ГОЛОНОМНЫЕ И НЕГОЛОНОМНЫЕ РЕПЕРЫ 2-ГО ПОРЯДКА НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

M. Cheshkova

OF MINIMAL HYPERSURFACE IN EUCLIDEAN SPACE E4.

In a Euclidean space E4 is considered a minimal hypersurface.

Theorem. Let M is a minimal hypersurface in Euclidean space E4, and lines of curvature form holonomic net. If two lines of curvatur are geodesic, then hypersurface M is cylinder off the catenoid.

УДК 514.76

Ю.И. Шевченко

(Калининградский государственный университет)

ГОЛОНОМНЫЕ И НЕГОЛОНОМНЫЕ РЕПЕРЫ 2-ГО ПОРЯДКА НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ

На гладком многообразии рассмотрен подвижной репер 2-го порядка (е;, е^}. Показано, что на голономном гладком многообразии существует лишь голо-номный репер (е^= е^), а на неголономном гладком многообразии - только неголономный репер (е^ е^).

1. Рассмотрим п-мерное гладкое многообразие Уп. Пусть точка Ае Уп в некоторой локальной карте имеет координаты х(у,к,т,р,д=1, п). Тогда А является функцией координат: А=А(х;). Продифференцируем это равенство формально:

ЯД

dA= 5 Ах1 (5 ;А= -—). (1)

Эх1

Придадим смысл формуле (1). Наделим векторное пространство Тп, касательное к многообразию Уп в точке А, точечной структурой, превратив его тем самым в аффинное пространство. Естественно предполагать, что точка Ае Тп, тогда пространство Тп станет центроаффинным. Выберем в центроаффинном пространстве Тп некоторую точку О, отличную от точки А, и отождествим А с соответствующим радиус-вектором ОА. Отметим, что выбор точки О несущественен, так как ее можно

и и __и

заменить другой точкой О' с сохранением следующих ниже рассуждений.

В формуле (1) частные производные 5; А есть базисные векторы, на которые натянуто касательное пространство Тп =[ 5; А], рассматриваемое как векторное пространство. Совокупность векторов ( 5; А } называется натуральным подвижным (см., например, [1, с.177]) репером 1-го порядка многообразия Уп в точке А. Учитывая тождества Б^х)=0, где Б - внешний дифференциал, продифференцируем формулу (1) внешним образом:

¿,2 д

Б^А)= ^АХ Л dx1 (5^=^^).

5х 5Х-1

Предложение 1. Дифференциал точки А является полным тогда и только тогда, когда 2-е смешанные производные 5^ симметричны:

D(dA)=0 о 5 ^=0.

Замечание 1. Для полного и неполного дифференциалов точки А Г.Ф. Лаптев [2, ^20] использовал разные обозначения: d А и ёА.

2. Пусть - произвольный базис касательного пространства Тп. Разложим его векторы по натуральному базису:

х-5 -А, (2)

det( х- )*0. (3)

Из формулы (2) найдем

5 kA= Хке1? (4)

, (5)

т.е. (х'к) - матрица, обратная к матрице (х-1). Подставим выражения (4) в формулу (1):

dA=юiei, (6)

ю^ х^ёх^. (7)

Отметим, что первая деривационная формула аффинного пространства имеет вид (6). Формулу (6) и ее продолжение в фиксированной точке использовал В. Близникас [3] при исследовании метрического пространства линейных элементов. На гладком многообразии этой формулой также пользовался В. Слебодзин-ский [4]. У Г.Ф. Лаптева формула (6) есть лишь в скалярном виде [5, ^162], но он использовал ее продолжения с последующей фиксацией точки гладкого многообразия. М.А. Акивис [6] применил эту формулу в явном виде и записал ее продолжения без фиксации точки многообразия. Формула (6) описана в книге [7, а 49] А.К. Рыбников [8; 9] использовал как голономные, так и неголономные продолжения этой формулы при фиксации точки, что позволило ему исследовать голономное и неголономное гладкие многообразия [10].

3. Продифференцируем формулу (1) обычным образом:

d2A= 5 + 5 ^2х. (8)

Из формулы (1) видно, что дифференциал dA лежит в касательном пространстве Тп, а из формулы (8) следует, что 2-й дифференциал d2A принадлежит соприка-

2 'У

сающемуся пространству 2-го порядка Т =[5 А, 5 ^^ Репер Я2 ={ 5 Д, 5 iJA} соприкасающегося пространства Т2 назовем натуральным подвижным репером 2-го порядка многообразия V в точке А. Размерность пространства Т2 зависит от симметрии частных производных 5 iJA.

