CC BY
98
УДК 621.318 ББК 22.334
А.А. АФАНАСЬЕВ
ГИСТЕРЕЗИСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СТАЛИ
Ключевые слова: уравнения Ландау - Лифшица; переменное, вращательное и переменно-вращательное перемагничивание.
На основе решения уравнения Ландау - Лифшица для однодоменной структуры магнетика предлагаются формулы для расчёта гистерезисных явлений при переменном, вращательном и переменно-вращательном перемагничивании электротехнической стали. Рассматриваются расчётные кривые нутации вектора намагниченности, гистерезисные петли при продольном и поперечном гармоническом воздействии внешнего магнитного поля на домен с учётом его структуры при статическом симметричном намагничивании. Обсуждаются возможности использования полученных уравнений для многодоменного ферромагнетика.
Современные программы численного математического моделирования электрических машин позволяют при минимуме допущений получить результаты, близкие к данным физических исследований. Однако адекватный расчет магнитных потерь в ферромагнитных сердечниках вызывает значительные трудности ввиду сложности происходящих явлений.
Математические подходы к описанию динамических процессов в стали носят феноменологический характер, и их достоверность должна подтверждаться опытными данными.
Среди известных (и нашедших достаточно широкое применение в настоящее время) методов расчета магнитных потерь, предложенных в 19801990-е гг., следует назвать модели Прейзаха [15, 16] и Джилса - Атертона [18]. Первая модель оперирует с плотностью распределения множества специфических магнитных доменов, имеющих в одноосном магнитном поле пр1 ямоуголь-ные симметричные петли гистерезиса с предельными значениями ±1 .
Модель учитывает толщину шихтованных листов электротехнической стали, её электропроводность, но имеет существенное ограничение, связанное с требованием квазистационарности магнитного поля, поскольку предполагает полное проникновение магнитного потока в сечение стали.
Применение нейронных сетей позволило учесть в этой модели и динамические эффекты [17]. Свидетельством универсальных свойств такой версии модели является возможность учёта поперечного магнитного поля (гистерезис вращающегося магнитного поля) и действия механических напряжений и температуры [3, 14, 17, 19]. Однако её реализация достаточно сложна и специфична.
Модель Джилса - Атертона из-за своей простоты и доступности получила достаточно широкое применение [1, 10]. В ней используются простейшая аппроксимация статической петли гистерезиса и линейная связь коэрцитив-
1 Эти домены являются абстрактными образованиями, не имеющими никакого отношения к реальным макроскопическим доменам, структурированным в ферромагнетиках обменной энергией атомов, имеющих межатомное расстояние а и радиус электронных оболочек с вакантными местами г, причём 3,2 < а/г < 6,2 [8].
ной силы динамическом петли гистерезиса со скоростью изменения напряженности магнитного поля.
Расчёт гистерезисных явлений на основе решения уравнения
Ландау - Лифшица - Гильберта
В 1960-1990-е гг. в МЭИ под руководством А.И. Пирогова и Ю.М. Ша-маева были широко развёрнуты работы по исследованию динамических свойств магнитных сердечников и лент для устройств автоматики и вычислительной техники [4, 5]. Ещё ранее значительные результаты в этом направлении были получены К.М. Поливановым [6, 7].
В качестве физико-математической основы для исследуемых процессов были взяты различные варианты решений уравнения Ландау - Лифшица в модификации его Гильбертом применительно к поведению вектора намагниченности М в однодоменном ферромагнетике, находящемся в магнитном поле с напряжённостью Н. Это поле состоит из внешнего и внутреннего полей ферромагнетика. Последние связаны с обменной энергией атомов (она формирует домены с намагниченностью насыщения), анизотропией кристаллических структур, собственным магнитостатическим магнитным полем.
Каноническая форма уравнения имеет вид [9]
ЖМ = ^[М, Н]-а-^[М, [М, Н]], (1)
Л м,
где у < 0 - скалярный множитель, близкий по модулю к гиромагнитному отношению свободных электронов (|у| « 2,2-105); а > 0 - безразмерная постоянная, характеризующая скорость релаксации вектора намагниченности М в магнитном поле Н (её значение уточняется из опыта); М, - модуль вектора намагниченности, имеющий известный смысл намагниченности насыщения.
