Нейросетевая модель магнитного гистерезиса Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 621.313.392

НЕЙРОСЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА

© 2012 г. А.Н. Ткачев, А.А. Пасенчук

Южно-Российский государственный South-Russian State

технический университет Technical University

(Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute)

Приводится описание математической модели магнитного гистерезиса в виде нейронной сети, обучение которой осуществляется с использованием стандартных характеристик ферромагнитных материалов. Построены базовые элементарные операторы гистерезиса. Разработан итерационный алгоритм определения параметров сети.

Ключевые слова: магнитный гистерезис; нейронная сеть; перемагничивание ферромагнетика; обучение сети.

The description of a mathematical model of magnetic hysteresis in the form of neural net has been given. The adapting settings of this net is carried out with the use of standard characteristics offerromagnetic materials. The base elemental operators of hysteresis have been built. Iterational algorithm of defining parameters of the net has been worked out.

Keywords: magnetic hysteresis; neural net; remagnetation of ferromagnetic; the adapting settings of the net.

Гистерезис является характерным физическим свойством ферромагнитных материалов и проявляется как при их квазистатическом, медленно протекающем во времени перемагничивании, так и при динамическом, «быстром» перемагничивании. Гистерезис приводит к возникновению потерь на перемагничивание, и поэтому должен учитываться при тепловых расчетах электротехнических устройств. Он также оказывает влияние на динамические характеристики различных исполнительных элементов, содержащих магнитные системы. Это объясняет то, что построению моделей гистерезиса посвящено большое число работ [1 - 5], и проведение научных исследований в этом направлении продолжается. В данной статье приводится один из возможных подходов к решению указанной проблемы с использованием искусственных нейронных сетей [6].

Рассмотрим задачу моделирования магнитного гистерезиса в условиях квазистатического однонаправленного перемагничивания, когда векторы магнитного поля индукции В и напряженности Н, изменяясь во времени, остаются параллельными фиксированной прямой в пространстве. Будем считать, что возникающие состояния ферромагнетика, описываемые парой величин (В, Н), являются точками

ВН -плоскости, лежащими внутри предельной петли гистерезиса. В дальнейшем будем рассматривать безразмерные величины Ь , h, введя их по правилу:

Н

b = — ; B,

h =-

H

Будем считать заданным изменение во времени безразмерной величины Ь = Ь ). Тогда изменение

безразмерной величины h = h ) за счет гистерезиса

определяется необратимыми процессами, возникающими в ферромагнетике. Для их описания будем использовать модель инерционного типа, которая задается дифференциальными уравнениями, а также нейронные сети, структура и коэффициенты передачи которых подлежат определению.

В соответствии со сложившимися подходами к построению нейронных сетей [6] для описания магнитного гистерезиса будем использовать сеть, структура которой показана на рис. 1, где Г1, Г2, ..., Гк, ..., Гп - элементарные операторы гистерезиса, способ построения которых приводится ниже; м'1, w2, ..., wk, ., wn - коэффициенты передачи выходных ребер, а значком Е обозначен оператор суммирования.

b(t)

Г1

Г2

Г*

Ги

h(t) = rb(t) Е )-►

где (Bs, Hs ) - вершина предельной

петли.

Рис. 1. Структура нейросетевой модели магнитного гистерезиса

Таким образом, согласно структуре, показанной на рис. 1, задача построения нейросетевой модели гистерезиса сводится к заданию операторов Гк и

определению весовых коэффициентов к (к = 1, п ).

Структуру используемых в модели элементарных операторов гистерезиса Гк иллюстрирует рис. 2.

Согласно ей результат действия каждого оператора описывается равенством [1]

hk = ик (ь) = г к (ь) = ^ (ь)+Як (Ь, р); к = 1п, (1)

где р = sign(dЬ / dt) - параметр, значение которого р = 1 соответствует ветви намагничивания, а р = -1 -ветви размагничивания.

