УДК 514.76
Ю. И. Шевченко
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград eskrydlova@kantiana.ru
Фактор-многообразия, порожденные голономными распределениями на гладких многообразиях
На гладком многообразии рассмотрено голономное распределение, которое порождает фактор-многообразие. С помощью структурных уравнений Лаптева и деривационных формул Акивиса определены голономное, полуголономное, внутренне и внешне неголономные гладкие многообразия. Доказано, что фактор-многообразие полуголономного многообразия является внутренне и внешне неголономным, а фактор-многообразие голономного многообразия голономно.
Ключевые слова: структурные уравнения Лаптева, деривационные формулы Акивиса, голономное распределение, фактор-многообразие, неголономное гладкое многообразие.
1. Уравнения Лаптева и формулы Акивиса
Для п -мерного гладкого многообразия Мп и расслоений кореперов над ним Лаптев [1] получил следующие структурные уравнения:
ёа1 = а3 ла'3, = а>к ла'к + ак ла'3к (I,... = 1,п)
= юк люь — юьк лю1 — а к л юк + а л а 1кь,...
(1)
где а ,&С, ,... — линейные дифференциальные формы. Уравнения (12) получены в результате продолжения квадра-
© Шевченко Ю. И., 2017
тичных уравнений (11), то есть при их внешнем дифференцировании с последующим разрешением по лемме Лаптева [1], причем возникают условия
вж лв = 0 ^ а[ж] = Ккьв,
Г Г
21 — 0 21 —0 л(ж)Ь ~ Л{1КЬ] ~
где квадратные скобки обозначают альтернирование, круглые скобки — симметрирование, фигурные скобки — циклирова-ние.
Аналогичные условия выполняются для форм высших порядков, в частности,
[ кь ] =^1КЬМ®М. (3)
Многообразие, для которого выполняются условия (2, 3) и аналогичные высших порядков, назовем [2] полуголономным
гладким многообразием МЩ соответствующего порядка. Если
условия локальной симметрии форм ювк, ювкь,... по двум последним нижним индексам вырождаются в условия симметрии: ю®ж] = 0, ®в[кь] = 0,... то будем говорить [3] о голономном
гладком многообразии МЩ .
Деривационные формулы Акивиса [4] для п -мерного гладкого многообразия Мп запишем в виде
ёх = ю'ё,, ёё, = + ю%г,
1^1 II (4)
к^—
ёёи = виек + в ек1 + ® егк + ® еик,...
где использовано обозначение Лаптева ёх — бесконечно малое смещение точки х по многообразию с точностью до 1-го порядка; ёГ — базисные векторы п -мерного линейного пространства Тп, касательного к многообразию Мп в точке х. Формула (42) получена в результате продолжения пфаффового уравнения (41), то есть при его внешнем дифференцировании с помощью структурных уравнений (11) в предположении
ddx = 0 и последующем разрешении по лемме Картана. Аналогично формула (43) является продолжением формулы (42), поэтому выполняются условия
e[и] = 0 ei[JK] = О-.. (5)
Касательные векторы 2-го порядка еи дополняют векторы
2
eI до базиса соприкасающегося пространства T з Tn причем
2 n
dim T = n + C2n+l = -{n + 3).
Касательные векторы 3-го порядка eIJK дополняют векторы 1-го и 2-го порядков eI, еи до базиса касательного про-
3 2
странства 3-го порядка T з T .
2. Касательные пространства 3-го порядка
Проальтернируем формулу (43) с учетом симметрии (51):
tfu ]ек +®Ke[ и ] к = 0 (6)
Если eи 1K g Tn, то равенства (6) разбиваются на две серии
-[IJ]K 4z±n
''J[ IJ ]eK = ш e[ IJ ]K
a)KreK = o, coKeи 1K = o,
из которых получим
',j[ij 1 = 0, e[ij]K
1 = 0 e[ij 1k = 0, (7)
что соответствует голономному гладкому многообразию М^ . Равенства (52, 72) дают симметрию векторов 3-го порядка ёцк по всем индексам.