Кроме формулы (1) возможен ещё другой эквивалентный вид рассматриваемого уравнения
ЖМ"
ЛМ „п а
— = у[М, Н]-м
Л м,
М,
л
(2)
~ у
где у =-. Второе слагаемое в этом уравнении связывают с именем
1 + а2
Гильберта. При всех движениях (эволюциях) вектора М, согласно уравнениям (1), (2), его длина остается неизменной.
Фиксируем элементарный объём магнитного материала радиусом-вектором г. Момент импульса (количество движения) J единицы объёма ферромагнетика, вызываемый спином электронов (с поправкой их орбитального движения), связан с намагниченностью простым выражением
М = у I. (3)
Поскольку изменение количества движения —J равно механическому
моменту Т, из уравнения (1) при отсутствии в нём релаксационного члена и учёте формулы (3) следует
т = 1 ЖМ = [М,Н]. (4)
у ж
Это равенство показывает, что при разно-направленности векторов М и Н конец вектора М под действием механического момента Т будет совершать прецессионное движение по окружности относительно вектора Н.
Второе слагаемого в уравнении (1) с учётом последнего равенства (4) представляет ещё один момент
Т=[МН]
Я
а
М
[М, Т],
(5)
Рис.1. Прецессия и нутация вектора намагниченности М
вызывающий сближение (нутацию) вектора намагниченности М с вектором Н (рис. 1).
Гистерезисные явления при переменном внешнем поле (переменное перемагничива-нне). Если предположить, что прямая в пространстве, по которой может изменяться во времени вектор Н, сохраняет своё положение и совпадает с осью г декартовой системы координат, то векторное уравнение (1) в сферической системе координат будет представлено двумя скалярными уравнениями [9]
^ = -у Н (г), — = -ау Н (г )81П 3, Лг Л
(6)
где ф - угол между осью х и направлением проекции вектора М на плоскость 0, х, у; 3 - угол между осью г и вектором М.
Первое уравнение описывает процесс движения2 (прецессии) проекции вектора М на плоскости 0, х, у, второе - процесс сближения (нутации) этого вектора с осью г. В последующем будем исследовать именно процесс нутации как составную часть полного движения этого вектора.
Для проекции вектора М на ось г справедливо
М = М, оо8 3.
(7)
После взятия производной по времени от этого равенства с учетом второго уравнения в (6) получим
— = а уМ, Н(г^1П2 3 . (8)
Лг
Из выражения (7) следует очевидное равенство
31П2 3= 1 2
IМ,
подставляя которое в (8), получим окончательно
ч 2
ЛМ Лг
= ау М,
1 -
М М
н (г).
(9)
Аналогичное дифференциальное уравнение в [4, 5] содержит вместо у
упомянутый выше параметр у =
У
1 + а2
: Учитывая, что у и 2,2-105, угловая скорость прецессии Лф может составлять 108 рад/с и более,
Лг
Будем в дальнейшем пренебрегать в магнетике анизотропией и напряженностью магнитостатического поля Н, направленного встречно вектору намагниченности3. Тогда магнитная индукция в магнетике будет равна
В = ц00М. (10)
С учётом (10) уравнение (9) можно записать в таком виде:
dB B — = ау Bs dt r s
1-I-B.
B
H (t),
(11)
где В, - магнитная индукция насыщения; Н(0 - напряжённость внешнего магнитного поля, действующего по оси г.
При прекращении действия внешнего поля обменные силы спонтанно изменяют значение индукции до остаточного значения Вг (эффект последействия).
В справочных изданиях приводится информация о симметричных статических петлях гистерезиса В = В(Н) для различных марок электротехнических сталей. Эта информация в виде зависимостей Н0 = НС(В) (одна зависимость соответствует восходящей, другая - нисходящей ветви статической петли) может использоваться в уравнении (11) как фрагменты внешнего магнитного напряжения, формирующего статическую петлю (рис. 2). Тогда разность Н(0 = Н1(^) - НС(В) может рассматриваться как внешнее напряжение, выстраивающее динамическую петлю на базе статической4.
