О гладких решениях задачи Трикоми Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

О ГЛАДКИХ РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ

С, В, Попов, А. А. Суелонова

Первыми глубокими исследованиями в области уравнений смешанного типа стали работы Ф. Трикоми, опубликованные в 20-х гг. прошлого столетия. Для уравнения

ди В2 и

которое называется уравнением Трикоми, изучалась основная краевая задача (задача Трикоми).

Ф. II. Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. II. Н. Ве-куа указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. А. В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа. Из принципа экстремума непосредственно следует единственность решения этих задач. А. В. Бицадзе получил существенно новые результаты значительной теоретической важности для модельного уравнения смешанного типа. Далее, в работах К. И. Бабенко, В. Ф. Волкодавова, В. П. Врагова, Т. Ш. Кальменова, И. Л. Короля, Е. И. Моисеева, А. М. Нахушева, С. М. Пономарева, С. П. Пулькина, М. С. Салахатдинова и др. были поставлены и исследованы новые задачи для подобных уравнений смешанного типа.

© 2008 Попов С. В., Суелонова А. А.

Известно, что доказательство существования решения задачи Три-коми сводится к решению сингулярного интегрального уравнения относительно неизвестной плотности ^ж), разрешимость которого следует из известной теоремы единственности исходной задачи:

1 f ft\3( 1 1

где

7гл/3 У \х/ ~ х х + Ь — 2хЬ о

Р(х)= 1 * ' т&

„(г)л = г(х), (2)

В работе М. М. Смирнова [1] доказано, что решение ^(х) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем щ + е, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

В настоящей работе исследована разрешимость этого сингулярного интегрального уравнения в более гладких классах Гёльдера, а значит, гладкость решений задачи Трикоми. Решения существуют при выполнении некоторого количества условий разрешимости на данные задачи.

Рассмотрим уравнение (1), которое при у > О является эллиптическим, а при у < 0 — гиперболическим; у = 0 — параболическая линия уравнения (1). Пусть Г — кривая, совпадающая с «нормальной» кривой Го:

1\2 4 1 Х-2) +9у3 = 4'

с концами в точках А(0,0) и В(1, 0), лежащая в верхней полуплоскости. Уравнение (1) при у < 0 имеет два различных семейства вещественных характеристик. Уравнениями

^х-^(-у) 1=0, (3)

2 з

Л = = 1 (4)

х

определяются характеристики АС и ВС го разных семейств (С — точка пересечения). Обозначим через В область, ограниченную кривой Г и характеристиками АС и ВС Часть области В, лежащую в полуплоскости у > 0 (у < 0), обозначим через В+ (В~).

В

В

стик (например, на АС заданные непрерывные значения м|г = ^(в), и\лс = Ф(х), = Ф(0), где I — длина кривой Г.

В силу результатов из [1,гл. II, § 4] функция Грипа С0(х,у;х0,уо) задачи N для уравнения (1) в случае нормальной области выписывается в явном виде:

1

С0(х, у; х0, уо) = д(х, у; х0, у0) - (2г0)~эд((х - 1/2, у; х0, у0), (5)

где

2 ( 1Л2 , 4 3 - хо -1 -I Уо Г°=[Х°-2) +9Уо' = и решение задачи N имеет вид

1 I

и(х,у) = ^У у(г)Со(Ь,0;х,у)& <р(з)Ае [Са(£,п,х,у)}3,8. (6) о о

у

д(х,у,х0,у0) = - о^ (7)

— фундаментальное решение уравнения (1), где

(Гт)2 = (ж_ж0)2 + 4(у1ту|)2; а = к= [4У г2Ш

дуу+уо; . 1^3; щту

получим

^¿¿ = Ф(х), (8)

_ |ж — з (х + Ь — 2хЛ) з _

к

т х

где

Ф(Ж) = 3 Ж(1 ~Х)1 (1 " " ^ " (2ж " (9)

о

Решение уравнения (1) в гиперболической полуплоскости, удовлетворяющее данным Коши