Определение. Если частные производные 2-го порядка 5 ^ симметричны в точке А, то соприкасающееся пространство 2-го порядка Т2 к многообразию V в

0 2

этой точке назовем голономным и обозначим Т . Если же они несимметричны, то будем говорить о неголономном соприкасающемся пространстве Т2.

-о 0 2 1

Таким образом, dim T2 =n(n+1), dim T =—n(n+3). Отметим, что голономное со-

0 2

прикасающееся пространство T возникает на голономном гладком многообразии

о

Vn, а неголономное пространство T появляется на неголономном многообразии Vn [10]. Чтобы не изменять обозначение соприкасающегося пространства Т к многообразию Vn в зависимости от его голономности, можно говорить о неголономной и голономной размерности пространства Т2 и записывать следующим способом:

Dim T2=n(n+1), dim Т2=1 n(n+3).

4. Пусть R ={ei,eij} - произвольный базис соприкасающегося пространства

2 2 T . Разложим векторы eij в натуральном базисе Rj,:

eij= xkm5kmA + xjja kA, (9)

det( xkm )*0, (10)

где индексы i, j нумеруют строки, а индексы k, m - столбцы. С другой стороны, разложим векторы д ijA по векторам произвольного репера R :

S ijA= xkmekm + xk ek . (11)

Подставим сюда выражения (2; 9):

д ijA= x^mxkmdpqA + ^if Xmp + xmxm)дkA .

Эти равенства обращаются в тождества при условиях:

xkmxpm=spsq, (12)

xkm uj ,

3xk + xmxk

4j xmp + xij xm

Уравнения (5; 12; 13) определяют квадратную матрицу, обратную матрице

х^ + xmxm=о. (13)

( km p Л Xk Xpj

v0 xp

, где индексы i,j,q нумеруют строки, а индексы ^m,p - столбцы. Отметим,

что система (12; 13) в общем случае состоит из п3(п+1) линейных неоднородных уравнений, содержащих такое же количество неизвестных хкт, тт. В силу условий (3; 10) определитель этой системы отличен от нуля, поэтому из нее находятся неизвестные элементы обратной матрицы (элементы хр определены ранее).

5. Продифференцируем равенства (2) обычным образом:

dei=d х^5 ^ + х^5 ^Аёх1".

Подставим выражения (4; 11) векторов натурального базиса Я2:

dei= ю1 к eJk, (14)

ю1 = Хкёхк + хГх^к dxk, (15)

=dxp. (16)

Пусть структурные уравнения Лаптева [5] многообразия Уп имеют вид:

Бш1=ю'Лю5. (17)

Продолжая уравнение (6) при условии

Б(аА)=0, (18)

получим [6, с. 56]

de1= ш ■ ej+юl е^, (19)

причем векторы е1j симметричны: е[Ц]=0. Если условие (18) не выполнено, то формула (19) сохраняется, но векторы е^ теряют симметрию [10].

Сопоставляя формулы (14) и (19), имеем = 5^шк. Подставляя сюда выражения (7; 16) форм шк, ш¡к, найдем х^Х^к, = 5^Хр . Умножим на х^:

Х* = Х^Хк. (20)

Эти равенства влекут аналогичные равенства для элементов исходной матрицы:

Хкт=ХкХ^. (21)

Действительно, подставляя выражения (20; 21) в равенства (12), убеждаемся в их справедливости в силу соотношений (5). Отметим, что подстановка выражений

(20) в равенства (13) и умножение на дает

4 = _хкХЧ ХРХтр . (22)

6. В силу выражений (21) формула (9) принимает вид:

еу= ^^5ктА + Хк 5кА .

Эта формула показывает принципиальную возможность трех случаев:

1) 5[кт] А=0, хЦд = 0 ^ ейГ0; 2) 5^] А=0, хк] Ф 0 ^ еи*0;

3) 5[кт] Аф0 ^ еиф0.

Первые два случая могли бы быть лишь для голономного гладкого многообразия

0

Уп, на котором частные производные 2-го порядка 5[кт]А симметричны. Поэтому можно было бы назвать репер Я голономным либо неголономным в зависимости от симметрии коэффициентов Хк по нижним индексам. Но из формулы

(11) следует симметрия величин хк, которая согласно формуле (22) влечет сим-

ч :

метрию величин х^ , поэтому 2-й случай невозможен.

