CC BY
56
УДК 378.147
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ: МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ, МОДЕЛИ СОДЕРЖАНИЯ, МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
© Ф.Н. Богатырев
Bogatyrev F.N. Algebraic component of the professional mathematical education: inter-disciplinary connections, content models, methodological lines. The article discusses such theoretical and practical problems of the modem professional mathematical education in the cycle of algebraic disciplines as: I ) folding and structuring of the information concerning the basic methods of scientific research; 2) the integrated disciplines substantiation and elaboration at the stage of studying the basic courses and specialization disciplines; 3) development of the didactic modules connected to formation of the new structures in a mathematical knowledge system.
Рассмотрены следующие вопросы профессионального математического образования в цикле алгебраических дисциплин: 1) свертывание и структурирование информации относительно фундаментальных методов научных исследований; 2) обоснование и разработка интегрирующих дисциплин на этапе изучения базовых курсов и дисциплин специализации; 3) разработка дидактических модулей, связанных со становлением новых структур в системе математического знания.
1. Организация содержания на основе фундаментальных теоретических методов. В современной математике - объем информации удваивается за пятилетие [19]. Гигантские теоремы (М. Атья - И. Зингера об индексах, классификация простых групп и др.) интегрируют г ромадный объем знаний. Сжатие информации для ее анализа, включение в исследование современных методов, перевод ключевой информации на новый язык - актуальные задачи для науки и образования [24]. За два часа студенты знакомятся с теоремой о б и квадратичном вычете, которую великий К. Гаусс разрабатывал семь лет. Результаты П.С. Новикова о неразрешимости классических алгоритмических проблем в теории групп, связанные с методом проходных букв, привели к многостраничным примерам, где указанные проблемы - неразрешимы [16, 17]. Позднее проблема была переведена на язык изложения, вполне годный и для образовательных курсов [12, 14]. Возникает проблема усвоения понятий вокруг больших масс знаний, когда, из-за большого объема свернутой информации, разрыв даже между соседними утверждениями остается значительным (при любом дроблении цепи доказательства). Можно подойти к решению этой проблемы (в научных исследованиях и обучении) введением фундаментальных методов, вокруг которых происходит интеграция знания. В массовой образовательной практике (особенно - при практически направленном обучении), часто, в учебном процессе, изложение информации не доходит до применения современных научных методов.
Содержание курсов должно строиться на базе фундаментальных структур, изучаемых в содержательных интерпретациях. Булевы алгебры логики,
множеств и случайных событий закладывают фундамент под большинство методов исследования алгебраических структур. Алгебра логики: основа аксиоматического метода, рассуждений и доказательств. Это база для формальной и общей логики, построения логических цепей обоснований [1]. Алгебра множеств и отношений: применяется в задачах принятия решений (в том числе и в условиях неопределенности). Теория комплектов, допускающая повторяемость элементов, связана с задачами построения баз данных и формальных языков. Множества, нечеткие множества и комплекты выражаются в вероятностных интерпретациях, что связано с алгеброй случайных событий - основы теории вероятностей и математической статистики. Связывающая и обслуживающая все эти алгебры -матричная алгебра. Ее применение в ключевых задачах: 1) разложение булевых функций в многочлены Жегалкина сводится к решению систем над конечными полями Галуа (в математической логике): 2) нахождение представлений отношений с решеточно-определенными операциями матричной алгебры (е теориях множеств, отношений, принятия решений); 3) решение системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов (в задачах математической статистики - построение регрессионной зависимости между данными величинами).
Изучение и интерпретации матричных алгебр -центральный момент в пропедевтике раздела «Линейная алгебра». Важнейшее место занимают разделы, связанные с теорией /¡-мерных векторов, матриц, систем линейных уравнений. Обучающиеся испытывают в их усвоении серьезные трудности. Традиционные методы не позволяют хорошо классифицировать задачи, связанные с нахождением ранговых соотношений, анализом композиций невырожденных и вырожденных матриц. Затруднен поиск конструктивных алгоритмов. Этих проблем можно, в определенной мере, избежать, если излагать указанные разделы на основе критерия замещения - теоретической основы симплекс-метода (метода оптимального улучшения найденных допустимых решений) (Данциг, 1940 г.) [25].
