CC BY
12
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2003. №3. С. 13-15.
© Омский государственный университет 1 ^ 01^.0/^
О НАСЛЕДСТВЕННО ЧИСТЫХ ПОЛУГРУППАХ
О.В. Князев
Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры 644099, Омск, наб. Тухачевского, 14
Получена 2 апреля 2003 г.
Studied purity semigroups with zero.
Подход с точки зрения многообразий к ряду понятий теории абелевых групп, в частности к чистоте и полноте, позволил Л.М. Мартынову определить их аналоги для произвольных алгебр [1,2]. Мы изучаем здесь наследственно чистые полугруппы с нулем.
Прежде чем сформулировать и доказать основной результат статьи (теорема), приведем для удобства читателя некоторые определения и договоримся о сокращениях.
Пусть V — многообразие всех полугрупп с выделенным 0; ¿(V) — решетка подмногообразий многообразия V, X 6 ¿(V), А €Е V. Здесь полугруппы с нулем рассматриваются как алгебры с одной бинарной ассоциативной операцией — умножение - и одной нульарной операцией — выделение 0. В дальнейшем под словом «полугруппа» понимается алгебра из многообразия V.
Единственнум классом X-вербальной конгруэнции р(~К,А) на полугруппе А (р(~К,А) —наименьшая из конгруэнций на А, фактор-полугруппы по которым принадлежат X), являющимся подполугруппой полугруппу А, будет класс, содержащий 0. Обозначим его через Х(у1) и будем называть ~К-еербалом полугруппы А.
Подполугруппу В полугруппы А называют X— чистой в А, если
Х(А)ПВ = Х(£)(*).
В случае, когда равенство (*) выполняется для любого атома решетки ¿(V), говорят, что подполугруппа В полугруппы А является атомно чистой в А. Если равенство (*) выполняется для любого подмногообразия X многообразия V, то подполугруппу В полугруппы А называют вербально чистой в А. Полугруппу, у которой все подполугруппы являются X-чистыми, будем называть наследственно X -чистой полугруппой. Полугруппу, у которой все подполугруппы являются вербально чистыми (атомно чистыми), бу-
дем называть наследственно вербально чистой (наследственно атомно чистой) полугруппой.
В [2] предлагается к решению большой спектр проблем, связанных с определенными выше понятиями. Одна из проблем (см. [2], проблема 17) звучит так: описать наследственно атомно (вербально чистые) алгебры данного многообразия.
Эта проблема уже изучалась для ряда многообразий алгебр, например, в [3] — для модулей, в [4] — для клиффордовых полугрупп, в [5] — для групп.
Мы решаем эту задачу для многообразия всех полугрупп с выделенным нулем.
Напомним, что решетка ¿(V) подмногообразий многообразия V всех полугрупп с выделенным 0 имеет только два атома: Э0 — многообразие всех коммутативных идемпотентных полугрупп с 0 и 7 — многообразие полугрупп с нулевым умножением.
Полугруппу называют клиффордовой, если она является объединением групп.
Основным результатом статьи является
Теорема. Следующие условия для полугруппы, А с нулем эквивалентны:
(1) А — идеальное расширение периодической клиффордовой полугруппы с нулем с помощью полугруппы с нулевым умножением;
(2) А — наследственно вербально чистая полугруппа;
(3) А — наследственно атомно чистая полугруппа.
Доказательству теоремы предпошлем несколько утверждений, имеющих самостоятельный интерес. Нам потребуются еще несколько определений. Приведем их.
Полугруппу А называют X -полной, если X-вербал Х(у1) полугруппы А совпадает с А. Если
14
O.B. Князев
а есть элемент полугруппы А, то подполугруппу из А, порожденную а, называют моногенной и обозначают через (а). Элемент а полугруппы А назовем -полным, если Х((а)) = (а). Множество всех X-полных элементов полугруппы А обозначим через Сх(-А), а класс всех полугрупп, состоящих только из Х-полных элементов, - через Сх • Через А ■ А будем обозначать подполугруппу {а • b | а, b £ А} полугруппы А. Напомним, что элемент а полугруппы А называется регулярным, если а £ аАа; элемент а полугруппы А называется нильэлементом, если а" = О, для некоторого натурального п. Полугруппу А называют нилъполугруппой, если все ее элементы суть нильэлементы. Полугруппа А называется архимедовой, если для любых а,Ь £ А существует такое натуральное п и х,у £ А1, что а" = xby. Через Gr А и Reg А обозначим соответственно множества всех групповых элементов и регулярных элементов полугруппы А.
