Научная статья на тему 'Алгебраическая составляющая профессионального математического образования: междисциплинарные связи, модели содержания, методологические линии'

Алгебраическая составляющая профессионального математического образования: междисциплинарные связи, модели содержания, методологические линии Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
211
55
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Богатырев Ф. Н.

The article discusses such theoretical and practical problems of the modern professional mathematical education in the cycle of algebraic disciplines as: I) folding and structuring of the information concerning the basic methods of scientific research. 2) the integrated disciplines substantiation and elaboration at the stage of studying the basic courses and specialization disciplines. 3) development of the didactic modules connected to formation of the new structures in a mathematical knowledge system.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Algebraic Component of the Professional Mathematical Education: Inter-Disciplinary Connections, Content Models, Methodological Lines

The article discusses such theoretical and practical problems of the modern professional mathematical education in the cycle of algebraic disciplines as: I) folding and structuring of the information concerning the basic methods of scientific research. 2) the integrated disciplines substantiation and elaboration at the stage of studying the basic courses and specialization disciplines. 3) development of the didactic modules connected to formation of the new structures in a mathematical knowledge system.

Текст научной работы на тему «Алгебраическая составляющая профессионального математического образования: междисциплинарные связи, модели содержания, методологические линии»

УДК 378.147

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ: МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ, МОДЕЛИ СОДЕРЖАНИЯ, МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНИИ

© Ф.Н. Богатырев

Bogatyrev F.N. Algebraic component of the professional mathematical education: inter-disciplinary connections, content models, methodological lines. The article discusses such theoretical and practical problems of the modem professional mathematical education in the cycle of algebraic disciplines as: I ) folding and structuring of the information concerning the basic methods of scientific research; 2) the integrated disciplines substantiation and elaboration at the stage of studying the basic courses and specialization disciplines; 3) development of the didactic modules connected to formation of the new structures in a mathematical knowledge system.

Рассмотрены следующие вопросы профессионального математического образования в цикле алгебраических дисциплин: 1) свертывание и структурирование информации относительно фундаментальных методов научных исследований; 2) обоснование и разработка интегрирующих дисциплин на этапе изучения базовых курсов и дисциплин специализации; 3) разработка дидактических модулей, связанных со становлением новых структур в системе математического знания.

1. Организация содержания на основе фундаментальных теоретических методов. В современной математике - объем информации удваивается за пятилетие [19]. Гигантские теоремы (М. Атья - И. Зингера об индексах, классификация простых групп и др.) интегрируют г ромадный объем знаний. Сжатие информации для ее анализа, включение в исследование современных методов, перевод ключевой информации на новый язык - актуальные задачи для науки и образования [24]. За два часа студенты знакомятся с теоремой о б и квадратичном вычете, которую великий К. Гаусс разрабатывал семь лет. Результаты П.С. Новикова о неразрешимости классических алгоритмических проблем в теории групп, связанные с методом проходных букв, привели к многостраничным примерам, где указанные проблемы - неразрешимы [16, 17]. Позднее проблема была переведена на язык изложения, вполне годный и для образовательных курсов [12, 14]. Возникает проблема усвоения понятий вокруг больших масс знаний, когда, из-за большого объема свернутой информации, разрыв даже между соседними утверждениями остается значительным (при любом дроблении цепи доказательства). Можно подойти к решению этой проблемы (в научных исследованиях и обучении) введением фундаментальных методов, вокруг которых происходит интеграция знания. В массовой образовательной практике (особенно - при практически направленном обучении), часто, в учебном процессе, изложение информации не доходит до применения современных научных методов.

Содержание курсов должно строиться на базе фундаментальных структур, изучаемых в содержательных интерпретациях. Булевы алгебры логики,

множеств и случайных событий закладывают фундамент под большинство методов исследования алгебраических структур. Алгебра логики: основа аксиоматического метода, рассуждений и доказательств. Это база для формальной и общей логики, построения логических цепей обоснований [1]. Алгебра множеств и отношений: применяется в задачах принятия решений (в том числе и в условиях неопределенности). Теория комплектов, допускающая повторяемость элементов, связана с задачами построения баз данных и формальных языков. Множества, нечеткие множества и комплекты выражаются в вероятностных интерпретациях, что связано с алгеброй случайных событий - основы теории вероятностей и математической статистики. Связывающая и обслуживающая все эти алгебры -матричная алгебра. Ее применение в ключевых задачах: 1) разложение булевых функций в многочлены Жегалкина сводится к решению систем над конечными полями Галуа (в математической логике): 2) нахождение представлений отношений с решеточно-определенными операциями матричной алгебры (е теориях множеств, отношений, принятия решений); 3) решение системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов (в задачах математической статистики - построение регрессионной зависимости между данными величинами).