ди

и(х, 0) = т(ж), Ит — = 1у(х), у^о ду

дается формулой

±

1(х, у) = 71 J т

х+-(-у)Ц21-1)

72у у V о

х+-{-у)Ц2t - 1)

л

(ю)

где

7

Г(|)

г2Ш' 72 V4; г2(§)■

Приравнивая выражение (9) на характеристике АС к функции ф(х) будем иметь

г(§)

1

71 У т(2аф~з(1 Л

-72(2ж)1 J г/(2ж^"г(1 А = ф(х), (0 < ж < 1/2)

¡(х- Чо ^ - | г* (* - егЧо ¿е = (|)

Отсюда, применяя известную формулу обращения

X

втпа ¿Г

р(х) =

П ¿х У (х — £)( о

для интегрального уравнения Абеля

X

!(х — ¿) ~Х^ = Ф(х), 0<а<1, о

получим

X

= + (11)

где

X

, . . 1 5 с1 Г фН) <М. . , '

^(х) = -жё— / 7-г, = Ф - I ,

о

72 Г(§)

А"^Г(1)Г(|)-и>1 4тгГ(|) • (12)

тх

1

У (ж — з У о о

1 1

_ |ж — з (ж + 4 — 2ж£) з _

(13)

где

/(х) = Ф(х) — ф^х). (14)

Производя преобразования, приведем уравнение (12) к сингулярному уравнению

+ = <15>

где

(16)

Ьгл/З ах ] (х -1) з

X

Итак, доказательство существования решения задачи Трикоми сводится к решению интегрального уравнения относительно ^(х), разрешимость которого следует из теоремы единственности исходной задачи [1,2]:

1 2

/(X

1

гл/З .

1

t — x

1

t - 2xt

v(t) dt = FX, (17)

где

F(x) =

1 d Г f(t)dt

к-кл/idxj (x-t)'i

(18)

при этом f'(t) принадлежит классу Гёльдера Hi ,0 < 7 < 1, и /(0) = 0. Тогда v(x) G Н^+е, где е > 0 достаточно малое (см. [1,с. 106]). Нетрудно заметить, что при выполнении требований на функцию f(t) функция F(x) принадлежит Н з (0,1). Это обеспечивает следующая

Лемма 1 [4,7,5]. Если ^ е He,Q < a < ¡3 < I, то

Ат)

d ~~dt

(t - T

dr

< CМне,

нв-

т. е.

d ~~dt

<f(i

(t - r

■dr e He-a.

Так как f'(x) G Hi, отсюда следует, что f(x) e Hi+1. Из леммы 1 вытекает, что F(x) G H з . Возникает вопрос: при каких усло-

1-1--у

виях v(x) G Н з ? Выведем условия, которые необходимы для этого. Будем предполагать, что v(t) принадлежит требуемому пространству Гёльдера с показателем ¿у1 и z/(0) = 0. Рассмотрим сначала уравнение (17):

Fx

1 d Г f(t)dt ктг\/3 dx J (x-t) i

x

a

a

ктг^/3

¿х / (х - ¿)1 Л + ^^ <1х У

А

ктг^/3

/

(I ¿х

(х —

и

/(*) - /(0) (ж — £) 3

¿4

ктг^/3

(ж — £) Е

/(о) , I ГЩ_

хз } (ж — з

В этом интеграле прибавим и отнимем /'(0):

В(х) =

1

ктг^/3 1

т , /•/'и — /'(о)

Л + / '(0)

¿4

ктг\/3

/

(ж — з 7 (ж — з

(ж — з V О/

Ажл/З

/

Зжз/'(0)

/'(*) - ЛО)

(ж — 3

¿4

Так как /(0) = 0, первое слагаемое исчезает. Тогда В(х) примет вид

В(х) =

ктг^/3

Зжз/'(О)

/'(*) - /;(0)

(ж — 3

¿г

В ядре интегрального уравнения ?????(18)? прибавим и отнимем Получим

Е(х) = у(х)

=

1

га/3 .

