CC BY
27
Конструювання радіоапаратури
УДК 621.396
ГІПЕРВИПАДКОВІ ФУНКЦІОНАЛЬНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАДІОЕЛЕКТРОННИХ ЗАСОБІВ
Уваров Б. М.
Вступ. Постановка задачі
Проектування радіоелектронного засобу (РЕЗ) - це створення фізичних та математичних моделей майбутнього пристрою, який повинен мати визначені у ТЗ характеристики, що можуть бути подані, як оператори Y.
Згідно з теорією гіпервипадкових явищ [1], будь-який процес у РЕЗ повинен бути представлений скалярною гіпервипадковою функцією
Y = ф (X1V..,Xn), у яку входять гіпервипадкові величини Хі, чи векторною
Y = ф(Х 1,..., Xn) із гіпервипадковими скалярними функціями Xt .
Математичні фізичні моделі енергетичних процесів можуть бути знайдені з відомих рівнянь Лагранжа, якщо їх подати у гіпервипадковій формі:
d dE дЕ дП дФ - _ . . 7
---------------+------+------Qi = 0, j = 1, 2,..., k
dx dq j dqj dqj dq j
(1)
де E - кінетична енергія, П - потенціальна; Ф - функція розсіювання ене-
ргії (функція Релея); Q - зовнішній силовий вплив; qj - узагальнені коор-
динати; х - час.
Для всіх первинних величин та функцій необхідно визначити - якщо вони не задані - ймовірносні характеристики: щільність розподілу f(xt), моменти відповідних порядків (математичне сподівання, дисперсію й
т.ін.), й тоді ймовірносні характеристики самих функцій Y та Y можна знайти аналогічно характеристикам випадкових величин [2].
Первинні величини X1,...Xn у функціях РЕЗ у більшості випадків неко-рель-овані (це конструктивні параметри, вхідні впливи), тому ймовірносні характеристики гіпервипадкових функцій Y можна визначити:
- щільність розподілу:
f = /(xl,..., xn ) = П f(xt); (2)
t=1
- математичне сподівання:
m,
ои
= м[ф(х^..^Xn)]= J J...Jф(xl,...,xn)f(xl,...,xn)dx1...dxn ; (3)
- дисперсія:
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40
113
Конструювання радіоапаратури
<Х>
Dy = Л[ф(хiv_Xn)]= J J...J[ф(xl,...,хи)]2/(xl,...,x„)dxi...dxn -m2y. (4)
Гіпервипадкові характеристики електричних процесів у РЕЗ
Математичні моделі для кожного з таких процесів можуть бути одержані перетворенням рівнянь (1) відомими методами, що визначають зв’язок між вхідним x(x) та вихідним y(x) сигналами у електричних колах - визначенням передаточних функцій W(s) = 7(s)/X(s) [3].
Прикладом фізичних моделей з гіпервипадковими характеристиками електричних процесів можуть бути чотириполюсники на рис. 1:
R,
R,
R,
A Q J ц "Ci А
R2 R2
І
XQ
R
X
а б в
Рис. 1. Послідовні корегуючі чотириполюсники: а - пропорційно інтегруюче RC-коло; б - форсуюче RC-коло; в - інтегро-диференціююче RC-коло Передаточні функції для чотириполюсників:
- для схеми а
sT +1
W (s ) = -y—; Ty = Ry C; Ti =
sT1 +1
1+R
R
T; 1 2 >
- для схеми б
W(s ) = ■ K; Ty = R1C1; T1 = Ty
sT1 +1
1+
2 J
T
---; K = tL;
V Ty’
R
W (s)
для схеми в (sTy + 1)(sT3 +1);
(sT1 + 1)(sT4 +1);
r + R
T = R C • T = R C • T = T X ^ ^y
j2 л2^2’ j3 лХ1> J1 J2 n
-Ro
T = T
43
Ry
R1 + R2
Вирази для W(s) можна розглядати, як скалярні гіпервипадкові функції, якщо їх незалежними аргументами вважати сталі часу Ті та їх співвідношення - коефіцієнт передачі К. Всі ці аргументи повинні бути випадковими величинами, дисперсії яких повинні бути заданими (вони визначаються, у першу чергу, допусками на їх значення). Тоді для схеми а передаточну функцію W(s) необхідно розглядати, як двомірну скалярну функцію, для схеми б - як тримірну, для схеми в - як чотиримірну. Щільність розподілу W(s) може бути знайдена згідно з (2).