Кривая на рис. 2 является кривой намагничивания и построена по формуле, предложенной в [4]:
Hc (B) =-Un
i - *
sign Bh
\
Bs
Br • sign BH
1 +
Bs
+ kki\Bli2 • ln
' 1+B'
bs
1 -B
Bs
- He
(12)
в ней применительно к изотропной холоднокатаной слаболегированной (содержание кремния 0,9-1,8% [11]) стали 2213 с толщиной листа 0,5 мм принято: Вг = 0,95 Тл, Bs = 1,6 Тл, Вн = -В, НсВ = 80 кА/м, к = 1,5, к = 0,7, к2 = 4,1, кз = 7,696-10-8.
На рис. 3, иллюстрирующем переменное перемагничивание, показаны кривые решений дифференциальных уравнений5 (6), (11) с коэффициентом релаксации а = 9-10-5 и зависимость В(Н) для частоты 50 Гц применительно к изотропной холоднокатаной стали 2213 с толщиной листа 0,5 мм [11]. Потери на гистерезис, вычисленные по площади петли В(Н) на рис. 3, составили 2,77 Вт/кг. Полные магнитные потери для магнитной индукции Вт = 1,5 Тл на частоте 50 Гц равны 4,44 Вт/кг [11].
2
3 Вводя коэффициент восприимчивости км [6], имеем М = кмН и В = Ц0(км + 1)Н, где Ц = к + 1 -относительная магнитная проницаемость. Поскольку для электротехнических сталей при значениях М < М, имеем ц >> 1, можно считать В = ц0кмН = ц0М.
4 В последующих графических построениях зависимость Н0 = НС(В) представляется как однозначная кривая намагниченности, у которой коэрцитивная сила НСВ = 0.
5 Решения дифференциальных уравнений и графические построения выполнялись с помощью математической программы МаШСАБ 15.
1000
500
н0(В), о
А/м
-500
-1000
Рис. 2. Кривая намагничивания H0 = Hc(B)
100
1100
0,01 0,02 t, с
б
Рис. 3. Переменное перемагничивание холоднокатаной изотропной электротехнической стали 2213 толщиной 0,5 мм с индукцией насыщения 1,6 Тл при синусоидальном изменении напряженности магнитного поля с амплитудой 1000 А/м и частотой 50 Гц: а, б - изменения, соответственно, магнитной индукции В и угла нутации 9 вектора намагниченности (начальные значения: B(0) = - 0,7 Тл; 9(0) = 115,94 град); в - зависимость B(H) с HcB = 94,4 А/м
а
в
Учёт влияния различных факторов на магнитные свойства электротехнической стали. Факторы различной природы могут оказывать влияние на весь спектр параметров стали: магнитную проницаемость ц (начальную и максимальную Цтах); остаточную индукцию Вг; индукцию насыщения В
коэрцитивную силу НсВ; потери в стали (гистерезисные Рг и от вихревых токов Рв); магнитострикцию и др. [8]
Влияющие факторы связаны в первую очередь с технологией промышленного изготовления стали, геометрическими формами изделия, условиями эксплуатации.
При феноменологическом подходе к рассмотрению явлений перемагничи-вания стали следует сопоставлять полученные результаты с опытными данными. Используемый математический аппарат имеет параметры, выбор которых диктуется именно минимизацией расхождений с опытом. К таким параметрам относятся: коэффициент релаксации а, Вй Вг, НсВ, Цн, Цтах. На основе этих параметров выстраивается зависимость Н0 = Нс(В), представленная формулой (12).
Упругие статические и динамические деформации стали (растяжение, сжатие) влияют на коэрцитивную силу НсВ и, как следствие, на гистерезисные потери. При растяжении стали НсВ увеличивается, при сжатии - уменьшается.
В рассматриваемой модели гистерезиса воздействие на коэффициент релаксации а позволяет изменять коэрцитивную силу и, следовательно, имитировать процесс механической деформации стали.
На рис. 4 показана гистерезисная петля, полученная при решении дифференциального уравнения (11), в котором коэффициент а совершает гармонические колебания в соответствии с равенством
а = а0 + Да 8т(2лt), в котором принято а0 = Да = 0,00009; /1 = 2500 Гц.
