CC BY
32
Конструювання радіоапаратури
УДК 621.396.67
ГІПЕРВИПАДКОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕПЛОВИХ ПРОЦЕСІВ У ПРИСТРОЯХ РАДІОЕЛЕКТРОННОЇ АПАРАТУРИ
Уваров Б.М., Зіньковський Ю.Ф.
Всі процеси, що відбуваються у пристроях радіоелектронної апаратури (РЕА), необхідно розглядати з точки зору їх гіпервипадкової (ГВ) природи [1], а їх математичними моделями є ГВ скалярні чи векторні функції. Функціональні характеристики, одержані з цих моделей, дають можливість розраховувати значення функціональних показників радіоелектронних засобів (РЕЗ), але всі вони повинні характеризуватися відповідними ймовірно-сними чи неймовірносними характеристиками - до останніх відносяться моменти різних порядків (математичне сподівання, дисперсія ін.).
Основні процеси, характеристики яких необхідно визначати у процесі роботи РЕЗ - електромагнітні, механічні, теплові. Останні у значній мірі визначають показники надійності електрорадіоелементів (ЕРЕ) та функціональних вузлів (ФВ), а як їх сукупність - надійність всього пристрою. Бі-льшисть структурних елементів РЕА - структурно-конструктивні модулі першого рівня складності (СКМ1): чарунки, мікрозбірки (МЗб); статистичний аналіз показує, що у складі РЕА за кількістю їх 67 - 85 %, тобто вони є основними структурними одиницями будь-якої РЕА, тому для них у першу чергу необхідно визначати функціональні ГВ характеристики.
1 іпервипадкові математичні моделі теплових процесів Основні процеси поширення тепла у пристроях РЕА - кондукція, конвекція, радіація. У ГВ формі математичні моделі цих процесів можуть бути подані як скалярні чи векторні ГВ функції ГВ величин. Для ГВ величин та функцій введемо позначення: hV^-ГВ величина х; hFsfXJ-ГВ скалярна функція множини X; hFvfYJ-ГВ векторна функція множини Y; символ - загальне позначення ГВ природи величини чи функції. Математичною моделлю для поширення тепла кондукцією у фізичному тілі є параболічне рівняння теплопровідності Фурьє, яке у ГВ формі може бути подано як:
1 дhFv[T (x, y, т)] = д2hFv[T (x, y, т)] + д2hFv[T (x, y, т)] +
hV (a) д т дх2 ду2 , (1)
+ д 2hFv[T (х, у, т)] + hFv[Q (х, у ,т )] дг2 hV (X)
де T(x,у,г) - температура; Q(x,у,z) - джерело тепла у об’ємі тіла; a, X - коефіцієнти температуропровідності та теплопровідності речовини; т - час.
Рівняння для розрахунку температури у підкладці МЗб, одержане методом скінченних інтегральних перетворень у [2] як рішення (1), є ГВ векторною функцією:
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" 103
Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№41
Конструювання радіоапаратури
hFv [Т (х , y ,т )]= 2 16
Bi lil2 Q,
a h Ax, Ay,. n=i m=i
zz Km
In ( X ) Im (У, )
2 12 , - 2 l1 + -g i l1l 2
Ц ny + Ц m , l1 l2
- - - Л С- Y
X Ц n C0S Цп X V l1 J + Bi1 sin Цп X V l1 J_ Ц m C0S и» V 12 y + Bi2 sin —y V l2 JJ
J
де цп, - корені характеристичних рівнянь:
- 2ц n Bi,
tanц n = - \ •
Гп - 2 т->-2
Цп - Bil
- 2ц m Bi2 - al, - ai 2
• tаnц m = -2 ; Bi, = ^; Bi2 =—2
2 ’ rm - 2 ТУ 2 1 л ’2 л
^m - Bi2 ^ ^
h (2)
Фп,m (Т) ,
(3)
al
X
Усі складові цієї функції, такі як ядра перетворень К(цп, x), К(ц», y), функції розподілу температур In(x), Im(y,), функція часу Фn,m(т) також ГВ; їх ймовірносні характеристики необхідно визначати на основі відповідних характеристик первинних ГВ. Температура підкладки МЗб у стаціонарному режимі як ГВ функція може бути одержана з (2), якщо покласти і = да, тоді функція часу
hFS&n,m (т)] = 1 - ЄХР
l1l2
= 1
(4)
a - 2 l2 . - 2 l1 - • l1l2 ■ т++Bi h
Інтенсивність конвективного теплообміу розраховують за допомогою коефіцієнтів а, які, як правило, визначають з критеріальних рівнянь [3], що у ГВ формі мають вигляд ГВ функцій:
hFv(a) = ; hFs(Nu) = c Ren Prm; hFs(Re) = V'd
(5)
d v
де критерії Нуссельта Nu, Рейнольдса Re, Прандтля Pr найчастіше є ГВ скалярними функціями; v - коефіцієнт кінематичної в’язкості; v - швидкість теплоносія.
