CC BY
352
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ
УДК 51(07)
Е. М. Вечтомов, В. В. Чермных ИЗУЧЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
Рассматривается методика введения и изучения основных алгебраических структур. Показана необходимость и важность обучения абстрактной алгебре студентов направления подготовки «Математика и компьютерные науки». Представлено авторское изложение данного материала.
In this article we consider the methods of introducing and studying algebraic conceptions. We explain the necessity and importance of considering abstract algebra by students that have a relation to Mathematics and Computer Sciences. There presented the interpreted algebraic structures by the authors.
Ключевые слова: алгебра, алгебраическая структура, группа, методика изучения.
Keywords: algebra, algebraic structure, group, methods of studying.
1. Методологические основания
Современная математика - структурная наука, изучающая формальные отношения реальности (физической и идеальной), структуру сущего, отображаемую, моделируемую в общенаучных, философских категориях количества, формы, меры. Математика изучает математические структуры, то есть множества с заданными на них операциями и отношениями. На языке математических структур выражаются разнообразные явления - проявления категорий количества, формы и меры. Подчеркнем, что математические структуры определяются и изучаются на языке теории множеств - фундаменте современной классической математики [1].
В середине XX века группа французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки выделила три типа математических структур - алгебраический, порядковым и топологический. Многие конкретные математические объекты относятся к одному из этих типов абстрактных моноструктур или являются их естественным переплетением. В своей знаменитой концептуальной статье [2] 1948 года «Архитектура математики» Бурбаки назвали математику учением о математических структурах.
© Вечтомов Е. М., Чермных В. В., 2012
Кроме того, они подчеркивали, что математика есть доказательство. Тем самым, согласно Бурбаки, содержание классической математики составляют математические структуры, а ее формой служит аксиоматический метод построения теорий и проведения доказательств, базирующийся на классической двузначной логике. Методологические аспекты структурного характера математики отражены первым из авторов в серии работ [3].
Некоторые ученые (например, психолог Жан Пиаже) правомерно считают, что основные типы математических структур соответствуют подобным им психологическим структурам и интеллектуальным способностям человека. Это вполне согласуется с метафизическим принципом единства мира, гармоничным сосуществованием материальной, идеальной и психической граней бытия. Поэтому актуальной задачей математического образования является формирование и развитие абстрактного структурного мышления путем изучения важнейших математических структур.
Алгебраические и порядковые системы (различные алгебры и упорядоченные множества) условно можно отнести к дискретной математике, а математические объекты с топологической структурой (топологические и метрические пространства) -к непрерывной математике. Заметим, что слова «алгебраическая структура» употребляются как для названия типа математической структуры, так и для обозначения конкретных алгебраических структур (полугрупп, групп, колец, векторных пространств, решеток и т. д.). При обучении студентов основам абстрактной (общей) алгебры серьезное внимание следует уделить введению базового понятия алгебраической операции, уяснению абстракций бинарной операции, унарной операции и нульарной операции. Укажем некоторые известные учебные пособия по абстрактной алгебре [4].
Затронем фундаментальные идеи изоморфизма, координатизации и функционального представления, которые присущи современной алгебре и которые принципиально важны как в дидактическом, так и в исследовательском плане.
I. Изоморфизм. Понятие и идею изоморфизма в математике трудно переоценить. Кажущаяся простота и прозрачность понятия изоморфизма обманчива. Поэтому весьма значима задача его правильного и последовательного формирования. Можно отметить следующие аспекты:
• В философском плане понятие изоморфизма означает равенство или тождество по некоторому параметру, одинаковость, подобие.
• Термин «изоморфизм» употребляется двояко: как биекция между двумя однотипными математическими объектами, сохраняющая их структуру (в обе стороны), и как изоморфность - отношение эквивалентности.
• Исторически строго математическое понятие изоморфизма появилось в алгебре, что ознаменовало рождение абстрактной алгебры.
• В соответствии с тремя фундаментальными типами математических структур получаются понятия алгебраического изоморфизма, порядкового изоморфизма и гомеоморфизма.
• Конкретные объекты могут быть изоморфны в одном смысле, но не изоморфны в другом, более сильном смысле. Например, линейный гомеоморфизм евклидовых пространств не обязан быть изо-метрией.
• Понятие изоморфизма естественным образом приводит к понятию морфизма: гомоморфизма, изотонного и непрерывного отображений. Подчеркнем, что биективные алгебраические гомоморфизмы являются изоморфизмами, что, вообще говоря, неверно для порядковых и топологических морфизмов.