1100 -550 0 550 1100
Н, А/и
Рис. 4. Переменное перемагничивание холоднокатаной изотропной электротехнической стали 2213 толщиной 0,5 мм с индукцией насыщения 1,6 Тл при синусоидальном изменении напряженности магнитного поля с амплитудой 1000 А/м и частотой 50 Гц: коэффициент релаксации имеет переменную составляющую, гармонически изменяющуюся с частотой 2500 Гц
Ветви полученной петли состоят уже из негладких кривых. Гистерезисные потери для этой петли, полученные по формуле (23), составили 2,81 Вт/кг, что несколько больше потерь при а = а0 (2,77 Вт/кг).
Аналогичные петли наблюдались на специальной установке, где пере-магничиваемые образцы стали подвергались упругим периодическим механическим воздействиям [19].
Гистерезисные явления при вращающемся внешнем поле (переменно-вращательное и вращательное перемагничивание). В магнитных сердечниках электрических машин помимо переменного перемагничивания (в трансформаторах, зубцах) наблюдается вращательное или переменно-вращательное (в ярмах) перемагничивание. Опытные данные свидетельствуют [13], что гистерезисные потери при этом виде перемагничивания могут до полутора раз превышать аналогичные потери переменного перемагничивания при магнитных индукциях до 1 Тл. При больших уровнях индукции наблюдается обратная картина.
При произвольной ориентации вектора H векторное уравнение (1) в сферической системе координат будет представлено двумя более общими скалярными уравнениями [9]
^ sin 3 = у Ha ( t) + а у Нф ( t), ^ = а у Ha ( t) - у Hф ( t),
dt
(13)
где На(0, Нф( 0 - проекции вектора Н в сферических координатах будут равны
H3( t) = Hx ( t)cos 3 cos ф+Hy ( t) cos 3 sin ф - Hz ( t) sin H ф (t) = - Hx (t) sin ф+Hy (t )cos ф.
(14)
Рис. 5. Вращение вектора H в плоскости 0xz
Будем полагать, что вектор H совершает вращательное движение в плоскости 0xz, описывая своим концом, для общности случая, эллипс. Проекции вектора на оси z и x совершают гармонические колебания с разными амплитудами Hzm и Hxm (рис. 5):
Hx (t) = Hxm cos rat, Hz (t) = Hzm sin rat. (15)
Для этой плоскости с учётом формул (14) имеем [ф = 0, Hy (t) = 0, Hф (t) = 0,
[H3 (t) = Hx (t) cos 3 - Hz (t) sin 3.
X
В результате второе уравнение (13) для угла нутации Q получит вид dQ
— = ay\Hx (t) cos Q - Hz (t) sin Q].
dt
(17)
При Нгт = Ихт имеем круговое вращение, при Нгт << Нхт - переменно-вращательное перемагничивание, близкое к переменному. Дифференцируя равенство (7) и учитывая (17), получим6
= -ауМ, [Нх (г)cos д- Нг (гд . (18)
dt
После подстановки в эту формулу очевидных выражений
sin Q =
1-,MY . cosQ = M
Ms
Ms
и равенства (10) будем иметь окончательно
= ay B
dt
1- B
Hzm sin rat-ay ВЛ Д-, b~ I Hxm cos rat.
B
(19)
(20)
При учёте известной статической петли гистерезиса по оси г, полученной экспериментально, и различия магнитных свойств стали по направлениям перпендикулярных осей г и х (явление анизотропии) коэффициент релаксации а в слагаемых правой части формулы (20) будет неодинаковым. В этом общем случае формулу (20) запишем так:
dB
dt
= a z y Bs
1-
B
[Hzm sin raí - H o( B)]-a x y B^ 1 "[b~J Hxm cos raí, (21)
где ax, az - коэффициенты релаксации вектора M применительно к внешним магнитным полям, действующим по осям z и x.
При эллиптическом вращении вектора H в плоскости z, 0, x векторы M и B будут следовать за ним, одновременно совершая прецессионные и нутационные движения в соответствии с уравнением (21). Поскольку частота прецессионного вращения векторов M и B в миллион и более раз превышает частоту вращения вектора H (см. сноску 2), указанное следование обеспечивается за счёт только нутационного изменения угла S в интервале
0 <&< 2%, (22) при котором проекции векторов M и B на ось z совершают колебания с частотой ra изменения вектора H, в том числе и при его переменно-вращательном и вращательном движении. Но сама величина векторов M и B зависит, как видно из уравнения (21), от составляющих Hx(t) и Hz(t) вектора H.
