CC BY
16
11
Я ¡1
ш
УДК 510.8:378.147
К ВОПРОСУ ПОСТРОЕНИЯ ФАКТОР-СИСТЕМ
ж
Щ Б.Н. Дроботун
WM
||| Павлодарский государственный университет
1 ! им. С.Торайгырова.
1
Щ Мсщалада абстракциялау adici арх^ылы фактор-жуйелердщ к^рьтуын
аньщтауга катысты угымдармен конструщияларжэне оларды мецгертуге
ШШ vpoteemmi одктеметк усыныстар бершен.
щ D ,
Ш I В работе рассматриваются понятия и конструкции, связанные с
gpip вопросами построения фактор-систем посредством метода "определения
ЩЩ чеРез абстракцию ", и даются методические рекомендации к их изучению.
щш The work presents some concepts and structures, connected with the build-
lllf lnS of factor-systems by means of the method of "definition through abstraction ",
ШЁ. methodological recommendations to its studying are given.
I. Овладение математическими методами исследования и возможностью их осознанного применения в различных областях научной и практической деятельности является одной из основных целей университетского математического образования. Для успешного применения методов математики к изучению любого круга вопросов, связанных с нашим опытом, необходимы навыки сознательной идеализации, т.е. замены реальных объектов некоторыми их абстрактными описаниями, выбираемыми таким образом, чтобы в этих идеализациях были отражены именно те свойства исходных объектов реального мира, которые мы хотим изучать. Выбор и построение соответствующих аб-
страктных "заменителей" реальных объектов требует творческого овладения "математическим языком" -языком основных понятий и конструкций современной математики, важнейшими из которых являются понятие множества, отношения (предиката), отображения (функции), изоморфизма, гомоморфизма (гомоморфного образа), исчисления, алгоритма, вероятности и т.п.
Понятие алгебраической системы [1] является в числе этих понятий одним из важнейших. Алгебраические системы, в известном смысле, являются абстрактными образами реального мира или некоторых его фрагментов. Между различными, на первый взгляд, системами существуют определенные свя-
зи и зависимости, Позволяющие выявлять ту или иную степень их "похожести" или даже "идентичности". Изучив одни системы и умея применять "механизмы сравнения", мы получаем возможность изучать новые алгебраические системы. Абстрактными вариантами "механизмов сравнения" являются отношения изоморфизма и гомоморфизма алгебраических систем. Гомоморфные образы систем могут быть с точностью до изоморфизма реализованы подходящими фактор-системами. В основе такого подхода к построению фактор-систем лежит один из наиболее общих, характерных для всей математики метод "определения через абстракцию". Наиболее явно этот метод проявляется в алгебре. Классические системы (группы, кольца, поля) являются удобным полем деятельности для формирования культуры использования этого метода, благодаря общности и относительной простоте, используемых при этом идей.
II. В работе даются методические рекомендации к изучению понятий и конструкций, связанных с вопросами построения фактор-систем посредством метода "определения через абстракцию". Основное внимание уделяется при этом однотипности конструкций, применяемых в процессе построения различных фактор-систем, и изучению связи фактор-систем с гомоморфными образами исходных алгебраических систем.
Большое методологическое значение на начальном этапе освоения метода имеет глубокое постиже-
ние свойств специальных отношений, заданных на абстрактных множествах, которое определяется их ролью в выявлении новых понятий и объектов на основе метода "определения через абстракцию". Кроме того, изучение конкретных отношений на множествах естественным путем приводит к пониманию концепций алгебраической системы, алгебры и модели; возможности изучения их свойств в чистом виде, то есть с точностью до изоморфизма.
На начальной стадии выработки общих принципов построения фактор-структур и методики изучения понятия гомоморфизма целесообразно, на конкретных примерах, продемонстрировать:
a) существование биективного отображения совокупности всех отношений эквивалентности на данном множестве на совокупность всех разбиений этого множества;
b) возможность представления любого отображения в виде композиции грех отображений: сю-рьекции, биекции и иньекции.
При этом полезно выбирать примеры таких отношений эквивалентности, которые становятся кон-груэнциями при введении на этих множествах структуры алгебраической системы, обеспечивая тем самым возможность дальнейшего использования этих примеров и той интуиции, которая формируется при их рассмотрении. Наиболее показательны в этом отношении примеры, приводящие к построению факторгрупп [2].
В качестве таких примеров можно указать следующие:
1. Пусть С-множество точек плоскости с заданной на ней декартовой системой координат, точка О-начало координат. Положим Р,~Р2<=> |ОР,|-|ОР2( для любых точек Р,, Р,еС. Ясно, что ~ - отношение эквивалентности. При этом класс эквивалентности
[PL= T/p« е С & Р'~ Р приставляет собой множество точек, лежащих на окружности с центром в начале координат, радиуса (ОР|. Фактормножество ~ с} приставляет множество всех концентрических окружностей с центром в начале координат. Простая графическая иллюстрация наглядно демонстрирует существование биективного соответствия между множеством неотрицательных действительных
чисел и фактор-множеством .