Понятие тождества относится к фундаментальным философским и общенаучным категориям. Отождествление является необходимым логико-диалектическим приемом научного познания и основополагающим элементом формализации знания. Категория тождества близка к понятиям равенства и изоморфизма. Как и равенство, тождество вещей есть отношение эквивалентности на произвольном классе вещей, удовлетворяющее правилу подстановки: при тождественных преобразованиях любое выражение может быть заменено тождественным ему выражением. Поэтому отношение тождественности — это отношение «конгруэнтности», что, вообще говоря, неверно для отношения изоморф-ности объектов. Тем самым по своему объему (по силе) эти понятия располагаются в следующем порядке: равенство с тождество с изоморфизм.
В математических построениях и рассуждениях важную роль играет процедура отождествления. Сама возможность отождествления математических объектов базируется на идее изоморфизма. Но изоморфизма не произвольного, а изоморфизма естественного, канонического. Необходимость отождествления возникает при определении и построении новых математических объектов В на основе известных объектов А. Такие построения часто применяются в абстрактной алгебре и в теории числовых систем. Существуют две основные ситуации отождествления:
1) Новый объект В строится как расширение данного объекта А. При этом объект А должен
вкладываться в В в качестве подобъекта, что предполагает «правильное» отождествление объекта А с соответствующим подобъектом объекта В. В качестве примера укажем определение системы С комплексных чисел как множества И х И упорядоченных пар действительных чисел с соответствующими операциями сложения и умножения пар. После доказательства того, что система С является полем, и возникает потребность отождествления: (а, 0) / а для любого а е И. Она обусловлена как идеей расширения понятия числа, так и геометрической интерпретацией комплексных чисел - выходом с числовой прямой на координатную плоскость. Мы получаем естественное изоморфное вложение /: И ^ С поля И в поле С, /(а) = (а, 0) для всех а е И. Указанное отождествление позволяет считать, что И есть подполе поля С в силу следующей теоремы:
Если /: А 6 В - изоморфное вложение однотипных алгебраических систем, то алгебраическая система 5 = Ас(В\/(А)) канонически изоморфна В и содержит А в качестве подсистемы.
2) Новый объект В получается факторизацией исходного объекта А - при подходящем «склеивании» элементов объекта А. Характерным примером служит отождествление целых чисел, имеющих одинаковый остаток при делении на данное натуральное число п. Такое отождествление есть сравнимость целых чисел по модулю п, являющаяся конгруэнцией на кольце Ъ целых чисел. В результате получается кольцо Ъя классов вычетов по модулю п как фактор-кольцо кольца Ъ по идеалу целых чисел, делящихся на п. Здесь мы имеем дело с теоремой о гомоморфизме для колец. Отметим, что конгруэнции на произвольном кольце Я совпадают с отношениями сравнимости / по модулю идеалов ] кольца Я. Бинарное отношение а / Ь на кольце Я, означающее, что а - Ь е ] (для любых а, Ь е Я) будет конгруэнцией на Я. Каждой конгруэнции г на кольце Я сопоставляется идеал [0]р ={а е Я: ар0} в Я. Данные отображения устанавливают каноническое взаимно однозначное соответствие между множеством идеалов и множеством конгруэнций кольца Я.
II. Координатизация. Познание и изучение абстрактного и общего через конкретное и частное -естественный и плодотворный подход (метод) в науке и обучении. При этом подходе системы более высокого уровня абстрактности (обобщенности) сводятся, так или иначе, к более конкретным (наглядным, осязаемым) объектам. Указанный подход широко распространен в современной математике (особенно в абстрактной алгебре, алгебраической геометрии, топологии, функциональном анализе), весьма абстрактной и самой формализованной из наук. Соответствующий переход (конкретизация) осуществляется путем координатизации [5] сложных объектов (как правило, геометричес-
кой или топологической природы) посредством более простых арифметических или алгебраических объектов (чисел, матриц, многочленов, конечных алгебр). Можно назвать группы гомологий и гомотопий, сопоставляемые топологическим многообразиям в алгебраической топологии.
III. Функциональный подход. Иногда оказывается возможным представление (реализация) формальных математических структур данного типа в виде содержательных объектов этого же типа. При этом представление абстрактного объекта (скажем, группы) есть гомоморфизм этого объекта в конкретный объект (например, в мультипликативную группу невырожденных матриц n-го порядка с комплексными коэффициентами). Зачастую в алгебре и функциональном анализе представляющий объект является некоторой алгебраической системой функций, а элементы представляемого объекта реализуются как функции, над которыми выполняются определенные алгебраические операции (заданные поточечно, композиция функций, свертка функций). На этом пути были получены следующие ставшие математической классикой результаты: двойственность Понтрягина для локально компактных абелевых групп, представление Биркгофа дистрибутивных решеток, теория М. Стоуна булевых алгебр и булевых колец, преобразование Гель-фанда коммутативных банаховых алгебр, обобщенная китайская теорема об остатках (для коммутативных колец). В середине XX века в рамках алгебраической топологии зародилась теория пучков. В 1960 году А. Гротендик применил пучки к исследованию коммутативных колец. Так возникла теория пучковых представлений алгебраических структур. Теории функциональных представлений колец, полуколец и полутел посвящены монографии Е. М. Вечтомова и В. В. Чермных [6].