В рабочем интервале изменения проекции M вектора M на ось z справедливо неравенство
- M, < M < M,.
2
2
6 В равенствах, соответственно, (7) и (10): М=Mscos9; В = цМ символы М и В, очевидно, обозначают проекции вектора намагниченности М и магнитной индукции В на ось г (см. рис. 5). Для удобства записи и чтения предыдущих и последующих формул индекс г у символов М и В опускается.
Поэтому диапазон изменения угла соответствующий формулам (19), составляет
0 <3<л. (23)
В этом случае проекция
Bx = Bs sin 3 (24)
вектора B на ось x будет всегда положительной, что не соответствует физике явления. Для правильной идентификации угла 3 следует использовать дифференциальное уравнение (17), определяющее этот угол, в совместной системе с дифференциальным уравнением (18) (приняв к нём B = M, Bs = Ms) и равенством (24) d3
— = a z y{Hx (t )cos 3 - [Hzm sin at - H 0 (B)]sin 3},
dt
dB
— = -y Bs {a xHx (t) cos 3 - a z [Hzm sin at - H 0 (B)]sin 3}sin 3, (25)
dt
Bx = Bs sin 3.
Дифференцирование равенства (24) приводит и к дифференциальному уравнению для определения индукции Bx dB
—- = y Bs {a xHx (t) cos 3 - a z [Hzm sin at - H0 (B)]sin 3}cos 3, (26)
dt
аналогичному второму уравнению для индукции B в системе (25).
При использовании системы уравнений (25) наблюдается неполное выполнение очевидного равенства Bs = 4& + Bx . Разница между левыми и правыми частями его в форме
ABS =у/ B2 + Bl/Bs (27)
для некоторых локальных значениях нутационного угла 3 может достигать 20-25%.
Если в системе (25) второе дифференциальное уравнение заменить равенством B = Bscos3, то, очевидно, указанная погрешность исчезнет, но в этом варианте исключается возможность формировать динамическую петлю гистерезиса на основе статической петли, получаемой из опыта.
Нижеследующие рис. 6 иллюстрируют результаты решения системы (25) применительно к вращательному перемагничиванию при ax = 4,6-10 ; az = 9-10-5 на частоте 500 Гц с одинаковыми амплитудами продольного и поперечного внешнего поля величиной 800 А/м.
Если в системе уравнений (25) последнее уравнение, определяющее индукцию Bx, заменить дифференциальным уравнением (26), то, как видно из рис. 7, характер кривых Bx = Bx(t) и Bx = Bx(Hx) изменится. Это связано с различием функций, задающих начальные значения кривых. Кривые на рис. 6 зависят от начальных значений дифференциального уравнения для угла 3(t), а кривые на рис. 7 - от дифференциального уравнения (26) для магнитной индукции Bx(t).
о ■
рад -2 ■
Тл
-6L
о 0.0005 0,001 0,0015 0,002 t с
а
О 0,0005 0,001 0,0015 0,002 t с
д
О 0,0005 0,001 0,0015 0,002
t с
е
Рис. 6. Кривые вращательного перемагничивания на частоте 500 Гц, полученные при решении системы уравнений (25)
б
в
г
Нх , АУм
а б
Рис. 7. Кривые вращательного перемагничивания на частоте 500 Гц, полученные при решении системы уравнений (25) с тремя дифференциальными уравнениями
Сравнительно другой характер имеют рассмотренные кривые, если в дифференциальном уравнении для угла нутации 3 выдерживается симметричный характер намагничивания по осям x и z (задействована кривая намагничивания и по оси x). Процесс намагничивания определяется следующими тремя дифференциальными уравнениями
dS
— = az y{[Hxm cosra t - H0 (B)]cosS - [Hzm sinra t - H0 (5)] sinS},
dt
dB
— = -y Bs {ax [Hxm cosra t - H0(B)]cosS-a z [Hzm sinrat - H0(B)]sinS}sinS, (28) dt
dB
—- = y Bs {ax[Hxm cosra t - H0(B)]cosS-az [Hzm sinra t - H0 (B)]sinS}cosS.
dt
Результаты решения системы уравнений (28) для предыдущего вращательного режима перемагничивания (частота 500 Гц; ax = 4,6-10-6; az = 9-10-5; Hxm = Hzm = 800 А/м) приведены на рис. 8.
