Квазибулевы степени алгебр и полурешетки Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Розен ВВ. Смешанное расширение игр с упорядоченными исходами // ЖВМ и МФ. 1976. № 6. С. 1436 - 1450.

УДК 512.532

В. Н. Салий

КВАЗИБУЛЕВЫ СТЕПЕНИ АЛГЕБР И ПОЛУРЕШЁТКИ

Понятие булевой степени алгебры играет важную роль в общей теории алгебраических систем [1]. Близким ее обобщением является следующая конструкция квазибулевой степени алгебры.

Пусть (¿,+,-,0,1) - полная решетка. Ортогональной системой в Ь называется подмножество {/, | ¡' е /} такое, что /;•/, = 0 при г ф у и /е /} = 1 • Ортогональная система /е/}, по определению, независима, если £{/у| у б У} кеК} = 0 для любого разбиения / = J и К^ ел К = 0. Квазибулева решетка - это полная решетка с дополнениями, в которой каждая ортогональная система независима. Все полные булевы решетки являются квазибулевыми. Примером недистрибутивной (и даже не модулярной ) квазибулевой решетки служит пятиугольник /У5. Известно [2, с. 271], что полная решетка с дополнениями тогда и только тогда будет квазибулевой, когда она допускает -гомоморфизм на полную булеву алгебру, который сохраняет точные верхние грани ортогональных систем и, кроме того, взаимно однозначен в 0 и 1. Такой -гомоморфизм называется каноническим.

Пусть I - квазибулева решетка и (А,Р) - алгебра с носителем А и множеством конечноместных операций Р. Под Ь -степенью алгебры А понимается алгебра где А[Ь] - множество всех отображений V : Л —> £ таких, что рг2\ = {у(а)| а е А} является ортогональной системой в Ь, а операции в А[Ц определяются формулой

/(У1,-^„)(а) = Х{у1(а1)-...-уя(ап)| Даи...,ап) = а} (*)

для любых / е ,...,ап е Л;у,,...,у„ е А[Ц (объединение берется по всем таким наборам {ах,...,ап), для которых /(а,,...,ап) = а).

Когда пробегает класс всех квазибулевых решеток, получаются квазибулевы степени алгебры А. Среди них находятся и все булевы степени этой алгебры, они соответствуют полным булевым решеткам Ь.

Пусть 7*1 не содержит нульарных и состоит не только из унарных операций. Каждая полурешетка (5, •) может рассматриваться как Т7-алгебра,

если положить /{х) = х для унарных и /(х\,...,хп) = Х\-...-хп для «-арных (и > 1) операций В этом смысле будем говорить об

^ -полурешётках.

Идемпотентом в Р -алгебре А называется элемент а е А такой, что /(а,...,а) = а для любой операции / е /*".

Следующая теорема была анонсирована в [3].

ТЕОРЕМА. Если -алгебра А имеет хотя бы два идемпотента, то любая -полурешетка вкладывается в подходящую квазибулеву степень алгебры А.

Доказательство. Пусть (А, Р) - алгебра и со,1 - некоторые ее идемпотенты. Пусть, далее, 5 - произвольная F -полурешетка.

Через /</(5) обозначим решетку всех, включая пустой, идеалов полурешетки 5. В четырехэлементной булевой алгебре с носителем В = {0,1,1,1} заменим атом / решеткой Ы(Б). При этом будем считать, что в полученном множестве 1, = {0,/,1}и/</(5) элемент 0 покрывается элементами / и 0е/¿(5), элемент 1 непосредственно следует за / и 5б/¿/(5), а между элементами решетки сохраняются имеющиеся в ней порядковые соот-

ношения. Так упорядоченное множество /.является полной решеткой с дополнениями. Если отождествить все элементы из /с/(5), то получается канонический -гомоморфизм решетки Ь на булеву решетку В. Следовательно, Ь - квазибулева решетка.

Построим вложение произвольной ^-полурешетки 5 в квазибулеву степень А[Ь].

Пусть 5 е 5 и J{s) - главный идеал, порожденный этим элементом в 5. Сопоставим элементу 5 отображение ф($) = : А -> Ь, полагая у5(ш) = /, уД1) = У(5),у,(а) = 0 при аг{й,1}. Так как уДю)-уДг) = 0 и у,(©) +уДг) = 1, то V, е А[Ц, так что <р отображает 5 в А[Ь].

Допустив, что ф(я) = ф(г), т.е. что = V, для г е 5, получаем равенство J{s) = J(t), откуда сразу 5 = Таким образом, ф - вложение.