В настоящей статье мы сосредоточим свое внимание, главным образом, на изучении групповой структуры. Теория групп - центральный раздел современной алгебры, имеющий приложения не только в самой математике, но и во многих точных и естественных науках (кристаллографии, теоретической физике, биологии и т. д.). Группы представляют собой важнейший вид алгебраической структуры, определяемой в терминах алгебраической операции. Хотя понятие группы определяется тремя простыми естественными аксиомами, теория групп глубока, универсальна и эффективна в многочисленных применениях. Это вызвано тем, что группы отражают фундаментальное свойство симметрии, имманентно присущее бытию [7].
Остановимся только на двух аспектах методологической роли групп.
В евклидовом смысле понятие симметрии формулируется так. Пусть F - фигура, расположенная в обычном трехмерном пространстве, и S(F) -множество всех движений пространства, отобра-
жающих Т на себя (самосовмещений фигуры Т). Относительно композиции (последовательного выполнения) движений 5(Т) является группой, которую можно назвать группой симметрии фигуры Т. В самом деле, композиция самосовмещений фигуры Т снова есть ее самосовмещение, композиция любых отображений ассоциативна, роль единицы играет тождественное отображение 1р, а обратным элементом к самосовмещению а выступает обратная биекция а-1. Чем больше мощность группы 5(Т), тем симметричнее фигура Т. Так, шар симметричнее куба, который в свою очередь симметричнее правильного тетраэдра, а тот симметричнее квадрата. Если Т состоит из одной точки О, то 5(Т) представляет собой группу всех движений пространства с неподвижной точкой О. Если Т = {А, В}, то 5(Т) состоит из вращений вокруг оси АВ и движений, переставляющих точки А и В. Как правило, отождествляются движения, дающие одно и то же наложение фигуры Т. Тогда группа 5({О}) одноэлементна, а группа 5({А, В}) двухэлементная. Именно на этом пути понятие группы и возникает, и воспринимается наиболее естественно.
Существуют два достаточно выраженных типа человеческого мышления - логический (рассудочный, аналитический) и интуитивный (образный, синтетический), соответствующие, по мнению физиологов, преимущественной деятельности левого или правого полушария головного мозга. В математике они выступают как алгебраический (формально-логический) и геометрический (содержательно-наглядный) стили научного мышления. Теория групп занимает важнейшее место в следующих цепочках математического познания:
геометрия 6 алгебра 6 геометрия и алгебра 6 геометрия 6 алгебра.
При первом подходе объекты геометрической природы (топологические многообразия) исследуются посредством координатизирующих их алгебраических объектов, в качестве которых в алгебраической топологии выступают группы путей, узлов, гомологий. При втором подходе сами алгебры, в том числе группы, изучаются геометрическими и топологическими методами, включая геометрическую теорию графов.
2. Методика изучения групп
Изучение теории групп может послужить основой и образцом для изучения других алгебраических объектов. Хорошим университетским учебником по теории групп является книга [8]. Работы [9] дают доступное введение в идеальный мир групп. Дальнейшее изучение теории групп можно продолжить по книгам и задачникам [10]. Заметим, что в большинстве учебников по дискретной и компьютерной математике имеется информация об алгебраических объектах и группах.
Подготовка введения понятия группы состоит в рассмотрении известных объектов, к которым
относятся различные числовые группы и группы самосовмещений геометрических фигур. В [11] выделены основные классы примеров:
1) аддитивные группы колец, в частности колец Ъ , п е N
п7 7
2) мультипликативные группы колец с единицей 1;
3) группа биекций (преобразований) 5 (М) произвольного множества М на себя с операцией композиции, в частности группа 5п подстановок п-й степени (п е 14);
4) различные группы обратимых квадратных матриц п-го порядка (п е 14) с коэффициентами из коммутативного кольца с 1 относительно обычной операции умножения матриц.
На этих примерах прекрасно иллюстрируется все изложение теории групп. Следует сразу сказать о двух видах привычных обозначений - мультипликативной и аддитивной терминологии.
На наш взгляд, особую роль при первоначальном изучении групп играют следующие темы: «Группы подстановок», «Циклические группы» и «Действие группы на множестве».
Материал «Группы подстановок» важен как содержательная основа всего учебного курса теории групп.