Так, для схеми а повинні бути відомі номінальні значення Ті (їх можна вважати математичними очікуваннями тТі), середньоквадратичні відхилення аі (останні можна прирівняти допускам АТі ), й тоді функції розподі-
114
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40
Конструювання радіоапаратури
лУ:
Ш) =
T-mTi )2
0T1
(T2-mT2 )2
, лІ2ж
f2T) =
,уі2ж
математичне сподівання, дисперсія та відхилення для W(s):
М X ГТ1 1
Mws = JJ(T1 )f2(T2)dTldT2 ;
J J sT1 -1
-X-X 1
D„ = JJ|T-T fTUTddT-MW; Ow, =D
-x-xV ST1 — V
(5)
(6)
Можна подати W(s) як функцію R та C, вважаючи останні також гіпер-випадковими (внаслідок допусків на їх значення), тоді W(s) стає їх скалярною функцією:
W (s) =
sR2C -1
f
1 + -
R
V
R
r2c -1
'2 J
для якої:
XXX
M
JJJW ( s f (R)f2(R2).f3(C)dR,dR2dC;
Ws ~
-X-X-X
XXX
Dr. = J J JW( s )]2f (R, f (R2)f3 (C)dRdR2 dC - M,
2
W. .
(7)
(8)
-X-X-X
Звичайно, за формулами (7), (8) повинні бути одержані такі ж результати, як й за (5), (6), але якщо функція, подібна до W(s), залежить від великого числа аргументів, під час обчислення кратних інтегралів може виникнути відмова програмного середовища (такі інтеграли обчислюють, наприклад, за допомогою математичного пакету MathCad), що призведе до необхідності створення спеціальних програмних модулів у іншому програмному середо-вищі (наприклад, у найбільш ефективному C++Builder).
Гіпервипадкові характеристики механічних процесів у РЕЗ Математичні моделі механічних процесів у РЕА у більшості своій детерміновані. Наприклад, параметри міцності та жорсткості прямокутної друкованої плати з розмірами a х b визначають, розв’язуючи диференціальне рівняння [4]:
D
д4w(x, y ) + 2 д4w(x, у )^ д4w(x, y )
-
= Р(x,Y),
(9)
dx4 dx2 ду2 ду4
де D - циліндрична жорсткість пластини; р(х,у) - зовнішня сила, значення якої залежить від координат х, у.
. . D Eh3 ^
Циліндричну жорсткість визначають як D = ^2), де Е - модуль
1
1
T2
s
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40
115
Конструювання радіоапаратури
пружності матеріалу пластини, v - коефіцієнт Пуассона.
Обидва останніх параметра визначені для кожного матеріалу експери-мен-тально, їх значення наводяться у довідниках; це й є параметри з ймовірнос-ними характеристиками, що призводить до необхідності розглядати їх як гіпервипадкові скалярні чи векторні функції. Враховуючи додатково гіпервипадкові властивості р(х,у), знов-таки прийдемо до висновку, що розв’язання рівняння (9) - наприклад, прогини пластини, шарнірно обпертої всіма сторонами [3]:
w( x, y)
4 Р(Х у)
Dr5
1,3,5..
I
n
1 1 - 1 1 + р tr 1 1 , шу cosh—— a . , шу sinh—— Щу a
n5 cosh — Г a cosh—
2 2
>sin
nnx
a
буде гіпервипадковою векторною функцією (у цьому виразу un = nnb / a, п= 1, з, 5...).
Передаточною функцією W(£,,-0) у цьому випадку буде співвідношення:
W &)= Dwii=Ф(5, s),
Ф(?, »)= А1 і
Ж'
n
1 -
1 + ^ tanh 4 2
cosh nnS „ sinh nnS
+ nuq-
cosh и / 2
cosh и / 2
(10)
sinh nn^
Скалярними функціями у ньому є циліндрична жорсткість D та зовнішній силовий вплив р(х,у), тому W(£,,-0) повинна бути векторною.
Для визначення динамічних характеристик ДП (частот власних та вимушених коливань, динамічних деформацій) у якості основної моделі використовують рівняння:
m
д2 w
дт2
/ л4 ^ 4 ^ 4 Л
^ . ч д w - д w д w
+ D (1 + /у) —- + 2—-—- + —-\дх4 дх2 ду2 ду4 )
p(х у ,т)
де т - зведена маса пластини; у - коефіцієнт механічних втрат (КМВ); j -уявна одиниця; т - час.