Теорема 1. Даны две системы векторов
Ьі, Ь2,Ь„; аьа2, ...,ат.
(1.1)
(1.2)
Система (1.1) линейно выражается через систему (1.2):
г + 1, т). Учитывая (1.3) - получаем систему (1.4),
полученную из (1.2) с помощью элементарных преобразований.
Пусть (1.2) - линейно зависимая, тогда найдутся ..., Х,_|, л„„ (не все равные нулю), что
Т.Ка, +^Л =о.
(1.9)
(1.3)
Если \Г!ІФ 0, тогда найдется система векторов а...... лг-ь Ь„ а^ъ ..., ат, (1.4)
что:
1. Система (1.1) линейно выражается через систему (1.4). При этом
) ' V;
ІФГ
Ту = Ту - —т„ (если і ф г);
(1.5)
(1.6)
(1.7)
2. Система (1.2) подобна системе (1.4), т. е. (1.2) преобразуется в (1.4) элементарными преобразованиями.
3. Вели система (1.2) - линейно независимая, тогда и система (1.4)- линейно независимая.
Доказательство. Так как т„ Ф 0. из равенства
К = г/*"| +•■•+ *г-каг-\ + *г*аг +
+ тг+/хаг+1 +... + ат
Г/, ^г+Л і + і .
— — — а,- аг_ —К~
г \
Г + /Л аг+1 -Ь™-а = ит I
і*г V Т-: !
(1.8)
Из (1.1) и (1.8) получаем:
Ь] = + V
\г а, + —6, = т„.
= 1
"Гх
г„ к +^ЬЯ.
г,.. т.
Значит: Ь. = £т',-а^ + т^6у;(/ - 1,2Здесь:
Т I у,;
ту = ти —~ти О *■г): т'п = — •
Умножим в (1.2) аг на тгхф 0. Имеем: дь аъ.... тг<рГ, ..., ат.
Прибавим к вектору тглйг остальные векторы ак (из этой системы), умноженные на х\к\ (к= 1, 2, г - 1,
Из (1.3) (при] = 5) имеем + щ а1 =0 .
¡*г М
Значит- уСХ.+и т. V» +11 т п = О
-------- ^ V ’ / Г-Л - /V Г'і ' Л ■ ГЛ ~ Г ~ '
Ыг
Так как система (1.2) - линейно независимая, имеем + рд« = 0. Значит: = 0; А* = 0; (/ = 1,2. ..., г - 1,
г + 1, ..., т). Система (1.4) - линейно независимая. ▲
Рассмотрим формулы (1.5), (1.6) и (1.7). Они позволяют указать эффективный метод нахождения линейной выраженности каждого вектора из (1.1) через систему (1.4), если известно, как каждый вектор из
(1.1) линейно выражается через (1.2). Имеем:
Ь\ ... Ь,... Ь„
г= а. Г,, ... Г| і ... г1л - і-я строка
а, Т( 1 ■■■Ту ■■■ Т1П
1 ••• ^тп
г— таблица векторов системы (І. I) по векторам системы (1.2). Имеем: отношению к
Ь] ... Ьц ... ь„
Г = а | Ги 0 ... т1п - г-я строка
ь, Тг] ... 1 ... тгп
ат тт\ ■■■ ^ ••• Г/и1
Т - таблица векторов системы (1.1) по отношению к векторам системы (1.4).
Если т„ Ф 0, тогда система (1.4) получается из системы (1.2) заменой вектора аг на вектор Ь, .Эта операция может быть объяснена с помощью перехода от таблицы Т к Т. Согласно (1.6) и (1.7). таблица V получается из Г следующим образом.
1. Надо: в Т, г-ю строку, умноженную на некоторые скаляры, прибавить к остальным строкам Т, чтобы получились нули В 5-ОМ столбце.
2. Далее: г-ю строку умножим на скаляр _!_.