Основные отличия полученных кривых от предыдущих следующие: зависимость S(t) стала отличаться от линейной; у кривой Bx(t) уменьшились максимальные значения; у гистерезисной петли Bx(Hx) возросли амплитуда индукции и коэрцитивная сила.
Если к новой версии дифференциального уравнения для угла нутации S (с тем же начальным значением 3(0) = 1,8 рад, что и в предыдущих системах) добавить упомянутое выше уравнение (24) Г dS
J — = az y{Hxm cos ra t - H0 (B)]cos S - [Hzm sin ra t - H0 (B)]sin 3}, (29) [B- = Bs sin S,
то кривые магнитной индукции Bx (рис. 9), полученные из решения этой системы уравнений (29), будут существенно отличаться от аналогичных кривых, показанных на рис. 6.
t, с
а
о 0,0005 0,001 0,0015 0,002 t, с
в
0,6 0.3 0 П 1
/
/
0,6 /
■900 -450 0 450 900
Нх. А/м
д
t, с
б
■900 -450 0 450 900 Я,, A/M
г
0,8____
О 0,0005 0,001 0,0015 0,002 t. с
е
Рис. 8. Кривые вращательного перемагничивания на частоте 500 Гц, полученные при решении системы уравнений (28) с тремя дифференциальными уравнениями
I с Нх, А/м
а б
Рис. 9. Кривые вращательного перемагничивания на частоте 500 Гц, полученные при решении системы уравнений (29)
Видим, что зависимость Бх(?) стала отличной от гармонической, а гистере-зисная петля Бх(НХ) перестала быть эллипсом, приобретя сплюснутость у вершин.
Полученные уравнения, как отмечалось выше, соответствуют однодо-менному магнетику. В структуре из многих доменов (их размеры для железа равны примерно 10-3 см) ' границы между ними являются специфическими образованиями (стенками Блоха [2, 8]) с толщиной (0,25^0,35)-10-5 см.
У размагниченного магнетика направления векторов намагниченности доменов, имеющих общую границу, образуют углы в 90 или 180° [8, 12]. Между краями стенки Блоха совершается плавный поворот вектора намагниченности от направления на одном крае стенки до направления на другом (рис. 10).
При приложении слабого намагничивающего внешнего поля векторы намагничивания стенок Блоха обратимо повернутся в его направлении, причём только тех стенок, у которых направления намагниченности их доменов образуют наименьшие углы с направлением внешнего поля. Векторы намагниченности этих доменов одновременно также поворачиваются в направлении поля. Происходящий процесс равносилен увеличению объёма названных доменов или смещению их стенок.
При дальнейшем увеличении внешнего магнитного поля векторы М уже всех других доменов начинают необратимый поворот в направлении вектора Н.
Видим, что и во многодоменной структуре магнетика процессы его намагничивания могут описываться дифференциальными уравнениями (11), (21). Поэтому другие варианты математического моделирования динамических процессов в магнетике, ориентированные на изменение объёмов доменов из-за смещения их границ, при опытной проверке приводили примерно к таким же результатам, что и на основе теории прецессионно-нутационного вращения вектора М [5].
Выводы. 1. Уравнения Ландау - Лифшица, используемые для описания явлений перемагничивания в ферромагнетиках с многодоменной структурой, дают качественное и количественное приближение к опытным данным.
Рис. 10. Поворот вектора намагниченности М в стенке Блоха
2. На их основе возможно формирование математических моделей переменного, переменно-вращательного и вращательного перемагничивания электротехнических сталей, наблюдаемого в сердечниках электромеханических устройств.
Литература
1. Амелин С.А., Новиков А.А., Строев К.Н., Строев Н.Н. Модификация модели Джилса -Атертона для учёта частотных свойств ферромагнетиков // Электричество. 1995. № 11. С. 60-63.
2. Бозорт Р. Ферромагнетизм: пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1956. 784 с.
