Гладкость решения задачи Трикоми в неограниченной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Н, Р, Спиридонова

В работе рассмотрена задача Трикоми для уравнения

sgn y\y\muxx + Uyy = 0 (m>0) (1)

в неограниченной области D С К2. Эллиптической частью уравнения (1) является верхняя полуплоскость, а гиперболической частью — характеристический треугольник. Данную задачу исследуем на улучшение гладкости решения в классах Гёльдера.

D

сти y > 0, а в нижней полуплоскости y < 0 ограничена характеристиками

2 ттг+2 2 гтг+2

£ = Х--2 =0, Г] = х + ——:(-у) 2 = 1.

mm

Пусть D+ = {(x, y) : (x, y) e D,y >Q}, D~ = {(x, y) : (x, y) e D,y < 0}.

Задача Трикоми. Найти в области D решение u(x, y) уравнения (1), обращающееся в нуль на бесконечности и удовлетворяющее краевым условиям:

u|y—о = 0 ПРИ —<х> < x < 0, 1 < x < ж, (2)

u\i=0 = Ф (п) при 0 < n < 1, (3)

где Ф{п) имеет ограниченную первую производную, удовлетворяющую условию Гёльдера с показателем 6, причем ф(0) = 0, (£,п) — соответствующие характеристические координаты.

© 2011 Спиридонова Н. Р.

На линии y = О параболического вырождения уравнения (1) выполняются условия склеивания:

lim Ёфл1= Hm Щ^А („. ,. ,,.

y^+o dy y^-o dy

В [1] в классе ищется решение u(x, y) задачи Трикоми, удовлетворяющее следующим условиям:

1) и(х,у) — непрерывная функция в области D;

2) u(x, y) дважды непрерывно дифференцируема в D+ и удовлетворяет уравнению Трикоми (1);

3) для любого x, 0 < x < 1, существует

du(x,0) lim—--= ф);

y^O Oy

4) u(x, y) в области D- является обобщенным решением уравнения (1) и функция t(x) = w(x,0) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем a > 1 — ß при 0 ^ x < 1, а функция v(x) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а2 > ß при 0 < х < 1, где ß = 2(m+2) •

Целью настоящей работы является улучшение гладкости решения поставленной задачи Трикоми по сравнению с классом R.

Как ив [1], решение уравнения (1) в эллиптической полуплоскости y > 0, удовлетворяющее условию (2) и u(x,0) = t(x), при 0 ^ x ^ 1 (причем т(0) = т(1) = 0) выражается формулой

1

u(x,y) = k2y J т(г)

(m + ¿)г

ß-i

где

1 /4 V—ßT2( 1— ß)

ko =

dt, (4)

4K\m + 2J Г (2 — 2ß)' Решение уравнения (1) в гиперболической полуплоскости y < 0, удовлетворяющее данным Коши

dUx y)

u(x, 0) = т(х), lim-— = z/(x),

y^o dy

выражается формулой п

1 ] (п-ьу-Р^-ау-Р 72 У („[0>

« «

где

Г (2,3) _\( 4 Vе Г ( 1- 2в)

71 Г2(/3)' 72 2 \т + 2) Г2 (1-/3)' Преобразуя (4) и (5), находим уравнения, связывающие значения ^(х) и т(х): для эллиптической части

х 1

^ (ж) = У (ж - ¿)2/3_1 г' (*) Л- у ^ - ж)2'3"1 г' (¿) СЙ, (6)

х

для гиперболической части

х

зш^й Г ^ 1 ^

П72 а^ У 2^72

о

где

х

а 1'

1р! (ж) = гвштг/Зж'3—- / (ж - г/-1 ф (¿) Л. ах ,] о

Исключая ^х) из уравнений (6) и (7), получаем

х 1

х

Полагая

х

ф (х) = (1 - ж У (х - г)2в-1 г' (г) аг, (9)

о

приводим уравнение (8) к сингулярному интегральному уравнению для

х

1

/, ■ ^ж / ^ сояпр [ Ф (г) аь , / ч

(1 + вт тг/З) Ф (ж) +-- / —^— = (1 - ж) ' фг (х) . (10)

п ] г - х о

Решение уравнения (10) ищется в классе ^ функций Ф(ж) € Н(0,1), которые при х, стремящемся к нулю, остаются ограниченными, а при х, стремящемся к единице, могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.