Рис. 2. Структурная схема имитационной модели элементарного оператора скалярного гистерезиса Г к

Заметим, что функция f (Ь) в материальном уравнении является однозначной, а функция я (Ь, р) -многозначной, так как зависит от характера процесса -намагничивания (р = 1) или размагничивания (р = -1).

Моделируя необратимые процессы в ферромагнетике, следствием которых является гистерезис, функцию я (Ь, р), как это часто делается [1, 2], будем искать среди решений дифференциального уравнения первого порядка

1 - < * * •

(2)

при заданном начальном условии як (Ь0,р) = \ (Ь0)-

- Л (Ьо).

Повторяя рассуждения, приведенные в работе [1], можно показать, что уравнения намагничивания и размагничивания вида (2) для функций, описывающих процессы намагничивания и размагничивания

Як (Ь) = Як (Ь1), Я- (Ь) = Як (Ь -1) , соответственно имеют вид

= -XкЯ+к (Ь) + л- (Ь); ^ = XкЯк- (Ь) + Пк (Ь), (3)

где параметры модели - постоянная Xк, нечетная функция ^ (Ь) и четная функция Лк (Ь) подлежат определению [1].

Найдем Xк , ^ (Ь), Лк (Ь), используя стандартные характеристики стали, которые приводятся в

справочниках и могут быть определены экспериментально. В качестве таких характеристик будем использовать основную кривую намагничивания hm (Ьт) - геометрическое место вершин симметричных петель гистерезиса и зависимость потерь на гистерезис р (Ьт) от максимума индукции при цикличном симметричном перемагничивании.

Решения уравнений (3) при заданном начальном

условии я 0к = Я 0 имеют вид:

Ь

Як (Ь) = Яо^"Хк(Ь-Ьо) + в\ Лк (^)вХkSds ; (4)

Ьо

Ь

Я- (Ь) = Яо^Хк(Ь-Ьо) + вХкЬ | Лк (s) в"ХkSds . (5)

Ьо

Рассмотрим режим многократного симметричного циклического перемагничивания, при котором Ь (t) монотонно меняется сначала от величины -Ьт до величины Ьт , а затем наоборот. Пусть на первом этапе выполнялось намагничивание материала от состояния (Ьо, яок) до состояния (Ьо, я1к). Тогда с учетом формулы (4)

Я1к = Яокв"Хк(Ьт-Ьо) + в"ХкЬт ) Лк (s) вХkSds .

Ьо

Принимая значение як (Ьт) = Я1к в качестве начального, из формулы (5) получим:

Я1к (-Ьт ) = Я1кв"2ХкЬт +1"(Xк)в-ХкЬт ,

-Ь

где I- (Xк )= | Лк (s)в-lkSds .

Ьт

Выполняя намагничивание материала при начальном условии я- (_Ьт), имеем из равенства (4)

Як (Ьт ) = Я1кв"4ХкЬт +1- (Xк )в"ЗХкЬт + II (Xк )в"ХкЬт ,(6)

Ьт

где Гк (Xк )= | Лк (s)вXkSds .

-Ьт

С учетом того, что функция Лк (Ь) четная, получаем

Ьт

Ik"(Xk) = - \ Лк (s)в^ =-Ik+(Xk) = 1к (Xk).

-Ьт

С учетом введенных обозначений равенство (6) принимает вид

Як (Ьт) = Я1к в-4XЬ + Ье-XЬ (1 - в-2XкЬт).

Выполняя на следующем шаге размагничивание ферромагнетика, получим

Я-(-Ьт ) = Я1квкЬт +

+Ik (Xк )"XкЬт (-1 - вкЬт - вкЬт ).