Тема «Циклические группы» полезна в теоретическом, методическом и методологическом планах. Приведем аргументы в пользу обязательного достаточно подробного изучения циклических групп.
1. Циклические группы - группы простейшего вида, легко допускающие полное (с точностью до изоморфизма) описание. Мы получаем аддитивное, мультипликативное, геометрическое и табличное (по Кэли) представления циклических групп. Тем самым даем образец теорем о строении, играющих важную роль в современной математике. При доказательстве иллюстрируем теорему о гомоморфизмах групп. Отмечаем, что любая группа есть объединение своих циклических подгрупп.
2. Циклические группы изучаются в конце главы «Группы». Поэтому на их примере мы демонстрируем основные групповые понятия. Находим все подгруппы, факторгруппы и гомоморфизмы циклических групп. Изучаем прямые произведения двух и нескольких циклических групп.
3. Дальнейшему исследованию циклических групп могут быть посвящены курсовые и дипломные работы. Скажем, рассмотрение мультипликативных групп колец классов вычетов и конечных полей, абстрактная и категорная характеризации циклических групп.
4. Тема «Циклические группы» связана с курсами теории чисел, геометрии, числовых систем, дискретной математики. Связь циклических групп с элементарной теорией чисел рассмотрена в работе [12].
Тема «Действие группы на множестве» раскрывает теоретико-групповую «кухню». Здесь есте-
ственно доказать теорему Кэли, которая показывает роль групп преобразований (биекций, подстановок) множеств в общей теории групп.
Сформулируем теперь те методические положения, на которых базируется изучение алгебраической (групповой) структуры.
1. Пропедевтика. Поскольку понятие группы является весьма абстрактной структурой (трудной при первоначальном изучении), обобщающей целый ряд конкретных ситуаций, для его усвоения важна подготовительная работа - повторение соответствующего изученного материала и его систематизация, подробный разбор базовых примеров.
2. Мотивация изучения теории групп заключена в методологической подоплеке (формализация явления и идеи симметрии), ее всеохватности и применимости.
3. Принцип фундаментальности подразумевает научность излагаемого знания, то есть четкость определений и формулировок, строгость доказательств, «разметку» границ данной математической теории, его связи и приложения.
4. Принцип наглядности. Наглядность подходящих иллюстраций и интерпретаций теоретико-групповых понятий и утверждений способствует усвоению абстрактного материала. Визуализация и опредмечивание - важные дидактические аргументы и приемы.
5. Тренинг. Изучение групповой структуры должно сопровождаться самостоятельным решением учащимися разнообразных упражнений: проверочных тестов, заданий учебного характера, учебно-исследовательских и научно-исследовательских задач.
6. Внутриматематические связи. Математика -единая наука, разные разделы которой связаны идейно, содержательно и структурно. Теория групп хорошо обеспечивает эти связи в идейном и инструментальном планах. Группы автоморфизмов различных математических объектов служат общим аппаратом исследования самих объектов.
7. Прикладные возможности. Теоретико-групповая структура, являясь одной из самых фундаментальных дискретных структур математики, входит в состав математических основ компьютерных наук. Компьютерная алгебра и компьютерная графика усиливают возможности применения аппарата теории групп в самых разных областях науки и практики.
Что следует знать и понимать преподавателю математики о групповой структуре?
Во-первых, исходные понятия бинарной алгебраической операции, группы, подгруппы, гомоморфизма, порядка элемента, сопряженности и т. п.
Во-вторых, модельные примеры: числовые группы, аддитивные и мультипликативные группы классов вычетов целых чисел, группы подстановок, группы симметрии геометрических фигур, группы матриц.
В-третьих, элементарные конструкции: конкретные (группа преобразований множества, группа многочленов, группа матриц, группа функций) и общие (циклическая подгруппа, нормальная подгруппа, гомоморфизм, факторгруппа, прямое произведение групп).
В-четвертых, определенный минимум фактов: простейшие свойства и характеризации групп, теоремы Лагранжа и Кэли, описание циклических групп, теоремы о гомоморфизме и изоморфизмах.
Наконец, некоторые применения, скажем, при объяснении и доказательстве таких утверждений элементарной теории чисел, как теоремы Эйлера, Ферма и Вильсона или китайская теорема об остатках.
При обучении математике студентов-математиков и информатиков и учащихся физико-математических лицеев желательно систематически использовать алгебраический язык, находить и применять информацию об алгебраических структурах, в частности о группах.
Возможная последовательность изучения теоретико-групповой структуры:
1. Повторение теоретико-множественных понятий.
2. Понятия группоида, полугруппы, моноида. Обобщенный закон ассоциативности. Изоморфизм.
3. Два вида обозначений - аддитивные и мультипликативные.
4. Рассмотрение важнейших примеров групп.