г„
Теорема2. Пусть система (1.1) линейно выражается через (1.2). Тогда для каждой линейно независимой системы
Ь,\, Ьі2,..., Ьі,
(2.1)
подсистемы системы (1.1), существует в (1.2) подсистема из к векторов, которую можно заместить системой (2.1).
Полученная система векторов обладает свойствами:
1. Через нее линейно выражается каждый вектор системы (1.1).
2. Она подобна системе (1.2).
3. Если система (1.2) - линейно независимая, тогда полученная система тоже линейно независимая.
Доказательство. Используем метод математической индукции по к.
1. Вели к - 1, тогда справедливость следует из теоремы 1.
2. Пусть для всех /: 1 < / < к — 1 теорема верна.
3. Докажем её истинность для 1= к.
По допущению, в (1.2) существует подсистема из к - I вектора, которую можно заменить линейно независимой подсистемой Ьп, bj2, ..., Ь, *_!■ Пусть это будет оь 02, ..., 1 из (1.2). По индуктивному утверждению,
система
^¡2, .... £,*_], щ, аъ+1, ат (2.2)
обладает свойствами 1, 2, 3. В частности: из свойства 1 имеем
Ь1к = А.,^ +>-2^2 + 1 + ^ ^
+ hak+- + Kam
Среди чисел А*, А^|. Хт - не все равны нулю. Иначе (при А* = А*+, = ...= Ат= 0) следовало бы из (2.3): b,k = A]6,i + ... + A*_|6)jt_|. Значит (2.1) - линейно зависимая. Пусть А* Ф 0. Тогда, по теореме 1 и (2.3), имеем систему
Ьц> Ь,2, bj/[-1, bjk, <3^+1, йт, (2.4)
которая обладает свойством 1 и подобна системе (2.2), она подобна и системе (2.2). Если система (2.2) — линейно независимая, тогда и система (2.4) - линейно независимая. ▲
С л е д с т в и е 1. Из теоремы 2 следует: к < т. Следствие2. Если каждый вектор из системы
(1.1) линейно выражается через систему (1,2) и т < п, тогда система (1.1)- линейно зависимая.
СледствиеЗ. Каждая система линейно независимых n-мерных векторов аи а2, ..., а„ подобна системе п-мерных единичных векторов б|, е2>
Следствие 4. Систему (2.4) можно получить, используя к раз теорему 1. Это дает возможность воспользоваться правилом замещения для получения системы (2.4), удовлетворяющей условиям 1.2.3.
Следствие5.В матрице ее строчный ранг равен столбцовому рангу.
Доказательство. Пусть в матрице Ат„ столбцовый ранг равен г и
..(3.1)
базис сис темы столбцов.
Запишем таблицу Т для столбцов Ат„ относительно векторов
е\е2,...,ет . (3.2)
По теореме 2: в системе (3.2) существует г векторов, которые могут быть заменены системой (3.1). Пусть это будут векторы е]у е2, ..., е'.
Согласно следствия 4, от таблицы Т переходим к Т’
1. Если т> г, тогда все элементы строк, с номе-
рами большими г, будут равны нулям. Если бы, скажем, к Ф 0, тогда, согласно теореме 1, вектор 1,г+1
можно заместить вектором я*. Тогда: система
а1' ,а‘2,а‘г, ак — линейно независимая, что невозможно.
2. Если бы в первом столбце векторы системы
(3.1) были бы расположены в другом порядке, тогда можно прийти к исходному расположению этих векторов элементарными преобразованиями строк.