Вимушені деформації (прогини) ДП під час коливань [3]:
w( х, у)=II ^M-KRpW, (5К О),
У У 2mw0
де ю0 - частота власних коливань, яка визначається через жорсткість D:
®о =
ф(в)
a \ m
ф(Р) - т.зв. частотна функція, що залежить від співвідношення сторін пластини Р = a/b та способів закріплення сторін; wi(^) та wk(&) - базисні функції [3]:
116
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40
Конструювання радіоапаратури
w (£,) = sin (Хг £,) + a cos(Xi £,) + b sh (Хг £,) + c ch (Хг £,); w (0) = sin (Хг 0) + a cos(Xi 0) + b sh (Хг 0) + c ch (Хг 0),
Хг - корені т.зв. власної форми коливань.
Для різних варіантів закріплення сторін плати значення Хг та коефіцієнтів a , b , c наведені у [3].
Аналогічно (10) можна вважати:
W (4,0)= 2шш0 = Т(4,0), де *(4,0)_ Ц KRpW,<
pfe 0)
Wi (4)wk (0)
г J
Також, як s для статичного процесу, скалярною функцією можна вважати зовнішій силовий вплив p(x,y) та жорсткість D (остання увійде у вираз для частоти власних коливань ш0), а W(£,,0) буде гіпервипадковою векторною функцією.
Гіпервипадкові характеристики теплових процесів у РЕЗ
Модель розповсюдження тепла у РЕЗ, наприклад кондукцією у самій ДП та конвекцією до оточуючого простору - це рівняння Фур’є [5]:
82T(x,У) + д^Вы1 _ ahT + ± _ 0
8x2 8у2 X 1 (xУ) + У) _ 0
де T(x,y) - температура пластини у точці з координатами х, y; q(x,y) - тепловий потік від джерела тепла у відповідній зоні пластини; X - коефіцієнт теплопровідності матеріала пластини, h - її товщина; а - коефіцієнт тепловіддачі від поверхні пластини у оточуючий простір.
Вигляд функції температури T(x,y) для прямокутної пластини із розмірами axbxh, із джерелами тепла, що виділяється у межах прямокутної ділянки AxxAy невеликих, порівняно із розмірами всієї пластини, розмірів, знайдений за допомогою кінцевих інтегральних перетворень, такий:
In(хг) Ii(y)
к Bi ab q ® ® 2 2
х, y)_ 16 S - AXqA- SS K Kl-
г_і a h Ax Ay t n_i i_i 2
М n
T (x, y)_ 16 І-
b 2 a ab
+ Ml + -i^r
l2
a b h
x
(11)
x
Мn c0s (м j x + Bi1 sin (м j ^x Мi c0s (м j кУ V b ) + -i2 sin (м j иУ V b )\
Va ) V a )
ah aa ab
де Mn = n(n - 1) , Mm = n(i - 1); -i _ —; -ix _ —; -iy _ —
In (A ) _
4( Уі ) _
f \ М n Bi1 f \ М n f М n Ax j
cos xt + 1 sin xt sin
1 1 V l1 ) М n 1i V l1 ) V l1 2 )
cos
Mm
V 12
-Уі
Bi„
+ -
sin
M і
Mi
V l2
-Уі
sin
ҐМ і аУі Л
V 12
2
Ймовірносні властивості у виразу (11) повинні мати коєфіцієнти а та X, параметри джерел тепла q(x,y), тому вираз для температури T(x,y) - векто-
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40
117
Конструювання радіоапаратури
рна гіпервипадкова функція.
Аналог гіпервипадкової передаточної функції для процесу розповсюдження тепла такий:
W & 9)
T (а у )
^ qi
^ Ах,Ay,.
1—І • • • • S-* •
1 іпервипадкові характеристики показників надійності
Згідно зі стандартами, показники надійності пристроїв РЕА визначаються: для механічних систем - за моделлю DM-розподілу, для електричних та електронних - за моделлю DN-розподілу.
За DM-розподілом ймовірність безвідмовної роботи P(x) механічної системи визначають за формулами:
P( х)
u (х) z 2
—
І
e 2 dz
1
(12)
1 - х
де u( х) = —-=; х - відносний період часу, для якого визначається P(x); v -W х
коефіцієнт варіації процесів деградації.
Ймовірносними величинами у виразу (12) необхідно вважати, у першу чергу v - у стандартах [6] для всіх основних видів руйнування елементів конструкцій його значення наводяться у досить широкому діапазоні, наприклад, для процесів багатоциклової втоми металів v = 0,4...0,8;
значення відносного періоду часу х у ТЗ звичайно задають також у деяких межах.