5. Определение исходных понятий о группах (группа, изоморфизм, порядок элемента, циклическая подгруппа и другие).
6. Рассмотрение простейших свойств групп.
7. Отработка исходных теоретико-групповых понятий на модельных примерах. Группы симметрии правильного треугольника и ромба.
8. Разнообразные характеризации групп. Построение новых примеров и контрпримеров.
9. Дальнейшие понятия и их иллюстрации (подгруппа, смежный класс, нормальная подгруппа, факторгруппа, гомоморфизм, прямое произведение).
10. Доказательство основополагающих утверждений о группах (теорема Лагранжа и ее следствие, теорема о гомоморфизме и другие).
11. Группы подстановок.
12. Циклические группы, их строение и свойства.
13. Действие группы на множестве. Теорема Кэли, свойства орбит, формула классов, лемма Бернсайда.
14. Применения теории групп: в элементарной теории чисел, в геометрии, в комбинаторике.
15. Исследовательские задачи о группах.
Примерные задачи и темы курсовых и дипломных работ по теории групп можно найти в [13].
Темы пунктов 1-14 сопровождаются решением упражнений учебного характера.
На наш взгляд, дидактически важной является задача нахождения с точностью до изоморфизма всех групп небольших порядков, скажем, не превосходящих 10. Весьма полезно (как с теоретической, так и с практической точки зрения) составление полного списка п-элементных групп при п = 1, 2, ..., 10, состоящего из конкретных групп. При этом надо понимать, что одна и та же абстрактная группа может быть представлена несколькими (изоморфными) объектами. Например, четверная группа Клейна реализуется и группой симметрий ромба, не являющегося квадратом, и прямым произведением двух мультипликативных групп {1, -1}, и как аддитивная группа Ъ2 х Ъ2, и в виде подгруппы {е, (13), (24), (13)(24)} группы 54 подстановок 4-й степени, где е - тождественная подстановка 4-й степени.
Углубленное изучение некоторых теоретико-групповых тем студентами математических специальностей можно (и весьма желательно) вести в рамках научно-исследовательской работы студентов. Для такого изучения подходят следующие темы: «Теоремы Силова», «Конечные абелевы группы», «Лагранжевы группы», «Группы матриц», «Представления конечных групп.
3. Алгебраическая структура
Вводится понятие п-арной алгебраической операции, а затем рассматриваются его специализации для п = 0, 1 и 2.
3.1. Понятие алгебраической операции. Фиксируем неотрицательное целое число п. Алгебраической п-арной (п - местной) операцией на множестве А называется любое отображение Ап6 А, где Ап есть множество всех упорядоченных п-к элементов из А. При п = 0 получаем нульарные операции на А, представляющие собой выделенные элементы множества А. Унарные операции (п = 1) на А - это отображения А 6 А. Наибольшее значение в математике имеют бинарные операции А2 6 А (п = 2). Рассматриваются также тернарные операции (п = 3), например а + Ь - с на множестве рациональных чисел.
Универсальной алгеброй (или просто алгеброй, О-алгеброй) называется непустое множество с заданным на нем семейством О алгебраических п-ар-ных операций (п = 0, 1, 2, ...). Конкретные алгебраические структуры суть частные случаи понятия О-алгебры. Еще более абстрактным является математическое понятие категории, обобщающее понятие универсальной алгебры [14].
3.2. Унары. Унаром называется непустое множество А вместе с заданной на нем одной унарной операцией /, то есть пара +А, / с отображением /: А 6 А. Два унара +А, / > и +В, ¿> называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм, то есть биекция а: А 6 В, сохраняющая
операцию: a(f(a)) = g(a(a)) для всех a е A. Все одноэлементные унары изоморфны между собой. На двухэлементном множестве существуют 4 унарные операции, дающие 3 неизоморфных унара. Рассмотрим абстрактный трехэлементный унар +{a, b, c}) fo. Множество {a, b, c} допускает 5 нетождественных подстановок a. Операция f может быть задана 27 таблицами Кэли, которые запишем в виде трехбуквенных слов в алфавите {a, b, c}, скажем, запись f = bcc означает f(a) = b, f(b) = c и f(c) = c. Для примера возьмем в качестве a цикл (cab) и найдем унар +{a, b, c}, g), изоморфный унару +{a, b, c}, bcc) при соответствии a. Должно выполняться равенство a(f(x)) = g(a(x)) для каждого x е {a, b, c}, или g(y) = a(f(a-1(y))) для любого y е {a, b, c}. Заметим, что a-1 = (cba). Имеем g = aca:
g(a) = a (f(a-1(a))) = a (f(c)) = a (c) = a, g(b) = c, g(c) = a.