Изучение и интерпретации матричных алгебр -центральный момент в пропедевтике раздела «Линейная алгебра». Важнейшее место занимают разделы, связанные с теорией /¡-мерных векторов, матриц, систем линейных уравнений. Обучающиеся испытывают в их усвоении серьезные трудности. Традиционные методы не позволяют хорошо классифицировать задачи, связанные с нахождением ранговых соотношений, анализом композиций невырожденных и вырожденных матриц. Затруднен поиск конструктивных алгоритмов. Этих проблем можно, в определенной мере, избежать, если излагать указанные разделы на основе критерия замещения - теоретической основы симплекс-метода (метода оптимального улучшения найденных допустимых решений) (Данциг, 1940 г.) [25].

Теорема 1. Даны две системы векторов

Ьі, Ь2,Ь„; аьа2, ...,ат.

(1.1)

(1.2)

Система (1.1) линейно выражается через систему (1.2):

г + 1, т). Учитывая (1.3) - получаем систему (1.4),

полученную из (1.2) с помощью элементарных преобразований.

Пусть (1.2) - линейно зависимая, тогда найдутся ..., Х,_|, л„„ (не все равные нулю), что

Т.Ка, +^Л =о.

(1.9)

(1.3)

Если \Г!ІФ 0, тогда найдется система векторов а...... лг-ь Ь„ а^ъ ..., ат, (1.4)

что:

1. Система (1.1) линейно выражается через систему (1.4). При этом

) ' V;

ІФГ

Ту = Ту - —т„ (если і ф г);

(1.5)

(1.6)

(1.7)

2. Система (1.2) подобна системе (1.4), т. е. (1.2) преобразуется в (1.4) элементарными преобразованиями.

3. Вели система (1.2) - линейно независимая, тогда и система (1.4)- линейно независимая.

Доказательство. Так как т„ Ф 0. из равенства

К = г/*"| +•■•+ *г-каг-\ + *г*аг +

+ тг+/хаг+1 +... + ат

Г/, ^г+Л і + і .

— — — а,- аг_ —К~

г \

Г + /Л аг+1 -Ь™-а = ит I

і*г V Т-: !

(1.8)

Из (1.1) и (1.8) получаем:

Ь] = + V

\г а, + —6, = т„.

= 1

"Гх

г„ к +^ЬЯ.

г,.. т.

Значит: Ь. = £т',-а^ + т^6у;(/ - 1,2Здесь:

Т I у,;

ту = ти —~ти О *■г): т'п = — •

Умножим в (1.2) аг на тгхф 0. Имеем: дь аъ.... тг<рГ, ..., ат.

Прибавим к вектору тглйг остальные векторы ак (из этой системы), умноженные на х\к\ (к= 1, 2, г - 1,

Из (1.3) (при] = 5) имеем + щ а1 =0 .

¡*г М

Значит- уСХ.+и т. V» +11 т п = О

-------- ^ V ’ / Г-Л - /V Г'і ' Л ■ ГЛ ~ Г ~ '

Ыг

Так как система (1.2) - линейно независимая, имеем + рд« = 0. Значит: = 0; А* = 0; (/ = 1,2. ..., г - 1,

г + 1, ..., т). Система (1.4) - линейно независимая. ▲

Рассмотрим формулы (1.5), (1.6) и (1.7). Они позволяют указать эффективный метод нахождения линейной выраженности каждого вектора из (1.1) через систему (1.4), если известно, как каждый вектор из

(1.1) линейно выражается через (1.2). Имеем:

Ь\ ... Ь,... Ь„

г= а. Г,, ... Г| і ... г1л - і-я строка

а, Т( 1 ■■■Ту ■■■ Т1П

1 ••• ^тп

г— таблица векторов системы (І. I) по векторам системы (1.2). Имеем: отношению к

Ь] ... Ьц ... ь„

Г = а | Ги 0 ... т1п - г-я строка

ь, Тг] ... 1 ... тгп

ат тт\ ■■■ ^ ••• Г/и1

Т - таблица векторов системы (1.1) по отношению к векторам системы (1.4).