7га/3 7 v ж о

11 1 1 ------Ь -

4 — х 4 ^ + 4 — 2х4 4

х(24 — 1)

— х) — 2х4)

= ^а

тга/З У V 4

о

1

24 - 1

4 х х 4 2

X

X

х

X

х

х

X

х

X

4

х

Приравняем обе полученные Е(х):

1 Г [х\3 ( 1 2^ — 1 . . . , 1у(х) + —= / ----\v(t) Л

' тгл/зУ х + 1~2хл/]у>

о

Г „

3 (х — Ь) з

Ажл/З

Теперь умножим обе части на -Л- и устремим х к нулю

(19)

ф) 1 ' 1 ( 1 24 - 1 \ . , ,

-V- + —?= / -г---Н*) Л

тга/зУ ьъуг-х х + г-2хг)

о

зяонА-/ад*

13 7 (ж — 4) з

о

ктт\/3

Поскольку —> 0 при х —^ О, получим следующее условие: 2к } ^(¿)2( 1- 4)

Ж 3

з }

о

¿1 =/ '(О). (20)

При выполнении (20) уравнение (17) запишется в виде ,(Я)+ */(£)»

тгл/З./ V 4 У х + г-2хЬ) '

о

X

1 X /'(*) - /'(0)

/с7Гл/3 У (х —М о

¿4. (21)

Регуляризация и разрешимость полученного сингулярного уравнения доказывается стандартно (см. [3-5]). При этом решение, очевидно, будет принадлежать пространству Н^з1. Итак, доказана

Теорема 1. Решение v(x) сингулярного уравнения (18)??????? удо- ?! влетворяет условию Гёльдера с показателем ¿^р тогда и только тогда, когда выполнено одно условие разрешимости, которое можно выписать в явном виде из равенства (20).

Выведем условие, при котором v(x) будет принадлежать классу Гёльдера с показателем 1 + "Ир-- Для этого предположим, что v(x) принадлежит требуемому пространству Гёльдера и v(0) = 0. Имеем

x x

^ = [МЛ = /(/'«>-/'(о,Ш-(.-о*

kirVa { (х-1)3 JQ

X

= -Wit) - mw* - ф \; + sJ f"(t)(x - ф at

0

x x

= 3 j (f"(t) - f"(0))(x -t^dt + sj f"(0)(x - Ф dt, о о

где

x

3 j f"(0)(x-t)L3dt=-^(x-t)if"(0)\; = ^xlf"(0). о

Рассмотрим уравнение

,(Я)+ */(£)» )Ht)dt 7Га/3 J \tJ \t-x x + t-2xtj w о

x

= ^д j/"(0) + з J if" it) - /"(0))(* - i)* di,

о

умножим обе части полученного равенства на и устремим ж к нулю.

X 3

Получим

1

'(х) 1 f 1 f 1 - 1)М / ч , -V- + -7= / —-----— dt

хз 7Га/3 J ts\t-X x + t-2xtj

о

x

f"(0) + 4- i(f"(t)-f"(0))(x-t)idt.

хз J

ктг^/3 4 x

о

Так как —> 0 при х —> 0, приходим к следующему условию:

X 3

16 h 1- t)v(t)

к J it

о

dt = f "(О). (22)

При выполнении условия (22) уравнение (21) запишется в виде

,(я)+ (U-- )Ht)dt

тгл/з J Vi^ \t-x x + t-2xtj w о

x

= 3 У(f"(t) — f"(0))(x — t)i dt. (23)

0

Регуляризация и разрешимость полученного сингулярного уравнения доказывается стандартно (см. [3-5]). При этом решение, очевидно,

1 i 1 + Т

будет принадлежать пространству HL+ з . Итак, доказана

Теорема 2. Решение v(x) сингулярного уравнения (17) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 1 + ii-2 тогда п только тогда, когда выполнены два условия разрешимости, которые можно выписать в явном виде из равенств (20) и (22).

Рассмотрим сингулярное уравнение (21), правая часть которого F(x) £ 0,1), причем F(x) = О(^) для малых t (/'(0) = 0).