Найдем число симметричных векторов е13к. Число векторов с различными сочетаниями индексов (например, е123) равно С1. Векторов, у которых два индекса принимают равные значения, отличные от третьего индекса (например, е112, е122),
всего 2С . Число векторов с одинаковыми значениями трех индексов (например, e111) равно п. Общее число различных векторов eIJK есть сумма
С3 + 2Cn2 + п = п (п2 + 3п + 2). (8)
6
Утверждение 1.Размерность касательных пространств
3
3-го порядка TH к голономному гладкому многообразию MЩ общего вида находится по формуле [3]:
3 2
dim TH = dim TH + n (n2 + 3n + 2) = - (n2 + 6n +11). 6 6
Количество независимых векторов eIJK для полуголоном-
ного гладкого многообразия Msn подсчитаем следующим образом. Подставим условия локальной симметрии (22) в уравнения (6):
®К (ЛиЛ + e[ IJ ]K ) = 0.
откуда в силу линейной независимости базисных форм а>К
e[IJ]К = ~^IJKeL . (9)
В полуголономном случае равенства (5) имеют место, а вместо равенств (72) выполняются более общие условия (9). Значит, число линейно независимых векторов eIJK в касательном пространстве 3-го порядка равно числу (8).
Утверждение 2. Размерность касательных пространств 3
3-го порядка TS к полуголономному гладкому многообразию
3
Msn совпадает с размерностью пространств TH :
3п
dim TS =- (n2 + 6n +11).
Теорема 1. Структурные уравнения Лаптева (1) для полу-голономного гладкого многообразия Msn соответствуют деривационным формулам Акивиса (4), в которых касательные векторы 2-го порядка ёи симметричные (51), векторы 3-го порядка в^ удовлетворяют условиям (52, 9), и выполняются аналогичные условия для векторов высших порядков. Голо-номному гладкому многообразию MH соответствуют касательные векторы высших порядков eI3, ё^,..., симметричные по всем индексам.
3. Неголономные гладкие многообразия
Рассмотрим гладкое многообразие со структурными уравнениями (1) и деривационными формулами (4) в предположении, что они получаются не в результате продолжений уравнений (1ь 41), а берутся в качестве исходных уравнений. Тогда не возникнет условий (2, 3, 5, 7, 9) и аналогичных им для
высших порядков, то есть формы а^, а1^,... не будут обладать даже локальной симметрией, а все векторы ёи, ё1Ж,..., станут линейно независимыми. В этом случае будем говорить о внутренне неголономном гладком многообразии M1N. Если вместо структурных уравнений (12, 13,...) имеют место более общие уравнения, например:
dюIJ = а1;1 ла1^ + а1С л а'ж + 0, ©] Фак л в)к,
то будем говорить о внешне неголономном гладком многообразии Л'Mn. Мы покажем, что существуют такие многообразия-NMn, которые являются внутренне неголономными многооб-
N > „/^
разиями Mn .
Утверждение 3. Размерности касательных пространств 2-го и 3-го порядков к неголономными гладким многообразиям находятся по формулам [3]:
2 3
dimT = n(n +1), dimT = n(1 + n + n2).
4. Распределение на многообразии
Рассмотрим распределение Tm (Mn) m -мерных подпространств Tm с Tn на гладком многообразии Mn, которое является полуголономным многообразием Msn , в частности, голо-номным многообразием MH . Произведем разбиение значений индексов:
I = (i, a); i,... = 1,m; а,... = m +1,n.
Поместим векторы ёг- в подпространство Tm и запишем их деривационные формулы
de. = coJe. +aJe'.r,
i i J i a iJ '
откуда следует
¿>ё" = 7Г]~ё.; 7 = а>\ a J ; ^ = d| a J .
' ' j ' =o, =°' i®a=°, ®J=o
Поскольку эти формулы показывают инвариантность совокупности векторов ei, на которые натянуто подпространство Tm = \ei ] касательного пространства Tn к многообразию-Mn в точке х, уравнения распределения Tm (Mn ) имеют вид
®a=jJ. (1°)
Продолжим пфаффовы уравнения (10):
Л + < =AJJKvK, Л;ж] = 0, (11)
где тензорный дифференциальный оператор действует следующим образом:
^ = ёЛ + ЛЖ - ла - ЛЖ.