Під час радіаційного теплообміну кількість тепла Q12 , що передається радіацією між фізичними тілами із площинами F1 та F2 й абсолютними температурами Т1 та Т2 відповідно, розраховують за законом Стефана -Больцмана [3], ГВ рівняння для якого можна записати так:
hFs(Q12 )= С0-n
Фи F1
T_
100
' ф21^2
T
12
100
(6)
4
4
де ф12 та ф21 - коефіцієнти взаємного опромінення; єп = 1/(1/єі + 1/є^ - 1): є1, є2,8п - коефіцієнти чорноти поверхонь та зведений, відповідно.
Програмні засоби розрахунків температурного поля СКМ1 Якщо на пластині чарунки чи МЗб встановлено багато ТВЕ, розрахунок температур останніх за рівняннями, подібними до (2), потребує використання пакету Mathcad чи програмних модулів, що можуть бути створені у іншому інтегрованому середовищі. Розрахунки у Mathcad достатньо прості: необхідно записати розрахункову формулу чи рівняння, задати вихідні
104
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№41
Конструювання радіоапаратури
дані й програма буде провадити обчислення; час, за який буде одержаний результат, залежить від складності розрахункового виразу.
Для систем автоматизованого проектування (САПР) файли Mathcad непридатні - їх, по-перше, неможливо використати як програмні модулі у інтегрованих середовищах, таких, наприклад, як C++Builder, а по-друге -провадять обчислення досить повільно. Тому для визначення температур у СКМ1 з багатьма ТВЕ у C++Builder була створена програма TempPlat2, яка розраховує стаціонарне температурне поле згідно з детермінованою моделлю, одержаною з (2):
ВІ /і^2 Qi ^2 K 2 h (Хi К (Уі) „
T (a y,T Ы16
i=1
a h2 Ax;. Ayi
II к
n=1 m=1
..2 l2 , ,,2 h : l1l2
Д n— + Д mV- + BiJT
lml
( Л ( Л f \ f \
Дn cos Дп x 111 ) + В11 sin Дп x 111 ) Дm c0s ^ у і l2 ) + B12 sin ^ у і 12 )
(6)
У вхідному файлі програми потрібно задати розміри пластини-основи, теплофізичні параметри матеріалу, коефіцієнти тепловіддачі, розташування ТВЕ на платі та їх потужність, координати точок, у яких необхідно визначити температури плати. Коефіцієнти цп, цт визначаються спеціальною підпрограмою з рівнянь (3).
Ймовірносні характеристики теплових процесів Всі розглянуті вище теплові процеси суть ГВ явища, тому їх математичні моделі а також й одержані рішення повинні мати ймовірносні характеристики, основані на ГВ природі фізичних величин, які увійшли як у рівняння моделей (1), (5), (6), так і у кінцеві рішення (2), (4).
У цих рівняннях ГВ величинами у першу чергу є: коефіцієнт температуропровідності а = Усу; коефіцієнт теплопровідності X; коефіцієнт кінематичної в’язкості v; теплоємність матеріалу с; коефіцієнт тепловіддачі а; густина матеріалу у; теплова потужність джерела Qt.
У рівняннях (2), (3) ГВ є цп, цт - корені характеристичних рівнянь:
X
tan^ n
2Д n Bi1
Д П - B1?
^ПД m
2Д m B12 .
дт - Bi2 ’
В11
al1
T’
B12
al2
~Y,
(7)
тому що критерії Ві - ГВ функції.
Таким чином, першоджерелом ГВ всіх параметрів теплових процесів у РЕА та її функціональних показників є ГВ теплофізичних властивостей матеріалів. На жаль, ймовірносні характеристики для них у довідковій літературі, як правило, не наводяться, тому необхідно довільно задавати допуски на їх межі. Відповідно й всі температури Ті, одержані як результати розв’язання рівнянь математичних моделей, також повинні бути ГВ функціями. Строго кажучи, ГВ необхідно вважати також і геометричні параметри - розміри l1, l2, h, а також координати x, у положення джерел тепла
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№41
105
Конструювання радіоапаратури
Qi на основі чарунки чи МЗб.