Перепишем интегральное уравнение (21) в виде

1 I

ф) + -L=J(^y fe^W dt = F(x), (24)

о

где

. х + г - 2хь -(2t -1)(г - х) 2г(1 - г)

К(х,Ь) = - = -.

х г - хг х г - хг

Сингулярное уравнение (24) будем рассматривать как уравнение относительно щ{х) = и(х)х~ з. Найдем решения щ(х), неограниченные при х х

1 щ{г)

^=/

¿г.

г - г

о

Тогда на основании формул Сохоцкого — Племеля уравнение (24) эквивалентно решению задачи сопряжения

= X € (0,1),

у6 + г tз (а/3 + г)

Ф+(х) = Ф-(х), х е(-ж>,0) и(0,+то), при дополнительном условии Ф(оо) = 0. Так как С = и

( 1 } ыс \ , ,.1 1 л 1 /Т 1 ехр \ъ?1, / = ^ ^ 62:6' 0=-агс^\/з = 6'

в указанном выше классе каноническая функция равна

Х(г) = (^ -

индекс к равен 0.

Согласно общей теории [3-6]

Ф(.) = ) 1 **(*)_

2« У + »)*+(*)(*- г)

Тогда

г/(х) = ж^(Ф+(ж) - Ф~(ж))

= —ВД-—(1-х)$аГ* [ -Щ- А. (25)

4 47Г ; У (1 _í)fí-i(t _ ж) ^ ;

Из формулы (24) следует, что ^(0) = 0 тогда и только тогда, когда

} т

J (l-t)Ui

о

dt = 0. (26)

При выполнении (25) формула (24) окончательно примет вид

/ Ч V5™ , 1 „ I } F(t)

1У(х) = —— Fix)—— 1 - ж вх2 / -=-V- at.

К ' 4 w 4ttv ' J a-t)h?(t-x)

о

Так как F(t) принадлежит пространству Н з (0,1), функция v{x), представленная формулой (26), удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ii-2 во всех точках контура (0,1), отличных от концов. Рассмотрим его поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [4, с. 76] легко видеть, что v(0) = v(l) = 0. Для дальнейшего исследования поведения их на концах контура воспользуемся следующей леммой.

Лемма 2 [4, с. 82-86]. Пусть p(t) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем X вблизи c (c обозначает 0 пли Т),0<А<1и0<л<1. Тогда для точек контура (0,T) интеграл типа Коши

w 2ni J (т — c)т — t) о

cc

тш{А,/} при А ф / и условию Гёльдера с показателем А — е при А = / где е — сколь угодно малая положительная постоянная.

В силу этой леммы и неравенства ^Цр < mm{|, при 0 < 7 < \ получим, что в формуле (26) функция v(x) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем "Ир-, условию Гёльдера с показателем i при | < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем ^ — е при 7 = ^.

Таким образом, при выполнении условия (24) мы получили функ-

1-1-у

цию v(x) из искомого пространства Н з (0,1), удовлетворяющую условиям

v(0) = v(l) = 0.

Подставив найденное значение функции v(x) в (25), получим единственное условие однозначной разрешимости поставленной краевой задачи Трикоми.

Теорема 3. Пусть F(x) G Нр(0,1), р = Тогда при выполне-

нии условия

j F(t) dt

J (l-t)hi

единственное решение уравнения (23) имеет вид

ф) = ^-F(x) - J-(l / dt (27)

4 4тг J (1 — i) e i 2

о

и принадлежит пространству Hq(0,1), где

1) q = если 0 < 7 <

2) 9 = если \ < 7 < 1;

3) </ = | — е, если 7 = е — сколь угодно малая положительная постоянная.

При выполнении двух условий на данные задачи справедливо существование более гладкого решения v(x).

Теорема 4. Пусть F(ж) G Яр(0,1), р = 7 > Тогда при выполнении условий

= <28)

о

единственное решение уравнения (23) имеет вид

ф) = ^-F(x) - -¡-(1 -ж)М / —f(t)5 з dt (29)

W 4 w 4ttv ; J (l-t)ftf v ;

о

н принадлежит пространству HV(Q, 1).