Если т„ Ф 0, тогда система (1.4) получается из системы (1.2) заменой вектора аг на вектор Ь, .Эта операция может быть объяснена с помощью перехода от таблицы Т к Т. Согласно (1.6) и (1.7). таблица V получается из Г следующим образом.

1. Надо: в Т, г-ю строку, умноженную на некоторые скаляры, прибавить к остальным строкам Т, чтобы получились нули В 5-ОМ столбце.

2. Далее: г-ю строку умножим на скаляр _!_.

г„

Теорема2. Пусть система (1.1) линейно выражается через (1.2). Тогда для каждой линейно независимой системы

Ь,\, Ьі2,..., Ьі,

(2.1)

подсистемы системы (1.1), существует в (1.2) подсистема из к векторов, которую можно заместить системой (2.1).

Полученная система векторов обладает свойствами:

1. Через нее линейно выражается каждый вектор системы (1.1).

2. Она подобна системе (1.2).

3. Если система (1.2) - линейно независимая, тогда полученная система тоже линейно независимая.

Доказательство. Используем метод математической индукции по к.

1. Вели к - 1, тогда справедливость следует из теоремы 1.

2. Пусть для всех /: 1 < / < к — 1 теорема верна.

3. Докажем её истинность для 1= к.

По допущению, в (1.2) существует подсистема из к - I вектора, которую можно заменить линейно независимой подсистемой Ьп, bj2, ..., Ь, *_!■ Пусть это будет оь 02, ..., 1 из (1.2). По индуктивному утверждению,

система

^¡2, .... £,*_], щ, аъ+1, ат (2.2)

обладает свойствами 1, 2, 3. В частности: из свойства 1 имеем

Ь1к = А.,^ +>-2^2 + 1 + ^ ^

+ hak+- + Kam

Среди чисел А*, А^|. Хт - не все равны нулю. Иначе (при А* = А*+, = ...= Ат= 0) следовало бы из (2.3): b,k = A]6,i + ... + A*_|6)jt_|. Значит (2.1) - линейно зависимая. Пусть А* Ф 0. Тогда, по теореме 1 и (2.3), имеем систему

Ьц> Ь,2, bj/[-1, bjk, <3^+1, йт, (2.4)

которая обладает свойством 1 и подобна системе (2.2), она подобна и системе (2.2). Если система (2.2) — линейно независимая, тогда и система (2.4) - линейно независимая. ▲

С л е д с т в и е 1. Из теоремы 2 следует: к < т. Следствие2. Если каждый вектор из системы

(1.1) линейно выражается через систему (1,2) и т < п, тогда система (1.1)- линейно зависимая.

СледствиеЗ. Каждая система линейно независимых n-мерных векторов аи а2, ..., а„ подобна системе п-мерных единичных векторов б|, е2>

Следствие 4. Систему (2.4) можно получить, используя к раз теорему 1. Это дает возможность воспользоваться правилом замещения для получения системы (2.4), удовлетворяющей условиям 1.2.3.

Следствие5.В матрице ее строчный ранг равен столбцовому рангу.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство. Пусть в матрице Ат„ столбцовый ранг равен г и

..(3.1)

базис сис темы столбцов.

Запишем таблицу Т для столбцов Ат„ относительно векторов

е\е2,...,ет . (3.2)

По теореме 2: в системе (3.2) существует г векторов, которые могут быть заменены системой (3.1). Пусть это будут векторы е]у е2, ..., е'.

Согласно следствия 4, от таблицы Т переходим к Т’

1. Если т> г, тогда все элементы строк, с номе-

рами большими г, будут равны нулям. Если бы, скажем, к Ф 0, тогда, согласно теореме 1, вектор 1,г+1

можно заместить вектором я*. Тогда: система

а1' ,а‘2,а‘г, ак — линейно независимая, что невозможно.

2. Если бы в первом столбце векторы системы

(3.1) были бы расположены в другом порядке, тогда можно прийти к исходному расположению этих векторов элементарными преобразованиями строк.