В результате получим 7 неизоморфных унаров с тремя элементами, которые полезно и удобно представить как ориентированные графы. Отметим также, что с точностью до изоморфизма существуют 19 четырехэлементных унаров.
3.3. Группоиды. Непустое множество A с заданной на нем одной бинарной операцией ы называется группоидом и обозначается +A, ы). Группоиды служат базовым понятием для определения понятия группы. Группоид с ассоциативной операцией называется полугруппой.
Конечные группоиды с небольшим числом элементов можно задавать и представлять в виде таблиц Кэли. С их помощью мы опишем - с точностью до изоморфизма - все двухэлементные группоиды. Таблицу Кэли для мультипликативного группоида +{a, b}, ■) будем представлять в виде [a-a, ab, ba, bb].
Всего таких таблиц будет 24 = 16. Изобразим
их:
1. [aaaa]. 2. [aaab]. 3. [aaba]. 4. [aabb].
5. [abaa]. 6. [abab]. 7. [abba]. 8. [abbb].
9. [baab]. 10. [baab]. 11. [baba]. 12. [babb].
13. [bbaa]. 14. [bbab]. 15. bbba]. 16. [bbbb].
Уточним: линейная запись, например, в таблице 10 означает, что aa = b, ab = a, ba = a, bb = b (обозначение операции - точку «■» - в произведении можно опускать) Среди 16 представленных группоидов некоторые группоиды изоморфны друг другу при отображении a: a ^ b, b ^ a. Например, изоморфны группоиды, заданные таблицами 1 и 16. Это будем записывать как 1 -16, и говорить просто о группоидах 1 и 16. Некоторые группоиды могут быть изоморфны только самим себе (в этом списке).
Для примера найдем группоид (его таблицу), изоморфный группоиду 2. Для любых элементов x, y 6 {a, b} должны получить в новом группоиде
Ху = а(а-1(х)-а-1(у)) = (ха^уа-1)«,
где умножение в скобках производится в группоиде 2. Имеем: аа = (аа-1-аа-1) а = (ЬЬ) а = Ьа=а, аЬ = (Ьа) а = аа = Ь, Ьа = (аЬ) а = аа = Ь и ЬЬ = (аа) а = аа = Ь. В результате мы получаем группоид 8. Значит, 2 -8. Аналогично находим, что 3-12, 4 -4 (подразумевается указанный выше автоморфизм ааЬ), 5 -14, 6 -6, 7 -10, 9 -15, 11 -11 и 13-13.
Всего получаем 10 попарно неизоморфных двухэлементных группоидов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13. Выясним их свойства. Коммутативны (аЬ = Ьа) четыре группоида: 1, 2, 7 и 9. В группоиде 1 элемент а является нулем, и в нем нет односторонних единиц. Группоид 2 имеет единицу Ь; он изоморфен мультипликативному числовому моноиду {0, 1}. Группоид 3 обладает правой единицей а и не является полугруппой, так как ЬЬ2 = Ьа = Ь * а = аЬ = Ь2-Ь. Группоид 4 - полугруппа левых нулей. В группоиде 5, не являющемся полугруппой, элемент а есть левая единица и правый нуль. Группоид 6 - полугруппа правых нулей. Группоид 7 является группой, изоморфной числовой группе б{1, -1}, ■) при отображении а^1, Ь ^ -1. Группоиды 9, 11 и 13 не являются полугруппами и не имеют односторонних единиц и нулей.
Таким образом, среди 10 различных двухэлементных группоидов имеется ровно пять полугрупп, в том числе три коммутативные полугруппы, два моноида и одна группа. С точностью до изоморфизма существуют 24 трехэлементные полугруппы (желательно научиться находить их с помощью компьютера).
4. Начала теории групп
Дадим план изучения элементов теории групп, которую мы неоднократно излагали студентам и старшеклассникам как в вузовском курсе алгебры, так и на кружковых занятиях.
Обычно приводится определенный минимум понятий и фактов, необходимый для понимания основ теории групп и дальнейшего ее изучения, и варьируемый по обстоятельствам. Характерные методы и рассуждения демонстрируем на доказательстве ряда основополагающих теорем. Изложение сопровождаем модельными примерами и специально подобранными учебными упражнениями и учебно-исследовательскими задачами.
Сначала разбираются исходные примеры групп. Выделяется то общее, чем все они обладают, и определяется само понятие группы. На модельных примерах иллюстрируются основополагающие теоретико-групповые понятия.
4.1. Исходные понятия и факты. Вводятся исходные понятия теории групп. Будем пользоваться мультипликативными обозначениями. См. [15].
Группой называется группоид А, операция умножения в котором удовлетворяет трем аксиомам:
1. Ассоциативность: У а, Ь, с е А (аЬ)с = а(Ьс).