В V первые г строк - линейно независимые. Значит строчный ранг Т равен г. Так как от Г к Г' перешли с помощью элементарных преобразований строк, их строчные ранги равны. ▲
В итоге имеем большинство выводов и результатов в виде конструктивных следствий. Интерпретация учебного курса на основе критерия замещения дает возможность объединить эффективность двойственных категориальных подходов: 1) свертывания информации - принципиальной возможности найти комплексный подход к доказательству большинства обобщающих утверждений; 2) развертывания информации -принципиальной возможности получить решение конкретных частных задач. Исследовались, по данным направлениям, содержание теоретической части и практических компонентов курса «Линейная алгебра» всех направлений и специальностей математического образования. Все интерпретации содержания теоретической и практической компоненты учебного курса обобщались интегрированным подходом на основе указанного оптимизированного метода линейного программирования. Варианты решаемых образовательных проблем (конкретных этапов обучения)-. 1) отработка методов доказательства утверждений теории; 2) описание алгоритмов и конструктивных процедур в задачах курса «Линейная алгебра»; 3) эффективная машинная реализация найденных алгоритмов во втором концентре алгебраического образования или его прикладных разделах. Указанный подход реализован для различных профилей обучения: дидактическая
адаптация проводилась на физико-математическом факультете Л ГПУ около 20 лет. Организационные аспекты: 1) излагается традиционный вариант интерпретации учебного курса; 2) параллельно все желающие могут (в режиме сравнения) следить за изложением курса на основе критерия замещения (теоретическая и практическая части интерпретаций - согласованы) по бумажному или электронному источникам; 3) если в процессе обучения вся группа переходит на изучение модернизированной интерпретации, этот вариант становится основным. Объем изучаемого курса - примерно 30-40 % семестрового объема курсов «Алгебра»,
и йлгсбрз)) в 1_2 ссмсстрйх ¡!о организз.-
ции содержания и структуре учебного материала - это укрупненная дидактическая единица, блок группы родственных знаний. Разработка используется в обучении студентов России, СНГ, дальнего зарубежья (Монголия. Камбоджа, Вьетнам).
2. Основные компоненты учебных моделей дисциплин алгебраического профиля (второго концентра обучения). Обоснование и интерпретирование содержания проводится на основе: 1) взаимодействия фундаментальных и прикладных аспектов знания;
2) реализации междисциплинарных направлений научных исследований. Абсолютных оценочных параметров для дифференциации по указанным категориям -нет: всегда присутствует субъективный фактор и мера условности. В любом случае: базовые образовательные курсы (по набору текущей информации, методов и структурных идей) должны быть необходимой основой для изучения последующих дисциплин. Курс «Геометрия и алгебра», изучаемый в 1-1V семестрах (357 часов) (по специальности «01.02.00 - Прикладная математика»), играет ту же роль, что и объединенный курс «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» (для обучающихся по специальности «01.01.00 - Математика»). Изучение других курсов по геометрии и алгебре -стандартами обучения не предусмотрено. Аргументация: 1) алгебраические методы присутствуют в других образовательных курсах (дискретная математика);
2) методы дифференциальной геометрии и топологии не имеют прямых выходов в теорию информационных систем. Со вторым аргументом можно было бы согласиться четверть века назад. За это время: а) теория автоматов, из сферы лишь дискретных систем, вошла в область систем, функционирующих в непрерывном времени (топологических автоматов); б) теория распространилась и на гладкие динамические системы (с богатой качественной теорией дифференциальных уравнений).
Нельзя говорить о полновесной реализации принципа функциональной полноты содержания курса «Геометрия и алгебра» для решения следующих задач:
1) обеспечения глубокого усвоения дисциплин специализации (в лучшем случае - возможно изложение в рамках реализации стандарта, задающего локальноминимальный необходимый объем информации и методов); 2) обеспечения необходимых (даже минимальных) возможностей для реализации послевузовского обучения научной специальности «01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел». Вне программы остаются классические структурные алгебраические теории и теория чисел. Каким образом можно качественно изложить теорию кодирования без развер-
нутой теории конечных полей [10, 11]? В дисциплинах специализации, с необходимостью, требуются дополнительные курсы.
Обоснования по отбору содержания.
1. Необходимо отражение системы знаний, интегрирующей основные классические (алгебраические структуры, универсальные алгебры, разрешимость и теория Галуа) и неклассические (алгебраическая логика, моделирование структур в базах данных, теория Галуа баз данных) разделы.
2. Содержание согласовано с программой кандидатского экзамена по специальности «01.01.06 -Математическая логика алгебра, и теория чисел)).
3. Осознается факт: при любом выборе информация остается неполной.
Программа второго концентра системы алгебраических знаний.