В V первые г строк - линейно независимые. Значит строчный ранг Т равен г. Так как от Г к Г' перешли с помощью элементарных преобразований строк, их строчные ранги равны. ▲

В итоге имеем большинство выводов и результатов в виде конструктивных следствий. Интерпретация учебного курса на основе критерия замещения дает возможность объединить эффективность двойственных категориальных подходов: 1) свертывания информации - принципиальной возможности найти комплексный подход к доказательству большинства обобщающих утверждений; 2) развертывания информации -принципиальной возможности получить решение конкретных частных задач. Исследовались, по данным направлениям, содержание теоретической части и практических компонентов курса «Линейная алгебра» всех направлений и специальностей математического образования. Все интерпретации содержания теоретической и практической компоненты учебного курса обобщались интегрированным подходом на основе указанного оптимизированного метода линейного программирования. Варианты решаемых образовательных проблем (конкретных этапов обучения)-. 1) отработка методов доказательства утверждений теории; 2) описание алгоритмов и конструктивных процедур в задачах курса «Линейная алгебра»; 3) эффективная машинная реализация найденных алгоритмов во втором концентре алгебраического образования или его прикладных разделах. Указанный подход реализован для различных профилей обучения: дидактическая

адаптация проводилась на физико-математическом факультете Л ГПУ около 20 лет. Организационные аспекты: 1) излагается традиционный вариант интерпретации учебного курса; 2) параллельно все желающие могут (в режиме сравнения) следить за изложением курса на основе критерия замещения (теоретическая и практическая части интерпретаций - согласованы) по бумажному или электронному источникам; 3) если в процессе обучения вся группа переходит на изучение модернизированной интерпретации, этот вариант становится основным. Объем изучаемого курса - примерно 30-40 % семестрового объема курсов «Алгебра»,

и йлгсбрз)) в 1_2 ссмсстрйх ¡!о организз.-

ции содержания и структуре учебного материала - это укрупненная дидактическая единица, блок группы родственных знаний. Разработка используется в обучении студентов России, СНГ, дальнего зарубежья (Монголия. Камбоджа, Вьетнам).

2. Основные компоненты учебных моделей дисциплин алгебраического профиля (второго концентра обучения). Обоснование и интерпретирование содержания проводится на основе: 1) взаимодействия фундаментальных и прикладных аспектов знания;

2) реализации междисциплинарных направлений научных исследований. Абсолютных оценочных параметров для дифференциации по указанным категориям -нет: всегда присутствует субъективный фактор и мера условности. В любом случае: базовые образовательные курсы (по набору текущей информации, методов и структурных идей) должны быть необходимой основой для изучения последующих дисциплин. Курс «Геометрия и алгебра», изучаемый в 1-1V семестрах (357 часов) (по специальности «01.02.00 - Прикладная математика»), играет ту же роль, что и объединенный курс «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» (для обучающихся по специальности «01.01.00 - Математика»). Изучение других курсов по геометрии и алгебре -стандартами обучения не предусмотрено. Аргументация: 1) алгебраические методы присутствуют в других образовательных курсах (дискретная математика);

2) методы дифференциальной геометрии и топологии не имеют прямых выходов в теорию информационных систем. Со вторым аргументом можно было бы согласиться четверть века назад. За это время: а) теория автоматов, из сферы лишь дискретных систем, вошла в область систем, функционирующих в непрерывном времени (топологических автоматов); б) теория распространилась и на гладкие динамические системы (с богатой качественной теорией дифференциальных уравнений).

Нельзя говорить о полновесной реализации принципа функциональной полноты содержания курса «Геометрия и алгебра» для решения следующих задач:

1) обеспечения глубокого усвоения дисциплин специализации (в лучшем случае - возможно изложение в рамках реализации стандарта, задающего локальноминимальный необходимый объем информации и методов); 2) обеспечения необходимых (даже минимальных) возможностей для реализации послевузовского обучения научной специальности «01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел». Вне программы остаются классические структурные алгебраические теории и теория чисел. Каким образом можно качественно изложить теорию кодирования без развер-

нутой теории конечных полей [10, 11]? В дисциплинах специализации, с необходимостью, требуются дополнительные курсы.

Обоснования по отбору содержания.