2. Существование единицы: 31 е А У а е А а1 = Га = а (очевидно, что такой элемент 1 единственен).
3. Обратимость элементов: У а е А >а-1 е А аа-1 = а-1а = 1 (легко видеть, что элемент а-1 единственен).
Характеризации групп (в классе полугрупп)
Для любой полугруппы А равносильны следующие условия:
1) А - группа;
2) в А однозначно разрешимы уравнения ах = Ь и уа = Ь (Уа, Ь е А);
3) в А разрешимы уравнения ах = Ь и уа = Ь;
4) в А однозначно разрешимы уравнения ах = Ь и существует правая единица;
5) в А разрешимы уравнения ах = Ь и существует правая единица;
6) в А существует правая единица г, относительно которой разрешимы уравнения ах = г;
7) А обладает свойством сократимости и в А разрешимы уравнения ах = Ь;
8) полугруппа А обладает свойством правой сократимости, имеет идемпотент, и в ней разрешимы уравнения ах = Ь;
9) А обладает свойством сократимости и регулярна (то есть в А разрешимы уравнения аха = а);
10) полугруппа А регулярная и имеет ровно один идемпотент.
Отметим, что условия 1)-3), 9) и 10) двусторонние, условия 4)-6) правосторонние, а условия 7) и 8) содержат «правые» свойства. Поэтому к эквивалентным характеризациям групп можно добавить и левосторонние аналоги условий 4)-8). Разрешимость уравнений ах = Ь в группоиде означает, что аА = А для каждого а е А.
Затем определяются понятия подгруппы, смежного класса, порядка элемента, циклической подгруппы, доказывается основополагающая в теории конечных групп теорема Аагранжа: порядок любой подгруппы (как следствие, любого элемента) произвольной конечной группы делит порядок самой группы. Для наглядности удобно использовать изображение групп на диаграммах Эйлера -Венна. Далее рассматриваются нормальные подгруппы, факторгруппы и гомоморфизмы групп, доказывается во всех деталях теорема о гомоморфизме групп. Здесь полезно отметить, что нормальные подгруппы Н группы А, факторгруппы А/ Н и групповые гомоморфизмы А ^ В суть эквиваленты одного и того же общеалгебраического понятия конгруэнции на группе (установление чего уместно отнести к дополнительному материалу).
4.2. Группы подстановок. Вводятся и изучаются симметрические группы 5я. В частности, доказывается, что для любого натурального числа п $ 2 знак ^ является гомоморфизмом симметрической группы 5я на мультипликативную группу {-1, 1}, ядром которого служит знакопеременная группа
Ап всех четных подстановок п-й степени. Подробности см. в [16]. Мы стараемся также успеть доказать простоту групп Ая, п $ 5.
4.3. Циклические группы. Выясняется строение циклических групп: непосредственно и с помощью теоремы о гомоморфизме. Доказываются их основные свойства. См. [17].
4.4. Действие группы на множестве. Для произвольного непустого множества X обозначим через 5(Х) группу всех биекций множества X на себя с операцией композиции. Такая группа называется группой преобразований множества X. Если X конечно и имеет п элементов, то З^) ,
Действием группы А на множестве X * 0 называется всякое отображение X х А ^ X, (х, а) ^ ха, удовлетворяющее двум условиям: х1 = х; х(аЬ) = (ха)Ь для всех х е X, а, Ь е А.
Пусть задано некоторое действие группы А на непустом множестве X. Каждый элемент а группы А порождает отображение Та: X ^ X по формуле хТа = ха для любого х е X. Естественным образом возникает отображение Т: А ^ З^), аТ = Та для всех а е А, являющееся гомоморфизмом групп. Доказывается обобщение теоремы Кэли об изоморфном представлении любой группы А в группе преобразований множества А. Вводятся понятия орбиты, неподвижной точки и стационарной подгруппы при действии группы на множестве, доказываются их свойства; изложение сопровождается разбором примеров. Затем доказываются формула классов и лемма Бернсайда, которые применяются далее в теории групп, а также к решению комбинаторных задач. См. [18].
4.5. Группы малых порядков. С точностью до изоморфизма существуют в точности следующие п-элементные группы (п # 10):
при п = 1, 2, 3, 5, 7 только циклические группы;
при п = 4 две группы - циклическая и четверная группа Клейна;
при п = 6 две группы - циклическая и некоммутативная группа 53;
при п = 8 три коммутативные группы 28, 24х22, 22х22х22 и две некоммутативные - группа кватер-нионных единиц и группа диэдра Б4 (группа симметрии квадрата);
при п = 9 две группы - циклическая и 23х23;
при п = 10 две группы - циклическая и группа диэдра Б5 (группа симметрии правильного пятиугольника).