1. Алгебраическая теория полугрупп: полугруппы, конгруэнции, гомоморфизмы, циклические, максимальные, инверсные полугруппы, идеалы, максимальные идеалы, простые полугруппы, комбинаторное задание полугрупп, свободные полугруппы, изоморфное вложение полугрупп в группы.
2. Теория групп: классические группы, действие группы на множестве, гомоморфизмы, нормальные делители, фактор-группы, комбинаторное задание групп, алгоритмические проблемы в теории 1рупп, конечно порожденные абелевы группы, свободные абелевы группы, прямые суммы абелевых групп.
3. Теория колец: гомоморфизмы, идеалы колец, фактор-кольца, простые и максимальные идеалы, радикалы колец, кольца главных иде&тов, факториальные и эвклидовы кольца, прямые произведения колец.
4. Теория полей: поля конечной размерности, конечные поля, разрешимость уравнений в радикалах, элементы теории Галуа.
5. Конечномерные ассоциативные и альтернативные линейные алгебры с делением.
6. Универсальная алгебра: структура подалгебр, модели, многообразия, фактор-алгебры, свободные алгебры, прямые произведения алгебр, алгоритмические алгебры, модифицированные алгебры Поста.
7. Алгебраическая логика: булевы алгебры и исчисление высказываний, алгебры Халмоша и узкое исчисление предикатов.
8. Реляционные алгебры в многообразии универсальных алгебр.
9. Теория Галуа в категории отношений: соответствия Галуа, как связь между логическими теориями и их алгебраическими моделями.
Основные базисные единицы теоретической части: 1) алгебраические структуры [1—5]; 2) алгебраическая логика [6-8]; 3) моделирование семантики в базах данных [6-9].
Информационная основа: классические монографии, которые общепризнанны среди ученых-матема-тиков. теоретиков и практиков образования.
Модели приложений теории.
Алгебраические теории автоматов и эффективных вычислений [2]: 1) динамические системы типа «вход - состояние - выход» - основа для подхода к изучению реальных объектов; 2) их движения - параметрические семейства преобразований пространства объектов в себя (зависящие от входных данных);
3) движения однозначно согласуются с входными данными, когда упомянутое семейство - полугруппа относительно композиции преобразований; 4) исследование закономерностей функционирования дискретных систем - сводится к изучению полугрупп, индуцированных конечными автоматами
(теоретический аппарат - алгебраическая теория полугрупп [9]): 5) эффективная вычислительная
процедура, как преобразование пространства объектов; 6) модельные интерпретации - нейронные сети, конечные автоматы, машины Тьюринга, рекурсивные
Прикладные вопросы теории алгебраических структур (в теории кодирования) [3, 4, 10]: 1) линейные коды - как подпространства над конечным полем с фиксированным базисом; 2) коды инвариантные относительно группы подстановок базисных векторов;
3) полиномиальные коды; 4) конечные абелевы группы -как источник кодирующих множеств; 5) алгебраические структуры в моделях кодирующих и декодирующих систем.
Языки. Программирование. Моделирование семантики в базах данных [6, 23]: 1) классификация формальных языков, разработка методов синтаксического анализа (математическая лингвистика); 2) методы формализации синтаксиса и семантики языков программирования, алгебры контекстно-свободных языков {теория программирования)', 3) проблемы тождественных преобразований в системах алгоритмических алгебр, многоосновпые алгоритмические алгебры (теория алгоритмов); 4) проблемы автоматизации проектирования и программирования ЭВМ (в классах универсальных алгебр) (теория ЭВМ); 5) свойства структуры подалгебр универсальной алгебры и проблема полноты для модифицированных алгебр Поста (теория баз данных); 6) соответствия Галуа в обшей теории отношений -отражение связи между логическими теориями и их аксиоматическими моделями.
Итоговый результат. В рассмотренных формальных системах (с конечным числом правил вывода) алгоритмически разрешима проблема выводимости; теорема о полноте, в данном случае, теорема о равенстве операторов семантического и логического замыканий.
Модели междисциплинарных курсов.
Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных [18]:
1) объекты - конструктивные алгоритмические алгебры и их модели; 2) интерпретации - модели баз данных (в связи с возможностями программирования в них); 3) структурный признак объектов - их связь с алгебраической логикой (объекты функционируют вместе с логическими исчислениями); 4) модельные классы — булевы алгебры и исчисление высказываний (цилиндрические и полиэдрические алгебры (алгебры Халмоша) и исчисление предикатов первой степени. 5) семантический аппарат - теория категорий.
Общая алгебра [20, 21, 24], алгебраические системы [15]: I) объекты - универсальные алгебры, универсальные языки, формальные грамматики; 2) логический аппарат - язык исчисления предикатов; 3) связь между логическими теориями и их алгебраическими моделями -определяется соответствиями Галуа.
Алгебра, логика, информатика [23]: 1) проблемы тождественных преобразований в системах алгоритмических алгебр и классификации формальных языков -
исследуются аппаратом теории множеств и отношений;
2) описание алгоритмических алгебр - исследуются аппаратом многоосновных алгебр (в частности, математическая теория автоматов - теория двух- и трехосновных алгебраических систем).
Основные модельные структуры: 1) машина Тьюринга; 2) автоматы Мура и Миля; 3) многоосновные алгебраические системы.
Дидактические особенности: 1) элементы высокой абстракции и формализации - готовятся к дидактической интерпретации анализом с точки зрения общих алгебраических концепций - изучение структур приводит к реестру формул, связанных с законами композиции; 2) проявляющиеся структуры (группоид, полугруппа, моноид, группа, кольцо, поле, тело, линейная алгебра, модуль, квазигруппа, решетка, булева алгебра, категория, универсальная алгебра, модель) - следствие классификации по типу их сигнатур; 3) задача обучающихся - распознать алгебру при сопоставлении (сопряженных и двойственных) известных понятий (например, симметрия - группа, линеаризация - линейный оператор, конечный автомат — трехосновная алгебраическая система, кодирование - поле конечной характеристики); 4) возможно индуцирование алгебраической структуры при кодировании (внесение ее в информационный массив извне), хотя множество данных, передающихся по каналу информации, такой структурой не является, г
Направление междисциплинарной организации учебных и научных дисциплин - одно из основных в У
образовательной и научной практике. Многие классические разделы системы математического знания, развиваясь в течение последнего столетия, подошли к этапу обобщенного синтеза знаний. Главное направление их развития - фундаментальные приложения, обоснование методов и понятий современной математики (связанной с изучением интеллектуальных систем).
3. Основные компоненты учебной модели «Упорядоченные структуры в базовых курсах и дисциплинах специализации математического образования». Становление теории порядковых структур происходило позднее, чем алгебраических и топологических (ближе к середине XX в.) [22, 26, 27]. Сравнение объектов но величине формализуется в понятиях: отношение порядка, упорядоченное множество.
Метод исследования: реализация порядкового подхода (изучение порядковой структуры объекта).
В единую область знания оформилась теория частично упорядоченных систем. В разработке теории структур оформился теоретико-ре1 неточный способ исследования (сопряженный с соответствующей операторной структурой мышления) — изучение объекта с помощью решётки его подмножеств.
Приложения: 1) в логике (описание пропозицион-ных исчислений, как брауэровых решеток); 2) геометрии; 3) теории групп; 4) общей алгебре (теоретикорешеточные методы в полиэдрических алгебрах);
5) функциональном анализе; 6) теории вероятностей (классификация наблюдаемых квантово-механических свойств, как полных атомно порожденных решеток -изоморфных решетке всех замкнутых подпространств гильбертова пространства), 7) математической физике (описание моделей детерминистских динамических систем, как топологических решеток) [5, 7].
Упорядоченные алгебраические структуры возникают там, где согласованы с отношением порядка алгебраические операции. Если алгебраические системы наделены топологиями, в которых их алгебраические операции непрерывны, имеем топологические упорядоченные алгебраические системы.
Возникающие задачи: 1) обосновать возможность продолжения топологии на расширения систем; 2) исследовать формы задания топологии.