1. Необходимо отражение системы знаний, интегрирующей основные классические (алгебраические структуры, универсальные алгебры, разрешимость и теория Галуа) и неклассические (алгебраическая логика, моделирование структур в базах данных, теория Галуа баз данных) разделы.

2. Содержание согласовано с программой кандидатского экзамена по специальности «01.01.06 -Математическая логика алгебра, и теория чисел)).

3. Осознается факт: при любом выборе информация остается неполной.

Программа второго концентра системы алгебраических знаний.

1. Алгебраическая теория полугрупп: полугруппы, конгруэнции, гомоморфизмы, циклические, максимальные, инверсные полугруппы, идеалы, максимальные идеалы, простые полугруппы, комбинаторное задание полугрупп, свободные полугруппы, изоморфное вложение полугрупп в группы.

2. Теория групп: классические группы, действие группы на множестве, гомоморфизмы, нормальные делители, фактор-группы, комбинаторное задание групп, алгоритмические проблемы в теории 1рупп, конечно порожденные абелевы группы, свободные абелевы группы, прямые суммы абелевых групп.

3. Теория колец: гомоморфизмы, идеалы колец, фактор-кольца, простые и максимальные идеалы, радикалы колец, кольца главных иде&тов, факториальные и эвклидовы кольца, прямые произведения колец.

4. Теория полей: поля конечной размерности, конечные поля, разрешимость уравнений в радикалах, элементы теории Галуа.

5. Конечномерные ассоциативные и альтернативные линейные алгебры с делением.

6. Универсальная алгебра: структура подалгебр, модели, многообразия, фактор-алгебры, свободные алгебры, прямые произведения алгебр, алгоритмические алгебры, модифицированные алгебры Поста.

7. Алгебраическая логика: булевы алгебры и исчисление высказываний, алгебры Халмоша и узкое исчисление предикатов.

8. Реляционные алгебры в многообразии универсальных алгебр.

9. Теория Галуа в категории отношений: соответствия Галуа, как связь между логическими теориями и их алгебраическими моделями.

Основные базисные единицы теоретической части: 1) алгебраические структуры [1—5]; 2) алгебраическая логика [6-8]; 3) моделирование семантики в базах данных [6-9].

Информационная основа: классические монографии, которые общепризнанны среди ученых-матема-тиков. теоретиков и практиков образования.

Модели приложений теории.

Алгебраические теории автоматов и эффективных вычислений [2]: 1) динамические системы типа «вход - состояние - выход» - основа для подхода к изучению реальных объектов; 2) их движения - параметрические семейства преобразований пространства объектов в себя (зависящие от входных данных);

3) движения однозначно согласуются с входными данными, когда упомянутое семейство - полугруппа относительно композиции преобразований; 4) исследование закономерностей функционирования дискретных систем - сводится к изучению полугрупп, индуцированных конечными автоматами

(теоретический аппарат - алгебраическая теория полугрупп [9]): 5) эффективная вычислительная

процедура, как преобразование пространства объектов; 6) модельные интерпретации - нейронные сети, конечные автоматы, машины Тьюринга, рекурсивные

Прикладные вопросы теории алгебраических структур (в теории кодирования) [3, 4, 10]: 1) линейные коды - как подпространства над конечным полем с фиксированным базисом; 2) коды инвариантные относительно группы подстановок базисных векторов;

3) полиномиальные коды; 4) конечные абелевы группы -как источник кодирующих множеств; 5) алгебраические структуры в моделях кодирующих и декодирующих систем.

Языки. Программирование. Моделирование семантики в базах данных [6, 23]: 1) классификация формальных языков, разработка методов синтаксического анализа (математическая лингвистика); 2) методы формализации синтаксиса и семантики языков программирования, алгебры контекстно-свободных языков {теория программирования)', 3) проблемы тождественных преобразований в системах алгоритмических алгебр, многоосновпые алгоритмические алгебры (теория алгоритмов); 4) проблемы автоматизации проектирования и программирования ЭВМ (в классах универсальных алгебр) (теория ЭВМ); 5) свойства структуры подалгебр универсальной алгебры и проблема полноты для модифицированных алгебр Поста (теория баз данных); 6) соответствия Галуа в обшей теории отношений -отражение связи между логическими теориями и их аксиоматическими моделями.