Продолжая процесс циклического намагничивания и размагничивания, на п-м шаге будем иметь

g++ (bm ) = ghe-2n^m -1* (X* )e^ E (-1)' e

-2iXkbm

В пределе, при п ^ да, учитывая, что значение gk (Ът) как составляющая напряженности поля ограничено, и поэтому Xк > 0 , получим, суммируя бесконечно убывающую прогрессию и обозначая результат

ЧеРе3 gmk (bm) :

g (b ) = MXkK^-i

о mu vm J

X

J л* (s)e *Sds

1 + e"

2chX kbm

(7)

Из равенства (1) получаем следующее уравнение основной кривой намагничивания:

hm (bm ) = fk (bm ) + gmk (bm ). (8)

Выведем соотношение, связывающее функцию Л* (b) и потери на гистерезис при симметричном

циклическом перемагничивании. Учтем, что потери за один замкнутый цикл перемагничивания по симметричной петле гистерезиса с вершиной в точке (bm, hm ) в безразмерной форме равны:

p (bm ) = | h* (b ) db . (9)

Подставим в формулу (9) функцию h* (b) вида (1) и учтем, что однозначная функция f* (b ) вклада в потери не дает. Тогда получим:

bm -bm

p* {bm ) = J g+ (b ) db +J g-(b ) db . (10)

-bm bm

Выразим функции g+(b ), g-(b ) из уравнений (3) и подставим в формулу (10). Учитывая, что л* (b) -четная функция, а значения g+(b ), g-(b ) в симметричных точках bm , -bm отличаются знаком, получим:

db -

1 bm ( dg

P(bm) =X* m Г* (b)-lb

-- ) f d^-л* (b )

X* J db {*y)

\

db =

4 m 4

= — Jn* (b)db-— gm {bm )

k 0

X *

Продифференцируем обе части последнего равенства по переменной Ьт . Тогда при значении Ьт = Ь имеем

1

л* (b)=TX *p'(b )+g m* (b ).

4

(11)

Преобразуем уравнения основной кривой намагничивания (7), (8). Двигаясь по ветви намагничивания

из точки {—Ът, - gщ |, лежащей на основной кривой

намагничивания, в точке Ь = Ьт, учитывая равенство (11), имеем

gmk {Ьт ) = ^тк {Ьт ) ^^ + *^ | Пк (*)^ .(12)

-Ът

Продифференцируем обе части равенства (12) по переменной Ът и выразим из полученного соотношения слагаемые, содержащие интеграл

е-ХкЪт ) Пк {*)kSds = —т1^ (Ът ){1 + ^^ ) +

—Ът Кк

+2gmk {Ът ) е-2ХкЪт Пк (Ът )(1 + * ^^ ) .

Х к

Подставляя полученное выражение в формулу (12), учитывая равенство (11), получаем

1

gmk (bm )= 4 P'(bm ) CthXkbm .

(13)

После подстановки функции (13) в формулу (8) получаем следующее уравнение основной кривой намагничивания:

hm {bm ) = fk {bm ) + 4 P ' (bm ) CthX*bm . (14)

Заметим, что из равенства (14) можно выразить неизвестную функцию f* (b ) при известной основной

кривой намагничивания hm (bm ).

Полученные соотношения (4), (5), (11) - (13) задают оператор гистерезисного типа, который в дальнейшем в нейронной сети будем использовать в качестве элементарного оператора гистерезиса Г *

( * = 1, n ). Для его полного описания необходимо определить числовой параметр X*. Заметим, что при любом значении параметра X * оператор Г * позволяет точно воспроизвести стандартные характеристики ферромагнетика - основную кривую намагничивания hm (bm ) и потери на гистерезис p (bm ) при циклическом перемагничивании.