В базовые дисциплины входят лишь фрагменты теории упорядоченных систем. Систематическое их изучение проводится только для специализирующихся г» 1тп|1 области (программы по каправлениьо >\5! 01 00)) и специальности «01.01.00 - Математика»). В образовательном стандарте (по специальности «03.21.00 -Учитель математики») предусмотрено изучение:
1) понятия отношения порядка, свойств упорядоченных множеств (в курсе «Введение в математику»);
2) свойств и строения упорядоченных числовых структур - линейно упорядоченных полуколец, колец и полей (в курсе «Числовые системы»). Раскрыть этим содержание алгебраических структур в правой части рис. 1 - невозможно, это направление выпадает из системы профессиональных знаний учителя математики.
Цель обучения: обеспечить возможность доведения изложения до пегривиальных теорем в упорядоченных структурах.
Базовый материал: теория булевых алгебр, вместе с теоремой Стоуна о строении конечных булевых ал-
гебр (как изоморфных решетке всех подмножеств некоторого конечного множества).
Основные порядковые понятия: 1) виды элементов упорядоченных множеств; 2) точные грани; 3) линейно упорядоченное множество (цепь) и сечение; 4) вполне упорядоченное множество; 5) решётка; 6) дистрибутивность; 7) атом; 8) булева решётка; 9) упорядоченная группа, кольцо, поле.
Модельные примеры: 1) поле Н; 2) р(Л/) - булеан множества М (по включению); 3) решётка N (с отношением делимости).
Точные грани элементов в рассмотренных модель-ных примерах- наибольшими общий дстктсп* м нал-меньшее общее кратное; 2) минимум и максимум,
3) объединение и пересечение.
Теоретический материал: 1) свойства различных упорядоченных структур; 2) принцип двойственности;
3) эквивалентность порядкового и алгебраического определений решётки; 4) теорема Стоуна; 5) теорема Тарского (о неподвижной точке); 6) лемма Кенига; 7) лемма Цорна; 8) теоремы Цермелло и Гельдера; 9) характеристика Р(А/), как полной атомной булевой решетки; 10) структурные свойства основных числовых систем.
Принципиальные теоретические результаты. Являются изоморфными: 1) категория конечных упорядоченных множеств (с изотонными отображениями в качестве морфизмов); 2) конечные дистрибутивные решётки (с их гомоморфизмами, которые сохраняют наибольший и наименьший элементы); 3) конечные Т0 пространства (с непрерывными отображениями).
Рис. 1. Основные алгебраические структуры
Этот факт (хотя бы в конечной математике) устанавливает тесную связь порядковых, алгебраических и топологических структур - свидетельство единства современной математики. При его доказательстве и обоснованиях выводов - используем связи между морфизмами в указанных структурах: 1) инъективный гомоморфизм, между алгебраическим структурами, является изоморфизмом, обратный изоморфизм - тоже сохраняет операции; 2) для изотонных отображений упорядоченных множеств (и для непрерывных отображений топологических пространств) - ЭТО неверно, 150 изотонные биективные отображения цепей (или конечных упорядоченных множеств) - порядковые изоморфизмы; 3) изотонное отображение между решётками -не всегда гомоморфизм, но все непустые подмножества упорядоченных множеств - сами являются упорядоченными подмножествами относительно индуцированного порядка (что неверно для алгебраических структур).
Необходимые умения: представление упорядоченных множеств диаграммами Хассе (в задачах дискретной математики и прикладной алгебры).
Межпредметные связи и интегрирующие подходы: 1) техника и методология индуктивных рассуждений имеет основой порядковые структуры; 2) принципы комбинаторных методов связаны «деревом» перебора, поиском оптимизированных правил поиска, имеющими порядковый характер; 3) обосновывается интуитивный поиск решений задач линейного программирования (содержательный выбор решений на многоугольнике или многограннике решений - выделением систем эквипотенциальных уровней прямыми на плоскости и плоскостями в пространстве); 4) в элементарной математике порядковый подход реализуется в теме «Неравенства» (обобщаются на случай бесконечного количества аргументов неравенства Коши, Вуняковского, Мипковского, Гельдера, Йенсена; они сохраняются при предельном переходе).