ГВ природа фізичних величин, самих процесів та й одержаних параметрів призводить до того, що одержати результати, які мають практичну цінність, достатньо складно. Це становище можна спростити, а саме: у кінцевих формулах для розрахунків температур обрати параметри, значення яких мають найбільшу дисперсію (звичайно це коефіцієнти тепловіддачі та теплофізичні властивості конструкційних матеріалів); визначити для них ймовірносні характеристики чи задати їх примусово; за відомими формулами теорії ГВ явищ розрахувати ймовірносні чи числові характеристики (математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення) кінцевих функціональних показників (температур), для яких будуть одержані межі реальних значень. Це й будуть наближені значення температур як ГВ функцій (векторних, скалярних). Слід сподіватися, що найменшу дисперсію й найменший вплив на кінцеві результати будуть давати відхилення геометричних параметрів конструкції, а найбільший - невизначеність теплофізичних параметрів матеріалів та процесів конвективного теплообміну.
Приклад. Розраховуються температури пластини СКМ1, на якій встановлений ТВЕ потужністю Q=5 Вт, що має розміри основи 12x6 мм. Розміри пластини 120x80 мм, товщина 8=1,5 мм, матеріал - полікор з коефіцієнтом теплопровідності А=31,5 Вт/м.К; охолодження - повітрям з температурою t = 30oC, коефіцієнт тепловіддачі а=12 Вт/м .К. Координати центру ТВЕ х0=72 мм, у0=48 мм. Необхідно визначити температуру плати у стаціонарному режимі для точки x=60 мм, у=30 мм, тобто T(60,30). Відомо, що відхилення теплової потужності джерела Q знаходиться у межах ±10%.
Для визначення найбільш впливових ГВ фактори на температуру T(x,y), необхідно розглянути структуру всіх її складових. У першу чергу це коефіцієнт тепловіддачі а - він входить до (2) та до крітерію Біо: Bi=a^/^; додатково ще з’являється вплив гіпервипадкової величини ^-коефіцієнта теплопровідності. Останній визначає критерії та корені характеристичних рівнянь цп, цт, які треба знаходити з рівнянь (7). Всі ці ГВ величини та функції формують ядра інтегральних перетворень K(^n,x), К(цт,у) та функції розподілу температур In(x), Im(y), що мають вигляд:
K („ n, x ) = K „J 7-
Ц n cos
( Ц ^ V 11 J
+ Bi1 sin
( ц ^
V l1 J
K цп =
(ц 2 + Bil2 ] 1 + Bi1 + - 2 + B-2 V „п + Bil
K („ m , у )= K
Ґ- \ (- л
Ц m COs ^у V 12 J + Bi2 sin у V 12 J
; Km =
(„m + Bi211+Bi2 +
BL,
„m +Bi 2j
In (X
cos
X- \ S; f- \
^ ^-sin Вц
V J „n V 1 У
sin
f- A 'N ц Ax.
in ____i
1 2
V *1 z J
; W, У-
f- \ S;
„m Bi2 .
cos —m у +—2 sin
V 12 J „m
-
V 12 * J
sin
-
„m Ay
1 2
V 2 J
1
1
106
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№41
Конструювання радіоапаратури
Початкове положення джерел тепла (ФБ н ЕРЕ)
У першому наближенні можна прийняти, що аргументами функції (2) є п’ять ГВ величин та скалярних функцій: теплова потужність ТВЕ Q, коефіцієнт тепловіддачі а, критерії Ві, Ві1, Ві2 - їх ймовірносні чи неймовір-носні характеристики необхідно визначити, якщо необхідно розраховувати температуру T(x,y). Для моделі (6), номінальні значення температур, розраховані за допомогою програми TempPlat2: основи ТВЕ T(72,48) = 93,1°C, розрахункової точки T(60,30) = 71°C (вони можуть бути знайдені також у Mathcad 14); положення ТВЕ та розрахункової точки на ведено на
рис. 1 (візуалізація розташування ТВЕ на платі програмою TempPlat2, 3-D діаграма температур - Mathcad 14).