Единственное решение уравнения (10) выражается формулой

1

Ф(х) = ^(1-х)-2Рф1(х)

соври ( х } (1 -ф-'^'ф^сИ

-И ч ' V /

27г(1 + вш /?7г) \1 — X ) У

п ^

х

Подставляя (11) в уравнение (9) и применяя формулу обращения интегрального уравнения Абеля, получаем т'(х). Далее, из формулы (6) находим у(х). Зная функции т(х) и у(х), по формулам (4) и (5) получаем решение и(х, у) задачи Трикоми (1)-(3) соответственно в областях и Б-.

Таким образом, разрешимость поставленной задачи сводится к исследованию сингулярного интегрального уравнения (10). Как показано в [1], решение уравнения (10) ищется в классе где гладкость решения в значении единица нарушается. При этом возникает вопрос: при каких условиях можно добиться полной гладкости решения, включая единицу?

х

х

х

О

то решение сингулярного интегрального уравнения (11) можно переписать следующим образом:

(х) = (х)

1

Я1-*);2

2тг(1+8Ш/?7г) 1 ; У гЫ((-х) 1 1

х

Ф1х = у"(х - г)2в-1 Т'(12)

Так как ¡3 = и то > 0, то ¡3 принимает значения от 0 до

т. е.

no т 1

2jrñ+~2) < 2

Отсюда получим, что степени решения уравнения принимают следующие значения:

О < ^(1-2/3) -1<|/3-1<1.

4 ' 4 4 2 4

Далее, во втором неравенстве положим

o<f*-i<i.

Тогда получаем, что ¡3 принимает значения от ^ до ^:

т

10 < 2 (то + 2) < 2' Исследуем функцию ^ (ж). Дифференцируя, получим

ж ж

V>i(x) = 2sm7r/3x/3-^- í , „ dt = 2 sin тг/Зх13 í , ^ ^ я dt.

F K ' dx J {x-ty-P ' J (x-t)1-!3

o o

По условию x) e Hs, тогда интеграл будет принадлежать классу HОтсюда следует, что ^i(x) e Hmiи имеем ^i(x) e He.

Обозначим 7 = min{/3, — 2/3), —| + §/3} > 0. Тогда из уравнения (13) вытекает, что Ф].(х) e HY, а го (12) получим, что т'(x) e HY—значит, т(х) e HY—e+1. Далее, из уравнения (7) имеем

ж

4- Í (х- t)2/5_1 г (t) dt £ Я7,

dx J о

откуда v(x) e Hmln{e'7}, где m7^ = 7.

Выясним значение обозначения 7 = min{/3, i(l — 2/3), —i + §/3} при выполнении условия 0<|/3 —1<1 или условия ^ < ¡3 = <

Вначале предположим, что min = [3. Тогда

/3^ -(1-2/3), -/3<-, /3<-, 4 ' h 2 4 ^

т. е.

1 6'

откуда получим ß = Пусть min = \ — Тогда

т. е.

откуда ß > Наконец, предположим, что min = §/? — j- Тогда

откуда имеем ¡3 <

В конечном итоге получим, что 7 принимает следующие значения:

Таким образом, если значения ¡3 лежат в интервале от до то можно добиться некоторого улучшения гладкости решения.

Введем новый класс решений задачи, более гладкий, чем класс , и сформулируем теорему.

Определение. Решением уравнения Трикоми класса в области Б называется функция и(х,у), удовлетворяющая следующим условиям:

1) и(х,у) непрерывна в области Б;

2) и(х, у) дважды непрерывно дифференцируема в Б+ и удовлетворяет уравнению Трикоми (1);

3) для любого х, 0 ^ х ^1, существует

т. е.

4) и(х, у) в области Б- является обобщенным решением уравнения (1) и функция т(х) = и(х,0) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 7 — 2в + 1 при 0 ^ х ^ 1, а функция ^х) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 7 при 0 ^ х ^ 1, где [3 = и

7 = тт|/3, 1(1-2/?),-± + |з}.

Теорема. Пусть производная ф(п) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 6. Тогда в области Б существует решение уравнения (1), принадлежащее классу ¿$2 и удовлетворяющее краевым условиям (2), (3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Смирнов М. М. Уравнения смешанного тина. М.: Высш. шк., 1985.

г. Якутск

11 февраля 2011 г.