Возможные пути обучения: 1) профильная дифференциация в системе алгебраических и топологических знаний; 2) курсы специализации по профилю «Дидактика математики», относящихся к подготовке учителей для специализированных школ; 3) в планах работы ведущих вузов (МПГУ, РПГУ) реализуются подходы с направленностью «Элементарная математика с точки зрения высшей» [8]; вариант интерпретации предлагается в [13].
4. Выводы. Значимая компонента современной образовательной парадигмы всегда присутствовала в системе математического образования: допускался вариативный подход к пр01раммам, которые связывались с авторитетными научными и образовательными школами, В системе алгебраических знаний: а) «Московский» вариант А.И. Кострикина и Л.Я. Куликова (более соотнесенный с европейской системой образования); б) «Ленинградский» вариант Д.К. Фаддеева и Е.С. Ляпина (соотнесенный с классической системой отечественного образования), строится на базе арифметической культуры. Естественная составляющая планирования содержания — отражение направлений научной специализации алгебраических кафедр МГУ, МПГУ и СПбГУ, РПГУ, как ведущих кафедр этого профиля в вузах. В программы заложен принцип опи-
сания изоморфных расширений классических структур.
Курс первого уровня заканчивается классификацией алгебраических расширений полей. Программа второго концентра алгебраического образования не носит обязательного характера, как при изучении базовых курсов; относится больше к дисциплинам специализации.
Даже в условиях механико-математического факультета МГУ: теория Галуа (классика алгебраических знаний) отошла в область спецкурсов. Выбор материала определялся принципом рациональной фундаментальности: излишнее углубление в вопросы, не имеющие достаточно ясной связи с материалом, который непосредственно потребуется будущему специалисту, не практиковались. В связи с таким подходом, даже в программах классических университетов, на этапе изучения базовых курсов, систематического изучения универсальных алгебр, как структур с тождествами и системами ядерных условий, не предусмотрено. Теория отношений развилась до уровня, когда в категории отношений были разработаны аналоги теории Галуа в теории групп [23, 24].
ЛИТЕРАТУРА
!, Aàavap Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Сов. радио, 1970.
2. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп / ред.
А.М. Лрбиб. М.: Статистика, 1975.
3. Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, 1971.
4. Кирхгоф Г.. Варти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир,
1976.
5. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. ♦
6. Глушков В.М., Цейтлин ¡'. А , Ющенко Е.Л. Алгебра. Языки. Программирование. Киев: Наукова думка, 1978.
7. ГретцерУ. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.
8. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. М..
Наука, 1987, Т. 1.
9. Клиффорд А., Престон П. Алгебраическая теория полугрупп.
М.: Мир, 1972.
10. Кобяиц И. Курс теории чисел и криптографии. М.: TR11, 2001.
11. Лид.и Р., HuâeppaUmep К. Конечные поля. М.; Мир, 1988. Т. 1, 2.
12. Линдон F., LUynn П. Комбинаторная теория групп М.: Мир, 1980.
13. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. М.:
Просвещение, 1987.
14. Магнус Д., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп.
М.: Наука, 1974.
15. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.
16. Новиков П.С. Неразрешимость проблемы сопряженности в теории групп. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1954. Т. 18. С. 485-524.
17. Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов // Тр. МИАН СССР. 1955 Т. 44. С. 3-143.
18. Плоткин Б.И. Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных. М.: Наука, 1991
19 Самарский A.A. Неизбежность новой методологии // Коммунист.
1989. № 1. С. 82-92.
20. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. 2-е изд. М.: Наука, 1980.
21. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.
22. Фукс .//. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.:
Мир, 1965
23. /('ашнко М.ш. Моделирование семантики в базах данных. М.:
Наука, 1989
24. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР)». М., 1985.T. II.
25 iksnin% G. Lmear Programming and Exstunsions, New lersy, 1963.
26. Crtivenko V. Sur quelques points de la logique de M. Brouwer // Bull.
Acad. des Sei. de Belgiue. 1939 V. 15. P. 183-188.
27. Ore О. Chains in partially ordered sets. // Bull. Amer. Math. Soc.
1943. V. 49. P. 558-566.
Поступила в редакцию 28 июня 2006 г.