Запишем дифференциальные уравнения (11) подробнее и используем уравнения (10):
АЛа + аа = (Лак + ЛйЛ"к )ак,
У У у 11к ф ]к' ' (12)
АЛ"-Ла а + а"=Л"как.
ф (] ф 1р грк
Утверждение 4. Фундаментальный объект Л распределения Тт (Mn ) имеет подобъект Л^* .
5. Голономное распределение
Проальтернируем дифференциальные уравнения (121) фундаментального подобъектаЛ" и используем выражения (2^:
АЛр ] = (Лар ]к + ЛЛ-Ъ )ак, (13)
где альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках. Получили дифференциальные уравнения для компонент тензора неголономности И* = Лу] (см. [5])
распределения Тт (Mn).
К тензору неголономности И* можно прийти при преобразовании структурных уравнений (11) базисных форм Ж распределения Тт (Mn), которые запишем подробнее:
ёю1 = Ж лаС + ю" лю'а, ёю" = ю1 лю"+юф лю*. (14)
Подставляя пфаффовы уравнения (10) распределения Тт (Mn ) в структурные уравнения (142), получим:
=юф лЖд-ЛЖ) + И*с1 лЖ. (15)
При аннулировании тензора неголономности Nрр = 0 распределение Tm (Mn ) называется голономным, а уравнения (15) принимают вид
da; = ap лП;, П; = а; — л.а1 . (16)
В этом случае система аР = 0 вполне интегрируема. Она выделяет m-мерное подмногообразие Mm с Mn , причем ограничение распределения Tm (Mn ) на подмногообразие Mm является касательным расслоением Tm (Mm ) . Структурные уравнения подмногообразия Mm дают уравнения (141):
da1 = а л а, а1 =а>'\ .
j j .1ар=0
Подмногообразие Mm является типовым слоем расслоения Mn = Mm (Fn-m ) со структурными уравнениями (141, 161), базой которого служит (n — m) -мерное фактор-многообразие Fn-m — множество m-мерных подмногообразий, огибаемых подпространствами голономного распределения Tm (Mm (Fn—m )).
6. Неголономность фактор-многообразия
Исследуем гладкое многообразие Fn—m со структурными уравнениями (16i). Найдем внешние дифференциалы форм (162) с помощью структурных уравнений (12, 141):
dn; = арл а + а л ар — лраг — л;ар )+ + ®1 л ^л;—л;р а. —л;ар + а; ).
Учтем симметрию компонент фундаментального подобъ-екта Л. голономного распределения Tm (Mm (Fn—m )) и используем дифференциальные уравнения (122):
1 /-\а у а , у /а а а I а а I а а 1\ ,
ёПф =юф лау+Сл (Жу - Лфюу - ЛЮ ф - ЛРуа ) + 1 / а а , а а у л у а , л а ■
+ а л Ж - аф + ЛЖ - Лфсу + лрЖ ). Преобразуем 1-ое слагаемое с помощью обозначения (162):
юрла;=аур лп;+сл (л^-ЛЮ-ЛЮ лл>ч.
Подставим эти выражения в предыдущие уравнения
ёПа=ПулПа + аул (С -Л" с - Ла а' - Л" С) +
ф ф у V фу 1ф у 1 уф 1фу '
+ 2С л Юаф] + (Лаф. - ЛфЛа )С л С.
[ф] фч 1ф чу '
Воспользуемся уравнениями (22)
ёП = ПфлПа + ау лПа +
ф ф у фу
(17)
+(Л*.] -ЛфЛЛ]у+ 2Ъу])®'л®4,
П = Су - ЛфСу - ЛуСф - ЛфуС - 2фС. (18)
Преобразуем последнее слагаемое в структурных уравнениях (17). Для голономного распределения Тт (Mm (Рп-т)) из уравнений (13) следует
ЛЛ ]к + Л?ф Л к -Ъ = 0.