3. Гусев О.В. Моделирование слабых эффектов наведенной магнитной анизотропии на основе диаграммы Прейзаха: канд. ... дис. канд. физ.-матем. наук. Рыбинск, 2009.
4. Пирогов А.И., Хмарук О.Н., Шамаев Ю.М. Магнитные сердечники в информатике. М.: Изд-во МЭИ, 1996. 339 с.
5. Пирогов А.И., Шамаев Ю.М. Магнитные сердечники для устройств автоматики и вычислительной техники. М.: Энергия, 1973. 264 с.
6. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. Ч. 3. Теория электромагнитного поля. М.: Энергия, 1969. 352 с.
7. Поливанов К.М. Ферромагнетики. Основы теории технического применения. М.: Гос-энергоиздат, 1957.
8. Рейнбот Г. Технология и применение магнитных материалов: пер. с нем. М.; Л.: Гос-энергоиздат, 1963. 339 с.
9. Скроцкий Г.В. Ещё раз об уравнении Ландау - Лифшица // УФН. 1984. Т. 144, вып. 4.
10. Тугай Ю.И., Бесараб А.Б. Модель электромагнитного трансформатора напряжения для исследования феррорезонансных процессов // Науков1 пращ ВНТУ. 2014. № 4. С. 1-5.
11. Холоднокатаные электротехнические стали: справ. изд. / Б.В. Молотилов, Л.В. Миронов, А.Г. Петренко и др.; под ред. Б.В. Молотилова. М.: Металлургия, 1989. 168 с.
12. ШамсутдиновМ.А., Назаров В.Н., Харисов А.Т. Введение в теорию доменных стенок и солитонов в ферромагнетиках. Уфа: БашГУ, 2010. 148 с.
13. ШуйскийВ.П. Расчёт электрических машин: пер. с нем. Л.: Энергия, 1968. 732 с.
14. Appino C., Fiorillo F., Rietto A.M. The energy loss komponents under alternating, elliptical and circular flux in nonoriented alloys. In: Proc. of 5 intern workshop on 2D magnetization problems. Grenoble, 1997, pp. 55-61.
15. Bertotti G. General properties of power losses in soft ferromagnetic materials. IEEE Trans. On Magn, 1988, vol. 24, pp. 621-630.
16. Bertotti G. Hysteresis in Magnetism. Boston, Academic Press, 1998.
17. Chevalier T., Kedous-Labouc A., Cornut B., Cester C. Estimation of magnetic loss in an induction motor fed with sinusoidal supplu using a finite element software and a new approach to dynamic hysteresis. IEEE Trans., 1999, vol. 35, pp. 3400-3402.
18. Jiles D.C., Atherton D.L. Theory of ferromagnetic hysteresis. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 1986, vol. 61, pp. 48-60.
19. Permiakov V., Dupre L., Makaveev D., Melkebeek J. Dependence of power losses on tensile stress for Fe-Si nonoriented steel up to destruction J. Appl. Phus., 2002, vol. 91, May.
АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры автоматики и управления в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (afan39@mail.ru).
A. AFANASYEV
HYSTERESIS PHENOMENA IN ELECTRICAL STEEL
Key words: Landau-Lifshitz equation, variable, rotation and variable-rotation reversal.
On the base of solution of the Landau-Lifshitz equation for single domain structure of magnetic, there are offered formulas for computation of hysteresis phenomenas under variable, rotational and variable-rotational remagnetization of electrical steel. There are considered calculating curves of nutation of magnetization vector, the hysteresis loops underlongitudinal and transverse harmonical effects of external magnetic field, taking into account its structure under statical and symmetrical field. There is discussing opportunities of using obtained equations for multi-domain ferromagnetic.
References
1. Amelin S.A., Novikov A.A., Stroev K.N., Stroev N.N. Modifikatsiya modeli Dzhilsa - Atertona dlya ucheta chastotnykh svoistv ferromagnetikov [The Modification to models Dzhilsa - Atertona for account frequency characteristic ferromagnetic]. Elektrichestvo [Electric Power], 1995, no. 11, pp. 60-63.