Якщо припустити, що відхилення для коефіцієнтів X та а знаходиться у межах ± 10%, а також вважати, що закон розподілення для них - нормальний, можна одержати числові (неймовірносні) характеристики ГВ скалярних функцій -критеріїв Ві, Ві1, Ві2, розрахувавши для них математичне сподівання M, діспер-сію D, середньоквадратичну похибку а; їх значення наведені у табл. 1. Математичне сподівання MT та дисперсію DT температури T(x,y) необхідно
розраховувати за формулами:
MT = III 11T (x1, x 2, x3, x4, х5ф (x1, x 2, x3, x 4, x5)dx1dx 2dx3dx4 dx5;
Продовжити I
Рис. 1. ТВЕ на платі, розрахункова точка та 3-D діаграма температур
Таблиця 1
критерій М D а
Ві 0,0437 1,872x10-4 0,0137
Ві1 3,694 0,2772 0,5262
Ві2 1,641 0,0487 0,2222
(8)
—X—X—X—X—X
XXXXX
DT = IIII |[T(x1, x2, x3, x4, x5)—MT ]20(x1, x2, x3, x4, x5)dx1dx2dx3dx4dx5, (9)
де функція щільності ймовірностей:
0(x1, x2, x3, x4, x5) =-1
x exp
>2g3g4g5 (jin )
(x1 — mx1 )2 (x2 — mx2 )2 (x3 — mx3 )2 (x4 — mx4 )2 (x5 — mx5 )'
2o2
2g2
2g2
2g2
2g;
у (8), (9) у свою чергу, позначені: x1 = Q, x2 = a, x3 = Bi, x4 = By, x5 = Bi2 .
Спроба розрахунків MT та DT за наведеними формулами у пакеті Mathcad 14 на комп’ютері з тактовою частотою 3,3 ГГц не призвела до успіху -час обчислень кожного з параметрів перевищує декілька десятків годин. Це особливість розрахунку пакетом інтегралів великої кратності від складних функцій. Якщо виразити у (2) критерії Віо через первинні ГВ величини X та а, можна зменшити кратність інтегралів (8) та (9) до трьох (додатково
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№41
107
Конструювання радіоапаратури
необхідно враховувати ймовірносність потужності ТВЕ Q). Але це також не призвело до успіху - не вдалося обчислити MT та DT навіть за декілька годин. Знехтування ймовірносністю Q та зменшення кратності вказаних інтегралів до двох дало результати (час обчислень кожного з параметрів ~30 хв.): Mj=71,3°C; DT=20,9; aT=4,6°C. Температура плати, згідно (2), пропорційна Q, тому слід додати ще відхилення температур АТ«7°С, й тоді: T(60,30)=(71,3±11,6)°C.
З наведеного прикладу ясно, що використання пакету Mathcad для визначення ГВ параметрів за складними математичними формулами неефективне, у подібних випадках необхідно створювати програмні модулі у спеціалізованих інтегрованих середовищах.
ГВ природа теплових процесів у РЕА призводить до того, що кінцеві результати проектування повинні бути множиною значень, які знаходяться у межах, що визначаються ймовірносними характеристиками ГВ векторних функцій - функціональних показників РЕЗ. Визначити ці ймовірносні чи числові характеристики за допомогою математичних пакетів (Mathcad) буває складно; для комплексів САПР необхідно створювати спеціальні програмні модулі у інтегрованих середовищах типу С++Builder.
Література
1. Горбань И.И. Представление физических явлений гиперслучайными моделями // Математичні машини і системи. - 2007. - № 1. - с. 34-41.
2. Уваров Б.М. Гіпервипадкові функціональні характеристики радіоелектронних засобів/ Вісник НТУУ “Київський політехнічний інститут”. Сер. - “Радіотехніка. Радіоа-паратобудування.” - 2010. - вип. 40. - с. 113 - 121.
3. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. Учебник для вузов. -М.: Энергия. - 1975. - 488 с.
Зіньковський Ю.Ф., Уваров Б.М. Гіпервипадкові характеристики теплових процесів у пристроях радіоелект-ронної апаратури. Теплові процеси у пристроях РЕА представлені як гіпервипадкові функції. Розглянути ймовірносні характеристики математичних моделей та їх рішень. Наведений приклад визначення числових характеристик гіпервипадкових функціональних показників РЕЗ.
Ключові слова: радіоелектронна апаратура, теплові процеси, гіпервипадкові характеристики_____________________________________________________________________
Зиньковский Ю.Ф., Уваров Б.М. Гиперслучайные характеристики тепловых процессов в устройствах радиоэлектронной аппаратуры. Тепловые процеси в устройствах РЭА представлены как гиперслучайные функции. Рассмотрены вероятностные характеристики математических моделей и их решений. Приведен пример определения числовых характеристик гиперслучайных функциональных показателей РЭС.
Ключевые слова: радиоелектронная аппаратура, тепловые процессы, гиперслучайные
характеристики______________________________________________________________
Zinkovsky J.F., Uvarov B.M. The hyperbolic-accidental characteristics of thermal processes in devices of the radioelectronic apparatus. Thermal process in devices REA are submitted as hyperbolic-accidental of function. Are considered е of the characteristic of mathematical models and their decisions. The example of definition of the numerical characteristics hyperbolic-accidental of functional parame-ters of the radioelectronic equipments is given. Кeywords: radioelectronic apparatus, thermal processes, hyperbolic-accidental of the characteristic
108
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№41