Очевидна
Л е м м а 1. Всякая полугруппа А есть идеальное расширение полугруппы А - А с помощью полугруппы с нулевым умножением; Z— вербал Z(A) полугруппы А равен А- А.
Л е м м а 2. Пусть А — полугруппа с 0 , X £ L(V) и Су^{А) = А. Тогда любая подполугруппа полугруппы А является X -полной полугруппой.
Доказательство. Пусть А — полугруппа с 0, Су^{А) = А и В < А. Покажем,что Х(1?) = В. Предположим противное, что Х(1?) ф В. Пусть b £ В \ ~Х.(В). Моногенная полугруппа (b) является подполугруппой полугруппы В. Хорошо известно, что в этом случае Х((6)) < ~К(В). Следовательно, Х((6)) ф (Ь). Получили противоречие с условием леммы. Лемма доказана.
Через о обозначим V—произведение Мальцева классов полугрупп из многообразия V ( [6]).
Напомним, что V—произведение Мальцева подклассов X, Y многообразия V определяется следующим образом:
А е XoY « (А £ V) & (Зр е Соп(А)) (А/р £ Y) & (ker(p) £ X),
где Соп(А) - решетка конгруэнции полугруппы А, а ker(p) - класс конгруэнции р, содержащий 0 полугруппы А.
Из леммы 2 и предложения 3 из [7] следует
Л е м м а 3. Полугруппа А является наследственно X -чистой полугруппой тогда и только тогда, когда А £ Сх °Х.
Л е м м а 4. Идеальные расширения периодических клиффордовых полугруппы с нулем с помощью полугрупп с нулевым умножением, и
только они являются наследственно Z -чистыми полугруппами.
Доказательство. Пусть полугруппа А есть наследственно Z-чистая полугруппа. Покажем, что полугруппа А ■ А будет периодической клиффордовой полугруппой. Если а — произвольный элемент из А ■ А, то (а) < А ■ А. По лемме 1, ЪЩ = А ■ А. Значит, Х(А) П (а) = {а). но если |(а)| = оо или а — негрупповой элемент, имеем: Z((а)) =(а)(а) =(а)\{а} ф {а). Следовательно, Z(yl) П (а) ф Z((a)). Значит, подполугруппа (а) полугруппы А не является Z-чистой подполугруппой. Получили противоречие с тем, что А есть наследственно Z-чистая полугруппа.
Пусть Т — идеальное расширение периодической клифордовой полугруппы А с помощью полугруппы с нулевым умножением. Тогда, по лемме 1, полугруппа Z(T) = Т-Т = А = СгТ. Если а £ СгТ, то (а)(а) = {а). Значит, Z((а)) = (а). Поэтому всякий элемент из СгТ принадлежит Cz.iT). Следовательно, Т 6 Cz оЪ. Тогда, по лемме 3, Т является наследственно Z-чистой полугруппой. Лемма доказана.
Л е м м а 5. Полугруппа Т является наследственно Э0 -чистой полугруппой тогда и только тогда, когда Т — коммутативная связка полугрупп, у которой О-компонента есть нилъполу-группа.
Доказательство. Пусть Т суть коммутативная связка полугрупп такая, что ее 0-компонента есть нильполугруппа. Очевидно, что все элементы нильполугруппы являются Э0-полными элементами. Поэтому Т £ Сдо оЭ0 . Тогда, по лемме 3, полугруппа Т является наследственно Э0-чистой полугруппой.
Пусть полугруппа Т есть наследственно Э0 -чистая полугруппа. Значит, по лемме 3, Т 6 С3о оЭ0. Следовательно, Т будет коммутативной связкой полугрупп, у которой в ее 0-компоненте все элементы суть Э0-полные. А последнее возможно, как нетрудно понять, только для нильполугрупп. Лемма доказана.
Л е м м а 6. Если полугруппа Т — идеальное расширение периодической клиффордовой полугруппы, с 0 с помощью полугруппы с нулевым умножением, то Т является наследственно Э0 -чистой полугруппой и ее Э0 -вербал — подполугруппа с нулевым умножением.