Заключение. Прежде всего отметим основную идею доказательства разрешимости задачи Трикоми для уравнения (1). Идея состоит в том, что сначала отдельно решают задачу типа Дирихле в области D+ и задачу Коши — Гурса в области D-, считая известной функцию

ди{х,у)

i>(x) = lim---.

v^o ду

Затем оба полученных решения вместе с их первыми производными непрерывно склеивают на отрезке AB параболической линии. Таким путем доказательство существования решения задачи Трикоми сводится к решению сингулярного интегрального уравнения (15) относительно функции v(x), разрешимость которого следует из теоремы единственности (см. [1,2]).

Отметим, что задачи Трикоми исследовались многими авторами [7-13]. Гладкие решения сингулярных интегральных уравнений, а также задачи Трикоми можно найти в работах [14-17].

В теоремах 1 и 2 выписываются условия гладкости, при выполнении которых решение сингулярного интегрального уравнения будет принадлежать пространствам Гёльдера с показателями ¿^р и 1 + ¿у1.

Далее изучается решение интегрального уравнения (15). Решение v(x) имеет вид (27), и для него справедливы теоремы 3 и 4.

Какой гладкостью обладает решение задачи Трикоми при доказанных теоремах 3, 4?

Введем определение решения задачи Трикоми класса R2, более гладкого, чем класс R\ [1,2].

R

D называется функция и(х,у), удовлетворяющая следующим условиям:

D

D

ряет уравнению Трикоми;

3) для любого х, 0 ^ х существует

lim = „{х).

v^o ду

4) обобщенность решения в области D- состоит в том, что функция т(х) = и(х, 0) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а.\ = 1 + 7/3 >5/6 щи 0 ^ х ^ 1, а функция ^(х) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а2 = (1 + y)/3 > 1/6 при 0 < х < 1.

Теорема 5. Пусть p(s) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 2 — е (е > 0 сколь угодно малое), а ф(п) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 1 + 1~1627. Тогда при выполнении условий (28) в D

R

ulr = <f(s), u|£=o = ф(п)-ЛИТЕРАТУРА

1. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.

2. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1985.

3. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1997.

4. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

5. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

6. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

7. Волкодавов В. Ф., Быстрова О. К. Оценка решения и теорема единственности решения задачи Трикоми для одного класса уравнений с вырождением типа и порядка // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа: Сб. науч. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1990.

с."47-52"

8. Макаров С. И. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения // Неклассические уравнения математической физики: Сб. науч. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1986. С. 169-171.

9. Мередов М. Задача Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа: Сб. науч. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1990. С. 140-143.

10. Сабитов К. В. Об обобщенной задаче Трикоми для уравнений смешанного типа // Уравнения неклассического типа: Сб. науч. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1986. С. 145-150.

11. Салтуганов П. М. Об одном обобщении задачи Трикоми для уравнения Трико-ми // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1989. С. 170-175.

12. Смирнов М. М. Задача Трикоми для одного уравнения смешанного типа // Уравнения неклассического типа: Сб. науч. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1986. С. 155-161.

13. Хе К. Ч. О явных формулах решения задач Дарбу и Коши — Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 3. С. 710-717.

14. Петрова, Л. П., Попов С. В. О разрешимости сингулярного интегрального уравнения Трикоми // Тез. докл. «Лаврентьевские чтения РС(Я)». Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2001. С. 40-41.

15. Попов С. В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. Вып. 102. С. 100-113.

16. Суслонова А. А. Об условиях гладкости решений сингулярного интегрального уравнения Трикоми //X Лаврентьевские чтения, посвященные 50-летию ЯГУ им. М. К. Аммосова: Сб. статей. Якутск: Изд-во ЯГУ, 2006. С. 69-75.

17. Суслонова А. А., Попов С. В. Об условиях гладкости решений сингулярного интегрального уравнения Трикоми // IV Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ»: Тез. докл. Якутск: ИМИ ЯГУ (Филиал изд-ва ЯГУ), 2006. С. 51-52.

г. Якутск

21 января 2008 г.