Итоговый результат. В рассмотренных формальных системах (с конечным числом правил вывода) алгоритмически разрешима проблема выводимости; теорема о полноте, в данном случае, теорема о равенстве операторов семантического и логического замыканий.

Модели междисциплинарных курсов.

Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных [18]:

1) объекты - конструктивные алгоритмические алгебры и их модели; 2) интерпретации - модели баз данных (в связи с возможностями программирования в них); 3) структурный признак объектов - их связь с алгебраической логикой (объекты функционируют вместе с логическими исчислениями); 4) модельные классы — булевы алгебры и исчисление высказываний (цилиндрические и полиэдрические алгебры (алгебры Халмоша) и исчисление предикатов первой степени. 5) семантический аппарат - теория категорий.

Общая алгебра [20, 21, 24], алгебраические системы [15]: I) объекты - универсальные алгебры, универсальные языки, формальные грамматики; 2) логический аппарат - язык исчисления предикатов; 3) связь между логическими теориями и их алгебраическими моделями -определяется соответствиями Галуа.

Алгебра, логика, информатика [23]: 1) проблемы тождественных преобразований в системах алгоритмических алгебр и классификации формальных языков -

исследуются аппаратом теории множеств и отношений;

2) описание алгоритмических алгебр - исследуются аппаратом многоосновных алгебр (в частности, математическая теория автоматов - теория двух- и трехосновных алгебраических систем).

Основные модельные структуры: 1) машина Тьюринга; 2) автоматы Мура и Миля; 3) многоосновные алгебраические системы.

Дидактические особенности: 1) элементы высокой абстракции и формализации - готовятся к дидактической интерпретации анализом с точки зрения общих алгебраических концепций - изучение структур приводит к реестру формул, связанных с законами композиции; 2) проявляющиеся структуры (группоид, полугруппа, моноид, группа, кольцо, поле, тело, линейная алгебра, модуль, квазигруппа, решетка, булева алгебра, категория, универсальная алгебра, модель) - следствие классификации по типу их сигнатур; 3) задача обучающихся - распознать алгебру при сопоставлении (сопряженных и двойственных) известных понятий (например, симметрия - группа, линеаризация - линейный оператор, конечный автомат — трехосновная алгебраическая система, кодирование - поле конечной характеристики); 4) возможно индуцирование алгебраической структуры при кодировании (внесение ее в информационный массив извне), хотя множество данных, передающихся по каналу информации, такой структурой не является, г

Направление междисциплинарной организации учебных и научных дисциплин - одно из основных в У

образовательной и научной практике. Многие классические разделы системы математического знания, развиваясь в течение последнего столетия, подошли к этапу обобщенного синтеза знаний. Главное направление их развития - фундаментальные приложения, обоснование методов и понятий современной математики (связанной с изучением интеллектуальных систем).

3. Основные компоненты учебной модели «Упорядоченные структуры в базовых курсах и дисциплинах специализации математического образования». Становление теории порядковых структур происходило позднее, чем алгебраических и топологических (ближе к середине XX в.) [22, 26, 27]. Сравнение объектов но величине формализуется в понятиях: отношение порядка, упорядоченное множество.

Метод исследования: реализация порядкового подхода (изучение порядковой структуры объекта).

В единую область знания оформилась теория частично упорядоченных систем. В разработке теории структур оформился теоретико-ре1 неточный способ исследования (сопряженный с соответствующей операторной структурой мышления) — изучение объекта с помощью решётки его подмножеств.

Приложения: 1) в логике (описание пропозицион-ных исчислений, как брауэровых решеток); 2) геометрии; 3) теории групп; 4) общей алгебре (теоретикорешеточные методы в полиэдрических алгебрах);

5) функциональном анализе; 6) теории вероятностей (классификация наблюдаемых квантово-механических свойств, как полных атомно порожденных решеток -изоморфных решетке всех замкнутых подпространств гильбертова пространства), 7) математической физике (описание моделей детерминистских динамических систем, как топологических решеток) [5, 7].

Упорядоченные алгебраические структуры возникают там, где согласованы с отношением порядка алгебраические операции. Если алгебраические системы наделены топологиями, в которых их алгебраические операции непрерывны, имеем топологические упорядоченные алгебраические системы.