2. Пусть G£ (n;-R) множество всех обратимых матриц размерности п х п над полем действительных чисел R. Положим А~В <ti> |А|=|В| для любых матриц А, В е G £ (пД), где |А|-опредилитель матрицы А. Ясно, что ~ отношение эквивалентности, при этом класс [А] состоит из всех матриц, имеющих один и тот же определитель, равный |А|, а фактор-множество находится в биективном соответствии с множеством всех действительных чисел, отличных от 0.
3. Пусть Sn множество всех подстановок n-ой степени. Положим (¡>~уу <=> sgncp=sgny для любых под-
становок (р,уе8п. Очевидно, что ~ -отношение эквивалентности. Фактор-множество состоит из двух классов (классы четных и нечетных подстановок) и находится в биективном соответствии с множеством {+1;-!}.
Список этих примеров, конечно, можно продолжить.
Следующим этапом в формировании практических навыков построения фактор-групп является овладение методикой описания правых (левых) смежных классов конкретных групп по конкретным подгруппам. Основополагающая роль здесь принадлежит отношениям ~п-правой (~я-левой) смежности группы О по подгруппе Н. Отношение ~п, в случае мультипликативной записи группы О задается так:
(Ух,уеО)(х~„у^ух-]еН) . Аналогично задается и отношение ~л. Легко проверяется, с использованием определения группы, что ~п, ~л являются отношениями эквивалентности на в.
Для описания правых смежных классов группы в по подгруппе Н прежде всего необходимо выявить характерный признак принадлежности двух элементов х,у е б одному и тому же классу. Исходить здесь нужно из определения ~п. В конкретных группах условие
у-х~1 &Н может быть выражено в
терминах свойств, присущих основным операциям этих групп и их подгрупп, что в дальнейшем позволяет сделать разумные предположения о структуре фактор-множества
■ Продолжим наши примеры 1-
3 в этом плане. При этом целесообразно не сразу указывать подгруппу Н группы О, а, указав соответствующее подмножествоН из в, убедиться в его замкнутости относительно основных операций группы в, т.е. установить,что алгебра Н=<Н;-,-',1> является подгруппой группы О. Это позволяет, с одной стороны, закрепить понятие подгруппы и попутно напомнить ряд результатов, характеризующих свойства операций - с другой.
Г. Интерпретируя этот пример на комплексной плоскости,
-I
рассмотрим (?* =< О*',-, 1; 1 > -мультипликативную группу комплексных чисел. Пусть
Н = {/геС*&|г|=1 ' гДе 12!-мо"
дуль числа г. Нетрудно убедиться, что Н замкнуто относительно основных операций. В частности, если
то
из
I • гг и %\ I •! гг 1=1 • 1 = 1 следует, что г^г^Н. Попутно напоминается, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел. Пусть теперь х,у е С * ■ Тогда, х и у лежат в одном правом смежном классе
х ~я у у- х е Н<=$\ у- х |= 1 <=>| у |
х\
■ = М ХИУ\
Таким образом, два комплексных числа г, и г2 лежат в одном смежном классе <=>, когда их модули равны, т.е. о , когда точки, изображающие эти числа на комплексной плоскости, лежат на одинаковом расстоянии от начала координат. Вспоминая пример 1, сразу же получаем наглядное представление о структуре смежных классов группы С по подгруппе Н.
2'. Пусть
Н = {%еО£(п,11)&|А|=1| • Замкнутость Н относительно опе-
рации мультипликативнои группы
в£{п\ К) =< 01{п\К)\'~х > проверяется очевидным образом. В частности, по ходу этих рассуждений напоминаются такие результаты из теории матриц, как
\А-В\=\А\-\В\и\А~>\={\А\У ■
Выявим условие принадлежности двух матриц А и В одному смежному классу. Пусть А,ВеО£(п,К), тогда А и В лежат в одном правом смежном классе группы <3^(п,11) по подгруппе Н <=>
А~п Во В- А е Но\В-А-х 1=1 о|Я|.|ЛГ=1 <=>151=М1
Таким образом, две матри- тились к примеру 2. цы А и В лежат в одном классе <=> , 3'. Пусть
когда они имеют один и тот же оп-
ределитель, т.е. мы опять возвра-
А = Ф,
9е8П <&^пф = 1
_ 1 г ■ Лег-
ко проверяется, что
Ап -< Ап;-~1 ;е > подгруппа группы
^>(Р~п еД, • Ф~х
т.е. мы вновь находимся в условиях примера 3.
Следующий этап - непосредственный переход к построению фактор-групп. В качестве рабочего, легко проверяемого условия, выделяющего из множества всех подгрупп группы в нормальные подгруппы, удобно взять следующее: подгруппа Н-нормальна в
Оо (V/* е H)(\fg е € Н).
