CC BY
14
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2001. №3. С. 18-20.
Л7ТП.- ci о КО
© Омский государственный университет УДК
О ЧИСТЫХ АЛГЕБРАХ
О.В. Князев
Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры 644099, Омск, наб.Тухачевского,141
Получена 2 марта 2001 г.
Studied general questions of purity.
При изучении абелевых групп полезную роль играет понятие чистоты (сервантности). Л.М. Мартынов подходит к ряду понятий теории абелевых групп, в частности к чистоте, используя теорию многообразий групп. Это обстоятельство позволяет ему определить их аналоги в общей универсально-алгебраической ситуации [1]. В настоящее время понятие чистоты изучается в различных классах алгебр, например, в [2] - для модулей, в [3] - для клиффордовых полугрупп. Здесь мы хотим привести несколько общих утверждений о чистых алгебрах. Предварительно напомним некоторые определения и условимся относительно некоторых обозначений.
Пусть v - произвольное фиксированное многообразие алгебр, L(v) - решетка подмногообразий многообразия v, x G L(v) и А G v. Все дальнейшие рассуждения будем вести «внутри» многообразия v, и через t будем обозначать многообразие одноэлементных алгебр из v. Произвольное дизъюнктное семейство алгебр называют россыпью, а алгебры, которые ее составляют, - компонентами россыпи. На множестве S(A) всех россыпей, компоненты которых являются подалгебрами данной алгебры A , естественным образом определяется частичный порядок <:
{Аг :G I} < {B3 : j G J} ^ (Vi G /)(3j G J)(Аг С B,)
Ясно, что S(A) есть полная (в обычном смысле) решетка. Договоримся операцию пересечения в этой решетке обозначать через Л. Ядром ker(p) конгруэнции р на алгебре А называется россыпь, компоненты которой суть в точности все р-классы, являющиеся подалгебрами алгебры А. Ядро x-вербальной конгруэнции р(х,А) на А называют x -вербалом алгебры A и обозначают через х(А).
Алгебра А называется x -полной, если ее x-вербальная конгруэнция р(х,А) есть универ-
1 e-mail: [email protected]
сальное отношение на А, т.е. р(х,А) = А х А. Если ядро конгруэнции на алгебре из v состоит из одной подалгебры, то мы не будем различать одноэлементные семейства подалгебр и сами эти подалгебры. В частности, под ядром конгруэнции будем понимать соответствующую подалгебру. Подалгебру С алгебры А называют x-чистой в А , если
х(С) = х(А) Л С (*).
В случае, когда равенство (*) выполняется для любого атома решетки ¿(v), говорят, что подалгебра С алгебры А является атомно чистой в А. Если же равенство (*) выполняется для любого подмногообразия х многообразия v, подалгебру С называют вербально чистой в А.
Под абсолютно х -чистой алгеброй понимают алгебру, у которой любая подалгебра является х -чистой. Если алгебра А является абсолютно х -чистой алгеброй по любому многообразию х из ¿(v), то А называют абсолютно вербально чистой алгеброй или УР-алгеброй. Если все подалгебры алгебры А являются атомно чистыми, то говорят, что А есть абсолютно атомно чистая алгебра или АР-алгебра.
Напомним, что v-произведение [4] подклассов x, v класса v определяется следующим образом: А е x ◦ у ^ (А е v)& (Эр е Соп(А)) (А/р е у)&(кег(р) е x), где Соп(А) - решетка конгруэнций алгебры А.
Отметим несколько утверждений о чистых алгебрах.
Утверждение1. Пусть А е v, x е ¿(v) и С < В < А. Тогда:
1) Если С есть x -чистая алгебра в В, а В - x -чистая алгебра в А, то С есть x -чистая алгебра в А;
2) Если С есть x -чистая алгебра в А, то С - x -чистая алгебра в В.
О чистых алгебрах
19
Доказательство. 1) Если х(С) = х(В) Л С и х(В) = х(А) Л В, то х(С) = (х(А) л В) л С = х(а) Л (В Л С) = х(А) Л С.
2) Заметим очевидное неравенство: х(С) < х(А) Л С. Тогда, если х(С) = х(А) Л С, то х(а) Л С = х(С) < х(В) Л С < х(А) Л С =
х(с). □
С л е д с т в и е 1. Всякая подалгебра абсолютно x -чистой алгебры является абсолютно x-чистой.
Утверждение 2. Если А - абсолютно x -чистая алгебра, В < А, С < х(В), то х(С) = С (т.е. алгебра С является x-полной алгеброй).
Доказательство. Пусть К 6 х(В) и С < К. Значит, х(В)ЛК = К. По следствию 1, алгебра К есть абсолютно x-чистая алгебра. Значит, х(В) Л К = х(К). Тогда х(К) = К. Отсюда, х(К )ЛС = К ЛС = С .Но х(К)ЛС = х(С). Следовательно, х(С) = С. □
Утверждение 3. Если р - атом решетки ¿(v), то все алгебры из р являются абсолютно вербально чистыми алгебрами.
Доказательство. Пусть x 6 ¿(v) и А 6 р. Если р < x, то х(А) есть тривиальная россыпь, т.е. россыпь, чьи компоненты -это в точности одноэлементные подалгебры алгебры А , или пустая россыпь, если в алгебре А нет идемпотентов. Очевидно, алгебра А - абсолютно х -чистая алгебра.