Если к = ф, то
ЛЧ ф+Л Л ф-Ъф= (19)
Условие симметрии (112) при 3 = у, к = ф дает
Ла = Ла ^ Ла = Ла У\уф Л у ]ф Л гфу ]'
поэтому равенства (19) принимают вид
Л[гРЧ] -Л[ЧГЛ]Р = ЪЧф.
Подставим их в структурные уравнения (17):
= П лПа + ау лПф + Nф.С л С,
ф ф у фу ф1Ч ' (20)
N = Ъ.. ф + 2Ъа ■ о .
фу чф ф[у]
Назовем Nву объектом внешней неголономности фактор-
многообразия Fn_m.
Проальтернируем формы (18) по нижним индексам с учетом условия симметрии (112):
С помощью условия локальной симметрии (22) получим
П[Р7] = ^РгВ®8 + _ 2А%г])а'. Наконец, используем условие антисимметрии (23):
Щ] = + , = в + 24^]. (21)
Назовем объектом внутренней неголономности фактор-многообразия Рп_т.
Теорема 2. Фактор-многообразие Рп_т, порожденное го-лономным распределением на полуголономном гладком многообразии МЩ = Мт (^П_т), является внешне и внутренне него-
N N
лономным гладким многообразием Ьп_т.
7. О полуголономности и голономности фактор-многообразия
Если объект внешней неголономности обратится в
нуль:
= о « в = _24Р^ (22)
то структурные уравнения (201) упростятся
йПв=ПгвлПв + а7 лПР .
Р Р 7 Р7
Ыа
Гл
Если аннулируется объект внутренней неголономности
X
' Р7 :
N7 = 0 « Р = _2ЦМ, (23)
то выражения (211) примут вид
= !>*, (24)
причем условия (2з, 24) дадут Л"р7)* = 0, Л"* = 0. В случае, когда Л"7* = 0 условие локальной симметрии (24) станет условием симметрии: Пр,] = 0.
Теорема 3. Если объекты внешней и внутренней неголо-номности Ырру, N"7 обратятся в нуль, то фактор-многообразие Рп_т станет полуголономным гладким многообразием РЩ_т (1-го порядка). Если к тому же условие локальной симметрии форм Пр7 выродится в условие симметрии, то полу-голономное фактор-многообразие ¥Щ_т превратится в голо-
номное гладкое многообразие Ен_т.
п_т' а -кТа
Объекты неголономности N № , N7 фактор-многообразия-Рп_т выражаются по формулам (202, 212) через коэффициенты. В выражениях (24) стоят коэффициенты Значит, в случае голономного гладкого многообразия МЩ, когда-Л!Ж1 = 0, справедлива
Теорема 4. Фактор-многообразие Рп_т, порожденное го-лономным распределением Тт (Мт (Еп_т)) на голономном гладком многообразии МЩ = Мт (¥п_т), является голономным гладким многообразием Ен_т.
8. О тензорности объектов неголономности
Найдем дифференциальные сравнения для компонент объектов внешней и внутренней неголономности И.., Ифу с целью установления возможности условий (22, 23). Для этого нужно продолжить пфаффовы уравнения (22), в которые входят формы юСж]. Их внешние дифференциалы получаются при альтернировании структурных уравнений (13):
ёю[ж] = Ю[Ж] люЬ - ЮЬ[к л юС] - Ж л С] +С л Ю[Ж]Ь .
Во 2-ом и 3-ем слагаемых раскроем альтернирования и произведем перегруппировку
ёс>Сж] = сСзк] лс[ - с[ьк] лсС - (25)
I Ь Ь I ( )
-ю[3Ь] лск +с лю[ж]Ь.
Продифференцируем уравнения (22) с помощью структурных уравнений (11, 25):
(АЪзкь +ЮЖ]Ь) лС = 0.
Разрешим эти квадратичные уравнения по лемме Картана и запишем результат в виде дифференциальных сравнений по модулю базисных форм
АЪк + с[ж]ь = 0 (той с).