0

Предложение 2. На голономном гладком многообразии У п существует

0 2 I

лишь голономный подвижной репер 2-го порядка Я ={е1, e1j | e1j= ej1}.

Если гладкое многообразие V неголономно, то частные производные 5 кт А несимметричны. Здесь реализуется 3-й случай, в котором векторы е^ несимметричны вне зависимости от симметрии коэффициентов хк по нижним индексам. Следовательно, справедливо

Предложение 3. На неголономном гладком многообразии Уп существует

только неголономный подвижной репер 2-го порядка Я2={е^ е^ | е^ eji}.

Замечание 2. Сформулированные в предложениях 2 и 3 утверждения справедливы и для подвижных реперов высших порядков на гладких многообразиях.

7. Покажем симметрию величин хк в общем случае. Продифференцируем

равенства (7) внешним образом: Dюi= Лёх-. Подставляя выражения дифференциалов координат:

dxJ= х- юк, (23)

которые находятся из равенств (7), получим

Dюi=юjЛ(- хкёхк).

Эти уравнения можно записать [5] в более общем виде (17), где

ю;=-хкё~к + у^кЮк (уВк] = 0). (24)

Подставим выражения дифференциалов (23) в равенства (15):

1 л к . г~1 р к /лг\

юJ = хкёхк + х хгрхкю . (25)

Дифференцируя равенства (5) обычным образом, имеем

хкёхк =-хкёхк. (26) Учитывая это при сопоставлении форм (24) и (25), получим

у; к=хтхтх. (27)

Отсюда видно, что симметрия величин у 1 к по нижним индексам влечет симметрию величин х^ , которые вызывают симметрию коэффициентов х1; к. Имеем

Предложение 4. Коэффициенты х; к симметричны по нижним индексам в

голономном и неголономном случаях.

Выражения (24) с помощью соотношений (26) принимают вид:

ю1= хкёхк + у1 кЮк, (28)

что с точностью до обозначений совпадает с выражениями Г.Ф. Лаптева [5, с. 146]. Из соотношений (22) находятся величины (27): у1 к = —хтх°к, подстановка которых в выражения (28) с учетом предложения 4 дает выражения Л.Е. Евтушика [11, с. 128].

Список литературы

1. Белько И.В., Бурдун А.А., Ведерников В.И., Феденко А.С. Дифференциальная геометрия. Минск, 1982.

2. Лаптев Г.Ф. О внутренних геометриях многообразий, вмещенных в многомерное аффинное пространство: Диссертация. М., 1941.

3. Близникас В. О некоторых геометрических объектах метрического пространства линейных элементов // Лит. мат. сб. 1961. Т. 1. №1 - 2. С. 15 - 23.

4. Slebodzivski W. Formes exte'rieures et leurs applications. Warszawa, 1963. Vol.2.

5. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М.,1966. Т. 1. С. 139 - 189.

6. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.

7. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5 - 247.

8. Рыбников А.К. Об аффинных связностях второго порядка // Мат. заметки. 1981. Т. 29. №2. С. 279 - 290.

9. Рыбников А.К. Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Изв. вузов. Мат. 1983. №1. С. 73 - 80

10. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

11. Евтушик Л.Е. Дифференциальные связности и инфинитезимальные преобразования продолженной псевдогруппы // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1969. Т. 2. С. 119 - 150.

Yu. Shevchenko

HOLONOMIC AND NONHOLONOMIC FRAMES OF 2-ND ORDER ON THE SMOOTH MANIFOLD

Movable frame of 2-nd order {ei,eij} is considered. It is shown, that on the ho-lonomic smooth manifold only holonomic frame (eij = eji) exists, and on the nonho-lonomic manifold only nonholonomic frame (eij Ф eji) does.

УДК 514.75

Е.П. Юрова

(Калининградский государственный университет)

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОНФИГУРАЦИИ МНОГООБРАЗИЯ ГИПЕРКВАДРИК

Рассматривается (п-1)-мерное многообразие Vn-1 гиперквадрик Q в n-мерном аффинном пространстве. На гиперповерхности центров гиперквадрик, как ранее показано автором, возникает ряд аффинных связностей и других структур теории точечных отображений. Доказана теорема, относящаяся к специальному случаю указанных структур.

В работах [1; 2] определены и геометрически охарактеризованы порождаемые многообразием Vn-1 гиперквадрик n-мерного расширенного аффинного пространства в 1-й дифференциальной окрестности центра гиперквадрики аффинные связности N, g, у, у, T, причем связность g определяется формулой (7) [1], а