Докажем, что ф - гомоморфизм, т.е. что ..... ) = /{у^ ) для

любой л-арной операции /eF и любых

Пусть и>1, т.е. / - не унарная операция. Тогда /(у51,...,у5л)(сй) =

= )• ■••• )1 /(«1.....«я ) = ю} = % (щ) •... • (со) = /, так как, если

(аи...,ап) Ф (ш,...,со), тоу^ (а, )•...■ \^ (а„) = 0. Аналогично

/(Уц >">vsn ХО = vi( (О • - • v*„ (О = Л«1) n... п У(5Л) = •... • я„) =

= J(/(i1,...,Jn)). Далее, для а <£. {со, i} имеем:

f(Ys......v,„ )(а) = X К, (Й1) • -'„ (°п )1 Л«1.....ал) = о,ай{®,г}} = О,

так как среди элементов найдется а, * со и найдется а}Ф\, и значит,

Итак,

Ж, К®) - Л /К, »-.v,. ХО = Af(si,...,s„)), f(ySu„vSn )(я) = Опри

а £ {м,i}, т.е. f(vJt.....vj„) = v/(j,.....4п)Для «-арных (и>1) операций feF.

Пусть / е F - унарная операция. Согласно формуле (*), /(v,Xa) = 5>,(x)| /W = a} = Vi(a) + S {v,(x)| /(*) = «, х*а}. Здесь нужно рассмотреть три случая.

1) а = со. Так как /(г) = i Ф со и v^(х) = 0 при х е {со, i}, то /(v, Хсо) = vs (со) = v/w(co), поскольку f(s) = s;

2) а = I. Здесь /(v,)(i) = vs(i) = v/(j)(i);

3) а г {со, i}. Так как /(со) = со и /(i) = t, то f(x) = a означает, что xg{co, i}. Тогда vs(a) = 0 и vs(x) = 0 для любого х такого, что /(jc) = а. Значит, f(vs )(а) = 0 = v/(s) (а).

Итак, во всех случаях f(ys) = vТеорема доказана. Решётка L, построенная в доказательстве теоремы, недистрибутивна. Возможна ли другая конструкция, которая позволила бы вложить полурешётку S в некоторую булеву степень алгебры А? Следующие соображения дают отрицательный ответ на этот вопрос. Как известно [1], булевы степени алгебры сохраняют ее эквациональную теорию, т.е. все тождества, истинные в алгебре, истинны и во всех ее булевых степенях. Таким образом, если, например, А - левосингулярная полугруппа (т.е. полугруппа левых нулей: ху = х), то и любая ее булева степень будет левосингулярной полугруппой. А в такую полугруппу можно вложить только одноэлементную полурешётку.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пинус А.Г. Булевы конструкции в универсальной алгебре // УМН. 1992. Т. 41, №4. С. 145- 180.

2. Общая алгебра / Под ред. Л.А.Скорнякова. М.: Наука. Т.2. 1991.

3. Салий ВН. Полурешётки и квазибулевы степени алгебр // Международная алгебраическая конференция памяти Л.М. Глускина. Киев: ИМ НАН Украины, 1997. С. 18 - 19.

Л. Б. Самодурова

УДК 512.5

ПРОСТЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ АВТОМАТЫ

Автоматом называется тройка А=(Б, X, Ъ), где 5, X— произвольные конечные непустые множества, называемые соответственно множеством состояний и множеством входных сигналов, а 8 : 5хАг—>5— функция переходов автомата Л.

Обозначим через 8р отображение, порожденное словом р: 8р:5->5, з-+8(з,р) йе5, реХ').

Эквивалентность 9 на множестве 5 называется конгруэнцией автомата А, если она устойчива относительно функции переходов 8 в том смысле, что (V 52еБ)(У хеХ)((^\, ^еЭ => х),Ъ(^ъ х))ев).

В любом автомате конгруэнциями будут тождественное отношение А и универсальное отношение 5x5. Автомат А, имеющий больше одного состояния, называется простым, если у него нет конгруэнций, отличных от тождественной и универсальной.

Одной из нерешенных задач теории автоматов является описание простых автоматов. В [1] приводится решение этой проблемы для случая автономных автоматов (автоматов с одним входным сигналом). В данной статье будет приведено решение вышеуказанной проблемы для случая коммутативного автомата.

Автомат А=(5, X, 5) называется коммутативным, если для любых $е5, х\, х2еХвыполняется равенство 8(5, Х| х2х\). Описание подпрямо не-

разложимых коммутативных автоматов дали Эшик и Имрех [2,3]. Характеристика простых коммутативных автоматов может быть получена в принципе как следствие из их работ. Цель данной статьи - получить непосредственное описание простых коммутативных автоматов. Известно [2], что автомат А=(Б, X, Ъ) коммутативен тогда и только тогда, когда выполняется равенство (V хеХ)(У реХ') хр)=Ъ(з, рх)). (*)

ТЕОРЕМА 1. Сильно связный коммутативный автомат А=(Б, X, 8) является простым тогда и только тогда, когда |5| — простое число и существует хеХ, порождающий циклическую перестановку на 5.

Доказательство. Необходимость. Пусть сильно связный коммутативный автомат А - простой. Известно [2], что каждый входной сигнал сильно связного коммутативного автомата порождает перестановку на 5. Предположим, что никакой хеХ не порождает циклической перестановки на 5. Возможны следующие случаи:

а) (V хеХ)(М $€5^(8(5, х)=5), но тогда А не является сильно связным;