Возникающие задачи: 1) обосновать возможность продолжения топологии на расширения систем; 2) исследовать формы задания топологии.

В базовые дисциплины входят лишь фрагменты теории упорядоченных систем. Систематическое их изучение проводится только для специализирующихся г» 1тп|1 области (программы по каправлениьо >\5! 01 00)) и специальности «01.01.00 - Математика»). В образовательном стандарте (по специальности «03.21.00 -Учитель математики») предусмотрено изучение:

1) понятия отношения порядка, свойств упорядоченных множеств (в курсе «Введение в математику»);

2) свойств и строения упорядоченных числовых структур - линейно упорядоченных полуколец, колец и полей (в курсе «Числовые системы»). Раскрыть этим содержание алгебраических структур в правой части рис. 1 - невозможно, это направление выпадает из системы профессиональных знаний учителя математики.

Цель обучения: обеспечить возможность доведения изложения до пегривиальных теорем в упорядоченных структурах.

Базовый материал: теория булевых алгебр, вместе с теоремой Стоуна о строении конечных булевых ал-

гебр (как изоморфных решетке всех подмножеств некоторого конечного множества).

Основные порядковые понятия: 1) виды элементов упорядоченных множеств; 2) точные грани; 3) линейно упорядоченное множество (цепь) и сечение; 4) вполне упорядоченное множество; 5) решётка; 6) дистрибутивность; 7) атом; 8) булева решётка; 9) упорядоченная группа, кольцо, поле.

Модельные примеры: 1) поле Н; 2) р(Л/) - булеан множества М (по включению); 3) решётка N (с отношением делимости).

Точные грани элементов в рассмотренных модель-ных примерах- наибольшими общий дстктсп* м нал-меньшее общее кратное; 2) минимум и максимум,

3) объединение и пересечение.

Теоретический материал: 1) свойства различных упорядоченных структур; 2) принцип двойственности;

3) эквивалентность порядкового и алгебраического определений решётки; 4) теорема Стоуна; 5) теорема Тарского (о неподвижной точке); 6) лемма Кенига; 7) лемма Цорна; 8) теоремы Цермелло и Гельдера; 9) характеристика Р(А/), как полной атомной булевой решетки; 10) структурные свойства основных числовых систем.

Принципиальные теоретические результаты. Являются изоморфными: 1) категория конечных упорядоченных множеств (с изотонными отображениями в качестве морфизмов); 2) конечные дистрибутивные решётки (с их гомоморфизмами, которые сохраняют наибольший и наименьший элементы); 3) конечные Т0 пространства (с непрерывными отображениями).

Рис. 1. Основные алгебраические структуры

Этот факт (хотя бы в конечной математике) устанавливает тесную связь порядковых, алгебраических и топологических структур - свидетельство единства современной математики. При его доказательстве и обоснованиях выводов - используем связи между морфизмами в указанных структурах: 1) инъективный гомоморфизм, между алгебраическим структурами, является изоморфизмом, обратный изоморфизм - тоже сохраняет операции; 2) для изотонных отображений упорядоченных множеств (и для непрерывных отображений топологических пространств) - ЭТО неверно, 150 изотонные биективные отображения цепей (или конечных упорядоченных множеств) - порядковые изоморфизмы; 3) изотонное отображение между решётками -не всегда гомоморфизм, но все непустые подмножества упорядоченных множеств - сами являются упорядоченными подмножествами относительно индуцированного порядка (что неверно для алгебраических структур).

Необходимые умения: представление упорядоченных множеств диаграммами Хассе (в задачах дискретной математики и прикладной алгебры).

Межпредметные связи и интегрирующие подходы: 1) техника и методология индуктивных рассуждений имеет основой порядковые структуры; 2) принципы комбинаторных методов связаны «деревом» перебора, поиском оптимизированных правил поиска, имеющими порядковый характер; 3) обосновывается интуитивный поиск решений задач линейного программирования (содержательный выбор решений на многоугольнике или многограннике решений - выделением систем эквипотенциальных уровней прямыми на плоскости и плоскостями в пространстве); 4) в элементарной математике порядковый подход реализуется в теме «Неравенства» (обобщаются на случай бесконечного количества аргументов неравенства Коши, Вуняковского, Мипковского, Гельдера, Йенсена; они сохраняются при предельном переходе).