Розрахунок Р(х) зручно провадити за еквівалентною (12) формулою:
P(х,v)= 2
1 + erf
'1 - х^
V v
л/іх
(14)
тому що у MathCad егі(х) - вбудована функція.
Якщо прийняти для х та v нормальні розподіли, щільність розподілу обох величин буде така:
f(x,v)
1
------e
О х^2п
(х-тх )2 (v-mv )2
2а2 2а2
математичне сподівання та дисперсія:
10 х
Mv = 11р(х,v) f (х> ; (15)
0 —х
10 х
D„ = | |(р( х^>)2 f (x,v)dxdv- Mlv . (16)
0 —х
118
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40
Конструювання радіоапаратури
Нижня межа інтегрування - “0” взята такою, тому що у формулі (14) параметр v функції erf(x) стоїть у знаменнику (MathCad її не обчислює), до того ж значення v < 0 не має сенсу.
За DM-розподілом ймовірність безвідмовної роботи P(x) для електричних та електронних систем визначають за формулами:
Р( х)
u^x) z2 2 U2 (x)
J e 2 dz + ev I
e 2 dz
2
z
—to
—TO
(17)
. 1 — x . . 1 + x
Де U1(x) =, u 2(x) =-----f= .
W x W x
Формула, еквівалентна (17) з функціями erf(x):
Р(x,v)
1
2
f
1 + erf
1 — x
\
V vV2x j
+ e
f
1 + erf
1 + x
V
V2
xj
2
2
Математичне сподівання та дисперсію визначають згідно (15), (16).
Процеси у РЕА як векторні гіпервипадкові функції
Розглянуті вище приклади математичних моделей основних процесів, що відбуваються у РЕА, доводять, що всі вони є функціями з гіпервипад-ковими характеристиками - скалярними чи векторними.
Скалярними функціями можна вважати вплив зовнішніх факторів Q, якщо виділити у них незалежні одна від одної складові - механічні, кліматичні, старіння (так, як це передбачено у нормативних документах, коли задаються умови експлуатації РЕЗ). Але внутрішні процеси Р необхідно розглядати як векторні, вони відбува-ються у електронних та конструктивних елементах РЕЗ, визначаються роз-глянутими вище передаточними функціями W(£,,-9) - також векторними. Вхідні впливи X можна вважати скалярними, якщо вони сформовані зовнішніми керуючими пристроями чи оператором, але більш детальний аналіз може виявити й у них вплив факторів, які самі будуть векторними; все це призводить до висновку, що й впливи X у більшості випадків - векторні.
Таким чином, вирази операторів F(X, Р, Q) у РЕЗ завжди необхідно розглядати, як векторні функції з усіма їх гіпервипадковими характеристиками, для усіх основних видів процесів, що здійснюються у таких пристроях.
Пристрої РЕА як об’єкти з гіпервипадковими властивостями
У процесі функціонування РЕЗ як системи у ньому одночасно здійснюються різні процеси (позначені операторами Yj, основні з них розглянуті вище), але всі вони об’єднуються його функціональним призначенням - функціональні показники РЕЗ можливо представити у вигляді операторів Z = (X1, ...Xi ,... Xn , Y1 ,... Yj ,...Ym), де Xi - керуючі впливи.
Для РЕЗ особливість цих процесів полягає у тому, що всі вони, як правило, пов’язані один з одним: температури електронних структурних еле-
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40
119
Конструювання радіоапаратури
ментів одночасно визначаються й зовнішніми тепловими впливами, й виділенням тепла у них самих внаслідок функціонування, а це відображається на показниках надійності; суттєвими зовнішніми впливами є механічні фактори (вібраційні, ударні), які можуть змінити електричні параметри ЕРЕ та ФВ, й також вплинути на показники надійності.
З розглянутих вище характеристик процесів у РЕЗ випливає, що функ-ціо-нальні показники Z = [z1, z2 ...zi ..^п]т є гіпервипадковими функціями, а якщо між ними чи між їх складовими можуть бути взаємні зв’язки, для таких функцій необхідно ввести у розгляд [1]:
- кореляційні функції меж
KSz (t1, t2 ) — M s \Z (t1 )Z (t2 )] KIz (t1, t2 ) — MI \Z (t1 )Z if 2 )] ;
- коваріаційні функції меж
RSz (t1, t2 ) — MS \(Z(t1 ) — mSz )(Zif 2 ) — mSz )]>
RIz (t1, t2 ) — MI \(Z(t1 ) - miz )(Zif 2 ) - miz )] .