Примечания
1. Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. М.: МГУ, 1989.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963, С. 245-259.
3. Вечтомов Е. М. Метафизика математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. 508 е.; Он же. Основные структуры классической математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2007. 252
с.; Он же. О лагранжевых группах // Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании: материалы Междунар. науч. конф. Пермь: Изд-во ПГПУ, 2007. С. 23-32; Он же. Иеторико-методологичее-кие вопросы при изучении теории групп // Математический веетник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2007. Вып. 9. С. 5-22; Он же. Изучение порядковой структуры // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2010. № 2(1). С. 89-98.
4. Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. М.: Наука, 1990. 320 с.; Калуж-нинЛ. А. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973. 448 с.; Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1970. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.; Общая алгебра / под общ. ред. Л. А. Скорнякова. М.: Наука, 1990. Т. 1; 1991. 592 с., Т. 2. 480 с.; Скорняков Л. А. Элементы алгебры. М.: Наука, 1986. 240 с.; Он же. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983. 272 с.; Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М.: Мир, 1979. 262 с.
5. Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 11. Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. С. 5-288.
6. Вечтомов Е. М. Функциональные представления колец: монография. М.; Киров: Изд-во МПГУ, Киров. ГПИ, 1993. 191 с.; Чермных В. В. Функциональные представления полуколец: монография. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010.
7. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.
8. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
9. Александров П. С. Введение в теорию групп. М.: Наука, 1980. 143 е.; Вечтомов Е. М, Матвеев В. П. Начала теории групп. Киров: Изд-во КГПИ, 1989. 70 е.; Гроссман И, Магнус В. Группы и их графы. М.: Мир, 1971. 248 е.; Калужнин А. А, Сущанский В. И. Преобразования и переетановки. М.: Наука, 1985. 160 е.
10. Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. М.: Наука, 1976. 208 е.; Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Оеновы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 е.; Кострикин А. И. Вокруг Бернеайда. М.: Наука, 1986. 232 е.; Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967. 648 е.; Аяпин Е. С, Айзенштат А. Я, Аесохин М. М. Упражнения по теории групп. М.: Наука, 1967. 264 е.; Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих еоотношений в группах. М.: Наука, 1989. 448 е.
11. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.
12. Вечтомов Е. М. Основные структуры классической математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2007. П. 2.3.
13. Вечтомов Е. М. О лагранжевых группах // Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании: материалы Междунар. науч. конф. Пермь: Изд-во ПГПУ, 2007. С. 23-32; Вечтомов Е. М., Матвеев В. П. Начала теории групп. Киров: Изд-во КГПИ, 1989. 70 с.
14. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968. 352 с.; Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. М.: Наука, 1974. 256 с.
15. Вечтомов Е. М. Основные структуры классической математики. Киров: ВятГГУ, 2007. П. 2.1.
16. Там же. П. 2.4.
17. Там же. П. 2.3.
18. Там же. П. 2.4.
УДК 372.851
А. А. Горшков
ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПРОЦЕССЕ ЭСТЕТИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
В статье рассматриваются возможности и роль современных информационных технологий в процессе эстетического воспитания учащихся на уроках математики.
In the article are considered the possibilities and the role of modern information technology during the aesthetic education of students at mathematics lessons.
Ключевые слова: эстетическое воспитание, математическое образование, информационные технологии, программа Adobe Flash.
Keywords: aesthetic education, mathematics education, information technology, program Adobe Flash.
В последние годы возросло внимание к проблемам эстетического воспитания учащихся как важнейшему средству формирования всесторонне развитой, духовно богатой личности. Роль математики как учебного предмета трудно переоценить в эстетическом воспитании учащихся, потенциал математики в этом плане огромен.
В разное время проблеме эстетического воспитания учащихся при обучении математике уделяли внимание многие ученые-методисты и педагоги-практики, которые утверждали, что необходимо учить учащихся видеть прекрасное в математике, используя для этого различные средства эстетического воздействия: некоторые разделы математики, предполагающие встречу с прекрасным (симметрия, золотое сечение, узоры и орнаменты, правильные многоугольники и многогранники и др.); решение некоторых типов математических задач; использование элементов художественно-образного воздействия; эстетическое оформление окружающей среды; знакомство с фрактальной геометрией и многое другое [1].
В большинстве исследований при решении данной проблемы не уделяется должного внимания широким возможностям современных информационных технологий. Только в последние годы в связи с бурным развитием компьютерной техники и информационных технологий появляются исследования, посвященные данному вопросу. Однако практически все эти исследований связаны только с изучением элементов фрактальной геометрии [2]. Но помимо фрактальной геометрии существует боль-
© Горшков А. А., 2012