Возможные пути обучения: 1) профильная дифференциация в системе алгебраических и топологических знаний; 2) курсы специализации по профилю «Дидактика математики», относящихся к подготовке учителей для специализированных школ; 3) в планах работы ведущих вузов (МПГУ, РПГУ) реализуются подходы с направленностью «Элементарная математика с точки зрения высшей» [8]; вариант интерпретации предлагается в [13].

4. Выводы. Значимая компонента современной образовательной парадигмы всегда присутствовала в системе математического образования: допускался вариативный подход к пр01раммам, которые связывались с авторитетными научными и образовательными школами, В системе алгебраических знаний: а) «Московский» вариант А.И. Кострикина и Л.Я. Куликова (более соотнесенный с европейской системой образования); б) «Ленинградский» вариант Д.К. Фаддеева и Е.С. Ляпина (соотнесенный с классической системой отечественного образования), строится на базе арифметической культуры. Естественная составляющая планирования содержания — отражение направлений научной специализации алгебраических кафедр МГУ, МПГУ и СПбГУ, РПГУ, как ведущих кафедр этого профиля в вузах. В программы заложен принцип опи-

сания изоморфных расширений классических структур.

Курс первого уровня заканчивается классификацией алгебраических расширений полей. Программа второго концентра алгебраического образования не носит обязательного характера, как при изучении базовых курсов; относится больше к дисциплинам специализации.

Даже в условиях механико-математического факультета МГУ: теория Галуа (классика алгебраических знаний) отошла в область спецкурсов. Выбор материала определялся принципом рациональной фундаментальности: излишнее углубление в вопросы, не имеющие достаточно ясной связи с материалом, который непосредственно потребуется будущему специалисту, не практиковались. В связи с таким подходом, даже в программах классических университетов, на этапе изучения базовых курсов, систематического изучения универсальных алгебр, как структур с тождествами и системами ядерных условий, не предусмотрено. Теория отношений развилась до уровня, когда в категории отношений были разработаны аналоги теории Галуа в теории групп [23, 24].

ЛИТЕРАТУРА

!, Aàavap Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Сов. радио, 1970.

2. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп / ред.

А.М. Лрбиб. М.: Статистика, 1975.

3. Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, 1971.

4. Кирхгоф Г.. Варти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир,

1976.

5. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. ♦

6. Глушков В.М., Цейтлин ¡'. А , Ющенко Е.Л. Алгебра. Языки. Программирование. Киев: Наукова думка, 1978.

7. ГретцерУ. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.

8. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. М..

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Наука, 1987, Т. 1.

9. Клиффорд А., Престон П. Алгебраическая теория полугрупп.

М.: Мир, 1972.

10. Кобяиц И. Курс теории чисел и криптографии. М.: TR11, 2001.

11. Лид.и Р., HuâeppaUmep К. Конечные поля. М.; Мир, 1988. Т. 1, 2.

12. Линдон F., LUynn П. Комбинаторная теория групп М.: Мир, 1980.

13. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. М.:

Просвещение, 1987.

14. Магнус Д., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп.

М.: Наука, 1974.

15. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

16. Новиков П.С. Неразрешимость проблемы сопряженности в теории групп. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1954. Т. 18. С. 485-524.

17. Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов // Тр. МИАН СССР. 1955 Т. 44. С. 3-143.

18. Плоткин Б.И. Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных. М.: Наука, 1991

19 Самарский A.A. Неизбежность новой методологии // Коммунист.

1989. № 1. С. 82-92.

20. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. 2-е изд. М.: Наука, 1980.

21. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.

22. Фукс .//. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.:

Мир, 1965

23. /('ашнко М.ш. Моделирование семантики в базах данных. М.:

Наука, 1989

24. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР)». М., 1985.T. II.

25 iksnin% G. Lmear Programming and Exstunsions, New lersy, 1963.

26. Crtivenko V. Sur quelques points de la logique de M. Brouwer // Bull.

Acad. des Sei. de Belgiue. 1939 V. 15. P. 183-188.

27. Ore О. Chains in partially ordered sets. // Bull. Amer. Math. Soc.

1943. V. 49. P. 558-566.

Поступила в редакцию 28 июня 2006 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.