2. Bozorth R.M. Ferromagnetism. Toronto, New York, London, 1951 (Russ. ed.: Ferromagne-tizm. Moscow, 1956, 784 p.).
3. Gusev O.V. Modelirovanie slabykh effektov navedennoi magnitnoi anizotropii na osnove di-agrammy Preizakha: dis. ... kand. fiz.-matem. nauk[Modeling weak effect directed magnetic aniso-tropy on base of the diagram Preyzaha. Doct. Diss.] Rybinsk, 2009.
4. Pirogov A.I., Khmaruk O.N., Shamaev Yu.M. Magnitnye serdechniki v informatike [The Magnetic core in informatics]. Moscow, MEI Publ., 1996, 339 p.
5. Pirogov A.I., Shamaev Yu.M. Magnitnye serdechniki dlya ustroistv avtomatiki i vychisli-tel'noi tekhniki [The Magnetic core for device of the automation and computing machinery]. Moscow, Energiya Publ., 1973, 264 p.
6. Polivanov K.M. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki. Ch. 3. Teoriya elektromagnit-nogo polya [The Theoretical bases electrical engineers. Part 3: The Theory of the electromagnetic field]. Moscow, Energiya Publ., 1969, 352 p.
7. Polivanov K.M. Ferromagnetiki. Osnovy teorii tekhnicheskogo primeneniya [The Ferromagnetics. The Bases to theories of the technical using]. Moscow, Gosenergoizdat Publ., 1957.
8. Reinboth H. Technologie und Anwendung Magnetischer Werkstoffe. Berlin, Verlag Technik, 1963 (Russ. ed.: Reinbot G. Tekhnologiya i primenenie magnitnykh materialov. Moscow, Leningrad, Gosenergoizdat Publ., 1963. 339 p.).
9. Skrotskii G.V. Eshche raz ob uravnenii Landau - Lifshitsa [Once again about equation Lan-dau-Lifshica]. UFN, 1984, vol. 144, iss. 4.
10. Tugai Yu.I., Besarab A.B. Model' elektromagnitnogo transformatora napryazheniya dlya issledovaniya ferrorezonansnykh protsessov [The Model of the electromagnetic transformer of the voltage for study ferroresonant processes]. Naukovipratsi VNTU, 2014, no. 4, pp. 1-5.
11. Molotilov B.V., Mironov L.V., Petrenko A.G. et al. Kholodnokatanye elektrotekhnicheskie stali: sprav. izd. [Holodnokatanye electrical become. Reference ed.]. Moscow, Metallurgiya Publ., 1989, 168 p.
12. Shamsutdinov M.A., Nazarov V.N., Kharisov A.T. Vvedenie v teoriyu domennykh stenok i soli-tonov v ferromagnetikakh [Introduction to theory domain wall and solitons in ferromagnetic]. Ufa, 2010, 148 p.
13. Shuiskii V.P. Raschet elektricheskikh mashin [Calculation of electrical machines]. Leningrad, Energiya Publ., 1968, 732 p.
14. Appino C., Fiorillo F., Rietto A.M. The energy loss komponents under alternating, elliptical and circular flux in nonoriented alloys. Proc. of 5th Int. Workshop on 2D magnetization problems. Grenoble, 1997, pp. 55-61.
15. Bertotti G. General properties of power losses in soft ferromagnetic materials. IEEE Trans. On Magn., 1988, vol. 24, pp. 621-630.
16. Bertotti G. Hysteresis in Magnetism. Boston, Academic Press, 1998.
17. Chevalier T., Kedous-Labouc A., Cornut B., Cester C. Estimation of magnetic loss in an induction motor fed with sinusoidal supplu using a finite element software and a new approach to dynamic hysteresis. IEEE Trans., 1999, vol. 35, pp. 3400-3402.
18. Jiles D.C., Atherton D.L. Theory of ferromagnetic hysteresis. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 1986, vol. 61, pp. 48-60.
19. Permiakov V., Dupr'e L., Makaveev D., Melkebeek J. Dependence of power losses on tensile stress for Fe-Si nonoriented steel up to destruction. J. Appl. Phus., 2002, vol. 91, May.
AFANASYEV ALEXANDER - Doctor of Technical Sciences, Professor of Management and Computer Science in Technical Systems Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
Ссылка на статью: Афанасьев А.А. Гистерезисные явления в электротехнической стали // Вестник Чувашского университета. - 2016. - № 1. - С. 15-29.
