых X и R свободная MR-группа существует и единственна с точностью до R-изоморфизма.
< Пусть F(X) - свободная группа в классе
всех групп. Тогда ее тензорное MR-пополнение является свободной MR-группой с базой Х. Действительно, пусть ф0: X ^G - произвольное отображение из X в МЯ-группу G:
сF(X)Y
Тогда ф0 продолжается до гомоморфизма Фх: F(Х)^в по свойству свободной группы, а последнее отображение продолжается до Я-гомомор-
ISSN 1812-3996-
физма ф: (F(X))R ^G . Следовательно, (F(X))R -
свободная MR-группа с базой X.
Единственность следует из единственности тензорного пополнения. >
Сформулируем следствие из основной теоремы 1 и теоремы 2.
Следствие. Пусть R - кольцо, содержащее Z в качестве подкольца. Тогда свободная группа F(X) точна относительно кольца Z. Другими словами, F (X) является подгруппой FR (X).
<i По теореме 2 FR (X) = (f(X))R. Так как F(X)eVr и не содержит инволюций, то по теореме 1 гомоморфизм X : F(X)^(f(X))R является
вложением. >
Введем конструкцию свободного произведения в категории MR -групп.
Определение 11. Пусть G, ' е/, - MR-группы. MR -группа *G(. называется свободным произведе- *G. существует частичный R-гомоморфизм
ных произведений, то к нему можно применить конструкцию тензорного пополнения. Пусть
X: *в(. ^(*в(.)я - гомоморфизм из определения тензорного пополнения. Обозначим через ф(.=Хоф°, / е/. Тогда ф : в(. ^(*в(.)я есть совокупность Я-го-моморфизмов. Пусть у,: в ^Н, / е/, - произвольные Я-гомоморфизмы. Для того чтобы доказать, что группа (*в1 )я является свободным произведением
в категории Мя (т. е. доказать, что = (*в)я), должны замкнуть диаграмму
мы
до коммутативной.
По определению свободного произведения
нием в категории Мя, если Я-гомоморфизмы
Ф :в таковы, что для любых Я-гомомор-
я
физмов ф.: в ^Н, где Н - произвольная МЯ-груп-па, существует Я-гомоморфизм у: *в1 ^ Н, делаю-
щии коммутативными следующие диаграммы:
*G.
MR порождается множеством
{ф/(в),9 ев,/ е/} .
Из категорных соображений следует, что
группа определена однозначно с точностью до
я 1
Я-гомоморфизма.
Теорема 3. Пусть Я - кольцо, содержащее кольцо целых чисел Z в качестве подкольца, в, ' е/ - некоторое множество МЯ-групп. Тогда 1) *в, =(*в,. )я;
2) гомоморфизм X: *в! )" является вло-
жением.
с Пусть ф0:в - канонические вложе-
ния. Так как класс Ря замкнут относительно свобод-
Ф: ^Н. В силу универсального свойства тензор-
я
ного пополнения существует Я-гомоморфизм у, продолжающий ф . Он и будет искомым. Свойство
порождаемости (*б(. )я образами ф(в) также выполнено, а потому (*в)я является свободным произведением в М, т. е. = (*в )я.
Для доказательства того, что X есть вложение, достаточно доказать, что группа еР° (см. замечание 2). Последнее легко следует из теоремы Ку-роша о подгруппах свободного произведения. >
Теорема 4. Класс Рк° замкнут относительно свободных произведений.
< Пусть в, / е/ - семейство групп из Рк° и X : в ^вя - гомоморфизмы из определения тензорного пополнения. По условию они являются вложениями. Отсюда следует, что гомоморфизм X: в также является вложением. По пункту 2)
теоремы 3 гомоморфизм ф: в" есть вложе-
я
ние, а по пункту 1) этой теоремы ) . От-
сюда и следует доказательство теоремы. с>
и
R
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 9-14
-ISSN 1812-3996
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Степенные группы. I. Основы теории и тензорные пополнения // Сиб. матем. журн. 1994. Т. 35, № 5. С. 1106-1118.
2. Lyndon R. C. Groups with parametric exponents // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. Vol. 96. P. 518-533.
3. Baumslag G. Free abelian x-groups// Illinois J. Math. 1986. Vol. 30, no. 2. P. 235-245.
4. Холл Ф. Нильпотентные группы. Математика: сб. переводов. 1968. Т. 12, № 1. С. 3-36.
5. Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Exponential groups. II. Extensions of centralizers and tensor completion of CSA-groups // Internat. J. Algebra Comput. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 687-711.
6. Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Discriminating completions of hyperbolic groups. Dedicated to John Stallings on the occasion of his 65th birthday // Geom. Dedicata. 2002. Vol. 92. P. 115-143.
7. Amaglobeli M. G. On the permutability of a functor of tensor completion with principal group operations // Appl. Math. Inform. Mech. 2010. Vol. 15, no. 1. P. 3-10.
8. Amaglobeli M., Bokelavadze T. Abelian and nilpotent varieties of power groups // Georgian Math. J. 2011. Vol. 18, no. 3. P. 425-439.
9. Amaglobeli M. Power groups // J. Math. Sci. 2012. Vol. 186, no. 6. P. 811-865.
10. Амаглобели М. Г., Ремесленников В. Н. Свободные 2-ступенно нильпотентные R-группы // Доклады Академии наук. 2012. Т. 443, № 4. С. 410-413.
11. Амаглобели М. Г., Ремесленников В. Н. Расширения централизаторов в нильпотентных группах // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54, № 1. С. 8-20.
12. Amaglobeli M., Remeslennikov V. Algorithmic problems for class-2 nilpotents MR-groups // Georgian Math. J. 2015. Vol. 22, no. 4. P. 441-449.
13. Амаглобели М. Г., Ремесленников В. Н. Основы теории многообразий нильпотентных MR-групп // Сиб. матем. журн. 2016. Т. 56. С. 1197-1207.
14. Амаглобели М. Г. Функтор тензорного пополнения в категориях MR-групп // Алгебра и логика. 2018. Т. 57, № 2. С. 137-149.
15. Амаглобели М. Г. Степенные MR-группы: точное R-пополнение // Доклады Академии наук. 2019. (принято к печати).
16. Baumslag G. On free D-groups // Comm. Pure Appl. Math. 1965. Vol. 18. P. 25-30.
17. Полин С. В. Свободные разложения в многообразиях X -групп // Матем. сб. 1972. Т. 87, № 129. С. 377395.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Амаглобели Михаил Георгиевич - доктор физико-математических наук, профессор, профессор департамента математики, Тбилисский государственный университет им. Ив. Джавахишвили, 0186, Грузия, г. Тбилиси, ул. Университетская, 2; Почетный доктор Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского; e-mail: mikheil.amaglobeli@ tsu.ge.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Амаглобели М. Г. Исследования по степенным MR-группам // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 4. С. 9-14. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).9-14.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Amaglobeli Mikheil Georgievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor in Mathematical Department, Ivane Javakhishvili Tbilisi State University, 0186, Georgia, Tbilisi, Universi-tetskaya st., 2; Honorary doctor of Dostoevsky Omsk State University; e-mail: mikheil.amaglobeli@tsu.ge.
FOR QTATIONS
Amaglobeli M.G. Studies of Exponential MR-groups. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 4, pp. 9-14. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).9-14. (in Russ.).
