ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ VN ПРОСТРАНСТВА КN+1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998. 82 с.

5. Акивис М.А. О плоских гиперраспределениях в Pn // Мат. заметки. 1984. Т.36. Вып. 2. С. 213 - 222.

G.V. K u z n e t s o v

ABOUT VECTORS OF THE SECOND ORDER AND HYPERDISTRIBUTION

IN A EUCLIDEAN SPACE En

In the given work the differentiable mapping between two areas of Euclidean space En is considered. In the first area is defined hyperdistribution, the frame of the second order, and also inhering to it of a vector of the second order is set. The properties hyperdistributions are considered in an association from properties of vectors of the second order.

УДК 514.75

И.А. К у з я к и н а (Калининградский государственный университет ) ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ Уп ПРОСТРАНСТВА Кп+1

Рассматривается гиперповерхность V (и+1)-мерного проективного пространства с вырожденным абсолютом - пространства Кп+ь В репере 1-го порядка дано задание гиперповерхности V . Доказана теорема существования гиперповерхности Построены поля прямых, внутренним образом присоединенные к гиперповерхности V в дифференциальных окрестностях 3-го и 4-го порядков. К гиперповерхности V присоединены инвариантные точечный {MJ}и тангенциальный {о^} реперы, двойственные друг другу.

Пространством п+1 измерений с проективной метрикой, или пространством К„+ь называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства Рп+1, а фундаментальной группой - подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет. Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства Кп+1. Аналогичные вопросы для трехмерного пространства рассмотрены Р.Г. Бухаревым [1] и И.Н. Мигале-вой [2]. Известно [3], что число параметров группы движений пространства Кп+1

_ (п + 1)(п + 2) (5 + 1X8 + 2) равно й =----1----, где 8 - дефект поляритета.

Придерживаемся следующей схемы использования индексов: !,К,Ь = 0,п + 1; 1,К,Ь = 1,п + 1; 1, ¿к = 1,п-1; а,Ь,с = 1п.

Оператор дифференцирования действует по закону:

у А1ап+1 = ¿А1ап+1 Акап+1ю 1 А1сп+1ю а А1ап+1юп+1 + А1ап+1ю к + А1ап+1юс + А1ап+1юп-

Пусть в (n+1)-мерном проективном пространстве Pn+l задана некоторая гиперплоскость Пп, а в ней плоскость Пп-1, выбранная так, что во всех гиперплоскостях пространства Pn+1, проходящих через Пп_ь задан невырожденный метрический тензор gij.

Рассмотрим такую группу проективных преобразований, которые оставляют неподвижной гиперплоскость Пп, а в ней плоскость Пп-1. Геометрия этой группы является предметом нашего исследования. Полученное пространство является аффинным пространством, в котором зафиксировано некоторое направление гиперплоскостей Wn с заданной в них метрикой. Эти гиперплоскости Wn назовем особыми.

Рассмотрим гиперповерхность погруженную в пространство [4]. Исключим из рассмотрения такие точки Ае^, в которых касательная гиперплоскость гиперповерхности V совпадает с особой гиперплоскостью Wn(А). Тогда в каждой точке Ае^ определена плоскость Еn_1(A)=Tn(A) п Wn(А).

Присоединим к гиперповерхности точечный репер 1-го порядка R1:

Ao=A, {^^.1^), AnеTn(A), An г Wn(А), An+lеWn(A), An+l г ^(А). Уравнения движения точечного репера имеют вид :

¿Лу ¿юК =Юу аюК, ю] = 0. (1)

Гиперповерхность V в R1 задается уравнением

ю п+1 = 0 (2)

При фиксации точки А плоскости En.1(A), Tn(A), Wn(А) неподвижны. Отсюда следует, что формы ю 0, ю 0, ю п, ю п+1, ю п+1, ю п+1 являются главными. Приняв

ю0 1

причем

совокупность форм {ю0, юо} = {юа}, за базисные получим уравнения

ю п+1 = апь+1С0Ь, ю п = а, ю п+1 =Хпп+1,аюа, (3)

Уапь+1 + апь+1ю 0 = аЗ+>с, (4)

УХп + Хпю 0 ю а, (5)

^ ю 0 - Х^ю ^ - ю 0 = ХЩа ю а , (6)

+Хпп+1,хю0 -Хпкюк+1 = Хпп+1,июа, (7)

^Хп+1,п + Хпп+1,пю0 - Хп+1,Яп - Хкпюп+1 - юп+1 = Хп+1,паюа , (8)

а^ь1] = 0 (9)

Из соотношений (4),(9) следует, что величины ап+ образуют симметрический тензор. Будем полагать, что гиперповерхность регулярная [5], т.е. тензор {ап^1} невырожденный. Построим обратный ему тензор {апь+1} : а^^а^ =8С, который удовлетворяет уравнениям:

\7я Ьс я Ьс „ 0 _ я Ьс г л а _ л Ьса „ п+1 уап+1 + ап+1ю 0 = ап+1,аю =Х п+1ю а -

Уравнения (2)-(8) и соотношение (9) задают гиперповерхность Уп^ К„+1 в репеРе Я1. Системы величин Г2= {аПь+1, , Япп+1а }, Гз = {Г2, аПЬс1, , Япп+1ас} являются фундаментальными объектами [6] соответственно 2-го и 3-го порядков гиперповерхности Уп. Доказана

Теорема 1. В пространстве Кп+1 регулярная гиперповерхность У„ существует с произволом п+1 функций п аргументов.

Построим инвариантные поля точек Мп = Ап + V°АО + VПА1 и прямых Ь=[Л0,Мп]. Из условия инвариантности Мп следует

^ п + V! Ш О + Ш 0п = vna Ш а, Vv п + Ш п = V1m Ш а. (10)

Имеют место охваты

<1е£

..О _ тзО Лл _ „1 _ „п+^Н

vп = -Вп , vп - ап = - акп ап+1,

где

р0 _ п пЧп сп+1„п+1 , 1 „ 1п Яп+П^ р_„п+ипп вп = ~ ап+1а11 апп + ап+1апп Л 1, е = апп ап+1, п + 2 ^ е

Л0 ^-Х»ап, VЛ0-ШО = ].

Теорема 2. Поля точек Мп и прямых Ь внутренним образом присоединяются к гиперповерхности Уп в дифференциальной окрестности 3-го порядка.

Аналогично из условия инвариантности точки

Мп+1 = Ап+1 + ^+1АО + <+1А1 следует

^п+1 + vn+lЮ О +ю п+1 = vn+1,a Ю % ^п+1 +Ю п+1 = V1n+l,a ® а. (11)

С помощью [7] найдены охваты

v п+1 =^п+1 +^п+1ап, v п = |(Т + ап+^ n+lV п+1) + v п+^ ,

= —1—ап+1а:1^ , Т = —(1« -

где

1 = , 1а11кап+1, 1 = ! (1у ЧЧ)ап+1. п + 1 п - 1

Здесь tij - продолжения величин 3-го порядка 1;.

Теорема 3. Поля точек Мп и прямых Ь внутренним образом присоединяются к гиперповерхности Уп в дифференциальной окрестности 4-го порядка.

Введем в рассмотрение тангенциальный репер {тк} для гиперповерхности Уп, связанный с точечным репером {А у } соотношением

(А7, т к) = 5? (12)

.О .,1 ,.О

п, ^п,

Используя охваты V п, Vп, V п+1, VО+1 и соотношения (12), построим инвариантные точечный {Му } и тангенциальный {стк} реперы, удовлетворяющие соотношениям (Му, ст к) = 5 К. Эти реперы имеют следующее строение:

Mo = Ao,

M = A +v OA

ct 0

x 0 - v 0 X1 +v n X n + v 0+1x n+1:

o

Mn = An +v ПА1 +v 0Ao,

ct 1 = x1 + v n X n + v n+1x n+\

ctn = xn,

(13)

An+i + v n+iAi + v n+iAo •

ct

n+1

n+1

Мп+1

где V 0 = л0.

Теорема 4. В дифференциальной окрестности 4-го порядка с гиперповерхности Уп^ Кп+1 внутренним образом присоединяются двойственные друг другу точечный {Мт} и тангенциальный {стК} реперы (13).

Библиографический список

1. Бухарев Р.Г. О поверхностях евклидова пространства с невырожденным абсолютом // Уч. зап. ун-та. Казань, 1954. С.39-52.

2. Мигалева И.Н. Теория кривых и гиперповерхностей пространства с вырожденным абсолютом // Уч. зап. МГПИ им. Ленина. 1963. Т. 208. С. 252-264.

3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.; Л., 1950.

4. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

5. Вагнер В.В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. 1950. Т.8. С. 11-72.

6. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т.2. С.275-382.

7. ПоповЮ.И. Общая теория регулярных гиперполос. Калининград, 1983. 83 с.

I.A. K u z y a k i n a

HYPERSURFACE Vn OF SPACE K

Hypersurface Vn of the (n+1)-dimensional projective space with degenerate absolut - the space Kn+1 is considered. The hypersurface Vn is given in the frame of the 1-st order. Existence theorem is proved. In the differential neighbourhood of the 3-rd and 4-th orders fields of a certain straight line are constructed. To the hypersurface Vn we join invariant point and tangential frames dual to each other.

УДК 514.75

В.С. М а л а х о в с к и й (Калининградский государственный университет) О ПОДМНОЖЕСТВАХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