Запишем эти сравнения подробнее для величин Ъф, Ъ, Ъфу, Ъфу, формирующих тензоры неголономости Иф. , Ифу , и учтем уравнения распределения (10):
А.-ЪюС +ю ]ф= а
-ЪЮ+Ю[фу] 1 =0, АЪ -Ъаф + сфу = 0,
АЪф7-*;гаф -ЪфСс + Стг = 0.
Проальтернируем дифференциальные сравнения (263, 264) по нижним индексам одной серии
^Лаг ■ -1 — Л/г-1 " к + Р ■! -1 = 0,
Р[у ] к[у] Р ["[' ]-] '
АЛ" п — Л" ] — Л" „ .*7] + *га[Я] = 0.
■[Р7] у[7 Р] <[Р] 7] [' [Р]7]
Согласно условиям (3) последние слагаемые сравнимы с нулем, поэтому
!] _ Лв-*Р =0, Л», _ Ль"Р] _ !У] =0. (27)
С помощью дифференциальных сравнений (261, 262, 27)
найдем сравнения для компонент объектов неголономности
N а М7 : 1УРд> 1 Р7 •
Ш" — Л* + а" ]Я — 21,а[-" = 0,
Ру ук Р [у ]Р к [у ] Р '
ШР . — Ла * — ЛР*7 + аР ] ■ — 2Л", *] — 2ЛР = 0.
Р7' 47 Р Р. 7 [Р7] У [7 Р] Ф[] 7]
Раскроем альтернирования в слагаемых, содержащих множитель 2, и приведем подобные члены:
— (Кк + К, — лк-у )** + ]0 = °
Ру '«к- ш[у]Р
7—(Лп + ^—Л )*Р—(Л—лЛр + ЛР )* + *Р7У =0. Воспользуемся свойствами (23, 24):
Щу + "в]Р = 0, ¿N7 + *м■ = 0. (28)
Если выполняются условия
"в]Р= 0, "Р■ = 0, (29)
то дифференциальные сравнения (28) принимают тензорный вид
¿N1 = 0, ¿N7= 0.
Теорема 5. Объекты внешней и внутренней неголономно-
та
' фу
сти Иа№, Иа фактор-многообразия NFInN_m полуголономного
многообразия Msn удовлетворяют дифференциальным сравнениям (28), то есть в общем случае не являются тензорами.
Следствия:
1) если выполняется условие (29]), то Иф — тензор, поэтому при Иф = 0 фактор-многообразие является внутренне неголономным многообразием ;
2) если справедливо условие (292), то Иф — тензор, поэтому при Ифу = 0 фактор-многообразие является внешне
неголономным многообразием NFn_т ;
3) если выполняются условия (29), то объекты внешней и внутренней неголономности Иф, Ифу — тензоры, поэтому при их аннулировании фактор-многообразие является, вообще говоря, полуголономныммногообразием Р1_т.
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.
2. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий // Диф. геом. многобр. фигур. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 168—177.
3. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.
4. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.
5. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности I // Тр. геом. семин. М., 1971. Т. 3. С. 49—94.
Ju. Shevchenko
Quotient manifolds generated by holonomic distributions on smooth manifolds
On a smooth manifold holonomic distribution which generates the quotient manifold is considered. Using structure Laptev equations and Akivis derivation formu^ holonomic, semi-holonomic, internally and externally non-holonomic smooth manifolds are defined. It is proved that the quotient manifold of semi-holonomic manifold is internally and externally non-holonomic, and quotient manifold of holonomic manifold is holonomic.
Key words: structure equations of Laptev, derivational formulae of Akivis, holonomic distribution, quotient manifold, non-holonomic smooth manifold.
УДК 514
А. М. Шелехов
Московский педагогический государственный университет amshelekhov@rambler.ru
Об «окошках» в параллелограмме
Задав два параметра, можно построить новый параллелограмм внутри заданного. Бесконечное повторение этой процедуры (с разными, вообще говоря, параметрами) приводит к некоторому предельному положению — «окошку». Положение последнего и его размеры определяются последовательностью параметров. Рассмотрены примеры, приведены числовые оценки.
Ключевые слова: параллелограмм, бесконечное произведение, формула Валлиса, симметрические многочлены.
© Шелехов А. М., 2017