Если р не включается в x и В < А, то р П x = т и х(В) = В. Поэтому х(А) Л В = х(В) □
Замечание. Объединение атомов в решетке ¿(v) не обязано состоять только из абсолютно вербально (атомно) чистых алгебр (см., например, [3]). □
Напомним, что подалгебра С алгебры А называется ретрактом алгебры А, если существует такой гомоморфизм 9 : А ^ С, что с9 = с для всех с 6 С.
П р е д л о ж е н и е 1. Если С есть ретракт алгебры А, то
р(х, А) П (С х С) = р(х,С) (**),
для любого подмногообразия x многообразия v, в частности, С является абсолютно вербально чистой подалгеброй алгебры А.
Доказательство. Хорошо известно, что р(х, С) С р(х, А) П (С х С). Покажем обратное включение. Пусть 9 : А ^ С есть ретрактный гомоморфизм А на С и п : С ^ С/р(х,С) - естественный гомоморфизм С на фактор-алгебру С/р(х,С). Обозначим через а композицию гомоморфизмов 9 и п. Итак, для любого а из А имеем: аа = (а9)п. Рассмотрим
конгруэнцию кегп = {(а, Ь) : а, Ь 6 С, п(а) = п(Ь)} (ядро гомоморфизма п). Из задания гомоморфизма п следует, что (ж, у) 6 кегп для любых ж и у из С тогда и только тогда, когда (ж, у) 6 р(х,С). Отсюда, имеем цепочку экви-валентностей: (ж, у) 6 кега ^ а(ж) = а(у) ^ (ж9)п = (у9)п ^ хп = уп ^ (ж, у) 6 р(х, С).
Следовательно, кега П (С х С) = р(х, С). Но р(х, А) С кега. Значит, р(х, А)П(СхС) С кегаП (С х С) = р(х,С). □
Замечание. Понятно, что из (*) не всегда следует (**). Хотя в некоторых классах алгебр это так, например, в классе всех групп, в классе всех идемпотентных полугрупп.
Предложение2. Пусть к 6 ¿(v), x - класс алгебр из v, замкнутый относительно взятия подалгебр и гомоморфных образов и такой, что x П к = т. Тогда все алгебры из x о к являются абсолютно к-чистыми.
Доказательство. Пусть А 6 x о к. Предположим, что алгебра А не является абсолютно к -чистой. Значит, найдется подалгебра С алгебры А такая, что к(А) Л С = к(С) (Заметим, что все компоненты россыпи к(А) принадлежат классу х .) Следовательно, конгруэнция р(к,С) строго включается в конгруэнцию р(к,А) П (С х С). При этом найдется нетривиальная компонента К россыпи к (А) Л С (К -подалгебра алгебры С ), такая, что конгруэнция р(к, С) П (К х К) = р! не является универсальным отношением на К. Тогда К/р! 6 к. (Ясно, что р(к,К) С р!.) Итак, в алгебре А из класса х нашлась подалгебра К такая, что ее нетри-вальный гомоморфный образ лежит в к . Противоречие с тем, что х П к = т . □ .
Пусть к 6 ¿(v). Обозначим через ск класс всех алгебр из v, у которых всякая подалгебра к -полная.
Предложение 3. Алгебра А из v является абсолютно к -чистой тогда и только тогда, когда А 6 ск о к.
Доказательство. Пусть А есть абсолютно к -чистая алгебра. Из утверждения 2 следует, что всякая подалгебра любой компоненты россыпи к (А) является к-полной алгеброй. Следовательно, А 6 ск о к . Обратно. По построению, класс ск замкнут относительно взятия подалгебр. В [1] отмечается, что гоморфный образ к -полной алгебры также к -полная алгебра. Теперь нетрудно понять, что с П к = т . Следовательно, класс ск удовлетворяет всем требованиям предложения 2. Значит, ск о к состоит только из абсолютно к -чистых алгебрах. □
С л е д с т в и е 2. Все алгебры многообразия v являются абсолютно вербально (атомно) чистыми тогда и только тогда, когда для любо-
20
О.В. Князев.
го многообразия x (любого атома x решетки ¿(v)) выполняется равенство: сх о x = v.
Проиллюстрируем следствие 2.
Пусть v = i1 - многообразие всех идемпо-тентных полугрупп с выделенной единицей 1. Хорошо известно, что решетка ¿(i1) подмногообразий многообразия i1 имеет только один атом: 81 - многообразие всех коммутативных идемпотент-ных полугрупп с единицей. Учитывая, что единица у идемпотентных полугрупп внешне присоединенная, нетрудно понять, что т о 81 = i1. Тогда для любого многообразия x = т из i1 имеем: т о x = i1. Следовательно, из следствия 2 следует, что все алгебры из i1 - абсолютно вер-бально чистые, в частности, абсолютно атомно чистые.
Автор выражает большую благодарность Л.М. Мартынову за постановку задачи и полезные советы.
[1] Мартынов Л.М. О понятиях полноты, редуциро-ваности, примарности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды междунар. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 179 - 190.
[2] Корнев А.И. О модулях с чистыми подмодулями // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды междунар. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 144-152.
[3] Князев О.В. Клиффордовы полугруппы с чистыми подполугруппами / Рукопись представлена Сибирским математическим журналом.(Деп.в ВИНИТИ 30 марта 2000г. № 861-В00). 17с.;
[4] Мальцев А.И. Об умножении классов алгебраических систем // Сиб. матем. журн. 1967. Т.УШ. № 2. С.346-365.