Согласно структуре, показной на рис. 1, нейросе-тевая модель гистерезисного оператора Г задается равенством

h (b ) = rb (t )=E w*h* (b ) =E w* Г *b (t ) . (15)

k=1 k=1

Для обеспечения совпадения основных кривых намагничивания и потерь на гистерезис, полученных с использованием оператора (15) и экспериментальных характеристик, потребуем выполнения равенства

n

E w* = 1, из которого следует, что один из весовых

k=1

коэффициентов wt можно выразить через остальные. Считая известным из эксперимента набор симметричных статических петель гистерезиса, задаваемых ветвями намагничивания h+(b, bm ) при различных максимумах индукции bm, определим неизвестные параметры модели, проводя обучение нейронной сети в следующем порядке:

1=0

B, Тл 1,5

1,0

0,5

B, Тл

1,0

0,5

20 40

а

H, A/м

100 б

200 H, A/м

Рис. 3. Предельная петля гистерезиса вдоль (д) и поперек (б) прокатки: -■- - эксперимент; -а- - моделирование

1. Положим п = 1 и определим параметр X1 для оператора Г1, минимизируя среднюю квадратичную относительную погрешность моделирования, сравнивая экспериментальные значения h^(йг■, Ьт) в узловых точках Ь■ с полученными в результате моделирования по формуле (4) значениями И* (Ь; ;Ьт) для всех

имеющихся петель гистерезиса, соответствующих различным значениям Ьт .

2. Считая значение X1 найденным, определим значение X2 и весовые коэффициенты w-i, w2 = 1 - м>: из условия минимума средней квадратичной ошибки моделирования ветвей намагничивания симметричных петель в узловых точках Ь;.

3. На п -м шаге определим параметр Xп и весо-

вые коэффициенты wl, w2

n—1

w

W.

=1 — Z wk

k=1

результате минимизации средней квадратичной относительной погрешности моделирования. Указанный итерационный процесс (увеличение числа учитываемых элементарных операторов гистерезиса) продолжается до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность моделирования.

Описанная процедура обучения нейронной сети реализована численно, а сама нейросетевая модель магнитного гистерезиса апробирована при моделировании однонаправленного перемагничивания холод-нокатной стали М6 вдоль и поперек прокатки. Для нахождения наборов неизвестных параметров нейро-

Поступила в редакцию

сетевой модели, доставляющих минимум функции среднеквадратичной ошибки моделирования, использовался метод деформируемого многогранника [7].

Результаты тестирования модели показали, что во всех случаях при значениях п < 5 достигается совпадение экспериментальных петель гистерезиса и петель, полученных в результате моделирования, с погрешностью, не превышающей ошибки измерения. На рис. 3 в качестве иллюстрации приводятся петли гистерезиса, полученные в результате нейросетевого моделирования процесса перемагничивания стали М6 вдоль и поперек прокатки, а также петли, снятые экспериментально.

Литература

1. Ткачев А.Н., Сафаров С.Ф. Моделирование статического гистерезиса в однонаправленном магнитном поле // Изв. вузов. Электромеханика. 1997. № 4-5. С. 3 - 1о.

2. Золотарев Н.А. Дифференциальное уравнение магнитного гистерезиса, эквивалентное классической модели Прай-заха // Изв. вузов. Электромеханика. 1999. № 3. С. 3 - 1о.

3. Верлань А.Ф., Бусаров Ю.П. Математические модели статических гистерезисных систем // Электронное моделирование. 1989. Т. 11, № 2. С. 2 - 7.

4. Толмачев С.Т. Численное моделирование гистерезиса ферромагнетиков // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1984. №2. С. 128 - 138.

5. Аппроксимация симметричных петель гистерезиса в ферромагнитных материалах. / Б.А. Болдов [и др.] // Труды МЭИ. Сер. Электротехника. 1975. Вып. 233. С. 81 - 83.

6. Каллак Р. Основные концепции нейронных сетей. М., 2оо1. 288 с.

7. Никифоров А.Н. Методы оптимизаций / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2оо7. 1бо с.

19 октября 2012 г.

Ткачев Александр Николаевич - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Прикладная математика», ЮжноРоссийский государственных технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Пасенчук Андрей Александрович - ассистент кафедры «Прикладная математика», Южно-Российский государственных технический университет (Новочеркасский политехнический институт).

Tkachev Alexander Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, head of department «Applied Mathematics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).

Pasenchuk Andrey Alexandrovich - assistant department «Applied Mathematics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).

0

0

в