Доказательство. Пусть Т — идеальное расширение периодической клифордовой полугруппы А с помощью полугруппы с нулевым умножением. Если а £ А, то а = аа-1а 6 аТа. Значит, СгТ = А С НедТ. Если а £ аТа, то из определения полугруппы Т следует, что НедТ С А = СгТ. Итак, НедТ = СгТ. Из последнего равенства и по теореме 3 из [8], полугруппа Т будет коммутативной связкой периодических ар-
О наследственно чистых полугруппах
15
химедовых полугрупп. Периодическая архимедова полугруппа есть нильрасширение вполне простой полугруппы (см., например, предложение 3 из [8]). Очевидно, что вполне простая полугруппа (вполне простая полугруппа суть прямоугольная связка групп), содержащая 0, будет тривиальной полугруппой. Следовательно, Э0-вербал 8°(Т) полугруппы Т — полугруппа с нулевым умножением, а значит, 8°(Т) —нильполугруппа. Тогда, по лемме 5, полугруппа Т — наследственно Э0-чистая полугруппа. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Справедливость эквиваленции (1) -Ф4> (3) следует из лемм 4 и 6.
Докажем выполнимость эквиваленции (1) -Ф4> (2). Для этого, по лемме 4, нам достаточно показать, что всякая полугруппа Т, являющаяся идеальным расширением периодической клиффор-довой полугруппы с 0 с помощью полугруппы с нулевым умножением, будет наследственно вер-бально чистой полугруппой. Докажем это.
Пусть X — нетривиальное подмногообразие многообразия V. Разобьем наши рассуждения на три случая.
Первый случай: многообразие X такое, что Э0 £ X и Ъ С X. В этом случае р{Х,Т) С р{2,Т). Значит, Х(Т) С Ъ{Т). По лемме 1 и 4, полугруппа Z(T) — периодическая клиффордо-ва полугруппа. Отсюда каждый элемент а полугруппы Х(Т) является периодическим групповым элементом. Тогда нетрудно понять, что если О полугруппы (а) не образует отдельный класс конгруэнции р(Х,(а)) , то р(Х,(а)) — универсальное отношение на полугруппе (а). Значит, все элементы полугруппы Х(Т) суть Х-полные элементы. Если же 0 полугруппы (а) образует отдельный класс конгруэнции р(Х,(а)) , то многообразие X обязано включать многообразие Э0 , что противоречит выбору X. Из сказанного выше следует, что Т €Е Сх °Х, и поэтому по лемме 3 полугруппа Т является наследственно X-чистой полугруппой.
Второй случай: многообразие X такое, что Э0 С X и Ъ С X. Вербал Х(Т) = Т -Т полугруппы Т есть клиффордова полугруппа. При доказательстве леммы 6 отмечалось, что вербал 8°(Т) полугруппы Т - полугруппа с нулевым умножением. Тогда ЩТ) П 8°(Т) = {0}. Но Х(Т) С Х(Т) П 8°(Т) = {0}. Следовательно, Х(Т) = {0}. Это означает, что полугруппа Т есть наследственно X-чистая полугруппа.
Третий случай: многообразие X такое, что Э0 С X и Ъ <£ X. Вербал 8°(Т) полугруппы Т является полугруппой с нулевым умножением. По условию, Х(Т) < 8°(Т). Очевидно, что гомоморфный образ полугруппы с нулевым умноже-
нием - снова полугруппа с нулевым умножением. Следовательно, каждый элемент полугруппы Х(Т) будет Х-полным элементом. Значит, Т €Е Сх оХ. И поэтому, по лемме 3, полугруппа Т является наследственно X-чистой полугруппой. Теорема доказана.
Автор выражает глубокую благодарность Л.М. Мартынову за постановку задачи и полезные советы.
[1] Martynov L.M. On notions of completeness, solvability, primarity, reducibility, and purity for arbitrary algebras // International conference on Modern Algebra and Its Applications. Vanderbilt University, Nashville, Tennesse, May 14-18, 1996. Schudule and Abstracts. P. 79-80.
[2] Мартынов Л.М. О понятиях полноты, редуциро-ваностп, примарности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды междунар. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 179-190.
[3] Корнев А.И. О модулях с чистыми подмодулями // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды междунар. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. С. 179-190.
[4] Князев О. В. Клиффордовы полугруппы с чистыми подполугруппами / Деп. в ВИНИТИ 30 марта 2000 г. № 861-В00. 17 с.
[5] Князев О. В. Группы с относительно чистыми подполугруппами // Международный семинар по теории групп, посвященный 70 летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина: Тез. докл. (Екатеринбург, 17-21 декабря, 2001). Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001. С. 103-104.
[6] Мальцев А.И. Об умножении классов алгебраических систем // Сиб. матем. журн. 1967. Т.VIII. № 2. С. 346-365.
[7] Князев О.В. О чистых алгебрах // Вестн. Ом. унта. 2001. № 3. С. 18-20.
[8] Шеврин Л.Н. К теории эпигрупп. I // Матем. сб. Т. 185. № 8. С. 129-160.