Гіпервипадкові функції Z1(t) та Z2(t) некорельовані, якщо їх коваріаційні функції меж RSz(t1,t2) та RSz(t1,t2) дорівнюють нулю; а якщо дорівнюють нулю кореляційні функції меж KSz(t1,t2) та KSz(t1,t2), функції ортогональні.
На першому етапі проектування необхідно одержати опис (технічну документацію) РЕЗ з оптимальними показниками якості, й на це повинні бути спрямовані сучасні методи проектування. У їх основу необхідно закласти гіпервипадкові моделі з гіпервипадковими характеристиками фізичних величин та реальних процесів; результатами значень кожного з функціональних показників буде велика кількість останніх, теоретично - нескінченна. З цієї множини необхідно обрати показник, з яким РЕЗ буде найкраще виконувати своє функціональне призначення.
Будь-який показник РЕЗ є гіпервипадковою функцією, її значення будуть знаходитися у межах функції розподілу, а математичні очікування та дисперсії меж даються формулами (3) та (4) [1]. Цю множину значень функції Z(t) = {Z1(t),., Zk(t),.ZN(t)} можна також, за необхідністю, звести до еквівалентної, використавши умови сходження M[|ZN/)-Z(t)| /u] ^ min, якщо N достатньо велике, тобто значення Z(t) з мінімальною дисперсією відображають множину Z(t).
У випадках, коли відомо, що Z(t) - некорельовані скалярні функції, межі множини Z(t) можна визначити через її математичне сподівання, дисперсію та середньоквадратичні відхилення:
да да
Mz — J... JZ1,...,Zh х f(z1),...,f (zh )dz1,..., dzH ;
да да
DZ — J ... J (Z1 — mZ 1) ,...,(ZH — mZH ) х f(z1 ),..., f(zH )dz1,..., dzH ;
—да —да
120
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40
Конструювання радіоапаратури
а Z = л/ DZ .
Аналогічні співвідношення для визначення множини Z(t) можна засто-су-вати, якщо Z(t) - некорельовані векторні функції.
Висновки
У процесі проектування для кожного з функціональних показників РЕЗ, а також й для комплексного показника Z(t) - цільової функції пристрою -буде одержана множина значень, яка визначається відповідним законом розподілу; межі, у яких знаходиться ця множина, також мають свої закони розподілу.
Одержане технічне рішення - РЕЗ з показником Z(t) - буде вихідним для наступних етапів проектування, на яких й повинна бути одержана оптимальна конструкція РЕЗ. Оптимальним технічним рішенням може вважатися таке, для якого |Z(t) - Z(t)P| ^ min, де компоненти Z(t)P - значення, що були задані у ТЗ.
Досягнення оптимальних показників для РЕЗ повинно здійснюватися методами параметричної оптимізації під час подальшого проектування.
Література
1. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений. - Киев: НАНУ/Институт проблем математических машин и систем - 2007. - 184 с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей - 8-е изд. - М.: Высш. шк., 2002. - 576 с.
3. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника - М.: Сов. радио, 1982. - 624 с.
4. Бабаков И.М. Теория колебаний: изд. 4-е, испр. - М.: Изд. Дрофа, 2004. - 592 с.
5. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.
6. ДСТУ 2862-94. Надійність техніки. Методи розрахунку показників надійності. Загальні вимоги.______________________________________________________________
Уваров Б. М. Гіпервипадкові функціональні характеристики радіоелектронних засобів. Розглянуті методи визначення функціональних показників РЕЗ під час проектування на основі теорії гіпервипадкових явищ
Ключові слова: гіпервипадкові явища, радіоелектронні засоби_________________
Уваров Б. М. Гиперслучайные функциональные характеристики конструкций ра-дио-электронных средств. Рассмотрены методы определения показателей конструкций РЭС при проектировании на основе теории гиперслучайных явлений.
Ключевые слова: гиперслучайные явления, радиоэлектронные средства___________
Uvarov B.M. The hyperbolic-accidental characteristics of the radioelectronic apparatus. The methods of definition of the designs radioelectronic apparatus parameters during designing on the basis of the hyperbolic-accidental phenomena are considered Key words: hyperbolic-accidental phenomena, the radioelectronic equipment___
УДК 621.37
РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ ПРОБЛЕМ ЧИСЛЕННО-СИМВОЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ
Каширский И. С.
Проектирования любых систем непременно связано с численным решением систем линейных уравнений. Если проектирование выполняется в
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40
121