На этом этапе полезно также устанавливать существование биективного соответствия между совокупностью всех конгруэнции на О и совокупностью всех нормальных делителей группы в. Развивая примеры 1*—3' в этом направлении, получаем: 1". Так как С-абелева, то Н нормальная подгруппа О. Тогда из предыдущих рассуждений легко
Ст * / п * *
вытекает, что ^= К+ , где Л+ -
мультипликативная подгруппа положительных действительных чисел. Изоморфизм задается отображением ф([г] )=|г|, что легко проверяется, исходя из определения изоморфизма.
2". Так как
¡В'-А-ВНВГЧанвнвгЧВН
для любых А е Н и В в а(п; В), то
В процессе проверки напоминается результат о мультипликативности функции з£п на Бп. Далее, подстановки ф и ц/ лежат в одном классе
= 1 О Sgn^ • Sgn#Г1 = 1 О = Н< С 1(п;К) и
где ^-мультипликативная группа действительных чисел. Изоморфизм задается по правилу: ф([А]3=[А|. Здесь необходимо проверить сюрьективность отображения ф.
3". Аналогичным путем получаем П/А^ ^
({±1};%" Д). Изоморфизм задается по правилу
ф(МДЛЯ ае8п.
На заключительном этапе, после получения необходимого опыта построения фактор-групп в три этапа по пути, аналогичному
/,/',/" (¿=1,2,3), можно переходить к описанию фактор-групп с использованием теоремы о гомоморфизмах. Теорему о гомоморфизмах (т.е. о композиционном строении гомоморфизма) желательно охарактеризовать, как естественное обобщение теоремы о композиционном строении отображений "чистых" абстрактных множеств до композиционного строения таких отображений множеств с операциями и отношениями, которые сохраняют эти операции и отношения. На этом этапе устанавливается биективное соответствие между совокупностью
всех нормальных делителем группы О и множеством всех ее гомоморфных образов. Теорема о гомоморфизмах групп, с целью непосредственного получения и описания фактор-групп, используется так: для того, чтобы показать, что
фактор-группа ' изоморфна
группе 02 нужно построить такой гомоморфизм группы
О! на группу С2, чтобы ядро этого гомоморфизма совпало с Н(кегф=Н). В частности, в наших примерах роль такого гомоморфизма играют отображения ср(г)=|г|, ф(А)=|А|, ф(а)=?^па' соответственно.
Продемонстрируем непосредственное применение теоремы о гомоморфизмах к описанию фактор-групп на примере:
Доказать что фактор-группа мультипликативной группы
0£(п\ Щ по подгруппе Н матриц с положительным определителем изоморфна мультипликативной группе Ъ*-<Ъ*\;Х,Х>.
Известно, что 2"-циклическая группа 2-го порядка, т.е. группа <{±1 };%"';]> с точностью до изоморфизма. Построим отображение из
0£{п\ К) на множество {±1} по пра-
«А л= 14.
вилу: УУЛ)...... . _ где
что ф= (/д е G^(n; R)& j А |> О т.е. ф=Н. Отсюда, по теореме о го-
моморфизмах Gl(n: Rh
получаем
модуль
определителя |А| матрицы А. Нетрудно проверить, что ф гомоморфизм. Заметим, что из определения Ф легко следует равносильность: ф(А)=1 |А|>0. Отсюда получаем,
Н - Z *.
III Аналогичным образом рассматриваются примеры из теории коммутативных колец. Предварительно отмечается, что всякое подкольцо К, кольца К является (в силу коммутативности операции +) нормальным делителем аддитивной группы этого кольца, что позволяет определить разбиение К на смежные классы аналогично тому, как это делается в группах. Но нормальность подгруппы К, в аддитивной группе кольца К уже не гарантирует корректности определения операции умножения на фактор-множе-
стве '/ £ . Исходя из этого мотивированным образом вводится понятие идеала кольца, роль которого в теории колец аналогична роли нормальной подгруппы в теории групп, при этом аналогия заключается не только в возможности построения факктор-колец по идеалам, но имеет место и при изучении гомоморфных отображений колец. Наиболее просто продемонстрировать эту связь на примере кольца целых чисел. Всякий идеал кольца целых чисел является главным. В соответствии с этим всякий идеал кольца Z имеет вид nZ (n е Z) и всякий гомоморфный образ кольца Z имеет вид Z(n) для некоторого подходящего п, т.е. множество гомоморфных обра-
зов этого кольца совпадает с множеством колец вычетов.
Наиболее эффектным применением метода "определения через абстракцию" в теории колец является построение такого расширения данного поля Р, которое бы содержало корень неразложимого над Р многочлена f(x) из кольца многочленов Р[х] [3]. С методологической точки зрения процесс такого символического присоединения абстрактного символа 9, которого не было в реальном мире (поля Р) и которому в будующем расширении предназначено быть корнем многочлена f(x),
более полезен и продуктивен, чем несимволическое присоединение, которое возможно только тогда, когда изначально задано поле Р, содержащее Р и алгебраический над Р элемент 8 е Б.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Мальцев А.И. Алгебраические системы.-М.: Наука, 1970.
2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю .И. Основы теории групп,-М.: наука, 1982.
3. Ван дер ВарденБ.Л. Алгебра.-М.: Наука, 1979г.
